MAT 345 (2012-13 Güz), Sınav sorularının çözümleri.

1. Sınav

  • Doğal sayılar kümesi üzerinde \[\tau:=\{U\subset \mathbb{N} : U=\mathbb{N} \quad \mbox{veya} \quad 13\not\in U\}\] koleksiyonu bir topoloji midir?

    Çözüm: Evet. Öncelikle $\mathbb{N}$, $\tau$ 'nun tanımdan $\tau$ 'nun elemanıdır. Boş küme 13'ü içermediğinden boş küme de $\tau$ 'nun elemanıdır.

    Şimdi $I$ bir index kümesi olmak üzere, her $\alpha\in I$ için $U_{\alpha}\in \tau$ olsun. Eğer bir $\alpha_0\in I$ için $ U_{\alpha_0}=\mathbb{N}$ ise \[\bigcup_{\alpha\in I}U_{\alpha}=\mathbb{N}\] olur. Eğer her $\alpha \in I$ için $U_{\alpha}\neq\mathbb{N}$ ise, her $\alpha \in I$ için $13\not \in U_{\alpha}$ olur. Bu durumda \[13\not \in\bigcup_{\alpha\in I}U_{\alpha}\] sonucuna ulaşırız.

    Eğer $U_1, U_2\in\tau$ ise ya biri $\mathbb{N}$ kümesidir ya da ikisi de 13'ü içermezler. Öyleyse $U_1\cap U_2$ ya bu iki kümeden birine eşittir ya da 13'ü içermez. Her iki durumda da $U_1\cap U_2\in\tau$ olur.

  • Sonlu bir küme üzerindeki bir topolojinin kaçık kümelerinin sayısı hangi değerleri alabilir?

    Cevap: Sonlu bir küme üzerindeki bir topolojideki kaçık kümelerin sayısı ikinin bir kuvveti olmalıdır.

    Eğer $A$ ve $B$ iki kaçık kümeyse $A\cap B$ ve $A\cup B$ kümeleri de kaçıktır (Niye?). Bunun sayesinde kaçık kümeler üzerinde \[A\Delta B:=(A-B)\cup (B-A)\] işlemi tanımlanabilir (Kapalı olduğunu ve birleşme özelliği de olduğunu gösterin). Bu işlemde $\emptyset$ etkisiz eleman olur. Her elemanın tersi kendisidir. Yani kaçık kümeler bu işlemle bir grup oluşturur (Gösterin). Her elemanın derecesi 2 olan sonlu bir grubun eleman sayısı ikinin bir kuvveti olmalıdır (İspatlayın, Cauchy teoremini kullanabilirsiniz).

    Not: Cauchy teoremini kullanmayan başka çözümler de bulabilirsiniz.

2. Sınav

  • Bir tabanın ürettiği topolojinin bu tabanı içeren en küçük topoloji olduğunu gösterin.

    Cevap: $\mathcal{B}$ tabanının ürettiği topoloji $\tau_{\mathcal{B}}$ olsun.

    $\mathcal{B}$ tabanını içeren en küçük topoloji, bu tabanı içeren bütün topolojilerin kesişimidir. Bu kesişime $\tau$ diyelim.

    $\tau_{\mathcal{B}}$ topolojisi $\mathcal{B}$ tabanının ürettiği topoloji olduğu için $\mathcal{B}$ tabanını içerir. Yani \[\tau \subset \tau_{\mathcal{B}}\] yazabiliriz.

    Öte yandan, açık kümelerin keyfi birleşimleri açık olduğundan, $\mathcal{B}$ tabanını içeren her topoloji bu tabanın elemanlarının tüm bileşimlerini de içerir. Ancak $\mathcal{B}$ tabanının elemanlarının tüm bileşimleri $\mathcal{B}$ tabanının ürettiği $\tau_{\mathcal{B}}$ topolojini verir. Yani \[\tau_{\mathcal{B}} \subset \tau\] yazabiliriz.

  • $\mathcal{B}=\{[a,b) : a < b, \quad a,b \in \mathbb{Q}\}$ koleksiyonunun $\mathbb{R}$ üzerindeki bir topolojinin tabanı olduğunu gösterin. Bu topolojinin $\mathbb{R}$ üzerindeki $\mathbb{R}_{\ell}$ alt limit topolojisi ile aynı olmadığını gösterin.

    Cevap: Bir $x\in \mathbb{R}$ için $x\in \left[ \lfloor x \rfloor -1, \lfloor x \rfloor +1 \right)\in\mathcal{B}$ yazabiliriz.

    Ayrıca $B_1=[a_1,b_1), B_2=[a_2,b_2)\in \mathcal{B}$ ve $x \in B_1\cap B_2$ için $x\in B_3:=[\max(a_1,a_2),\min(b_1,b_2))\in \mathcal{B}$ olduğundan \[\mathcal{B}=\{[a,b) : a < b, \quad a,b \in \mathbb{Q}\}\] koleksiyonu $\mathbb{R}$ üzerindeki bir topolojinin tabanıdır.

    $\sqrt{2}\in B \subset [\sqrt{2}, 2)$ olacak şekilde bir $B\in \mathcal{B} $ olmadığından bu iki topoloji farklıdır.

3. Sınav

  • $(X,\tau)$ bir topolojik uzay ve \[\Delta:=\{(x,x)\in X\times X : x\in X\}\subset X\times X\] olsun. $X\times X$ üzerindeki çarpım topolojisine göre $\Delta$ açıksa $\tau$ topolojisinin ayrık topoloji olması gerektiğini ispatlayın. Eğer $\tau$ ayrık topolojiyse $\Delta$ açık olmak zorunda mıdır?

