\documentclass[%
version=last,%
a5paper,
10pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
twoside,%
%titlepage=true,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
parskip=half,%
draft=true,%
DIV=12,%
headinclude=true,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[polutonikogreek,turkish]{babel}

\raggedright

\usepackage%[headsepline]
{scrpage2}
\pagestyle{scrheadings}
\clearscrheadings
%\automark[section]{section} % this seems to be needed for \rightmark to work
%\manualmark
\rehead{Matematik}
\lohead{Paradokslar\i}
\ohead{\pagemark}

\usepackage{pstricks,pst-plot}

\usepackage{hfoldsty,url,multicol,verbatim}

\usepackage{moredefs,lips}

\usepackage[neverdecrease]%
{paralist}

\usepackage{relsize} % Here \smaller scales by 1/1.2; \relscale{X} scales by X

\usepackage{gfsneohellenic}
%\usepackage{gfsporson}
\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{\relscale{0.9}\textneohellenic{#1}}}
%\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{\relscale{0.9}\textporson{#1}}}

\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,upgreek}

\newcommand{\gn}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

\newcommand{\card}[1]{\lvert#1\rvert}
\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\newcommand{\PM}{\ensuremath{\mathrm{PM}}}

\newcommand{\Forall}[1]{\forall{#1}\;}
\newcommand{\Exists}[1]{\exists{#1}\;}

\newtheorem{theorem}{Teorem}

\newtheorem{paradox}{Paradoks}

\renewcommand{\theequation}{\fnsymbol{equation}}

\begin{document}
\title{Matematik Paradokslar\i}
\author{David Pierce}
\date{\today}
\publishers{\relscale{0.9}Matematik B\"ol\"um\"u\\
Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar Universitesi\\
\url{dpierce@msgsu.edu.tr}\\
\url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}}

\maketitle

\setlength\columnseprule{0.4pt}
\begin{multicols}2
  \tableofcontents
\end{multicols}

%\pagebreak
%\newpage

\section{Giri\c s}

\begin{compactitem}
  \item
$A$, ``$B$ c\"umlesi do\u grudur'' c\"umlesi olsun
\item
$B$, ``$A$ c\"umlesi yanl\i\c st\i r'' c\"umlesi olsun.
\end{compactitem}
O zaman $A$ yanl\i\c s olmal\i,
\c c\"unk\"u do\u gru ise,
o zaman $B$ do\u grudur,
ama $B$'ye g\"ore $A$ yanl\i\c st\i r.

Bununla beraber, benzer \c sekilde, $A$ do\u gru olmal\i,
\c c\"unk\"u yanl\i\c s ise,
o zaman $B$ yanl\i\c st\i r,
ama $B$'ye g\"ore $A$ yanl\i\c st\i r,
ve bu durumda $A$ do\u grudur.

B\"oylece bir \emph{paradoks} \c c\i kar.

\section{Paradoks s\"ozc\"u\u g\"u}

\textbf{Paradoks.}
\begin{inparaenum}[\bfseries 1]
\item
\fbox{K\"okle\c smi\c s inan\c clara ayk\i r\i\ olan d\"u\c s\"unce,}
ayk\i r\i\ kan\i.
\item
Kimi zaman \c sa\c s\i rtma amac\i\ g\"uden, ayk\i r\i\ duygu ve d\"u\c s\"unce.
\end{inparaenum}
\emph{E\c sanlaml\i\ (anlamda\c s)}: \textbf{kar\c s\i tlam} 
\cite{Puskulluoglu}.

\textbf{Ortodoks.}
\begin{inparaenum}[\bfseries 1]
  \item
\fbox{Kilisenin kat\i\ \"o\u gretisine uygun olan.}
\item
Ortodokslu\u gu benimsemi\c s olan (Hristiyan).
\end{inparaenum}

\textbf{\gr{D'oxa, hs, <h.}}
\fbox{D\"u\c s\"unce, inan\c c,} kan\i, yarg\i, h\"uk\"um;
\"o\u greti, doktrin;
temelsiz d\"u\c s\"unce;
varsay\i m, hipotez, faraziye;
\"un, \c s\"ohret.

\textbf{\gr{>Orj'os, 'h, 'on.}}
Ayakta, dik duran, \fbox{dik; 
do\u gru,} ger\c cek; 
yasaya, kanuna uygun; 
yasal, kanuni, me\c sru.

