\documentclass[%
version=last,%
a5paper,
12pt,%
draft=true,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]%
{scrartcl}
              
\usepackage{hfoldsty}
\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage[turkish]{babel}
\usepackage{amsmath,url,amsthm,amssymb,bm,mathrsfs}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\DeclareMathOperator{\Adj}{Ek}
\newcommand{\Det}[1]{\det\left(#1\right)}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\newcommand{\lspan}[1]{\langle#1\rangle}
\DeclareMathOperator{\sat}{sat}
\DeclareMathOperator{\sut}{s\ddot ut}
%\newcommand{\sif}{\mathrm{s\imath f}}
\DeclareMathOperator{\sif}{s\imath f}
\DeclareMathOperator{\cek}{\text{\c c}ek}
\DeclareMathOperator{\boy}{boy}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{der}}


\newcommand{\stnd}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\stnd Q}
\newcommand{\R}{\stnd R}
\newcommand{\C}{\stnd C}
\newcommand{\Z}{\stnd Z}
\newcommand{\N}{\stnd N}
\newcommand{\Zmod}[1]{\Z/#1\Z}


\usepackage{nicefrac}
\newcommand{\matfrac}[2]{\nicefrac{#1}{#2}}


\swapnumbers

\newtheorem{theorem}{Teorem}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Sonu\c c}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Tan\i m}
\newtheorem{example}[theorem]{\"Ornek}
\newtheorem*{problem}{Problem}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{solution}{\c C\"oz\"um}

\begin{document}
\title{Vekt\"or Uzaylar\i}
\subtitle{Lineer Cebir}
\author{David Pierce}
\date{5 May\i s 2017}
\publishers{Matematik B\"ol\"um\"u, MSGS\"U\\
%\mbox{}\\
\url{dpierce@msgsu.edu.tr}\\
\url{mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}}

\maketitle

Bu notlarda, al\i\c st\i rma olarak
\begin{compactitem}
  \item
    her teorem, sonu\c c, ve \"ornek kan\i tlanabilir;
  \item
    her matrisin yerine somut \"ornekler konulup denemeler yap\i labilir.
\end{compactitem}

\tableofcontents

\section{Vekt\"or Uzaylar\i}

\begin{definition}
  A\c sa\u g\i da,
  bir \textbf{cismin} aksiyomlar\i\ soldad\i r;
bu cisim \"uzerinde
bir \textbf{vekt\"or uzay\i n\i n} aksiyomlar\i,
sa\u gdad\i r:
\begin{align*}
       x+(y+z)&=(x+y)+z,&\bm u+(\bm v+\bm w)&=(\bm u+\bm v)+\bm w,\\
           x+0&=x      ,&         \bm x+\bm0&=\bm x              ,\\
        x+(-x)&=0      ,&     \bm x+(-\bm x)&=\bm0               ,\\
           x+y&=y+x    ,&        \bm u+\bm v&=\bm v+\bm u        ,\\
 x\cdot(y+z)&=x\cdot y+x\cdot z,&x\cdot(\bm u+\bm v)&=x\cdot\bm u+x\cdot\bm v,\\
  (x+y)\cdot z&=x\cdot z+y\cdot z  ,&(x+y)\cdot\bm u&=x\cdot\bm u+y\cdot\bm u,\\
(x\cdot y)\cdot z&=x\cdot(y\cdot z),&(x\cdot y)\cdot\bm u&=x\cdot(y\cdot\bm u),\\
      1\cdot x&=x      ,&             1\cdot\bm u&=\bm u              .\\
            x\cdot y&=y\cdot x                       ,&&\\
        \exists y\;(x\cdot y&=1\lor x=0),&&\\
\end{align*}
%Burada $x$, $y$, ve $z$, cismin rasgele eleman\i d\i r,
%ve $\bm u$, $\bm v$, ve $\bm w$, vekt\"or uzay\i n\i n rasgele eleman\i d\i r.
\end{definition}

\begin{example}
  $\Q$, $\R$, $\C$, ve ($p$ asal olmak \"uzere) $\Z_p$, cisimdir.
\end{example}

