\documentclass[%
version=last,%
%%%%%%% For notes version %%%%%
a5paper,%
10pt,%
%%%%%%%%%% For slides version %%%%%
%25pt,%
%landscape,%
%titlepage,%
%%%%%%%%%%%%
twoside,%
reqno,%
parskip=half,%
draft=true,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[turkish]{babel}
\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{relsize}
\usepackage{hfoldsty}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newenvironment{comment}{\hrulefill\par}{}
%\usepackage{verbatim}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,url,upgreek}
\usepackage{bm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{lemma}{Lemma}
\newtheorem*{theorem}{Teorem}
\newtheorem*{example}{\"Ornek}

\newcommand{\sig}{\mathscr S}

\newcommand{\Exists}[1]{\exists{#1}\;}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall{#1}\;}

\newcommand{\DF}{\operatorname{TC}}
\newcommand{\DCF}{\operatorname{TKC}}

\newcommand{\VS}{\operatorname{VU}}
\newcommand{\VSns}{\VS_n{}\!^*}

\newcommand{\included}{\subseteq}
\newcommand{\nincluded}{\nsubseteq}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\begin{document}
\title{Teori zincirleri}
\author{David Pierce}
\date{Diyarbak\i r, Eyl\"ul, 2013}
\publishers{Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
\url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}
}

\maketitle

\begin{comment}
[Slaytlar ve notlar, 20 dakika konu\c sma i\c cin.]

Konum, modeller kuram\i d\i r.

Benim i\c cin modeller kuram\i, teorilerin modelleri olarak yap\i lar\i n ara\c st\i r\i lmas\i d\i r.

Teori \emph{zincirleri} hakk\i nda konu\c saca\u g\i m.

Yar\i m y\"uzy\i l \"once, baz\i\ modeller kuramc\i lar\i, \emph{yap\i} zincirlerini ara\c st\i r\i yorlard\i.

\"Orne\u gin bir gruplar zincirine bakal\i m.
\end{comment}
\newpage

E\u ger
\begin{equation}
  (G_1,*_1)\included
  (G_2,*_2)\included
    (G_3,*_3)\included\dotsb
\end{equation}
zincirinde her $(G_k,*_k)$ yap\i s\i\ bir grup ise, o zaman
\begin{equation}
  \bigcup_{k=1}^{\infty}(G_k,*_k)
\end{equation}
bile\c simi de bir gruptur, dolay\i s\i yla, sadece $*$ i\c saretini kullanarak, grup aksiyomlar\i\ $\forall\exists$ bi\c ciminde yaz\i labilir (Chang 1959; \L o\'s--Suszko 1957).
Asl\i nda
\begin{equation}\label{group-ax}
\left.
\begin{gathered}
	\Forall x\Forall y\Forall zx*(y*z)=(x*y)*z,\\
	\Forall x\Forall y\Exists z(z*x=y),\\
	\Forall x\Forall y\Exists z(x*z=y)
\end{gathered}
\right\}
\end{equation}
bi\c ciminde yaz\i labilir.

\begin{comment}
Bir grubun 3 tane \"ozelli\u gi var:
\begin{compactenum}[i)]
\item
birle\c smeli \c carpma vard\i r,
\item
birim eleman\i\ vard\i r,
\item
her eleman\i n tersi vard\i r.
\end{compactenum}
Bu \"ozellikler, sadece \c carpma i\c sareti ile yaz\i labilir.  Son iki \"ozellik,
\begin{equation*}
\Exists x\Forall y\Forall z\Exists w(x*y=y\land w*z=x)
\end{equation*}
c\"umlesi ile yaz\i labilir.  Bu c\"umle, $\exists\forall\exists$ (``tikel-t\"umel-tikel'') bi\c cimindedir.

Ama her gruplar zincirinin bile\c simi h\^al\^a bir gruptur, dolay\i s\i yla, Chang--\L o\' s--Suszko Teoremine g\"ore, sadece bir \c carpma i\c sareti kullanarak, grup aksiyomlar\i\ $\forall\exists$ (``t\"umel-tikel'') bi\c ciminde yaz\i labilir.