\gr{>Orj'os,}
\"Oklid'in ``do\u gru'' i\c cin kulland\i\u g\i\ s\"ozc\"ukt\"ur.

\textbf{\gr{Par'a}} (\emph{adv.}\ ve \emph{praep.}),
\begin{inparadesc}
  \item[(\emph{gen.}\ ile)] \fbox{yan\i na,} yak\i n\i na, yak\i n\i nda;
\item[(\emph{dat.}\ ile)] yan\i na, yak\i n\i na;
\item[(\emph{acc.}\ ile)] \fbox{-e do\u gru,} -- boyunca, -in yak\i n\i nda.
\end{inparadesc}

\textbf{\gr{Par'adoxos, os, on.}}
\fbox{Beklenenin aksine,}
ola\u gan\"ust\"u, 
ola\u gand\i\c s\i, 
al\i\c s\-\i lma\-m\i\c s, 
garip, 
tuhaf, 
acayip \cite{Celgin}.

\textbf{\gr{Paragraf'h, ~hs, <h,}} yana yaz\i lan \c sey.

\"Orne\u gin \P\ \emph{paragraf} i\c sareti!

\textbf{\gr{Par'allhlos, os, on,}}
paralel, ko\c sut.

\"Oklid'in 44.\ \"onermesi:
\begin{quote}
  Verilmi\c s bir do\u gru boyunca\\
verilmi\c s bir \"u\c cgene e\c sit\\
bir paralelkenar \emph{uygulamak} (\gr{parabale~in})\\
verilmi\c s bir d\"uzkenar a\c c\i da.
\end{quote}

\textbf{\gr{Parab'allw}}.  Atmak; emanet etmek, b\i rakmak; \lips;
yakla\c smak\lips

\textbf{\gr{Parabol'h, ~hs, <h,}} kar\c s\i la\c st\i rma \lips

Neden \textbf{parabol,} kesin bir e\u gridir?
%Analitik geometri dersinde g\"or\"unecektir.
Bir $y^2=\ell x$ denklemine g\"ore
$y$'deki kare,
taban olarak $\ell$'ye bir dikd\"ortgen uygulan\i rsa,
y\"uksekli\u gi $x$'dir.
\begin{center}
\psset{unit=15mm,plotpoints=200}
  \begin{pspicture}(0,-1)(4.081,1.732)
    \psplot{0}{3}{x sqrt}
\pspolygon(0,0)(3.414,0)(3.414,1.414)(2,1.414)(2,-1)(0,-1)
\psdots(0,0)(2,1.414)(2.5,1.581)
\uput[l](0,-0.5){$\ell$}
\uput[l](2,0.707){$y$}
\uput[u](1,0){$x$}
\pspolygon(0,0)(4.081,0)(4.081,1.581)(2.5,1.581)(2.5,-1)(0,-1)
  \end{pspicture}
\end{center}

\section{Yalanc\i\ paradoksu \"orne\u gi}

Tekrar \textbf{paradoks,}
k\"okle\c smi\c s inan\c clara ayk\i r\i\ olan d\"u\c s\"uncedir.

\textbf{K\"okle\c smi\c s inan\c c:}
Her c\"umle ya do\u gru ya yanl\i\c st\i r.

\textbf{Kar\c s\i t \"ornekler:}
\begin{inparaitem}
\item
``Gidelim.''
\item
``Buyurun.''  
\item
``Ne g\"uzel!''  
\item
``Saat ka\c c?''
\end{inparaitem}

Anlam\i na g\"ore bir c\"umle
\begin{inparaenum}[\bfseries(1)]
\item 
bildirme,
\item
istek,
\item
buyurma,
\item
ko\c sul,
\item
\"unlem, veya
\item
soru
\end{inparaenum}
c\"umlesi olabilir \cite{Demir}.

\textbf{D\"uzeltilmi\c s inan\c c:}
Her bildirme veya ko\c sul c\"umlesi,
ya do\u gru ya yanl\i\c st\i r.

