Bahar 2013

MAT 216 : Geometri ve Cebir

Genel Bilgi.

Bu ders Matematik Bölümü öğrencilerinin aldıkları ilk soyut cebir dersidir. Soyut cebir dersleri, birçok Matematik lisans öğrencisinin anlamakta en çok zorluk çektiği ders olmaktadır. Bu nedenle, standart soyut cebir derslerinden farklı olarak, bu derste öğrencilerimizi soyut cebirin kavramları ile geometri aracılığı ile tanıştırmayı hedefledik. Böylece, öğrencilerimiz soyut cebirin temel kavram ve teoremlerini öğrenirken, aynı zamanda geometri ve cebirin ilişkisini de görme fırsatını bulacaklardır.
Ders haftada 4 saat teorik, 2 saat uygulama olarak işlenecektir. Teorik saatleri Ayşe Berkman, uygulama saatlerini Neslihan Girgin yapacaktır.

Ders saatleri. Salı 9.00-10.50 D-2, Çarşamba 9.00-10.50 D-1 (uygulama saati), Cuma 12.00-13.50 D-2.

Kitaplar

Sınav Tarihleri. Quizler: 2. hafta, 5. hafta, 9. hafta, 11. hafta (4 x 5 = 20 puan)
Ara sınavlar: 27 Mart, 8 Mayıs 2013 (2 x 25 = 50 puan)
Final: 28 Mayıs 2013, Saat 9.00 (30 puan)
En fazla bir ara sınav veya quiz telafisine girilebilir, bunun için önceden izin almak gereklidir. Ara sınav ve quiz telafi sınavları aynı gün yapılacaktır. Finalin telafisi bütünleme sınavıdır.

Sınıfta Yapılanlar/Yapılacaklar.
1. hafta: Simteriyi tanımlamaya çalıştık. Eşkenar üçgenin ve karenin simetrilerini bulduk. Tüm düzgün çokgenlerin simetrilerini tahmin etmeye çalıştık. Dikdörtgenin, satranç tahtasının, oklu çokgenlerin simetrilerini bulduk. Tetrahedronun döngüsel simetrilerini bulduk. Oklu altıgenin tüm simetrilerinin bir elemanın kuvvetleri olarak yazılabildiğini gördük. Ancak, eşkenar üçgenin simetrileri arasında böyle bir eleman olmadığını keşfettik, ama tüm simetrileri kuvvetlerinin çarpımı olarak veren iki eleman bulduk. Eşkenar üçgenin tüm simetrilerinin çarpım tablosunu yaptık ve her satırda ve sütunda her elemanın tek bir defa yer aldığını gördük. Buna "sudoku özelliği" dedik. :)
2. hafta: Tetrahedronun karşılıklı kenarlarının orta noktalarından geçen simetri eksenleri etrafındaki döndürmelerin çarpım tablosunu yaptık. Burda da sudoku özelliğine rastladık. Bir çarpım tablosunda sudoku özelliğinin olması için gerekli dört koşul bulduk, bunlara grup aksiyomları dedik. Toplamaya ve çarpmaya göre grup örnekleri bulduk. Grup olmayan örnekler de bulduk. Altgrup olan ve olmayan örnekleri inceledik. Çarpmaya göre Z_n\{0} kümesinin bir grup olması için gerek ve yeter koşulun n'nin asal olması olduğunu kanıtladık. (Bunun için sayılar kuramından bazı teoremleri hatırlamamız gerekti.)
3. hafta: Z_n^*={0< a< n|obeb(a,n)=1} kümesinin çarpmaya göre grup olduğunu kanıtladık. Z₅^* ve Z₈^* ile birlikte 4 elemanlı 6 "farklı" grup bildiğimizi farkettik. Bunların çarpım tablolarını karşılaştırdık ve bazılarının "hemen hemen" aynı olduğunu gördük. Bu tip gruplara izomorfik dedik. Bu sefer, n x n matrislerde tersi olmayan elemanları (yani determinantı 0 olanları) atarak, GL_n(R) grubunu tanımladık. Bu grubun çeşitli altkümelerinin grup olup olmadığını tartıştık. İzomorfizma örnekleri tartışıldı.
4. hafta: İzomorfizmalar neleri korur, neleri korumaz? Elemanların ürettiği altgruplar. Devirli gruplar. Elemanların basamakları (mertebeleri).
5. hafta: Geçen haftanın konularına devam. Permütasyon gruplarına giriş.
6. hafta: Permütasyon gruplarında üreteçler, eşlenikler. Alterne gruplar. Tetrahedronun simetrileri grubu, kübün döngüsel simetrileri grubu.
7. hafta: Sınava hazırlık için problem çözümü. Sınav. Platonik cisimler, duallik, dodekahedronun döngüsel simetri grubu.
8. hafta: Direkt çarpımlar. Kübün ve dodekahedronun simetri grupları. Matris grupları, ortogonal grup.
9. hafta: O_2(R) ve O_3(R) gruplarının elemanlarının sınıflandırılması.
10. hafta: Kosetler, Lagrange Teoremi. Kosetleri çarpabilir miyiz? İyi tanımlı işlemler.
11. hafta (1 saat) Normal altgruplar.
12. hafta (5 saat) Bölüm grupları. Homomorfizmalar.
13. hafta Sınava hazırlık. İzomorfizma teoremleri, karşılıklılık teoremi.
14. hafta Sylow teoremleri ve uygulamaları.

Kitaptan Alıştırmalar

Sorular. Alıştırmalar I, Alıştırmalar II, Alıştırmalar III, Alıştırmalar IV.

Güncelleme: 20 Mayıs 2013
Hazırlayan: Ayşe Berkman