\begin{example}
  E\u ger $F$ bir cisim, $m\in\N$, ve $n\in\N$ ise,
  $F$ \"uzerinde $m\times n$'lik matrisler
  \begin{equation*}
   F^{m\times n} 
  \end{equation*}
  vekt\"or uzay\i n\i\ olu\c sturur.
  \"Ozel olarak $m\times 1$'lik bir
  \begin{equation*}
    \begin{bmatrix}
      u_1\\\vdots\\v_m
    \end{bmatrix}
  \end{equation*}
  s\"utun matrisleri,
  \begin{equation*}
    (u_1,\dots,u_m)
  \end{equation*}
  $m$-bile\c senlileri olarak anla\c s\i labilir;
  bu $m$-bile\c senler
  \begin{equation*}
    F^m
  \end{equation*}
  vekt\"or uzay\i n\i\ olu\c sturur.
\end{example}

\begin{example}
  Toplama $(u,v)\mapsto u\cdot v$ ve \c carpma $(x,u)\mapsto u^x$ olmak \"uzere
  $(0,\infty)$ aral\i\u g\i, $\R$ \"uzerinde bir vekt\"or uzay\i d\i r.
\end{example}

\begin{example}
  Bir $A$ k\"umesinden $\R$'ye giden fonksiyonlar
  $\R$ \"uzerinde
  \begin{equation*}
    \mathscr F(A,\R)
  \end{equation*}
  vekt\"or uzay\i n\i\ olu\c sturur.
\end{example}

\begin{example}
  Her $F$ cismi i\c cin
  katsay\i lar\i\ $F$'den gelen,
  de\u gi\c skeni $X$ olan polinomlar
  $F$ \"uzerinde
  \begin{equation*}
    F[X]
  \end{equation*}
  vekt\"or uzay\i n\i\ olu\c sturur.
\end{example}

\begin{theorem}
  Her vekt\"or uzay\i nda
  \begin{align*}
    x\cdot\vec0&=\vec0,&
    0\cdot\vec u&=\vec0,&
    -1\cdot\vec u&=-\vec u.
  \end{align*}
\end{theorem}

\section{Uzaylar\i n Altuzaylar\i}

\begin{definition}
  Bir vekt\"or uzay\i n\i n bir altk\"umesi
  bo\c s de\u gilse ve
  toplamaya ve \c carpmaya g\"ore kapal\i ysa
  altk\"ume, vekt\"or uzay\i n bir \textbf{altuzay\i d\i r.}
\end{definition}

\begin{example}
  E\u ger $X$ \"ozde\c slik fonksiyonu olarak anla\c s\i l\i rsa $\R[X]$,
  $\mathscr F[\R,\R]$ uzay\i n\i n bir altuzay\i\ olur.
\end{example}

\begin{example}
  Her $n$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin
  \begin{equation*}
    \{f\in\R[X]\colon\deg(f)\leq n\}
  \end{equation*}
  k\"umesi $\R[X]$ uzay\i n\i n bir altuzay\i d\i r.
\end{example}

\begin{example}
  Her vekt\"or uzay\i n\i n,
  tek eleman\i\ $\bm0$ olan a\c sik\^ar altuzay\i d\i r.
\end{example}

\begin{theorem}
  $A\in F^{m\times n}$ ise
  \begin{equation*}
    \{\bm u\in F^n\colon A\bm u=\bm0\}
  \end{equation*}
\c c\"oz\"um k\"umesi, $F^n$'nin bir altuzay\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{example}
  $\R^2$ uzay\i n\i n
  \begin{gather*}
    \{(x,y)\in\R^2\colon x\geq0\And y\geq0\},\\
    \{(x,y)\in\R^2\colon xy\geq0\}
  \end{gather*}
  altk\"umeleri,
$\R^2$ uzay\i n\i n altuzay\i\ de\u gildir.
\end{example}