Asl\i nda bu aksiyomlar, perdedeki \eqref{group-ax} numaral\i\ sat\i rdaki gibi olabilir.
\end{comment}

\newpage

\c Simdi $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots)$, bir $K$ cismi \"uzerinde cebirsel olarak ba\u g\i ms\i z olsun, her $n$ i\c cin
\begin{align}
K_n&=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n),&
V_n&=K_n+K_n\alpha_{n+1}
\end{align}
olsun.  Her $(V_n,K_n)$ ikilisi, al\i\c s\i lm\i\c s i\c saretlerle
bir vekt\"or uzay\i\ olarak d\"u\c s\"un\"uls\"un.  O zaman
\begin{gather}
	(V_1,K_1)\included(V_2,K_2)\included(V_3,K_3)\included\dotsb,\\
	\dim(V_n,K_n)=2,\\
	\dim\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}(V_n,K_n)\right)=1.
\end{gather}
Sonu\c c olarak $2$-boyutlu vekt\"or uzaylar\i\ teorisinin $\forall\exists$ bi\c cimindeki aksiyomlar\i\ yoktur.

\begin{comment}
  \c Simdi vekt\"or uzaylar\i na bakal\i m.

Perdede g\"or\"uld\"u\u g\"u gibi bir iki-boyutlu vekt\"or uzaylar\i\ zincirinin bile\c simi, bir-boyutlu bir vekt\"or uzay\i\ olabilir.

Sonu\c c olarak iki boyutlu vekt\"or uzaylar\i n\i n aksiyomlar\i, t\"umel-tikel bi\c ciminde yaz\i lamaz.

Burada al\i\c s\i lm\i\c s i\c sareteri kullan\i yoruz:
\begin{compactitem}
  \item
$\boldsymbol+$, $\boldsymbol-$, $\bm0$ i\c saretleri, vekt\"orler i\c cin,
\item
$+$, $-$, $\cdot$, $0$, $1$ i\c saretleri, cisim i\c cin,
\item
$*$, vekt\"orler \"uzerinde cismin etkisi i\c cin.
\end{compactitem}
Paralellik i\c sareti eklenirse, iki boyutlu vekt\"or uzaylar\i n\i n aksiyomlar\i, t\"umel-tikel bi\c ciminde yaz\i labilir.  \"Orne\u gin aksiyomlar\i n biri,
\begin{equation*}
\Forall{\vec x}\Exists{\vec y}\lnot(\vec x\parallel\vec y)
\end{equation*}
olabilir.
Paralellik, iki konumlu do\u grusal ba\u g\i ml\i l\i kt\i r.
\end{comment}

\newpage

Her $k$ i\c cin \fbox{$B_k$,} $k$-konumlu do\u grusal ba\u g\i ml\i l\i k i\c sareti olsun.

Her $n$ i\c cin $B_2$, \dots, $B_n$ i\c saretleri ve al\i\c s\i lm\i\c s i\c saretlerle \fbox{$\VS_n$,} vekt\"or uzaylar\i\ teorisi olsun.  \"Oyleyse
\begin{equation}\label{vs-chain}
\VS_1\included\VS_2\included\VS_3\included\VS_4\included\cdots
\end{equation}
\fbox{$\VSns$,} $\VS_n$ teorisinin cebirsel kapal\i\ cisim \"uzerindeki $n$-boyutlu modelleri teorisi olsun.
O zaman $\VS_n$ ile $\VSns$ teorilerinin $\forall\exists$ aksiyomlar\i\ vard\i r.

\begin{lemma}[P.~2009]
$[L:K]\geq n+1$ ise
  \begin{equation}
    (K^{n+1},K,B_n)\rightarrowtail(L^n,L,B_n).
  \end{equation}
\end{lemma}

\begin{theorem}[P.~2009]
$\VSns$ teorisi, $\VS_n$ teorisinin \textbf{model arkada\c s\i d\i r} (\emph{model companion}), yani $\VS_n$ teorisinin varl\i ksal kapal\i\ modelleri, $\VSns$ teorisinin modelleridir.  
Bu teorinin tamamlan\i\c slar\i, say\i labilir istikrarl\i d\i r (\emph{$\upomega$-stable}).
\end{theorem}

