\documentclass[%
version=last,%
a5paper,%
12pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
index=totoc,%
twoside,%
open=any,%
cleardoublepage=empty,%
draft=true,%
headinclude=false,%
%titlepage=true,%
%abstract=true,%
%BCOR=4mm,%
DIV=12,%
pagesize]%
%{scrbook}
%{scrreprt}
{scrartcl}

%\PassOptionsToPackage{pdf}{pstricks} %used for pdflatex
\usepackage{graphicx}
%\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\usepackage[neverdecrease]{paralist}

%\usepackage[perpage,symbol]{footmisc}

\usepackage{amsmath,amsthm,upgreek,amssymb,amscd,nicefrac}
%\allowdisplaybreaks
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\stR}{{}^*\R}
\newcommand{\stf}{{}^*\!f}
\newcommand{\stg}{{}^*\!g}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\DeclareMathOperator{\dee}{d}
\newcommand{\gcm}{\text{\scshape gcm}}
\usepackage{pstricks,pst-node,pst-eucl}
%\usepackage{auto-pst-pdf}

\newtheorem{theorem}{Teorem}

\usepackage[hyphens]{url}
\usepackage[turkish]{babel}

\usepackage{hfoldsty}
\usepackage{moredefs,lips}
%\usepackage{verbatim}

\usepackage[normalem]{ulem}
\setlength{\ULdepth}{0.4em}
\newcommand{\hlt}[1]{\uline{#1}}

\usepackage{relsize} % Here \smaller scales by 1/1.2; \relscale{X} scales by X
\newcommand{\enquote}[1]{``#1''}
\newcommand{\senquote}[1]{`#1'} % single quote marks

\renewenvironment{quote}{%
\relscale{.90}
\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0.05\textwidth}
%\setlength{\topsep}{0pt}
\setlength{\topsep}{0.25\baselineskip}
\setlength{\rightmargin}{\leftmargin}
\setlength{\parsep}{\parskip}
}
\item\relax}
{\end{list}}

\renewenvironment{quotation}{%
\begin{list}{}{%
\relscale{.90}
\setlength{\leftmargin}{0.05\textwidth}
%\setlength{\topsep}{0\baselineskip}
\setlength{\topsep}{0.25\baselineskip}
\setlength{\rightmargin}{\leftmargin}
\setlength{\listparindent}{1em}
\setlength{\itemindent}{\listparindent}
\setlength{\parsep}{\parskip}
}
\item\relax}
{\end{list}}


\begin{document}
\title{Sonsuzk\"u\c c\"uk Analiz}
\subtitle{\textit{Infinitesimal Analysis}}
\author{David Pierce}
\date{1 Temmuz 2018}
\publishers{Matematik B\"ol\"um\"u\\
Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
\url{mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}\\
\url{david.pierce@msgsu.edu.tr}}

\maketitle

Tam s\i ralanm\i\c s bir cismin var oldu\u gunu varsay\i yoruz,
ve o cismi
\begin{equation*}
  \R
\end{equation*}
ile yaz\i yoruz; $\R$'nin elemanlar\i, \textbf{ger\c cel say\i lard\i r.}
\textbf{Sayma say\i lar\i} k\"umesini
\begin{equation*}
  \N
\end{equation*}
ile yazal\i m.
\emph{Se\c cim Aksiyomu} ile $\N$'nin her altk\"umesi
 ya \textbf{k\"u\c c\"uk} ya da \textbf{b\"uy\"uk} olarak
(ama ikisi de\u gil)
belirtilebilir, \"oyle ki
\begin{compactenum}[i)]
\item
  her sonlu k\"ume k\"u\c c\"ukt\"ur;
\item
  her k\"u\c c\"uk k\"umenin t\"umleyeni b\"uy\"ukt\"ur;
\item
  iki k\"u\c c\"uk k\"umenin birle\c simi de k\"u\c c\"ukt\"ur.
\end{compactenum}
Sonu\c c olarak
\begin{compactenum}[i)]
  \setcounter{enumi}2
\item
  iki b\"uy\"uk k\"umenin kesi\c simi de b\"uy\"ukt\"ur;
\item
  b\"uy\"uk bir k\"ume kapsayan her k\"ume de b\"uy\"ukt\"ur.
\end{compactenum}
Kendi ve t\"umleyeni sonlu olmad\i\u g\i ndan
\c cift sayma say\i lar\i\ k\"umesi
ya b\"uy\"uk ya da k\"u\c c\"uk olabilir;
i\c simiz i\c cin fark etmez.