\begin{definition}
  $F$ bir cisim ve $U$, $F$ \"uzerinde bir vekt\"or uzay\i\ olsun.
  E\u ger $B$, $U$'nun bir $\{\bm b_1,\dots,\bm b_n\}$ altk\"umesiyse,
  o zaman $F^n$'nin her $(a_1,\dots,a_n)$ eleman\i\ i\c cin
  \begin{equation*}
    a_1\cdot\bm b_1+\dots+a_n\cdot\bm b_n
  \end{equation*}
  toplam\i, $B$'nin bir \textbf{lineer bile\c simidir.}
 (E\u ger $n=0$ ise verilen lineer bile\c sim, $\bm0$ olur.)
  $B$'nin b\"ut\"un lineer bile\c simleri, $B$'nin \textbf{(lineer) gergisini}
  olu\c sturur.  Bu gergi ya
  \begin{equation*}
    \lspan{\bm  b_1,\dots,\bm b_n}
  \end{equation*}
  ya da $\lspan B$ olarak yaz\i labilir.
  Elemanlar\i\ vekt\"or olan bir k\"ume,
  gergisini \textbf{\"uretir}
  ve gergisinin \textbf{\"urete\c c k\"umesidir.}
\end{definition}

\begin{theorem}
  $F^m$ uzay\i n\i n her $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}$ altk\"umesi i\c cin,
  $F^{m\times n}$ uzay\i n\i n bir $A$ eleman\i\ i\c cin
  \begin{equation*}
    \lspan{\bm a_1,\dots,\bm a_n}=\{\bm u\in F^m\colon A\bm u=\bm0\}.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
  $F^{m\times n}$ uzay\i n\i n her $A$ eleman\i\ i\c cin,
  $F^m$ uzay\i n\i n bir $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}$ altk\"umesi i\c cin,
  \begin{equation*}
    \{\bm u\in F^m\colon A\bm u=\bm0\}
    =\lspan{\bm a_1,\dots,\bm a_n}.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Bir vekt\"or uzay\i n\i n her altk\"umesinin gergisi,
  verilen uzay\i n altuzay\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{definition}
  Bir $F$ cismi \"uzerinde $A$,
  $m\times n$'lik bir
  $(a_{i\,j})$ matrisi ise $A$'n\i n
  \begin{compactitem}
  \item
    $i$'ninci sat\i r\i\ $F^n$'nin $(a_{i\,1},\dots,a_{i\,n})$ eleman\i,
  \item
    $j$'ninci s\"utunu $F^m$'nin $(a_{1\,j},\dots,a_{m\,j})$ eleman\i
  \end{compactitem}
  olarak anla\c s\i ls\i n.
  $A$'n\i n
  \begin{compactenum}[1)]
  \item
    \textbf{sat\i r uzay\i,} $A$'n\i n sat\i rlar\i n\i n gergisidir;
  \item
    \textbf{s\"utun uzay\i,} $A$'n\i n s\"utunlar\i n\i n gergisidir;
  \item
    \textbf{s\i f\i r uzay\i,}
    $\{\bm u\in F^n\colon A\bm u=\bm0\}$ uzay\i d\i r.
  \end{compactenum}
  Bu uzaylar s\i ras\i yla
  \begin{align*}
    &\sat(A),&&\sut(A),&&\sif(A)
  \end{align*}
  olarak yaz\i ls\i n.
  O zaman $\sat(A)$ ve $\sif(A)$, $F^n$ uzay\i n\i n altuzay\i d\i r;
  ve $\sut(A)$,  $F^m$ uzay\i n\i n altuzay\i d\i r.
\end{definition}