\enlargethispage{1\baselineskip}
%\thispagestyle{empty}

\begin{comment}
Perdedeki gibi
\begin{compactitem}
\item
$B_k$, $k$-konumlu do\u grusal ba\u g\i ml\i l\i k i\c sareti olsun
ve 
\item
$\VS_n$, vekt\"or uzaylar\i\ teorisi olsun, ama bu teori,
$k\leq n$ ko\c sulunu sa\u glayan $B_k$ i\c saretlerini kullans\i n.
\end{compactitem}
\"Oyleyse perdedeki \eqref{vs-chain} numaral\i\ sat\i rdaki teoriler zincirini elde ederiz.  

$\VS_n$ teorisinin her modeli, cismi cebirsel kapal\i\ olan bir modeline g\"om\"ule\-bilir.  O zaman, perdedeki lemmaya g\"ore, $\VS_n$ teorisinin her modeli, \emph{$n$ boyutlu,} cismi cebirsel kapal\i\ olan bir modeline g\"om\"ulebilir.  \"Oyle modellerin teorisi, $\VSns$ ile g\"osterilsin.

Bu teorinin bir modeli \"uzerinde, niceleyicisiz bir form\"ul\"un daha b\"uy\"uk bir modelde \c c\"oz\"um\"u varsa, form\"ul\"un zaten ilk modelde \c c\"oz\"um\"u vard\i r.  Yani $\VSns$ teorisinin modelleri, $\VS_n$ teorisinin \emph{varl\i ksal kapal\i\ modelleridir.}

Sonu\c c olarak $\VSns$ teorisine, $\VS_n$ teorisinin \emph{model arkada\c s\i} denir.

\.Istikrarl\i l\i k hakk\i nda belki sonra konu\c saca\u g\i m.
\end{comment}

\newpage

Bir $T$ teorisinin model arkada\c s\i\ varsa, $T^*$ ile g\"osterilsin.

\begin{theorem}[Medvedev 2011]
$T_1\included T_2\included T_3\included\dotsb$ olsun.
\begin{compactenum}[1.]
\item
Her $T_n$ teorisinin model arkada\c s\i\ varsa, ve
\begin{equation}\label{eqn:c}
T_1{}^*\included T_2{}^*\included T_3{}^*\included\dotsb
\end{equation}
ise, o zaman 
\begin{equation}\label{eqn:d}
\biggl(\bigcup_{n=1}^{\infty}T_n\biggr)^*
=\bigcup_{n=1}^{\infty}T_n{}^*.
\end{equation}
\item
Her $T_n$ tam ve istikrarl\i\ ise bile\c simleri de tam ve istikrarl\i d\i r.
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{example}[Kasal--P. 2013]
$\VS_1\included\VS_2\included\VS_3\included\dotsb$, ve bile\c simlerinin 
model arkada\c s\i\ vard\i r, ama
\begin{equation}
\biggl(\bigcup_{n=1}^{\infty}\VS_n\biggr)^*
\neq\bigcup_{n=1}^{\infty}\VSns.
\end{equation}
\end{example}

\begin{comment}
Bir $T$ teorisinin model arkada\c s\i\ olmayabilir, ama varsa, tek bir model arkada\c s\i\ vard\i r.  O halde bu model arkada\c s\i\ $T^*$ ile g\"osterilsin.

\c Simdi Alice Medvedev'in teoremindeki gibi $T_n$ teorileri, bir zincir olu\c stursun.  Her $T_n$ teorisinin $T_n{}^*$ model arkada\c s\i\ varsa, \emph{ve} bu model arkada\c slar\i, \eqref{eqn:c} numaral\i\ sat\i rdaki gibi bir zinciri olu\c sturursa, o zaman $T_n$ teorileri zincirinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ vard\i r, ve bu model arkada\c s\i, \eqref{eqn:d} numaral\i\ sat\i rdaki gibi, $T_n{}^*$ teorilerinin bile\c simidir.

