\documentclass[%
version=last,%
%%%%%%% For notes version %%%%%
%a5paper,%
%10pt,%
%%%%%%%%%% For slides version %%%%%
25pt,%
landscape,%
%titlepage,%
%%%%%%%%%%%%
twoside,%
reqno,%
parskip=half,%
draft=true,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[turkish]{babel}
\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{relsize}
\usepackage{hfoldsty}
\setlength{\parindent}{0pt}

%\newenvironment{comment}{\hrulefill\par}{}
\usepackage{verbatim}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,url,upgreek}
\usepackage{bm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{lemma}{Lemma}
\newtheorem*{theorem}{Teorem}
\newtheorem*{example}{\"Ornek}

\newcommand{\sig}{\mathscr S}

\newcommand{\Exists}[1]{\exists{#1}\;}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall{#1}\;}

\newcommand{\DF}{\operatorname{TC}}
\newcommand{\DCF}{\operatorname{TKC}}

\newcommand{\VS}{\operatorname{VU}}
\newcommand{\VSns}{\VS_n{}\!^*}

\newcommand{\included}{\subseteq}
\newcommand{\nincluded}{\nsubseteq}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\begin{document}
\title{Teori zincirleri}
\author{David Pierce}
\date{Diyarbak\i r, Eyl\"ul, 2013}
\publishers{Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
\url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}
}

\maketitle

\begin{comment}
Konum, modeller kuram\i d\i r.

Teori zincirleri hakk\i nda konu\c saca\u g\i m.

Yar\i m y\"uzy\i l \"once, modeller kuramc\i lar\i, \emph{yap\i} zincirlerini ara\c st\i r\i yorlard\i.

\"Orne\u gin bir gruplar zincirine bakal\i m.
\end{comment}

\newpage

E\u ger
\begin{equation}
  (G_1,*_1)\included
  (G_2,*_2)\included
    (G_3,*_3)\included\dotsb
\end{equation}
zincirinde her $(G_k,*_k)$ yap\i s\i\ bir grup ise, o zaman
\begin{equation}
  \bigcup_{k=1}^{\infty}(G_k,*_k)
\end{equation}
bile\c simi de bir gruptur, dolay\i s\i yla, sadece $*$ i\c saretini kullanarak, grup aksiyomlar\i\ $\forall\exists$ bi\c ciminde yaz\i labilir (Chang 1959; \L o\'s--Suszko 1957).
Asl\i nda
\begin{equation}\label{group-ax}
\left.
\begin{gathered}
	\Forall x\Forall y\Forall zx*(y*z)=(x*y)*z,\\
	\Forall x\Forall y\Exists z(z*x=y),\\
	\Forall x\Forall y\Exists z(x*z=y)
\end{gathered}
\right\}
\end{equation}
bi\c ciminde yaz\i labilir.

\begin{comment}
Bir grupta,
\begin{compactenum}[i)]
\item
birle\c smeli \c carpma vard\i r,
\item
birim eleman\i\ vard\i r,
\item
her eleman\i n tersi vard\i r.
\end{compactenum}
Bu \"ozellikler, sadece \c carpma i\c sareti ile yaz\i labilir.  Son iki \"ozellik,
\begin{equation*}
\Exists x\Forall y\Forall z\Exists w(x*y=y\land w*z=x)
\end{equation*}
c\"umlesi ile yaz\i labilir.  Bu c\"umle, $\exists\forall\exists$ (``tikel-t\"umel-tikel'') bi\c cimindedir.

Ama her gruplar zincirinin bile\c simi h\^al\^a bir gruptur, dolay\i s\i yla, Chang--\L o\' s--Suszko Teoremine g\"ore, sadece bir \c carpma i\c sareti kullanarak, grup aksiyomlar\i\ $\forall\exists$ (``t\"umel-tikel'') bi\c ciminde yaz\i labilir.