\section{Tabanlar}

\begin{definition}
  $U$ bir vekt\"or uzay\i\ ve $B$, $U$'nun bir $\{\bm b_1,\dots,\bm b_n\}$
  altk\"umesi olsun.
  E\u ger
  \begin{equation*}
    x_1\bm b_1+\dots+ x_n\bm b_n=\bm0
  \end{equation*}
  denkleminin sadece a\c sik\^ar \c c\"oz\"um\"u varsa,
  o zaman
  $B$ \textbf{lineer ba\u g\i ms\i zd\i r.}
  E\u ger $B$ lineer ba\u g\i ms\i z ve $U$'yu \"uretirse,
  o zaman $B$, $U$'nun bir \textbf{taban\i d\i r.}
\end{definition}

\begin{theorem}
  $A$, bir
  \begin{equation*}
    \left[
    \begin{array}{c|c|c}
      \bm a_1&\cdots&\bm a_n
    \end{array}
    \right]
  \end{equation*}
  matrisi olsun, ve $B$,
  $A$'ya sat\i rca denk olan, basamakl\i\ bir $(b_{i\,j})$ matrisi olsun.
  E\u ger bir $\ell$ i\c cin ve
  \begin{equation*}
    k_1<\cdots<k_{\ell}
  \end{equation*}
  e\c sitsizli\u gini sa\u glayan baz\i\ $k_i$ i\c cin
  $B$'nin sat\i rlar\i n\i n ba\c s elemanlar\i\
  $b_{i\,k_i}$ girdileri ise,
%  $b_{1\,k_1}$, \dots, $b_{\ell\,k_{\ell}}$ ise,
  o zaman
  \begin{compactenum}[1)]
  \item
    $B$'nin ilk $\ell$ tane sat\i r\i, $\sat(A)$ uzay\i n\i n bir taban\i n\i,
  \item
 $\{\bm a_{k_1},\dots,\bm a_{k_{\ell}}\}$, $\sut(A)$ uzay\i n\i n bir taban\i n\i,
  \item
    $B\bm x=\bm0$ denkleminin temel \c c\"oz\"umleri,
    $\sif(A)$ uzay\i n\i n bir taban\i n\i
  \end{compactenum}
  olu\c sturur.
\end{theorem}

\begin{corollary}
  $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}\included F^m$ ve
  \begin{equation*}
A=\left[
    \begin{array}{c|c|c}
      \bm a_1&\cdots&\bm a_n
    \end{array}
    \right]    
  \end{equation*}
  olsun.
  \begin{compactenum}
  \item
    $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}$ k\"umesinin
    \begin{compactitem}
    \item
      lineer ba\u g\i ms\i z olan
    \item
      gergisi ayn\i\ olan
    \end{compactitem}
    bir altk\"umesi elde etmek i\c cin,
$\sut(A)$ uzay\i n\i n bir taban\i\ al\i nabilir.
  \item
    E\u ger
    $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}$ k\"umesi zaten lineer ba\u g\i ms\i z ise,
    o zaman 
    \begin{equation*}
      \left[
        \begin{array}{c|c}
          A&I
        \end{array}
        \right]
    \end{equation*}
    matrisinin s\"utun uzay\i n\i n
    teoremdeki gibi elde edilen taban\i,
    \begin{compactitem}
    \item
      $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}$ k\"umesini kapsar ve
    \item
      $F^m$ uzay\i n\i n bir taban\i d\i r.
    \end{compactitem}
  \end{compactenum}
\end{corollary}

\begin{corollary}
  $F^m$ uzay\i n\i n bir altuzay\i n\i n her taban\i,
  ayn\i\ say\i da elemana sahiptir.
\end{corollary}

\begin{definition}
  $F^m$ uzay\i n\i n bir $U$ altuzay\i n\i n bir taban\i n\i n say\i s\i,
  $U$'nun \textbf{boyutudur,} ve bu boyut,
  \begin{equation*}
    \boy(U)
  \end{equation*}
  olarak yaz\i labilir.
\end{definition}

\begin{corollary}
  Herhangi $A$ matrisi i\c cin
  \begin{equation*}
    \boy\bigl(\sat(A)\bigr)=\boy\bigl(\sut(A)\bigr).
  \end{equation*}
  E\u ger $A$'n\i n $n$ tane s\"utunu varsa
  \begin{equation*}
    \boy\bigl((\sat(A)\bigr)+\boy\bigl(\sif(A)\bigr)=n.
  \end{equation*}
\end{corollary}