\textbf{Kar\c s\i t \"ornekler:}
\begin{compactitem}
  \item
``Bu c\"umle yanl\i\c st\i r.''
\item
Yukar\i daki $A$ ve $B$ c\"umleleri.
\end{compactitem}

\begin{paradox}
Bazi bildirme c\"umleleri ne do\u gru ne yanl\i\c st\i r.
\end{paradox}

\section{Y\"uklem paradoksu}

Bir bildirme c\"umlesi, 
\textbf{\"ozne} ve \textbf{y\"uklem} \"o\u gelerinden olu\c sur.
\"Orne\u gin
\begin{center}
  \begin{tabular}{r|l}
    \"ozne&y\"uklem\\\hline
\.Ince'nin o bankadaki paras\i&bir milyondan fazlad\i r.\\
\.Ince'nin&o bankada paras\i\ var.\\
\.Ince'nin o bankadaki paras\i&var. \cite[XVI, 6]{Lewis2}
  \end{tabular}
\end{center}
Bir c\"umlenin \"oznesi, bir \"obek olabilir, mesela
\begin{quote}\center
``O bankada paras\i\ var''
d\"ort s\"ozc\"ukten olu\c sur.
\end{quote}
A\c sa\u g\i daki $C$ c\"umlesi do\u grudur, ama kan\i tlanamaz.
\begin{quote}\centering
``Kendi \"oznesi oldu\u gu zaman kan\i tlanamaz''\\
  kendi \"oznesi oldu\u gu zaman kan\i tlanamaz.
\end{quote}
Zira $C$'ye g\"ore bir c\"umle kan\i tlanamaz.
O halde $C$ yanl\i\c s ise,
o c\"umle kan\i tlanabilir.
Hangi c\"umle kan\i tlanabilir?
Kendisi!  Yani
\begin{compactitem}
\item
Y\"uklemi ``kendi \"oznesi oldu\u gu zamanda kan\i tlanamaz'' olan,
\item
\"oznesi ``kendi \"oznesi oldu\u gu zamanda kan\i tlanamaz''
ifadesi olan
\end{compactitem}
c\"umle; ama
bu c\"umle, yanl\i\c s olarak varsayd\i\u g\i m\i z $C$ c\"umlesidir.
$C$~kan\i t\-lana\-bildi\u ginden, $C$ do\u gru olmal\i d\i r.
K\i saca $C$ yanl\i\c s ise do\u grudur.

B\"oylece $C$ do\u grudur.
O zaman $C$ c\"umlesine g\"ore bir c\"umle kan\i tlanamaz.
Asl\i nda do\u grulu\u gunu g\"osterdi\u gimiz $C$ c\"umlesi kan\i tlanamaz.

\begin{paradox}
    Do\u gru ama kan\i tlanamaz c\"umle vard\i r.
\end{paradox}

$C$ c\"umlesinin do\u grulu\u gunu kan\i tlamad\i k m\i?
Kan\i tlad\i k, ama yeni kan\i t kavram\i\ ile kan\i tlad\i k.

Russell \&\ Whitehead 1908--13 yazd\i\u g\i\ \emph{Principia Mathematica}
kitab\i ndan bir \PM\ ``kan\i t dizgesi'' veya ``bi\c cimsel dizge'' \c c\i kar.

\begin{theorem}[G\"odel'in Eksiklik Teoremi, 1930 \cite{Goedel-incompl}]
\PM\ dizgesinde
%a\c sa\u g\i daki
  \begin{quote}
\centering
``Kendi \"oznesi oldu\u gu zaman \PM'de kan\i tlanamaz''\\
kendi \"oznesi oldu\u gu zaman \PM'de kan\i tlanamaz
\end{quote}
c\"umlesi olu\c sturulabilir,
ve bu c\"umle do\u grudur, 
ama \PM'de kan\i tlanamaz.
\PM'nin yerine ba\c ska bi\c cimsel dizgeler konulabilir.
\end{theorem}

Russell \&\ Whitehead,
\emph{Principia Mathematica} kitab\i n\i\
ba\c ska bir paradoksu \c c\"ozmek i\c cin yazm\i\c slard\i.

