Analitik Geometri Tarihi

Analitik geometri, geometri problemlerini aritmetik ile çözmek için bir yöntemdir. Aşağıda, doğum sırasına göre, analitik geometrinin gelişmesine katkıda bulunan matematikçiler tanıtılmıştır. Bu gelişme, 26 asır sürdü.

Geometride sayıları nasıl kullanabiliriz? İki sayının toplamı ve çarpımı vardır. İki uzunluğun toplamı vardır; ayrıca iki uzunluk, bir dikdörtgenin eni ve boyudur. Descartes’in gördüğü gibi, Thales Teoremi sayesinde, bir birim uzunluğu seçilirse, iki uzunluğun çarpımı, bir uzunluk olarak tanımlanabilir. Bu şekilde uzunluklar sayı olur.

Bu tanımı kullanarak Descartes, beş-doğrulu gezenek probleminin özel bir durumunu çözdü. Hemen hemen iki bin yıl önce Apollonius, üç- ve dört-doğrulu gezenek problemlerini çözdü. Burada gezenek kelimesi, Yunanca ΤΟΠΟΣ ve Latince LOCUS için kullanılır; bu kelimelerin normal anlamı, yerdir.

Bir üç-doğrulu gezenek probleminde bir üçgen verilir. Bu üçgen, OAB olsun, ve AB tabanının orta noktası M olsun. Rastgele bir P noktasından, sırasıyla OM’ye, AB’ye, ve tekrar AB’ye paralel olan, AB, OA, ve OB kenarına, PX, PY, ve PZ doğrusu çizilsin. Eğer boyutları ZP ve PY olan dikdörtgenin, kenarı PX olan kareye oranı sabit kalmak zorundaysa, P noktasının oturduğu eğri nedir?

Bu problemi çözmek için YZ ve OM’nin kesişim noktası T olduğunda, Thales Teoremi sayesinde

Ayrıca TPXM paralelkenar olduğundan

Öklid’in Öğeler’inin Kitap II’sinin Önerme 5’i (veya cebir) sayesinde

Descartes’in yaptığı gibi, verilmiş uzunluklar için a, b, ve c gibi harfler kullanırız, ve aranan uzunluklar için x, y, ve z. Şimdi

olsun; ayrıca

olsun. Hesapları burada atlıyoruz, ama aranan gezeneğin tanımlayan koşulu, iki-dereceli

polinom denklemi olarak yazabiliriz. Öyle bir denklem, Apollonius’tan bilindiği gibi bir koni kesitini tanımlar.

Descartes’in bulduğu beş-doğrulu problemin çözümü, üç-dereceli

polinom denklemi tarafından tanımlanır.

Normalde yukarıdaki sayılar, gerçel (veya reel) sayılardır. Bunlar tam sıralı bir cismi oluşturur. Tüm tam sıralı cisimler izomorftur, yani matematik açısından aynı olarak sayılabilir. Tam sıralı bir cisim bir Öklid cismidir, çünkü onun her pozitif elemanı, başka bir elemanın karesidir. (Burada kare, geometriden alınmış bir kelimedir.)

Tanıma göre bir Öklid düzleminde, Öklid’in Öğeler’inin Kitap I’inin önermeleri doğrudur. O zaman öyle bir düzlemde noktalar ve doğrular vardır, ve herhangi iki nokta bir doğru parçasını tanımlar, ve iki doğru parçası ya eşittir ya da eşit değildir. Ayrıca eşitlik bir denklik bağıntısıdır, ve bir doğru parçasının uzunluğu, onun denklik sınıfı olarak tanımlanabilir. David Hilbert’in gösterdiği gibi, bir Öklid düzleminde, iki doğru parçasının oranı, kesin bir denklik sınıfı olarak tanımlanabilir, ve tüm oranlar, bir Öklid cisminin pozitif elemanlarını oluşturur.

Öğeler’in Kitap V’inde Öklid de oranları tanımlamıştır, ama bunun için Arşimet postulatını varsaymıştır. Buna göre iki uzunluk verildiğinde daha büyüğü, daha küçüğünün bir katından hâlâ küçüktür. Bu durumda elde edilen Öklid cismi, bir Arşimet cismidir, çünkü her pozitif elemanı, bir sayma sayısından küçüktür.