\section{Lineer D\"on\"u\c s\"umler}

\begin{definition}
  Bir $U$ vekt\"or uzay\i ndan
  bir $V$ vekt\"or uzay\i na giden,
\begin{align*}
  L(\bm u_1+\bm u_2)&=L(\bm u_1)+L(\bm u_2),\\
  L(t\cdot\bm u)&=t\cdot L(\bm u)
\end{align*}
kurallar\i n\i\ sa\u glayan bir $L$ g\"ondermesine
\textbf{lineer d\"on\"u\c s\"um} denir.
Bu durumda
\begin{compactenum}[1)]
\item
  $L$'nin \textbf{\c cekirde\u gi,} $U$'nun
  \begin{equation*}
    \{\bm u\in U\colon L(\bm u)=\bm0\}
  \end{equation*}
  altk\"umesidir,
\item
  $L$'nin \textbf{imgesi,} $V$'nin
  \begin{equation*}
    \{L(\bm u)\colon\bm u\in U\}
  \end{equation*}
  altk\"umesidir.
\end{compactenum}
Bu k\"umeler s\i ras\i yla
\begin{align*}
  &\cek(L),&&L[U]
\end{align*}
olarak yaz\i labilir.
E\u ger $L$ birebir ve $L[U]=V$ ise,
o zaman $L$ bir \textbf{izomorfizimdir.}
\end{definition}

\begin{example}
  $A\in F^{m\times n}$ ise
$F^n$ uzay\i ndan $F^m$ uzay\i na giden
  $\bm u\mapsto A\bm u$ fonksiyonu,
  lineer d\"on\"u\c s\"umd\"ur.
\end{example}

\begin{theorem}
  $L\colon U\to V$ ve lineer ise
  \begin{compactenum}
    \item
      $\cek(L)$, $U$'nun bir altuzay\i d\i r,
      \item
$L[U]$, $V$'nun bir altuzay\i d\i r.
  \end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Bir $F$ cismi \"uzerinde
   $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}$,
  bir $U$ uzay\i n\i n altk\"umesi olsun.
  O zaman
  \begin{equation*}
    (x_1,\dots,x_n)\mapsto x_1\cdot\bm a_1+\cdots+ x_n\cdot\bm a_n,
  \end{equation*}
  $F^n$ uzay\i ndan $U$'ya giden lineer bir d\"on\"u\c s\"umd\"ur.
  E\u ger $\bm a_i$ vekt\"orleri
  lineer ba\u g\i ms\i z ise, o zaman verilen d\"on\"u\c s\"um
  bir izomorfizimdir.
\end{theorem}

\begin{corollary}
  Bir vekt\"or uzay\i n\i n her taban\i,
  ayn\i\ say\i da elemana sahiptir.
\end{corollary}

\begin{definition}
  Teoremde $\{\bm a_1,\dots,\bm a_n\}$, $U$'nun bir taban\i\ ise
  \begin{equation*}
    (x_1,\dots,x_n)=[x_1\cdot\bm a_1+\cdots+ x_n\cdot\bm a_n]_B
  \end{equation*}
  olsun.
  Bu vekt\"or, $x_1\cdot\bm a_1+\cdots+ x_n\cdot\bm a_n$ vekt\"or\"un\"un
  \textbf{koordinat vekt\"or\"ud\"ur.}
\end{definition}

\begin{theorem}
  $B$, bir $U$ uzay\i n\i n bir taban\i;
  $C$, bir $V$ uzay\i n\i n bir taban\i;
  $L\colon U\to V$; ve $L$ lineer olsun.
  O zaman bir $A$ matrisi i\c cin
  $U$'nun her $\bm u$ eleman\i\ i\c cin
  \begin{equation*}
    [L(\bm u)]_C=A[\bm u]_B.
  \end{equation*}
  Asl\i nda $B=\{\bm b_1,\dots, \bm b_n\}$ ise
  \begin{equation*}
    A=\left[
      \begin{array}{c|c|c}
        [L(\bm b_1)]_C&\cdots&[L(\bm b_n)]_C
      \end{array}
      \right].
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{definition}
  Teoremde e\u ger $U=V$ ve $L$, \"ozde\c slik fonksiyonu ise $A$,
  $B$'den $C$'ye \textbf{ge\c ci\c s matrisidir.}
\end{definition}