\section{Kuaf\"or paradoksu}

Baz\i\ ki\c siler kendi sa\c clar\i n\i\ keser, 
baz\i\ ki\c siler kendi sa\c clar\i n\i\ kesmez. 

\begin{paradox}
Bir k\"oyde,
kendi sa\c clar\i n\i\ kesmeyen 
(ve yaln\i z kendi sa\c clar\i n\i\ kesmeyen)
k\"oyl\"ulerin sa\c clar\i n\i\ kesen
bir kuaf\"or olamaz.
\end{paradox}

\section{Katalog paradoksu}

Her katalog, bir kitap olarak say\i ls\i n.
Baz\i\ kataloglar, kitap katalogudur \cite{Iletisim-2014}.
Bir katalog, kendisini i\c cerebilir, kendisini i\c cermeyebilir.

\begin{paradox}
B\"ut\"un kendisini i\c cermeyen kataloglar,
bir katalog olu\c sturamaz.
\end{paradox}

\section[Russell Paradoksu]{Russell Paradoksu (Bertrand Russell, 1872--1970)}


Bertrand Russell,
a\c sa\u g\i daki paradoksu
1902'de Gottlob Frege'ye g\"onderdi \cite{Russell-letter}.
Zatan \"onceki y\i lda Ernst Zermelo benzer paradoksu bulmu\c stu
\cite[n.\ 9]{Zermelo-new-proof}.

``Kendi y\"uklem olamaz'' bir y\"uklem olabilir mi?
\begin{quote}\centering
  ``\"U\c c s\"ozc\"ukl\"ud\"ur'' kendi y\"uklem olamaz
\end{quote}
c\"umlesi do\u grudur, \c c\"unk\"u
\begin{quote}\centering
  ``\"U\c c s\"ozc\"ukl\"ud\"ur'' \"u\c c s\"ozc\"ukl\"ud\"ur
\end{quote}
c\"umlesi yanl\i\c st\i r.
B\"oylece ``kendi y\"uklem olamaz'' \"obe\u gi,
bir y\"uklem olarak kullan\i labilir.  
Ama ger\c cek bir y\"uklem ise,
\begin{quote}\centering
``Kendi y\"uklem olamaz'' kendi y\"uklem olamaz
\end{quote}
c\"umlesi olu\c sturulabilir,
ve bu c\"umle ne do\u gru ne yanl\i\c st\i r.

\begin{paradox}
  ``Kendi y\"uklem olamaz'' bir y\"uklem olamaz.
\end{paradox}

Farkl\i\ \c sekilde,
matematik nesneler \textbf{k\"ume} olarak,
ve ayr\i ca \"o\u geleri k\"ume olan k\"ume olarak,
d\"u\c s\"un\"ulebilir.
\"Orne\u gin
\begin{align*}
  0&=\emptyset,&
1&=\{0\},&
2&=\{0,1\},&
3&=\{0,1,2\},&
&\dots
\end{align*}
Her $x$ bir \emph{k\"ume} olsun.
E\u ger $\phi$ bir y\"uklem ise,
o zaman
\begin{equation*}
  \{x\colon\phi(x)\}
\end{equation*}
toplulu\u gu olu\c sturulabilir.
Mesela
\begin{equation*}
  \{x\colon x\notin x\}
\end{equation*}
toplulu\u gu olu\c sturulabilir.
Ama bu topluluk, bir k\"ume olamaz,
\c c\"unk\"u bir $a$ k\"umesiyse, o zaman
\begin{equation*}
  a\in a\iff a\notin a.
\end{equation*}

\begin{paradox}
\"O\u geleri k\"ume olan baz\i\ topluluklar, k\"ume de\u gildir.
\end{paradox}

Bir $\{x\colon\phi(x)\}$ toplulu\u guna \textbf{s\i n\i f} denir.
Her $a$ k\"umesi $\{x\colon x\in a\}$ s\i n\i ft\i r,
ama g\"osterdi\u gimiz gibi k\"ume olmayan s\i n\i f vard\i r.

\begin{theorem}
  Bir $B$ iki konumlu ba\u g\i nt\i s\i\ i\c cin,
\"oyle bir $a$ olamaz ki her $x$ i\c cin
\begin{equation*}
  x\mathrel Ba\iff\lnot(x\mathrel Bx).
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  $x=a$ olsun.
\end{proof}

\"Orne\u gin $x\mathrel By$ a\c sa\u g\i daki gibi olabilir:
\begin{compactitem}
\item 
$x$'in sa\c clar\i\ $y$ taraf\i ndan kesilir,
\item
$x$, $y$ taraf\i ndan i\c cerilir,
\item
``$x$'' $y$ c\"umlesi do\u grudur,
\item
$x\in y$.
\end{compactitem}

