Öklid algoritması ve ortak ölçüsü olmama

2x^{2} = y^{2}

Diofant denkleminin tamsayı çözümü yoktur. Aynı anlamda, bir karenin kenar ve köşegeninin ortak ölçüsü yoktur. Nitekim varsa, kenar, ölçünün s katı, ve köşegen, ölçünün d katı, olsun. O zaman

2s^{2} = d^{2},  s^{2} = d^{2} − s^{2} = (d + s)(d − s),  \frac{s}{d + s} = \frac{d − s}{s},  0 < d − s < s.

Ayrıca ebob(d, s) = ebob(d + s, s), ve Öklid Algoritmasıyla bulunabilir. İlk adım olarak

(d + s) = s · 2 + (d − s)

eşitliğimiz vardır. Ama \frac{d+s}{s} = \frac{s}{d−s} eşitliği yüzünden Algoritmanın her adımı aynı şekilde olacak:

s = (d − s) · 2 + (3s − 2d), (d − s) = (3s − 2d) · 2 + (5d − 7s),

(3s − 2d) = (5d − 7s) · 2 + (17s − 12d),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

s ile d sayılarının bu kombinezonları, figürdeki uzunlukturlar. Algoritma ve figür bitmez; dolayısıyla s ile d, tamsayılar olamaz. Ancak Algoritma, √2 limitine yakınsayan

1,  \frac{3}{2},  \frac{7}{5},  \frac{17}{12},  \frac{41}{29},  \frac{99}{70},  \frac{239}{169},  \frac{577}{408},  \frac{1393}{985},  \frac{3363}{2378},  \frac{8119}{5741},  …

bir dizi oluşturur.

d

s

2s − d

d − s

3d − 4s 3s − 2d

10s − 7d

5d − 7s

17d − 24s

17s − 12d

58s − 41d 29d − 41s

Genel bir yöntem vardır.

x, pozitif bir gerçel sayı olsun. Bir n için x_{n} tanımlanmış olursa

a_{n} = [x_{n}]

olsun. (Yani a_{n}, x_{n} sayısının en büyük tamsayısıdır.) Eğer a_{n} < x_{n} ise

x_{n+1} = \frac{1}{x_{n} − a_{n}}

olsun. O zaman

x_{n} = a_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}

olur. Özel olarak

x_{0} = a_{0} + \frac{1}{x_{1}} = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{x_{2}}} = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{x_{3}}}} = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{x_{4}}}}} = …

Ayrıca p_{n} ve q_{n} tamsayıları için

x_{1} = \frac{1}{q_{0}x_{0} − p_{0}},  x_{n+2} = \frac{p_{n} − q_{n}x_{0}}{q_{n+1}x_{0} − p_{n+1}}

olur. Şimdi

[a_{0}; ] = a_{0},  [a_{0}; a_{1}] = a_{0} + \frac{1}{a_{1}},  [a_{0}; a_{1}, …, a_{n+1}] = [a_{0}; a_{1}, …, a_{n−1}, a_{n} + \frac{1}{a_{n+1}}]

olsun. O zaman

x_{0} = [x_{0}; ] = [a_{0}; x_{1}] = [a_{0}; a_{1}, x_{2}] = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, x_{3}] = ⋯ = [a_{0}; a_{1}, …, a_{n}, x_{n+1}] = ⋯

Ayrıca

[a_{0}; a_{1}, …, a_{n}] = \frac{p_{n}}{q_{n}},

\frac{p_{0}}{q_{0}} < \frac{p_{2}}{q_{2}} < \frac{p_{4}}{q_{4}} < ⋯ < x < ⋯ < \frac{p_{5}}{q_{5}} < \frac{p_{3}}{q_{3}} < \frac{p_{1}}{q_{1}},

\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} − \frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{(−1)^{n}}{q_{n+1}q_{n}}.

Öyleyse p_{n}/q_{n} kesirleri, x limitine yakınsar. Bunu ispatlamak için, ilk olarak,

\begin{matrix}p_{0} = a_{0}, \\ q_{0} = 1, \end{matrix}  \begin{matrix}p_{1} = a_{0}a_{1} + 1, \\ q_{1} = a_{1}, \end{matrix}  \begin{matrix}p_{n+2} = a_{n+2}p_{n+1} + p_{n}, \\ q_{n+2} = a_{n+2}q_{n+1} + q_{n} \end{matrix}

eşitliklerini gösterin. Ondan sonra,

[a_{0}; a_{1}, …, a_{n+2}] = \frac{p_{n+2}}{q_{n+2}}

ise, o zaman

[a_{0}; a_{1}, …, a_{n+2}] = \frac{a_{n+2}p_{n+1} + p_{n}}{a_{n+2}q_{n+1} + q_{n}},

[a_{0}; a_{1}, …, a_{n+3}] = [a_{0}; a_{1}, …, a_{n+1}, a_{n+2} + \frac{1}{a_{n+3}}] = \frac{(a_{n+2} + \frac{1}{a_{n+3}})p_{n+1} + p_{n}}{(a_{n+2} + \frac{1}{a_{n+3}})q_{n+1} + q_{n}},

çünkü p_{0}, …, p_{n+1}, q_{0}, …, q_{n+1} sayıları, a_{n+2} sayısına bağlı değildir.

David Pierce  dpierce@msgsu.edu.tr                          http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/  Matematik Bölümü, Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, İstanbul