\begin{definition}
  $\bm u,\bm v\in F^n$ ise
  \begin{equation*}
    \bm u\cdot\bm v=\bm u^{\mathrm t}\bm v=u_1v_1+\cdots+u_nv_n
  \end{equation*}
  olsun.
\end{definition}

\begin{theorem}
  $\bm a\in F^n$ ise $\bm u\mapsto\bm a\cdot\bm u$,
  $F^n$ uzay\i ndan $F$'ye giden lineer bir d\"on\"u\c s\"umd\"ur.
  Ayr\i ca
  \begin{equation*}
    \bm u\cdot\bm v=\bm v\cdot\bm u.
  \end{equation*}
  $A\in F^{m\times n}$, $\bm u\in\sif(A)$, ve $\bm v\in\sat(A)$ ise
  \begin{equation*}
    \bm u\cdot\bm v=0.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
  $A\in\R^{m\times n}$;
  $B$, $\sif(A)$ uzay\i n\i n bir taban\i;
  ve $C$, $\sat(A)$ uzay\i n\i n bir taban\i\ ise,
  o zaman $B\cup C$ birle\c simi,
  $\R^n$ uzay\i n\i n bir taban\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
  $B=\{\bm b_1,\dots,\bm b_k\}$, $C=\{\bm c_1,\dots,\bm c_{\ell}\}$ olsun.
  O zaman $k+\ell=n$, dolay\i s\i yla
  $\{\bm b_1,\dots,\bm b_k,\bm c_1,\dots,\bm c_{\ell}\}$
  k\"umesinin lineer ba\u g\i ms\i z oldu\u gunu kan\i tlamak yeter.
  Baz\i\ $x_i$ ve $y_j$ i\c cin
  \begin{equation*}
    x_1\bm b_1+\cdots+ x_k\bm b_k+y_1\bm c_1+\cdots+\bm_{\ell}\bm c_{\ell}=\bm0
  \end{equation*}
  olsun.
  O zaman
  \begin{equation*}
    x_1\bm b_1+\cdots+ x_k\bm b_k=-y_1\bm c_1-\cdots-\bm_{\ell}\bm c_{\ell}.
  \end{equation*}
  \"Ozel olarak $\bm d=x_1\bm b_1+\cdots+ x_k\bm b_k$ ise
  \begin{equation*}
    \bm d\in\sif(A)\cap\sat(A).
  \end{equation*}
  Bu durumda $\bm d\cdot\bm d=0$, yani
  \begin{equation*}
    d_1{}^2+\cdots+d_n{}^2=0.
  \end{equation*}
  Her $d_i$ ger\c cel say\i\ oldu\u gundan $d_i=0$,
  dolay\i s\i yla $\bm d=\bm0$.
  $B$ lineer ba\u g\i ms\i z oldu\u gundan $x_i=0$;
  ayn\i\ \c sekilde $y_j=0$.
\end{proof}

\begin{example}
  $\R$ \"uzerinde $A=
  \begin{bmatrix}
    \mathrm 1&1
  \end{bmatrix}$ ise
  $\sif(A)=\lspan{(-1,1)}$ ve $\sat(A)=\lspan{(1,1)}$,
  ve $\{(-1,1),(1,1)\}$ lineer ba\u g\i ms\i zd\i r \c c\"unk\"u
  \begin{equation*}
    \det
    \begin{bmatrix}
      -1&1\\1&1
    \end{bmatrix}\neq0.
  \end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
  $\Z_2$ \"uzerinde $A=
  \begin{bmatrix}
    \mathrm 1&1
  \end{bmatrix}$ ise $\sif(A)=\sat(A)$.
\end{example}

\begin{example}
  $\C$ \"uzerinde $A=
  \begin{bmatrix}
    \mathrm i&1
  \end{bmatrix}$ ise $\sif(A)=\sat(A)$.
\end{example}

\end{document}