Burada \eqref{eqn:c} sat\i rdaki ko\c sul \"onemlidir.  Bu ko\c sul sa\u glanmazsa (yani $T_n{}^*$ teorisi, $T_{n+1}{}^*$ teorisi taraf\i ndan i\c cerilmezse), bazen $T_n$ teorilerinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ vard\i r, bazen yoktur.

\"Orne\u gin her $T_n$ teorisi, $\VS_n$ teorisi ise, bile\c simlerinin model arkada\c s\i\ vard\i r, ama $\VSns$ teorilerinin bile\c simi de\u gildir: olamaz, \c c\"unk\"u bu bile\c sim, tutars\i zd\i r.
\end{comment}

\newpage

$\DF^m$, $m$ tane de\u gi\c smeli t\"uretmesi (\emph{derivation}) olan cisimler teorisi olsun.  Cisimlerin karakteristi\u gi $p$ ise, teori $\DF_p^m$ olsun.

\begin{theorem}[P. 2007]
Her $\DF^m$ teorisinin $\DCF^m$ model arkada\c s\i\ vard\i r.  
\"Ozel olarak
her $\DF_0^m$ teorisinin $\DCF_0^m$ model arkada\c s\i\ vard\i r, ve bu teori tam ve say\i labilir istikrarl\i d\i r.  
\end{theorem}

\begin{theorem}[Kasal--P. 2013]
\mbox{}
\begin{compactenum}
\item
$\DCF_0^m\included\DCF_0^{m+1}$, dolay\i s\i yla
\begin{equation}
\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}\DF_0^m\right)^*=\bigcup_{m=1}^{\infty}\DCF_0^m,
\end{equation}
ve bu teori tam ve istikrarl\i d\i r.  Say\i labilir istikrarl\i\ de\u gildir, hatta \c cok istikrarl\i\ bile de\u gildir.
\item
$p>0$ ve asal ise $\bigcup_{m=1}^{\infty}\DF_p^m$ bile\c siminin model arkada\c s\i\ yoktur.
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{comment}
Son olarak \emph{t\"urevlemeli cisimlere} bakal\i m.  Burada \emph{t\"urevleme,} t\"urev alma i\c slemidir, ama tamamen cebirsel bir i\c slemdir.

Her $m$ i\c cin $\DF^m$, $m$ tane de\u gi\c smeli t\"urevlemesi olan cisimler teorisi olsun.  Perdedeki 1.\ teoreme g\"ore bu teorinin model arkada\c s\i\ vard\i r.  Bu model arkada\c s\i, $\DCF^m$ ile g\"osterilir; modellerine \emph{T\"urevlemeli olarak Kapal\i\ Cisimler} denebilir.

$\DF_p^m$ teorilerinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ yoktur.  Problem, pozitif karakteristiktedir.

Karakteristik s\i f\i r ise, $\DCF_0^m$ teorisi, $\DCF_0^{m+1}$ teorisi taraf\i ndan i\c cerilir, dolay\i s\i yla, Medvedev'in Teoremine g\"ore, $\DF_0^m$ teorilerinin bile\c siminin model arkada\c s\i\ vard\i r.
\end{comment}

\begin{comment}
  Perdede istikrarl\i l\i k kavram\i n\i\ g\"ord\"un\"uz.  Bu kavram tan\i mlamayaca\u g\i m.  Ama sabit bir karakteristikte cebirsel kapal\i\ cisimlerin teorisi tam ve \emph{say\i labilir} istikrarl\i d\i r, \c c\"unk\"u say\i labilir bir cisim \"uzerinde sadece say\i labilir sonsuzlukta varyeteler tan\i mlanabilir.  $\DCF_0^m$ teorileri tam ve say\i labilir istikrarl\i d\i r, dolay\i s\i yla bile\c simleri istikrarl\i d\i r; ama say\i labilir istikrarl\i\ de\u gildir.
\end{comment}
\end{document}