\section[Cantor paradoksu]{Cantor paradoksu (Georg Cantor, 1845--1918)}

$\upomega=\{0,1,2,\dots\}$ olsun.

\begin{theorem}
$\upomega$'n\i n her $n$ eleman\i\ i\c cin $n<2^n$.
\end{theorem}

\begin{proof}
  T\"umevar\i m\i\ kullanaca\u g\i z.
  \begin{compactenum}
  \item 
$0<1=2^0$.
\item
$m\in\upomega$ ve
$m<2^m$ varsay\i ls\i n.
O zaman $1\leq 2^m$, dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
  m+1<2^m+2^m=2^m\cdot 2=2^{m+1}.\qedhere
\end{equation*}
  \end{compactenum}
\end{proof}

\begin{proof}[Alternatif kan\i t.]
  E\u ger $\card A=n$ ise, o zaman $\card{\pow A}=2^n$.
Ancak
\begin{equation}\label{A}
  \card A<\card{\pow A}.
\end{equation}
Zira $\card A\leq\card{\pow A}$, \c c\"unk\"u $b\in A$ ise $\{b\}\in\pow A$.
$A$ k\"umesinin her $b$ eleman\i\ i\c cin,
$A$ k\"umesinin farkl\i\ $F(b)$ alt k\"umesi olsun.
(B\"oylece $F$, $A$ k\"umesinden $\pow A$ k\"umesine giden
birebir bir fonksiyondur.)
\begin{equation*}
  C=\{x\in A\colon x\notin F(x)\}
\end{equation*}
olsun.  O zaman $A$ k\"umesinin her $b$ eleman\i\ i\c cin
\begin{equation*}
  b\in C\iff b\notin F(b).
\end{equation*}
O halde
\begin{equation*}
  C\neq F(b).
\end{equation*}
(Yukar\i daki teoremde $x\mathrel By$, $x\in F(y)$ olsun.)
\end{proof}

\begin{paradox}
$\card A<\card{\pow A}$ e\c sitsizli\u gi,
sonsuz k\"umeler i\c cin bile do\u grudur.
B\"oylece en b\"uy\"uk k\"ume yoktur.  
\end{paradox}

\section[Tarski'nin Teoremi]{Tarski'nin Teoremi (Alfred Tarski, 1901--83)}

\"Oklid'in 6.\ \"onermesinin \gr{EAN TRIGWNOU}\lips bildirmesi,%%%%%
\footnote{Yani
\gr{>E`an trig'wnou a<i d'uo gwn'iai >'isai >all'hlaic >~wsin, ka`i a<i <up`o
t`ac >'isac gwn'iac <upote'inousai pleura`i >'isai >all'hlaic >'esontai}.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{comment}
veya
\begin{quote}
  \gr{EAN TRIGWNOU AI DUO GWNIAI ISAI ALLHLAIC WSIN, KAI AI UPO TAC ISAC GWNIAC UPOTEINOUSAI PLEURAI ISAI ALLHLAIC ESONTAI}
\end{quote}
\end{comment}
a\c sa\u g\i daki bi\c cimlerde yaz\i labilir.
\begin{comment}
  \begin{quote}
  \centering
D\"uzlemde her fig\"ur i\c cin,\\
bu fig\"ur
tabandaki a\c c\i lar\i n\i n birbirine e\c sit oldu\u gu \"u\c cgen ise,\\
kenarlar\i\ da birbirine e\c sittir.
\end{quote}
\end{comment}
\begin{quote}
  \centering
Her $x$ i\c cin,\\
bu $x$,
tabandaki a\c c\i lar\i n\i n birbirine e\c sit oldu\u gu \"u\c cgen ise,\\
kenarlar\i\ da birbirine e\c sittir.
\end{quote}
Bu ifade $\Forall x\phi(x)$ olarak yaz\i labilir.
Buradaki $\phi(x)$ ifadesi, bir \textbf{form\"uld\"ur.}
$\Forall x\phi(x)$ ifadesi de bir form\"uld\"ur;
ayr\i ca bir \textbf{c\"umledir.}
E\u ger $ABC$ d\"uzlemde bir \"u\c cgen ise, 
o zaman $\phi(ABC)$ ifadesi de bir c\"umledir.

