\documentclass[%
 version=last,%
 a5paper,%
 10pt,%
 headings=small,%
 bibliography=totoc,%
 index=totoc,%
 twoside,%
 open=any,%
 parskip=half,%  this option takes 2.5% more space than parskip
% draft=true,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
 pagesize]%
 {scrbook}
%{scrartcl}

\makeindex
\usepackage{makeidx}
%\usepackage{showidx}
%  Run texindy -L turkish <filename>.idx on the file

%\usepackage[notcite,notref]{showkeys}
\usepackage{cclicenses}

\usepackage{scrpage2}
\pagestyle{scrheadings}
%\ohead{\pagemark}
%\ohead{}
%\ihead{\headmark}
%\ifoot{\headmark}
%\ofoot{}
\ihead{\today, \printtime}

\usepackage[polutonikogreek,turkish]{babel}
%\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{multicol}
\setlength{\multicolsep}{0\baselineskip}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}

%\usepackage{float}
%\floatstyle{boxed} 
%\restylefloat{figure}

\renewcommand{\captionformat}{ }

%\usepackage{multicol}
%\usepackage{rotating}

\usepackage{calc}
\newcounter{hours}\newcounter{minutes}
\newcommand\printtime{\setcounter{hours}{\time/60}%
                      \setcounter{minutes}{\time-\value{hours}*60}%
         \ifthenelse{\value{minutes}>9}%
                    {saat \thehours:\theminutes}%
                    {saat \thehours:0\theminutes}} 
                    % code adapted from the
                                % LaTeX Companion (2d ed), p. 871  

%\usepackage{dblfnote}

\usepackage{verbatim}

 \usepackage{hfoldsty}

 \renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}

\usepackage[neverdecrease]{paralist}

\usepackage{pstricks,pst-node,pst-tree}

\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,url,upgreek}

\newtheorem{theorem}{Teorem}
%\newtheorem{axiom}{Aks\.iyom}
\newtheorem{axiom}{AKS\.IYOM}
%\theoremstyle{definition}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{xca}{Al\i\c st\i rma}

\newtheoremstyle{xca}{\topsep}{\topsep}%
     {}%         Body font
     {}%         Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
     {\scshape}% Thm head font
     {. }%        Punctuation after thm head
     {}%     Space after thm head (\newline = linebreak)
%     {\thmname{#1}\thmnumber{ #2}\thmnote{ #3}}%         Thm head spec
     {}%         Thm head spec
\theoremstyle{xca}
%\newtheorem{xca}{Alistirma}

%\usepackage[all]{xy}
\usepackage{bm}

\newcommand{\lto}{\Rightarrow}
\newcommand{\liff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\Or}{\;\lor\;}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall{#1}\;}
\newcommand{\Exists}[1]{\exists{#1}\;}
\newcommand{\denk}{\;\text{denktir}\;}
%\newcommand{\class}[1]{\bm{#1}}
\newcommand{\universe}{\mathbf V}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\conv}[1]{\breve{#1}}
\newcommand{\on}{\mathbf{ON}}
\newcommand{\cn}{\mathbf{CN}}
\newcommand{\zf}{\mathrm{ZF}}
\newcommand{\ac}{\mathrm{AC}}
\newcommand{\zfc}{\mathrm{ZFC}}
\newcommand{\ch}{\mathrm{CH}}

\newcommand{\symdiff}{\vartriangle}
\newcommand{\comp}{^{\mathrm c}}

\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
%\usepackage{MnSymbol}
%\newcommand{\pow}[1]{\powerset(#1)}

\newcommand{\included}{\subseteq}
\newcommand{\pincluded}{\subset}

\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}


\newcommand{\divides}{\mid}
\newcommand{\ndivides}{\nmid}

\newcommand{\eng}[1]{\textsl{#1}}

\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\setminus}{\smallsetminus}

\renewcommand{\theequation}{\fnsymbol{equation}}

 \begin{document}
\frontmatter
 \title{K\"umeler kuram\i}
 \author{David Pierce}
 \date{\today, \printtime}
 \publishers{Matematik B\"ol\"um\"u\\
Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
\.Istanbul\\
\url{dpierce@msgsu.edu.tr}\\
\url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}}

\uppertitleback{\centering
Bu eser\\
 Creative Commons Attribution--Gayriticari--Share-Alike\\
3.0 Unported Lisans\i\ ile lisansl\i d\i r.\\
Lisans\i n bir kopyas\i n\i\ g\"orebilmek i\c cin,\\
\url{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.tr}\\
adresini ziyaret edin ya da a\c sa\u g\i daki adrese yaz\i n:\\
Creative Commons,
444 Castro Street,
Suite 900,\\
Mountain View,
California, 94041, USA.\\
\mbox{}\\
\cc \ccby David Austin Pierce \ccnc \ccsa}

 \maketitle

\chapter*{\"Ons\"oz}

Bu notlar\i, MAT 340 kodlu Aksiyomatik K\"umeler Kuram\i\ dersi i\c cin
yaz\i yorum.  L\"utfen hatalar\i\ bana bildirin.