Bir \textbf{dizi,}
$\N$'den $\R$'ye giden bir fonksiyon olsun.
\.Istersek, bu dizilerin olu\c sturdu\u gu k\"ume
\begin{equation*}
  \R^{\N}
\end{equation*}
olarak yazabiliriz.
Ayn\i\ dizi ya $a$, ya da $(a_k\colon k\in\N)$,
ya da $(a_1,a_2,a_3,\dots)$ olarak yaz\i labilir.
Girdilerine g\"ore iki dizinin toplam\i\ ve \c carp\i m\i\ tan\i mlanabilir:
\begin{align*}
  a+b&=(a_k+b_k\colon k\in\N),&
    ab&=(a_kb_k\colon k\in\N).
\end{align*}
Halka kavram\i n\i\ bilenler i\c cin $\R^{\N}$ bir halkad\i r.
Ayr\i ca
\begin{equation*}
  a<b\iff\{k\in\N\colon a_k<b_k\}=\N
\end{equation*}
kural\i na g\"ore $\R^{\N}$ par\c cal\i\ s\i ralanm\i\c st\i r.
\c Simdi tan\i ma g\"ore
\begin{equation*}
  a\sim b\iff\{k\in\N\colon a_k=b_k\}\text{ b\"uy\"ukt\"ur}
\end{equation*}
olsun.

\begin{theorem}
  $\sim$ ba\u g\i nt\i s\i\ bir denklik ba\u g\i nt\i s\i d\i r.
\end{theorem}

Verilen $\sim$ ba\u g\i nt\i s\i na g\"ore
bir $a$ dizisinin denklik s\i n\i f\i\ $[a]$ olarak yaz\i ls\i n,
ve b\"ut\"un dizilerin denklik s\i n\i flar\i,
$\stR$ k\"umesini olu\c stursun.  B\"oylece
\begin{equation*}
  \stR=\{[x]\colon x\in\R^{\N}\}.
\end{equation*}

\begin{theorem}
  $\sim$ ba\u g\i nt\i s\i\
  $\R^{\N}$ halkas\i n\i n i\c slemlerine sayg\i\ g\"osterir,
  yani
  \begin{equation*}
    a\sim c\And b\sim d\implies a+b\sim c+d\And ab\sim cd.
  \end{equation*}
  Bu \c sekilde $\stR$, iyitan\i mlanm\i\c s bir cisim olur.
  Ayr\i ca
  \begin{equation*}
    [a]<[b]\iff\{k\in\N\colon a_k<b_k\}\text{ b\"uy\"ukt\"ur}
  \end{equation*}
  kural\i na g\"ore $\stR$,
   iyitan\i mlanm\i\c s \emph{s\i ralanm\i\c s} bir cisim olur.
   Bu s\i ralanm\i\c s cisme
   \begin{equation*}
     x\mapsto[x,x,x,\dots]
   \end{equation*}
\emph{k\"o\c segen} g\"ommesi ile
  $\R$ g\"om\"ul\"ur.
\end{theorem}

$\stR$ cisminin elemanlar\i na \textbf{ger\c cel\"ust\"u}
(\emph{hyperreal}) denebilir.
Son teoremi kullanarak
$\R$'yi $\stR$'nin bir altk\"umesi olarak d\"u\c s\"unece\u giz;
b\"oylece her ger\c cel say\i, ger\c cel\"ust\"ud\"ur.
E\u ger ger\c cel\"ust\"u bir say\i n\i n mutlak de\u geri
\begin{compactitem}
\item
  \emph{bir} pozitif ger\c cel say\i dan
k\"u\c c\"uk ise,
ger\c cel\"ust\"u say\i ya \textbf{sonlu} densin;
\item
  \emph{her} pozitif ger\c cel say\i dan
k\"u\c c\"uk ise,
ger\c cel\"ust\"u say\i ya \textbf{sonsuzk\"u\c c\"uk}
(\emph{infinitesimal}) densin.
\end{compactitem}
E\u ger $[a]-[b]$ sonsuzk\"u\c c\"uk ise
\begin{equation*}
  [a]\approx[b]
\end{equation*}
yaz\i ls\i n;
bu durumda $[b]$, $[a]$'ya \textbf{sonsuzyak\i nd\i r}
(\emph{infinitely close}).