Asl\i nda bu aksiyomlar, perdedeki \eqref{group-ax} numaral\i\ sat\i rdaki gibi olabilir.
\end{comment}

\newpage

\c Simdi $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots)$, bir $K$ cismi \"uzerinde cebirsel olarak ba\u g\i ms\i z olsun, her $n$ i\c cin
\begin{align}
K_n&=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n),&
V_n&=K_n+K_n\alpha_{n+1}
\end{align}
olsun.  Her $(V_n,K_n)$ ikilisi, al\i\c s\i lm\i\c s i\c saretlerle
bir vekt\"or uzay\i\ olarak d\"u\c s\"un\"uls\"un.  O zaman
\begin{gather}
	(V_1,K_1)\included(V_2,K_2)\included(V_3,K_3)\included\dotsb,\\
	\dim(V_n,K_n)=2,\\
	\dim\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}(V_n,K_n)\right)=1.
\end{gather}
Sonu\c c olarak $2$-boyutlu vekt\"or uzaylar\i\ teorisinin $\forall\exists$ bi\c cimindeki aksiyomlar\i\ yoktur.

\begin{comment}
  \c Simdi vekt\"or uzaylar\i na bakal\i m.

Perdede g\"or\"uld\"u\u g\"u gibi bir iki-boyutlu vekt\"or uzaylar\i\ zincirinin bile\c simi, bir-boyutlu bir vekt\"or uzay\i\ olabilir.

Sonu\c c olarak iki boyutlu vekt\"or uzaylar\i n\i n aksiyomlar\i, t\"umel-tikel bi\c ciminde yaz\i lamaz.

Burada al\i\c s\i lm\i\c s i\c sareteri kullan\i yoruz:
\begin{compactitem}
  \item
$\boldsymbol+$, $\boldsymbol-$, $\bm0$ i\c saretleri, vekt\"orler i\c cin,
\item
$+$, $-$, $\cdot$, $0$, $1$ i\c saretleri, cisim i\c cin,
\item
$*$, vekt\"orler \"uzerinde cismin etkisi i\c cin.
\end{compactitem}
Paralellik i\c sareti eklenirse, iki boyutlu vekt\"or uzaylar\i n\i n aksiyomlar\i, t\"umel-tikel bi\c ciminde yaz\i labilir.  \"Orne\u gin aksiyomlar\i n biri,
\begin{equation*}
\Forall{\vec x}\Exists{\vec y}\lnot(\vec x\parallel\vec y)
\end{equation*}
olabilir.
Paralellik, iki konumlu do\u grusal ba\u g\i ml\i l\i kt\i r.
\end{comment}

\newpage

Her $k$ i\c cin \fbox{$B_k$,} $k$-konumlu do\u grusal ba\u g\i ml\i l\i k i\c sareti olsun.

Her $n$ i\c cin $B_2$, \dots, $B_n$ i\c saretleri ve al\i\c s\i lm\i\c s i\c saretlerle \fbox{$\VS_n$,} vekt\"or uzaylar\i\ teorisi olsun.  \"Oyleyse
\begin{equation}\label{vs-chain}
\VS_1\included\VS_2\included\VS_3\included\VS_4\included\cdots
\end{equation}
\fbox{$\VSns$,} $\VS_n$ teorisinin cebirsel kapal\i\ cisim \"uzerindeki $n$-boyutlu modelleri teorisi olsun.
O zaman $\VS_n$ ile $\VSns$ teorilerinin $\forall\exists$ aksiyomlar\i\ vard\i r.

\begin{lemma}[P.~2009]
$[L:K]\geq n+1$ ise
  \begin{equation}
    (K^{n+1},K,B_n)\rightarrowtail(L^n,L,B_n).
  \end{equation}
\end{lemma}

\begin{theorem}[P.~2009]
$\VSns$ teorisi, $\VS_n$ teorisinin \textbf{model arkada\c s\i d\i r} (\emph{model companion}), yani $\VS_n$ teorisinin varl\i ksal kapal\i\ modelleri, $\VSns$ teorisinin modelleridir.  
Bu teorinin tamamlan\i\c slar\i, say\i labilir istikrarl\i d\i r (\emph{$\upomega$-stable}).
\end{theorem}