Her $\phi(x)$ form\"ul\"un\"un 
\emph{yaz\i l\i} bi\c cimi
\begin{equation*}
  \gn{\phi(x)}
\end{equation*}
olsun.
O zaman $\gn{\phi(x)}$, bir fig\"urd\"ur!
Mesela $\gn{\text{\gr{EAN}\dots}}$ a\c sa\u g\i daki bi\c cimdedir.
\begin{center}
\psset{unit=15mm}
  \begin{pspicture}(0,-0.3)(1.414,1.714)
    \psline(1,0)(0,0)(0,1.414)(1,1.414)
\psline(0,0.707)(1,0.707)
\uput[u](1,1.414){\gr A}
\uput[u](0,1.414){\gr B}
\uput[d](0,0){\gr G}
\uput[d](1,0){\gr D}
\uput[l](0,0.707){\gr E}
\uput[u](1,0.707){\gr Z}
  \end{pspicture}
  \begin{pspicture}(0,-0.3)(1.414,1.414)
    \psline(1,0)(0.5,1.414)(0,0)
\psline(0.25,0.707)(0.75,0.707)
\uput[d](0,0){\gr H}
\uput[u](0.5,1.414){\gr J}
\uput[d](1,0){\gr I}
\uput[l](0.25,0.707){\gr K}
\uput[r](0.75,0.707){\gr L}
  \end{pspicture}
  \begin{pspicture}(0,-0.3)(1.414,1.414)
\psline(0,0)(0,1.414)(1,0)(1,1.414)
\uput[u](1,1.414){\gr O}
\uput[u](0,1.414){\gr N}
\uput[d](0,0){\gr M}
\uput[d](1,0){\gr X}
  \end{pspicture}
\end{center}
O halde her $\phi(x)$ form\"ul\"u i\c cin
bir $\phi(\gn{\phi(x)})$ c\"umlesi \c c\i kar.
Her $\theta(x)$ form\"ul\"u i\c cin $\theta^*(x)$,
\"oyle bir form\"ul olsun ki
her $\phi(x)$ form\"ul\"u i\c cin
\begin{comment}
\begin{quote}\centering
\makebox[0pt][c]{$\theta^*(\gn{\phi(x)})$ do\u grudur ancak ve ancak $\theta(\gn{\phi(\gn{\phi(x)})})$ do\u grudur}
\end{quote}
\end{comment}
\begin{equation*}
  \theta^*(\gn{\phi(x)})\iff\theta(\gn{\phi(\gn{\phi(x)})}).
\end{equation*}
%c\"umlesi olsun.
\c Simdi,
m\"umk\"unse $\theta(x)$, \"oyle bir form\"ul olsun ki
her $\sigma$ c\"umlesi i\c cin
\begin{equation*}
  \theta(\gn{\sigma})\iff\sigma.
\end{equation*}
O halde $\sigma$'n\i n do\u grulu\u gu,
$\gn{\sigma}$ fig\"ur\"un\"un geometrik \"ozelli\u gidir.
Ama olamaz, 
\c c\"unk\"u her $\phi(x)$ form\"ul\"u i\c cin
\begin{gather*}
  \theta^*(\gn{\phi(x)})\iff\phi(\gn{\phi(x)}),\\
  \lnot\theta^*(\gn{\phi(x)})\iff\lnot\phi(\gn{\phi(x)}),
\end{gather*}
dolay\i s\i yla
\begin{quote}\centering
  $\lnot\theta^*(\gn{\phi(x)})$ do\u grudur 
ancak ve ancak $\phi(\gn{\phi(x)})$ yanl\i\c st\i r.
\end{quote}
\"Oyleyse $\lnot\theta^*(x)$ form\"ul\"u
\begin{quote}\centering
  kendi \"oznesi oldu\u gu zaman yanl\i\c st\i r
\end{quote}
(veya ``kendi y\"uklem olamaz'')
y\"uklemi anlam\i na gelir.
G\"ord\"u\u g\"um\"uz gibi \"oyle bir y\"uklem olamaz,
\c c\"unk\"u bu y\"uklemin \"oznesi $\gn{\theta^*(x)}$ ifadesi ise,
bir \c celi\c ski \c c\i kar.

\begin{paradox}
  Do\u gruluk, c\"umlelerin geometrik bir \"ozelli\u gi de\u gildir.
\end{paradox}

\section[G\"odel'in Eksiklik Teoremi]%
{G\"odel'in Eksiklik Teoremi (Kurt G\"odel, 1906--78)}

G\"odel'in g\"osterdi\u gine g\"ore
\emph{kan\i tlanabilme,}
bir c\"umlenin geometrik \"ozelli\u gidir.%%%%%
\footnote{Asl\i nda G\"odel,
kan\i tlanabilmenin \emph{say\i sal} \"ozellik oldu\u gunu g\"osterdi.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Zira bir \emph{bi\c cimsel kan\i t,}
sadece bir c\"umle listesi ki her c\"umle,
\"once gelen c\"umlelerden
kesin kurallara g\"ore \c c\i kar.

