Teori zincirleri

David PIERCE

Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Matematik Bölümü, Bomonti, Şişli 34380, İstanbul

dpierce@msgsu.edu.tr

Özet

Bir cismin cebirsel kapanışı, cisimler zincirinin bir bileşimidir. Bu bileşim, bir cisimdir, çünkü cisim aksiyomları, ∀∃ biçimindedir, örneğin ∀x ∃y (x = 0∨xy = 1). İki-boyutlu vektör uzayları aksiyomları, ∀∃ biçiminde olamaz, çünkü bir 2-boyutlu vektör uzayları zincirinin bileşimi, 1-boyutlu olabilir [8]. Ters olarak, eğer bir teorinin modelleri zincirinin her bileşimi, bu teorinin modeliyse, bu teoriye ∀∃ aksiyomlar verilebilir [1, 4]. Örneğin sadece çarpma için bir işaret kullanarak bile grup teorinin aksiyomları, ∀∃ biçiminde yazılabilir.

Bildiğim kadarı ile, teori zincirleri araştırmaları, Özcan Kasal [3] ve (bağımsız olarak) Alice Medvedev [5] tarafından başlatılmıştır. T_{0} ⊆ T_{1} ⊆ T_{2} ⊆ ⋯, bir teoriler zinciri olsun. Eğer her T_{k} teorisi, modellerine göre tam (model complete) veya istikrarlı (stable) ise, ⋃_{k∈ω} T_{k} bileşimi de aynı özelliği taşır [6]. Ama her T_{k} teorisi çok istikrarlı (superstable) iken, zincirin bileşimi çok istikrarlı olmayabilir [6]; ve her T_{k} teorisinin model arkadaşı (model companion) olurken zincirin bileşiminin model arkadaşı olmayabilir [2]. İnceleyeceğimiz örneklerde T_{k}, ya k-konumlu lineer bağımsızlık işaretiyle vektör uzayları teorisi [8], ya da k tane değişmeli türevleme işaretiyle cisimler teorisidir [7]. Her durumda, modellerine göre tam ve istikrarlı olan yeni bir teori çıkar [2].

2010 AMS Konu Sınıflandırılması: 03C10, 03C60, 12H05, 13N15 Anahtar Kelimeler: chain of structures, chain of theories, model complete theory, stable theory.

Kaynaklar

[1] Chen Chung Chang, On unions of chains of models, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 120–127. MR MR0103812 (21 #2576)

[2] Ö. Kasal and D. Pierce, Chains of Theories and Companionability, ArXiv e-prints

   (2013), arXiv:1303.6759 [math.LO].

[3] Özcan Kasal, Model theory of derivation spaces, Ph.D. thesis, Middle East Technical University, Ankara, February 2010.

[4] Jerzy Łoś and Roman Suszko, On the extending of models (IV): Infinite sums of models, Fund. Math. 44 (1957), 52–60. MR MR0089813 (19,724c)

[5] Alice Medvedev, ℚACFA, Talk given at Recent Developments in Model Theory,

   Oléron, France, http://modeltheory2011.univ-lyon1.fr/abstracts.html, June

2011.

[6]  ,  ℚACFA,  preprint,  http://math.berkeley.edu/~alice/
   grouplessqacfa.pdf, November 2012.

[7] David Pierce, Fields with several commuting derivations, ArXiv e-prints (2007), arXiv:0708.2769 [math.LO], to appear in the Journal of Symbolic Logic.

[8] , Model-theory of vector-spaces over unspecified fields, Arch. Math. Logic 48 (2009), no. 5, 421–436. MR MR2505433