    Çözüm: $\Delta \subset X\times X$ açık olsun. $X$ üzerindeki topolojinin bir tabanı $\mathcal{B}$ olsun. Eğer $(x,x)\in\Delta$ ise \[(x,x)\in B_1\times B_2\subset\Delta\] olacak şekilde $B_1,B_2\in \mathcal{B}$ vardır. Böylce $B=B_1\cap B_2$ için \[(x,x)\in B\times B\subset\Delta\] yazabiliriz.

    Eğer $y\in B$ ise $(x,y)\in B\times B\subset \Delta$ olduğundan $x=y$ dolayisiyla $B=\{x\}$ sonucuna ulaşırız. Her $x\in X$ için $\{x\}\in\mathcal{B}$ olcağından $\mathcal{B}$ tabanının ürettiği topoloji ayrık topolojidir.

    $X$ üzerinde ayrık topoloji varsa, $X\times X$ üzerinde de ayrık topoloji vardır. Bu durumda diğer bütün altkümeler gibi $\Delta$ da açık olur.

  • Reel sayılar üzerindeki standart topolojiden $\mathbb{Z}$ üzerine indirilen topoloji nedir?

    Çözüm: Her $n\in \mathbb{Z}$ için \[\mathbb{Z} \cap (n-\frac{1}{n^2+1}, n+\frac{1}{n^2+1})=\{n\}\] olduğundan bu topoloji ayrık topolojidir.

4. Sınav

  • İç noktalarla sınır noktalarının birleşiminin kapanış olduğunu gösterin.

    Çözüm: Kapanıştan bir eleman alalım. Bu elemenın etrafındaki bir açık küme, kümenin tümleyeninin altkümesi olamaz. Bu durumda kapanıştan alınan bir nokta sınır noktası değilse bir iç noktadır.

  • $(X,\tau)$ bir topoojik uzay ve \[\Delta=\{(x,x)\in X\times X:x\in X\}\] olsun. $X$ Hausdorff uzayıdır ancak ve ancak $\Delta$ çarpım topolojisinde kapalıdır.

    Çözüm: $X$ Hausdorff olsun. $(x,y)\in (X\times X) -\Delta$ olsun. Bu durumda $x\neq y$ olmalıdır. Bu noktaları ayıran $U_x$ ve $U_y$ açık kümelerinin kesişimi boş olacağından çarpımları köşegeni kesmez. Bu durumda $U_x\times U_y$ çarpımı $(x,y)$ noktasını içeren ve köşegenin tümleyeninin altkümesi olan bir açık kümedir. Dolayısıyla $(X\times X) -\Delta$ açık, $\Delta$ kapalıdır.

    Eğer $\Delta$ kapalıysa tümleyeni açıktır. Farklı iki $x\neq y$ noktası için $(x,y)$ ikilisi köşegenin tümleyeninde olduğundan bu noktayı içeren ve köşegenin tümleyeninin altkümesi olan bir açık küme vardır. Bu açık küme $(x,y)\in U_x\times U_y$ ve $U_x\cap U_y=\emptyset$ olacak şekilde seçilebilir. Dolayısıyla $X$ bir Hausdorff uzayıdır.

5. Sınav

  • İki Hausdorff uzayın çarpımı her zaman Hausdorff olur mu?

    Çözüm: İki Hausdorff uzayın çarpımından aldığımız iki farklı noktanın ilk koordinatlarının farklı olduğunu kabul edebiliriz. Bu ilk koordinatlar etrafında kesişmeyen açık kümeler vardır. Bu açık kümeleri ikinci uzayla çarparak başlangıçta seçtiğimiz noktalar etrafında kesişmeyen açık kümeler bulmuş oluruz.

  • $X=\{a,b,c,d\}$ ve $X$ üzerindeki bir topoloji \[\tau = \{\emptyset, \{c\} ,\{a,c\} ,\{b,c\},\{c,d\},\{a,b,c\},\{a,c,d\},\{b,c,d\},X\}\] olsun. $Y=\{a,b,c\}$ ve $f:X\to Y$ fonksiyonu $f=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,b)\}$ olarak tanımlansın. Bu durumda $f$ fonksiyonunu sürekli yapan $Y$ üzerindeki bütün topolojileri bulun.

    Çözüm:

    \[\{\emptyset, Y\}\] \[\{\emptyset, \{c\}, Y\}\] \[\{\emptyset, \{a,c\}, Y\}\] \[\{\emptyset, \{b,c\}, Y\}\] \[\{\emptyset, \{a,c\}, \{c\}, Y\}\] \[\{\emptyset, \{b,c\}, \{c\}, Y\}\] \[\{\emptyset, \{a,c\}, \{b,c\}, \{c\}, Y\}\]

  • $X$ bir topolojik uzay ve $f:X\to \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon olsun. Her $x_0\in X$ noktasının öyle bir $U_x$ komşuluğu olsun ki her $x\in U_x$ için $f(x)=f(x_0)$ eşitliği sağlansın. Böyle bir $f$ fonksiyonu hakkında ne söyleyebiliriz?

    Çözüm: Eğer $X$ bağlantılıysa $f$ sabit fonksiyondur. Genel durumda $X$ bağlantılı olmayabilir. $f$ fonksiyonu $X$ uzayının bağlantılı bileşenlerinde sabittir.