Bununla birlikte Arşimet cismi olmayan Öklid cisimleri vardır. Ayrıca tam sıralı bir cisim bir Arşimet cismi olmakla beraber tam olmayan, Arşimet cismi olan Öklid cisimleri vardır.

Girdileri rastgele bir Öklid cisminden gelen sıralı ikililer, bir Öklid düzleminin noktalarıdır, ve bu düzlemin doğruları, (a, b) ≠ (0, 0) olmak üzere

biçiminde olan doğrusal (veya lineer) denklemler tarafından tanımlanır. Bu düzlemde uç noktaları (a, b) ve (c, d) olan doğru parçasının uzunluğunun karesi,

toplamı olarak anlaşılabilir. O zaman iki doğru parçasının oranı, onların uzunluklarının bölümü olarak tanımlanabilir.

Sıralanamamış olan cisimler de vardır, örneğin

• karmaşık (veya kompleks) sayıların oluşturduğu cisim,
• sonlu cisimler ve diğer karakteristiği pozitif olan cisimler.

Yukarıdaki doğrusal denklemlerin katsayıları, karakteristiği iki olmayan rastgele bir cisimden gelebilir. Bu şekilde elde edilen düzlemde, birbirine paralel olmayan doğru parçaları için, eşitlik kavramı yoktur; paralel olmayan doğru parçaları ne eşittir ne eşit değildir. Buna rağmen iki paralel olan doğru parçasının oranı vardır, ve bu şekilde ilk verilmiş cisme izomorf olan bir cismi elde ederiz.

Şimdi elde ettiğimiz düzlem, bir Pappus düzlemidir. Kullanacağım tanıma göre, öyle bir düzlemde, Öğeler I’de bulunan aşağıdaki postulat ve önermeler doğrudur.

1. İki noktadan bir ve tek bir doğru geçer. (Postulat 1)
2. Aynı doğruda olmayan üç nokta vardır. (Önerme 1’de bile varsayılan bir postulat)
3. Verilmiş bir doğruya paralel olan, doğruda olmayan bir noktadan geçen bir ve tek bir doğru geçer. (Önermeler 29 ve 31)
4. Paralel öteleme ile bir üçgenin iki kenarı, başka bir üçgenin iki kenarına uygulanırsa, o zaman üçgenler eşittir; kısaca, ABED ve ACFD paralelkenar ise ABC = DEF. (Önerme 29 sayesinde Önerme 4’ün özel bir durumu)
5. Tabanını paylaşan üçgenlerin eşitliği için gerek ve yeter bir koşul, üçgenlerin tepelerinden geçen doğrunun ortak tabana paralel olmasıdır. (Önermeler 37 ve 39)
6. Bir köşegen bir paralelkenarı ikiye böler. (Önerme 33)
7. Eşit paralelkenarın yarıları da eşittir. (Önerme 37’nin kanıtı için varsayılan bir postulat)

Her Pappus düzleminde, Pappus Teoremini kanıtlayabiliriz. Sonuç olarak, Gerhard Hessenberg’in gösterdiği gibi, Desargues Teoremini kanıtlayabiliriz. Bunun sayesinde oranların aynılığının tanımı olarak Thales Teoremini kabul edebiliriz. Bu durumda oranlar, karakteristiği 2 olmayan bir cisim oluşturur. Bir sıfır noktası seçilirse, o zaman Pappus düzlemimiz, iki-boyutlu bir vektör uzayı olur, ve bu uzayın skalarlar cismi, oranlardan elde ettiğimiz cisimdir. Bir taban da seçilirse, o zaman düzlemin doğruları, yukarıdaki gibi doğrusal denklemler tarafından tanımlanır.

Pappus düzlemlerinin yukarıdaki tanımının ilk üç koşulu bir afin düzlem tanımlar. Rastgele bir afin düzlemde, sadece Desargues Teoremini varsayarak oranları tanımlayabiliriz, ama Michael Artin’in gösterdiği gibi, bunlar sadece bir değişmeli olmayabilen cismi (veya bölme halkasını) oluşturur, ve bu cismin (veya halkanın) değişmeli olması için, Pappus Teoremi gerek ve yeter bir koşuldur.