\begin{theorem}
  $\stR$ cisminde $\approx$ ba\u g\i nt\i s\i\
  bir denklik ba\u g\i nt\i s\i d\i r.
  Ayr\i ca $[a]\approx[c]$, $[b]\approx[d]$, ve $[e]$ sonlu ise
  \begin{align*}
    [a]+[b]&\approx[c]+[d],&[a][c]&\approx[c][e].
  \end{align*}
  Sonlu ger\c cel\"ust\"u bir say\i ya sonsuzyak\i n say\i lar da
  sonludur.
\end{theorem}

\begin{theorem}
  E\u ger $f\colon\R\to\R$ ise, o zaman
  \begin{equation*}
    [x]\mapsto[f(x_k)\colon k\in\N],
  \end{equation*}
  $\stR$'den kendisine giden
  iyitan\i mlanm\i\c s bir fonksiyondur.
\end{theorem}

Teoremde bulunan fonksiyon $\stf$ olarak yaz\i labilir.
\c Simdi $a$ ve $L$, ger\c cel say\i\ olsun.
E\u ger her $[x]$ ger\c cel\"ust\"u say\i s\i\ i\c cin
\begin{equation*}
  a\approx[x]\And a\neq[x]\implies\stf[x]\approx L
\end{equation*}
gerektirmesi sa\u glan\i rsa, o zaman tan\i m\i m\i za g\"ore $L$,
$f$'nin $a$'daki \textbf{limitidir.}
Bu limiti
\begin{equation*}
  \lim_{x\to a}f(x)\quad\text{ veya }\quad\lim_af
\end{equation*}
ile
yazabiliriz.

\begin{theorem}
  $\lim_af=L$ ve $\lim_ag=M$ ise
  \begin{equation*}
    \lim_a(f+g)=L+M\And\lim_a(fg)=LM.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  E\u ger $[x]\approx a$ ve $[x]\neq a$ ise, o zaman varsay\i ma g\"ore
  \begin{align*}
    \stf[x]&\approx L,&\stg[x]&\approx M,
  \end{align*}
  dolay\i s\i yla
  $\stf[x]$ sonludur ve
  \begin{align*}
    \stf[x]+\stg[x]&\approx L+M,&
    \stf[x]\stg[x]&\approx\stf[x]M\approx LM.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{theorem}
  Her sonlu ger\c cel\"ust\"u say\i,
  bir ve tek bir ger\c cel say\i ya sonsuzyak\i nd\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
  E\u ger $[a]$ sonlu ise, o zaman
  $\{x\in\R\colon x<[a]\}$ k\"umesi bo\c s de\u gildir
  ve \"ust s\i n\i r\i\ vard\i r.
  O halde verilen k\"umenin supremumu, $[a]$'ya sonsuzyak\i nd\i r.
\end{proof}

Kan\i tta bulunan ger\c cel say\i,
$[a]$'n\i n \textbf{standart par\c cas\i d\i r}
(\emph{standard part}).

E\u ger her $a$ ger\c cel say\i s\i\ i\c cin $f(a)=\lim_af$ ise,
o zaman $f$ \textbf{s\"ureklidir.}

\begin{theorem}[Arade\u ger]
  $f$ s\"urekli, $a<b$, ve $f(a)<0<f(b)$ olsun.
  O zaman bir $c$ i\c cin $a<c<b$ ve $f(c)=0$.
\end{theorem}