\tableofcontents

\mainmatter

\chapter{Giri\c s}

\section{Sayma ve ordinaller}

Bir torbada birka\c c tane satran\c c ta\c s\i m\i z var, onlar\i\ teker teker \c cekiyoruz, ve ayn\i\ zamanda say\i lar diyoruz:\\
\begin{minipage}[b]{1\textwidth}
\begin{multicols}{3}
\begin{compactenum}
\item
piyade (\eng{pawn})
\item
kale (\eng{rook})
\item
at (\eng{knight})
\item
f{}il (\eng{bishop})
\item
vezir (\eng{queen})
\item
\c sah (\eng{king})
\end{compactenum}
\end{multicols}
\end{minipage}
Bu \c sekilde ta\c slar\i\ \emph{saym\i\c s olduk.}
Sonu\c c olarak 6 tane ta\c s\i m\i z var deriz.  

Ama ta\c slar\i\ belli bir \emph{s\i rada} \c cektik.  Ba\c ska bir s\i ra m\"umk\"und\"u.  Ta\c slar\i\ tekrar \c cantaya koyup \c cekiyoruz:\\
\begin{minipage}[b]{1\textwidth}
\begin{multicols}{3}
\begin{compactenum}
\item
piyade
\item
at
\item
vezir
\item
kale
\item
f{}il
\item
\c sah
\end{compactenum}
\end{multicols}
\end{minipage}
Son ta\c s\i\ \c cekince yine 6 numaras\i n\i\ diyoruz.  Her zaman \"oyle olacak:  her zaman ta\c slar\i\ say\i nca 6'ya kadar sayaca\u g\i z.  Ama nas\i l biliyoruz?

Saymak nedir?  Sayman\i n nesnesi, bir
\textbf{topluluktur}\index{topluluk}
(\eng{collection}).\footnote{\textbf{K\"umeler}\index{k\"ume}
  (\eng{sets}), \"ozel topluluk olacak.}  Bir toplulu\u gu say\i nca
asl\i nda onu 
\textbf{s\i ral\i yoruz}%
\index{s\i ra}\index{s\i ra!---lama}
(\eng{order}). 

$A$ bir topluluk olsun, ve $R$, onun bir 
\textbf{s\i ralamas\i}
(\eng{ordering}) olsun.  O zaman $A$ toplulu\u gunun \textbf{elemanlar\i}\index{eleman} (\eng{elements}) veya \textbf{\"o\u geleri}\index{\"o\u ge} (\eng{members}) vard\i r; ve bu toplulu\u gun t\"um $b$, $c$, ve $d$ elemanlar\i\ i\c cin
\begin{compactenum}[1)]
\item
$b\mathrel Rb$ de\u gil, yani
\begin{equation*}
\lnot\;b\mathrel Rb;
\end{equation*}
\item
$b\mathrel Rc$ ve $c\mathrel Rd$ ise $b\mathrel Rd$ olur, yani
\begin{equation*}
b\mathrel Rc\And c\mathrel Rd\implies b\mathrel Rd;
\end{equation*}
\item
$b$ ve $c$ birbirinden farkl\i ysa ya $b\mathrel Rc$ ya da $c\mathrel Rb$ olur, yani
\begin{equation*}
b=c\Or b\mathrel Rc\Or c\mathrel Rb.
\end{equation*}
\end{compactenum}
Yani $R$,
\begin{compactenum}[(1)] 
\item
\textbf{yans\i mas\i z} veya \textbf{d\"on\"u\c ss\"uz}
(\eng{irreflexive}),\footnote{I\c s\i k, bir aynadan yans\i r; ses,
  bir kayal\i ktan yans\i r.  \emph{Y\i kanmak} f{}iili, \emph{kendi
    kendini y\i kamak} \"obe\u ginin anlam\i na gelirse, d\"on\"u\c
  sl\"ud\"ur; \emph{y\i kan\i lma} f{}iilinin anlam\i na gelirse,
  edilgendir \cite{Lewis2,Ozkirimli-T}.} 
\item
\textbf{ge\c ci\c sli} veya \textbf{ge\c ci\c sken} (\eng{transitive}),\footnote{\emph{Kaynatmak} f{}iili ge\c ci\c slidir, \c c\"unk\"u bir nesne ister; \emph{kaynamak} ge\c ci\c ssizdir.} ve 
\item
\textbf{do\u grusal} (\eng{linear}) veya \textbf{tam} (\eng{total})
\end{compactenum}
bir ba\u g\i nt\i d\i r.  O zaman $(A,R)$ ikilisi (asl\i nda \emph{s\i
  ral\i} ikilisi), bir \textbf{s\i rad\i r.}\index{s\i ra}  Bu s\i ra,
$A$ \textbf{toplulu\u gunun bir s\i ras\i d\i r.} 

