Asal Kuvvetleri Merdiveni

y = ψ(x) y = x − ln (2π) Γ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{s−1} d t

\begin{matrix}n bir p asalının bir kuvvetiyse, & ln(p) \\ n bir asal kuvveti değilse & 0 \end{matrix}\} = Λ(n),

∑_{n⩽x} Λ(n) = ψ(x), dolayısıyla

ψ(n) = ln(ekok(1, …, n))

\begin{matrix}ln (2π) = \frac{ζ′(0)}{ζ(0)} \\ ζ(s) = ∑ ∑ ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = ∏ ∏ ∏_{p} \frac{1}{1 − p^{−s}} \end{matrix}

144 120 96 72 48

24

Büyük figürün sol alt köşesi, küçük şekildeki gibidir.

x y − ln(2π)234 ln 2 ln 6 ln 12

144’ten küçük olan asal kuvvetleri aşağıdadır. Yukarıda tanımlanan

• Λ, von Mangoldt;

• ψ, Çebışov; • ζ, Riemann zeta;

• Γ, Gamma göndermesidir. Son göndermenin tanımında s’nin gerçel parçası pozitiftir, ama parçalı integrallemeyle

Γ(s) = \frac{Γ(s + 1)}{s}.

Analitik uzanımla, pozitif olmayan tamsayılarda hariç tüm karmaşık sayılarda analitik olan Γ göndermesi elde edilir.

1850 Çebışov Teoremi’ne göre, bazı pozitif A ve B için, büyük gerçel x için

A ⩽ \frac{ψ(x)}{x} ⩽ B.

1896 ayrı ayrı Hadamard’ın ve de la Vallée-Pousin’in kanıtladığı Asal Sayılar Teoremi’ne göre

lim_{x→∞} \frac{ψ(x)}{x} = 1.

1859 Riemann Hipotezinin bir biçimine göre, her pozitif ε için, bazı A için, büyük x için

|ψ(x) − x| ⩽ Ax^{1/2+ε}.  (∗)

Riemann’ın gösterdiğine göre

\frac{Γ (\frac{1−2s}{4}) · ζ (\frac{1−2s}{2})}{π^{\frac{1−2s}{4}}} = \frac{Γ (\frac{1+2s}{4}) · ζ (\frac{1+2s}{2})}{π^{\frac{1+2s}{4}}}.

Bundan dolayı, analitik uzanımla, 1 hariç tüm karmaşık sayılarda analitik olan ζ göndermesi elde edilir. Göndermenin aşikâr sıfırları, negatif çift tamsayılardır. Kalan sıfırları, ρ olsun. Eğer ρ = β + iγ ise, o zaman 0 < β < 1, ve orijinal biçiminde Riemann Hipotezi, her durumda

β = \frac{1}{2}.  (†)

1895 von Mangoldt’un kanıtladığına göre

lim_{h→0^{+}} \frac{ψ(x + h) + ψ(x − h)}{2}

= x − \frac{ζ′(0)}{ζ(0)} − ∑_{ζ(ω)=0} \frac{z^{ω}}{ω}

= x − ln(2π) − \frac{1}{2} ln (1 − \frac{1}{x^{2}}) − ∑_{ρ} \frac{z^{ρ}}{ρ}.

Bundan dolayı Riemann Hipotezi’nin (∗) biçimi, (†) biçiminden çıkar.

2 3 4 5 7 8 9 11 13 16 17 19 23 25 27 29 31 32 37 41 43 47 49 53 59 61 64 67 71 73 79 81 83 89 97 101 103 107 109 113 121 125 127 128 131 137 139

David Pierce  dpierce@msgsu.edu.tr                          http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/  Matematik Bölümü  Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi  İstanbul