Matematikçiler

• Miletli Thales (aktif M.Ö. 585)
• Knidoslu Ödoksus (M.Ö. 400–350)
• Menaihmos (M.Ö. 380–320)
• Öklid (aktif M.Ö. 300)
• Pergeli Apollonius (M.Ö. 262–?)
• Arşimet (M.Ö. 287–212)
• İskenderiyeli Pappus (aktif M.S. 320)
• Proklos (412–485)
• Askalonlu Eutokios (480–540)
• Ebû Ca’fer Muhammed bin Mûsâ el-Hârizmî (780–850)
• Ömer Hayyam (1048–1131)
• Girard Desargues (1596–1650)
• René Descartes (1596–1650)
• Blaise Pascal (1623–1662)
• Richard Dedekind (1831–1916)
• David Hilbert (1862–1943)
• Gerhard Hessenberg (1874–1925)
• Michael Artin (1934’te doğdu)

Miletli Thales (aktif M.Ö. 585)

Halikarnaslı (bugünkü Bodrumlu) Herodot’a göre Thales, M.Ö. 28 Mayıs 585 tarihli güneş tutulmasını önceden bildirdi. (Kaynak: ΙΣΤΟΡΙΑΙ – Tarihler – I.74).

Plütark’a göre Thales, piramidin yüksekliğinin, dik bir bastonun uzunluğuna oranının, gölgelerinin oranı ile aynı olduğunu kullanarak, piramidin yüksekliğini Mısırlı kral için hesapladı. (Kaynak: ΤΩΝ ΕΠΤΑ ΣΟΦΩΝ ΣΥΜΠΟΣΙΟΝ – Latince Septem sapientium convivium, Türkçe Yedi Bilgelerin Ziyafeti – § 2).

Kullanacağımız biçimde Thales Theoremine göre bir doğrunun bir üçgenin kenarlarını aynı oranda kesmesi için yeter ve gerek bir koşul, doğrunun üçgenin tabanına paralel olmasıdır.

Knidoslu Ödoksus (M.Ö. 400–350)

Öklid’in Öğeler’inın Kitap V’inde bulunan bir şerhe göre Ödoksus, kitabın oran kuramının kaynağıymış.

Menaihmos (M.Ö. 380–320)

Proklos’a göre Menaihmos, Ödoksus’un öğrencisiydi. (Kaynak: ΕΙΣ ΤΟ ΠΡΩΤΟΝ ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΟΥΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ, Primum Euclidis elementorum librum commentarii, A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements, Öklid’in Elemanları Kitap I üzerine yorum)

Eutokios’a göre Menaihmos, aşağıdaki şekilde verilen Α ve Ε uzunlukları için Β ve Γ orantılı ortalarını inşa etti.

Bir ΔΗ doğrusunda her Ζ noktasında

eşitliğini sağlayan bir ΖΘ dikmesi dikilsin. Bu durumda Θ noktalarından geçen eğri, bir paraboldür, ve

Aynı zamanda, ΔΚ dikmesinin her Κ noktasında

eşitliğini sağlayan bir ΚΘ dikmesi dikilsin. Bu durumda Θ noktalarından geçen eğri, bir hiperboldür, ve

Parabol ve hiperbol kesişince ΖΘ = ΔΚ ve ΔΖ = ΚΘ. Bunlar sırasıyla Β ve Γ olarak tanımlanırsa, istediğimiz gibi

Öklid (aktif M.Ö. 300)

Öklid’in Öğeler’inin 13 kitabının ilk altısında, her Öklid düzleminde doğru olan önermeler kanıtlanır. (Yukarıda dediğimiz gibi Kitap V’te Arşimet postulatı varsayılır ama kullanılmayabilir.) Bir Öklid düzleminde, verilen noktalardan yeni noktalar, sadece cetvel ve pergel kullanılarak inşa edilir. Örneğin bir ΑΓ doğrusu bir Β noktasında kesildiğinde, ΑΒ ve ΒΓ’nın orantılı (veya geometrik) ortalamasını bulmak için, Β’da bir dikme dikilsin ve çapı ΑΒ olan çemberi Δ’da kessin. O zaman Önerme VI.13’te gösterildiği gibi

ΑΒ : ΒΔ :: ΒΔ : ΒΓ.

