Vektör Uzayı Alıştırmaları

Vektör uzayı aksiyomları aşağıdadır (derste ve ağa koyduğum “Cebir ile Geometri” notlarında verdim, ve lineer cebir kitaplarında bulunur).

1.	a + b	=	b + a
2.	a + (b + c)	=	(a + b) + c
3.	a + 0	=	a
4.	a + −a	=	0
5.	t ⋅ (a + b)	=	t ⋅ a + t ⋅ b
6.	(t + u) ⋅ a	=	t ⋅ a + u ⋅ a
7.	(t ⋅ u) ⋅ a	=	t ⋅ (u ⋅ a)
8.	1 ⋅ a	=	a

Derste (ve farklı bir şekilde “Cebir ile Geometri” notlarında) aşağıdaki alıştırmaları verdim.

1. a + b = a + c ⇒ b = c

2. 0 ⋅ a = 0

3. −(t ⋅ a) = (−t) ⋅ a

Bunların sırası önemlidir. Birincisi aşağıdaki gibi çözülebilir.

1.	a + b	=	a + c	(Varsayım)
2.	b + a	=	c + a	(Adım 1 ve Aksiyom 1)
3.	(b + a) + −a	=	(c + a) + −a	(Adım 2)
4.	(b + a) + −a	=	b + (a + −a)	(Aksiyom 2)
5.	b + (a + −a)	=	b + 0	(Aksiyom 4)
6.	b + 0	=	b	(Aksiyom 3)
7.	(b + a) + −a	=	b	(Adımlar 4–6)
8.	(c + a) + −a	=	c	(Adım 7)
9.	b	=	c	(Adımlar 3, 7, ve 8)