\enlargethispage{1\baselineskip}
%\thispagestyle{empty}

\begin{comment}
Perdeki gibi
\begin{inparaitem}
\item
$B_k$, $k$-konumlu do\u grusal ba\u g\i ml\i l\i k i\c sareti olsun
ve 
\item
$\VS_n$, vekt\"or uzaylar\i\ teorisi olsun, ama bu teori,
$k\leq n$ ko\c sulunu sa\u glayan $B_k$ i\c saretleri kullans\i n.
\end{inparaitem}
\"Oyleyse perdedeki \eqref{vs-chain} numaral\i\ sat\i rdaki teoriler zincirini elde ederiz.  

$\VS_n$ teorisinin her modeli, cismi cebirsel kapal\i\ olan bir modeline g\"om\"ule\-bilir.  O zaman, perdedeki lemmaya g\"ore, $\VS_n$ teorisinin her modeli, \emph{$n$ boyutlu,} cismi cebirsel kapal\i\ olan bir modeline g\"om\"ulebilir.  \"Oyle modellerin teorisi, $\VSns$ olsun.

Bu teorinin bir modeli \"uzerinde, tikel bir c\"umle daha b\"uy\"uk bir modelde do\u gru ise, zaten ilk modelde do\u grudur.  Yani $\VSns$ teorisinin modelleri, $\VS_n$ teorisinin \emph{varl\i ksal kapal\i\ modelleridir.}

Sonu\c c olarak $\VSns$ teorisi, $\VS_n$ teorisinin \emph{model arkada\c s\i d\i r.}

{\smaller $\VSns$ teorisinin tamamlan\i\c slar\i, cisim i\c cin bir karakteristik gerektirilerek elde edilir.  Bu tamamlan\i\c slar\i, say\i labilir istiklarl\i d\i r.  \.Istikrarl\i l\i k, bir teorinin g\"uzel bir \"ozelli\u gidir.  Say\i labilir istikrarl\i l\i k, \c cok g\"uzel bir \"ozelliktir.  Bu kavramlar\i\ tan\i mlamayaca\u g\i m.  Ama sabit karakteristikte cebirsel kapal\i\ cisimler teorisi say\i labilir istikrarl\i d\i r, \c c\"unk\"u say\i labilir bir cisim \"uzerinde sadece say\i labilir sonsuzlukta varyeteler (veya asal idealler) tan\i mlanabilir.}
\end{comment}

\newpage

Bir $T$ teorisinin model arkada\c s\i\ varsa, $T^*$ ile g\"osterilsin.

\begin{theorem}[Medvedev 2011]
$T_1\included T_2\included T_3\included\dotsb$ olsun.
\begin{compactenum}[1.]
\item
Her $T_n$ teorisinin model arkada\c s\i\ varsa, ve
\begin{equation}\label{eqn:c}
T_1{}^*\included T_2{}^*\included T_3{}^*\included\dotsb
\end{equation}
ise, o zaman 
\begin{equation}\label{eqn:d}
\biggl(\bigcup_{n=1}^{\infty}T_n\biggr)^*
=\bigcup_{n=1}^{\infty}T_n{}^*.
\end{equation}
\item
Her $T_n$ tam ve istikrarl\i\ ise bile\c simleri de tam ve istikrarl\i d\i r.
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{example}[Kasal--P. 2013]
$\VS_1\included\VS_2\included\VS_3\included\dotsb$, ve bile\c simlerinin 
model arkada\c s\i\ vard\i r, ama
\begin{equation}
\biggl(\bigcup_{n=1}^{\infty}\VS_n\biggr)^*
\neq\bigcup_{n=1}^{\infty}\VSns.
\end{equation}
\end{example}

\begin{comment}
Bir $T$ teorisinin model arkada\c s\i\ olmayabilir, ama varsa, tek bir model arkada\c s\i\ vard\i r.  O halde bu model arkada\c s\i\ $T^*$ ile g\"osterilsin.