Zaten Önerme II.14’ten bilindiği gibi

Yukarıda Pappus düzleminin tanımında kullandığımız gibi, Önermeler I.37 ve 39’a göre, tabanı aynı olan üçgenlerin eşitliği için gerek ve yeter bir koşul, üçgenlerin tepelerinden geçen doğrunun ortak tabana paralelliğidir.

Pergeli Apollonius (M.Ö. 262–?)

Apollonius, üç çesit koni kesitine parabol, elips, ve hiperbol adlarını verdi, ve her birinin her koniden elde edilebildiğini gösterdi.

Yukarıdaki çemberde

• BC bir çaptır, ve
• DD′ ve JJ′
  • bu çapa diktir ve
  • çapı sırasıyla M ve N’de keser.

Bundan dolayı, Öğeler’den Önermeler III.3 ve 35 sayesinde

dolayısıyla

Çapı BC olan çember, aşağıdaki üç diyagramda gözüküyor, ve paralel bir düzlemde çapı QR olan çember de vardır. O zaman yukarıdaki gibi

dolayısıyla

Şimdi Thales Teoremi sayesinde yukarıdaki elipste ve aşağıdaki hiperbolde

Sonuç olarak

Örneğin X, VW’nin O orta noktası olursa, o zaman elipste P, bir T noktası olur. Bu durumda

olduğunda

Şimdi genel durumda

olduğunda, yukarıdaki orantıdan, elips için

denklemi çıkar.

Hiperbolde T noktası yoktur, ama

olursa, hiperbol için

denklemi çıkar.

Aşağıdaki parabolde XR = MC, ve sonuç olarak

Parabolde

olduğunda, yukarıdaki orantıdan

denklemi çıkar. Şimdi X ve P, öyle S ve T olsun ki VS = ST = a olsun. O zaman parabolün denklemi,

olur.

Arşimet (M.Ö. 287–212)

ΠΕΡΙ ΣΦΑΙΡΑΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ (Latince De sphaera et cylindro, Türkçe Küre ve Silindir Hakkında) eserinde Arşimet, iki verilen uzunluğun iki orantılı ortalamalasını kullanarak verilen dik bir silindere eşit olan küreyi inşa etmiştir.

Aslında

1. Dik bir silindirin bir tabanı, çapı ΓΔ olan ve merkezi Ε olan bir çember olsun, ve diğer tabanın merkezi Ζ olsun.

2. O silindire eşit olan, ikinci dik bir silindirin bir tabanı, çapı ΗΘ olan ve merkezi Κ olan bir çember olsun, ve diğer tabanın merkezi Λ olsun, ve ayrıca ΗΘ = ΚΛ olsun. Bu durumda

   ΓΔ² : ΗΘ² :: ΗΘ : ΕΖ.

3. Bir ΜΝ doğru parçası için

   ΗΘ² = ΓΔ ⋅ ΜΝ

   Olsun. O zaman

   ΗΘ : ΜΝ :: ΓΔ : ΗΘ.

   ve ayrıca

   ΓΔ : ΜΝ :: ΓΔ² : ΗΘ².

4. İlk ve son orantıdan

   ΓΔ : ΜΝ :: ΗΘ : ΕΖ,

   ΓΔ : ΗΘ :: ΜΝ : ΕΖ.

5. İkinci orantı sayesinde de

   ΓΔ : ΗΘ :: ΗΘ : ΜΝ :: ΜΝ : ΕΖ,

   yani ΗΘ ve ΜΝ, ΓΔ ve ΕΖ’nın iki orantılı ortalamasıdır.

6. İkinci silindirimiz, bir küreyi sınırlar ve bu kürenin bir-buçuk katıdır. Eğer ilk silindirimiz, başka bir silindirin bir-buçuk katı ise, o zaman bu silindir, küreye eşittir.

İskenderiyeli Pappus (aktif M.S. 320)

ΣΥΝΑΓΟΓΗ (Synagoge, Koleksiyon) adlı eserin yedinci kitabında bulunan Pappus’un Altıgen Teoreminde, bir altıgenin üç köşesi bir doğrudadır ve kalan köşeler başka bir doğrudadır. Kullanacağımız durumda, altıgenin iki kenarı, karşıt kenarlara paralel ise, o zaman kalan iki kenar birbirine paraleldir. Bu sonucun kanıtı, Öğeler I.37 ve 39’u kullanır.