B\"oylece \"oyle bir $\psi(x,y)$ form\"ul\"u vard\i r ki
her $\sigma$ c\"umlesi i\c cin
\begin{quote}\centering
  $\sigma$ kan\i tlanabilir ancak ve ancak $\Exists y\psi(\gn{\sigma},y)$.
\end{quote}
\c Simdi $\theta(x)$, 
$\lnot\Exists y\psi(x,y)$ form\"ul\"u olsun.
O zaman
her $\sigma$ c\"umlesi i\c cin
\begin{quote}\centering
  $\theta(\gn{\sigma})$ do\u grudur 
ancak ve ancak $\sigma$ kan\i tlanamaz.
\end{quote}
\"Oyleyse her $\phi(x)$ form\"ul\"u i\c cin
\begin{quote}\centering
\makebox[0pt][c]{$\theta^*(\gn{\phi(x)})$ do\u grudur
ancak ve ancak $\phi(\gn{\phi(x)})$ kan\i tlanamaz.}
\end{quote}
\"Oyleyse $\theta^*(x)$ form\"ul\"u
\begin{quote}\centering
  kendi \"oznesi oldu\u gu zaman kan\i tlanamaz
\end{quote}
y\"uklemi anlam\i na gelir.
G\"ord\"u\u g\"um\"uz gibi
bu y\"uklemin \"oznesi $\gn{\theta^*(x)}$ ifadesi ise,
do\u gru ama kan\i tlanamayan c\"umle \c c\i kar.

\begin{paradox}
  Do\u gru ama kan\i tlanamaz c\"umle vard\i r.
\end{paradox}

%\bibliographystyle{plain}
%\bibliography{../references}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{Celgin}
G{\"u}ler {\c C}elgin.
\newblock {\em Eski {Y}unanca--{T}{\"u}rk{\c c}e S{\"o}zl{\"u}k}.
\newblock Kabalc{\i}, {\.I}stanbul, 2011.

\bibitem{Demir}
Tufan Demir.
\newblock {\em T{\"{u}}rk{\c{c}}e Dilbilgisi}.
\newblock Kurmay, Ankara, 2004.

\bibitem{Goedel-incompl}
Kurt G{\"o}del.
\newblock On formally undecidable propositions of {\emph{{p}rincipia
  mathematica}} and related systems {I}.
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 596--616.
\newblock First published 1931.

\bibitem{Iletisim-2014}
{\.Ileti\c sim Yay\i nlar\i}.
\newblock {\em Genel Katalog}.
\newblock \.Ileti\c sim Yay\i nlar\i, {\.I}stanbul, 2014.

\bibitem{Lewis2}
Geoffrey Lewis.
\newblock {\em Turkish Grammar}.
\newblock Oxford University Press, second edition, 2000.
\newblock First edition 1967.

\bibitem{Puskulluoglu}
Ali P{\"{u}}sk{\"{u}}ll{\"{u}}o{\u{g}}lu.
\newblock {\em Arkada{\c{s}} {T}{\"{u}}rk{\c{c}}e S{\"{o}}zl{\"{u}}{\u{g}}u}.
\newblock Arkada{\c{s}}, Ankara, 2004.

\bibitem{Russell-letter}
Bertrand Russell.
\newblock Letter to {F}rege.
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 124--5.
\newblock First published 1902.

\bibitem{MR1890980}
Jean van Heijenoort, editor.
\newblock {\em From {F}rege to {G}\"odel: {A} source book in mathematical
  logic, 1879--1931}.
\newblock Harvard University Press, Cambridge, MA, 2002.

\bibitem{Zermelo-new-proof}
Ernst Zermelo.
\newblock A new proof of the possibility of a well-ordering.
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 183--98.
\newblock First published 1908.

\end{thebibliography}


\end{document}