\begin{proof}
  Her $k$ sayma say\i s\i\ i\c cin, bir $d_k$ i\c cin,
  \begin{align*}
    a\leq d_k<d_k+k^{-1}&\leq b,&
    f(d_k)\leq0\leq f(d_k+k^{-1}).
  \end{align*}
  \c Simdi
  \begin{align*}
    d&=(d_k\colon k\in\N),&\delta&=(k^{-1}\colon k\in\N)
  \end{align*}
  olsun.
  O zaman $[\delta]$ sonsuzk\"u\c c\"ukt\"ur, dolay\i s\i yla
  \begin{equation*}
    \stf[d]\approx\stf[d+\delta].
  \end{equation*}
  Ayr\i ca
  \begin{equation*}
    \stf[d]\leq0\leq\stf[d+\delta].
  \end{equation*}
  \c Simdi $c$, $[d]$'nin standart par\c cas\i\ olsun.
  O zaman
  \begin{align*}
    f(c)&\approx\stf[d],&\stf[d]&\approx0,&f(c)&=0.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Cebirsel a\c c\i dan
$\{x\in\R^{\N}\colon x\sim 0\}$ k\"umesi,
$\R^{\N}$ halkas\i n\i n as\i l olmayan (\emph{non-principal})
asal bir idealidir, ve
\begin{equation*}
  \stR=\R^{\N}/\{x\in\R^{\N}\colon x\sim 0\}.
\end{equation*}
E\u ger tam tersine $P$,
$\R^{\N}$ halkas\i n\i n as\i l olmayan asal bir ideali ise,
o zaman $\N$'nin k\"u\c c\"uk altk\"umeleri,
$P$'nin $a$ elemanlar\i\ i\c cin
\begin{equation*}
  \{k\in\N\colon a_k\neq0\}
\end{equation*}
olarak tan\i mlanabilir.

$\stR$ cisminin sonlu elemanlar\i,
bir $\mathfrak O$ de\u gerlendirme halkas\i\
(\emph{valuation ring}) olu\c sturur,
ve bunun $\mathfrak M$ maksimal idealinin elemanlar\i,
$\stR$'nin sonsuzk\"u\c c\"uk elemanlar\i d\i r.
Bu durumda
tan\i m k\"umesi $\R$ olan
\begin{equation*}
  x\mapsto[x,x,x,\dots]+\mathfrak M
\end{equation*}
g\"ondermesi,
$\mathfrak O/\mathfrak M$ \"ust\"une bir $\phi$ izomorf\/izmas\i d\i r,
ve $[a]$ sonlu ise $\phi^{-1}([a]+\mathfrak M)$,
$[a]$'n\i n standart par\c cas\i d\i r.

\begin{theorem}
  $\R$'de
  $\lim_af=L$ ancak ve ancak her pozitif $\epsilon$ i\c cin,
  bir pozitif $\delta$ i\c cin,
  her $x$ i\c cin
  \begin{equation*}
    0<\abs{x-a}<\delta\implies\abs{f(x)-L}<\epsilon.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \.Ilk olarak
 her pozitif ger\c cel $\epsilon$ i\c cin,
  bir pozitif ger\c cel $\delta$ i\c cin,
  her ger\c cel $x$ i\c cin,
  $0<\abs{x-a}<\delta$ ise
$\abs{f(x)-L}<\epsilon$ olsun.
 Bir $x$ \emph{dizisi} i\c cin $[x]\approx a$ ama $[x]\neq a$ olsun.
  O halde $\stf[x]\approx L$ g\"osterece\u giz.
  \c Simdi $\epsilon$, pozitif ger\c cel bir say\i\ olsun;
  $\{k\in\N\colon\abs{f(x_k)-L}<\epsilon\}$
  k\"umesinin b\"uy\"uk oldu\u gunu g\"ostermek yeter.
  Varsay\i ma g\"ore pozitif ger\c cel bir $\delta$ i\c cin
  o k\"ume $\{k\in\N\colon0<\abs{x_k-a}<\delta\}$ k\"umesini kapsar;
  ayr\i ca bu k\"ume b\"uy\"ukt\"ur.

  \c Simdi $\epsilon$,
  pozitif ger\c cel bir say\i\ olsun.
  M\"umk\"unse her pozitif ger\c cel $\delta$ i\c cin,
  bir ger\c cel $x$ i\c cin,
  \begin{equation*}
    0<\abs{x-a}<\delta\And\abs{f(x)-L}\geq\epsilon
  \end{equation*}
  olsun.
  O zaman bir $x$ \emph{dizisi} i\c cin her $k$ sayma say\i s\i\ i\c cin
  \begin{equation*}
    0<\abs{x_k-a}<\frac1k\And\abs{f(x_k)-L}\geq\epsilon.
  \end{equation*}
  Bu durumda $[x]\approx a$, ama $[x]\neq a$, ve $\stf[x]\not\approx L$.
\end{proof}

\end{document}