Altıgenimizin karşıt kenarları paralel değilse, o zaman bunların kesişim noktaları bir doğrudadır. Thales Teoremini kullanarak Pappus bu sonucu kanıtlar.

Proklos (412–485)

Öklid’in Elemanları Kitabı I üzerine Yorum

Askalonlu Eutokios (480–540)

Arşimet’in Küre ve Silindir Hakkında eserinin bir yorumunda Eutokios, verilen iki uzunluğun iki orantılı ortalamasını bulmak için, yukarıda verdiğimiz Menaihmos’unki de dahil, birkaç yöntem vermiştir.

Ebû Ca’fer Muhammed bin Mûsâ el-Hârizmî (780–850)

Kuadratik denklemlerin pozitif çözümlerini vermişti, örneğin x² + 10x = 39 denkleminin çözümü 3’tür.

Ömer Hayyam (1048–1131)

Koni kesitleri ile kübik denklemlerin çözümlerini vermişti. Örneğin

denklemíni çözmek için, sırasıyla

denklemleri tarafından tanımlanmış parabolün ve hiperbolün kesim noktasını kullanabiliriz, çünkü denklemlerden

ve bu denklem, çözülecek denkleme denktir.

Girard Desargues (1596–1650)

Desargues Teoreminde iki üçgenin köşelerini sırasıyla bağlayan üç doğru bir noktada kesişir. Kullanacağımız durumda iki kenar, sırasıyla iki kenara paralel ise, o zaman kalan kenarlar da birbirine paraleldir.

Bu durumda Thales Teoremi, oranların tanımı olarak alınabilir.

Eğer Desargues Teoreminde verilen üçgenlerin kenarları paralel değilse, o zaman kenarların sırasıyla geçtiği üç nokta bir doğrudadır.

René Descartes (1596–1650)

La Géométrie, 1637

Blaise Pascal (1623–1662)

Pascal Teoremi. Bir altıgenin köşeleri bir çemberde ise, o zaman karşıt kenarların kesişim noktaları bir doğrudadır.

Sonuç olarak bir altıgenin köşeleri bir koni kesitinde ise, o zaman karşıt kenarların kesişim noktaları bir doğrudadır.

Richard Dedekind (1831–1916)

Arşimet Postulatı varsayıldığında, herhangi A ve B uzunluğu, pozitif kesirli sayılar doğrusunun bir kesimini tanımlar. Eğer cA < dB ise, o zaman c/d, kesimin sol parçasındadır; diğer durumda, sağ parçadadır.

Dedekind,

• Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872: Süreklilik ve irrasyonel sayılar) adlı eserde, pozitif gerçel sayıların, kesimler olarak tanımlanabildiğini göstermiştir.
• Was sind und was sollen die Zahlen? (1887: Sayılar nedir ve ne işe yararlar?) adlı eserin önsözünde, uzunluklar kullanılmadan kesimlerin (ve sonuç olarak gerçel sayıların) tanımlanabildiğini belirttir.

David Hilbert (1862–1943)

Grundlagen der Geometrie (1899: Geometrinin temelleri) adlı eserde Hilbert, Öklid düzlemleri için postulatlar vermiştir ve bunları kullanarak yukarıdaki gibi bir Öklid cismi elde etmiştir.

Gerhard Hessenberg (1874–1925)

“Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen” (1905: Pascal Teoreminden Desargues Teoreminin bir kanıtı) adlı makalede Hessenberg, bizim Pappus Teoremi dediğimiz teoremi üç kere kullanarak Desargues Teoremini kanıtlamıştır.

Michael Artin (1934’te doğdu)

Geometric Algebra (1957) kitabında Artin, Desargues Teoreminin doğru olduğu bir afin düzlemde, oranların bir “cismi” oluşturduğunu göstermişti, ama bu cisimde çarpma değişmeli olmayabilir. Çarpmanın değişmeli olması için gerek ve yeter bir koşul, verilen afin düzlemde Pappus Teoreminin doğru olmasıdır.