\c Simdi Alice Medvedev'in teoremindeki gibi $T_n$ teorileri, bir zincir olu\c stursun.  Her $T_n$ teorisinin $T_n{}^*$ model arkada\c s\i\ varsa, \emph{ve} bu model arkada\c slar\i, \eqref{eqn:c} numaral\i\ sat\i rdaki gibi bir zinciri olu\c sturursa, o zaman $T_n$ teorileri zincirinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ vard\i r, ve bu model arkada\c s\i, \eqref{eqn:d} numaral\i\ sat\i rdaki gibi, $T_n{}^*$ teorilerinin bile\c simidir.

Burada \eqref{eqn:c} sat\i rdaki ko\c sul \"onemlidir.  Bu ko\c sul sa\u glanmazsa (yani $T_n{}^*$ teorisi, $T_{n+1}{}^*$ teorisi taraf\i ndan i\c cerilmezse), bazen $T_n$ teorilerinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ vard\i r, bazen yoktur.

Her $T_n$ teorisi, $\VS_n$ teorisi ise, bile\c simlerinin model arkada\c s\i\ vard\i r, ama $\VSns$ teorilerinin bile\c simi de\u gildir: olamaz, \c c\"unk\"u bu bile\c sim, tutars\i zd\i r.
\end{comment}

\newpage

$\DF^m$, $m$ tane de\u gi\c smeli t\"uretmesi (\emph{derivation}) olan cisimler teorisi olsun.  Cisimlerin karakteristi\u gi $p$ ise, teori $\DF_p^m$ olsun.

\begin{theorem}[P. 2007]
Her $\DF^m$ teorisinin $\DCF^m$ model arkada\c s\i\ vard\i r.  
\"Ozel olarak
her $\DF_0^m$ teorisinin $\DCF_0^m$ model arkada\c s\i\ vard\i r, ve bu teori tam ve say\i labilir istikrarl\i d\i r.  
\end{theorem}

\begin{theorem}[Kasal--P. 2013]
\mbox{}
\begin{compactenum}
\item
$\DCF_0^m\included\DCF_0^{m+1}$, dolay\i s\i yla
\begin{equation}
\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}\DF_0^m\right)^*=\bigcup_{m=1}^{\infty}\DCF_0^m,
\end{equation}
ve bu teori tam ve istikrarl\i d\i r.  Say\i labilir istikrarl\i\ de\u gildir, hatta \c cok istikrarl\i\ bile de\u gildir.
\item
$p>0$ ve asal ise $\bigcup_{m=1}^{\infty}\DF_p^m$ bile\c siminin model arkada\c s\i\ yoktur.
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{comment}
\c Simdi \emph{t\"urevlemeli cisimlere} bakal\i m.  Burada \emph{t\"urevleme,} t\"urev alma i\c slemidir, ama tamamen cebirseldir.

Her $m$ i\c cin $\DF^m$, $m$ tane de\u gi\c smeli t\"urevlemesi olan cisimler teorisi olsun.  Bu teorinin model arkada\c s\i\ vard\i r.  Bu model arkada\c s\i, $\DCF^m$ ile g\"osterilir; modellerine \emph{T\"urevlemeli olarak Kapal\i\ Cisimler} denebilir.

\emph{Pozitif} bir $p$ karakteristi\u ginde $\DF_p^m$ teorilerinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ yoktur.

Karakteristik s\i f\i r ise, $\DCF_0^m$ teorisi, $\DCF_0^{m+1}$ teorisi taraf\i ndan i\c cerilir, dolay\i s\i yla, Medvedev'in Teoremine g\"ore, $\DF_0^m$ teorilerinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ vard\i r.

{\smaller Her $\DCF_0^m$ teorisi tam ve say\i labilir istikrarl\i d\i r, dolay\i s\i yla bile\c simleri tam ve istikrarl\i d\i r; ama say\i labilir istikrarl\i\ de\u gildir.

Her say\i labilir istikrarl\i\ teori, \emph{\c cok} istikrarl\i d\i r; ama tersi do\u gru olmayabilir.

Asl\i nda $\DCF_0^m$ teorilerinin bile\c simi \c cok istikrarl\i\ de\u gildir.}
\end{comment}

\end{document}