\c Simdi $A$, satran\c c ta\c slar\i\ torbam\i z olsun.  O zaman $A$
toplulu\u gunun t\"um s\i ralar\i, birbiriyle
\textbf{izomorftur}\index{izomorf} (\eng{isomorphic}).  Yani $R$ ile
$S$, $A$ toplulu\u gunun s\i ralamalar\i ysa, o zaman $A$ toplulu\u
gundan kendisine giden \"oyle bir birebir ve \"orten $f$ g\"ondermesi
vard\i r---yani $A$ toplulu\u gunun \"oyle bir $f$
\textbf{perm\"utasyonu} (\eng{permutation}) veya \textbf{e\c sle\c
  smesi}\index{e\c sle\c sme} vard\i r---ki $A$ toplulu\u gunun t\"um
$b$ ile $c$ elemanlar\i\ i\c cin 
\begin{equation*}
b\mathrel Rc\iff f(b)\mathrel Sf(c)
\end{equation*}
denkli\u gi do\u grudur.  Ama bunu nas\i l biliyoruz?

\c Simdi $A$, pozitif \emph{tamsay\i lar}\index{say\i!tam---lar\i}
toplulu\u gu olsun.  Yani $A=\N$ 
olsun.  Bu toplulu\u gun al\i\c s\i lm\i \c s \emph{do\u gal} $<$ s\i
ralamas\i\ vard\i r.  Ama ba\c ska s\i ralamalar\i\ da vard\i r.
Mesela $\N$ toplulu\u gunun \"oyle bir $R$ \textbf{ba\u g\i nt\i
  s\i}\index{ba\u g\i nt\i} (veya \textbf{ili\c skisi:}\index{ili\c
  ski} \eng{relation}) vard\i r ki toplulu\u gun t\"um $k$ ile $m$
elemanlar\i\ i\c cin 
\begin{equation*}
k\mathrel Rm\iff 1<k<m\Or 1=m<k
\end{equation*}
denkli\u gi do\u grudur.  \"Oyleyse $R$ ba\u g\i nt\i s\i, $\N$ toplulu\u gunu s\i ral\i yor; asl\i nda $R$ s\i ralamas\i, $<$ s\i ras\i\ ile hemen hemen ayn\i d\i r, ancak $R$ s\i ras\i na g\"ore $1$ eleman\i, $\N$ toplulu\u gunun \emph{son} eleman\i d\i r.  O zaman $(\N,<)$ ile $(\N,R)$, birbirine izomorf de\u gildir:
\begin{equation*}
\begin{array}{c|*5c}
<&1,&2,&3,&\dots;&?\\\hline
R&2,&3,&4,&\dots;&1
\end{array}
\end{equation*}
\c Simdi
\begin{equation*}
k\mathrel Sm\iff(2\divides k+m\And k<m)\Or(2\ndivides k\And 2\divides m)
\end{equation*}
olsun.  O zaman $k\mathrel Sm$ ancak ve ancak
\begin{compactenum}[1)]
\item
hem $k$ hem $m$ ya tek ya \c cift, ve $k<m$, veya
\item
$k$ tek ve $m$ \c cift.
\end{compactenum}
O zaman $S$ ba\u g\i nt\i s\i\ da, $\N$ toplulu\u gunu s\i ral\i yor, ama $(\N,<)$ ile $(\N,S)$ s\i ralar\i, birbirine izomorf de\u gildir:
\begin{equation*}
\begin{array}{c|*8c}
<&1,&2,&3,&\dots;& ?& ?& ?&\dots\\\hline
S&1,&3,&5,&\dots;&2,&4,&6,&\dots
\end{array}
\end{equation*}

$\N$ toplulu\u gu say\i labilir mi?  Normalde, sayarken, say\i lar diyoruz.  $R$ s\i ralamas\i na g\"ore $\N$ toplulu\u gunu say\i nca $1$ i\c cin hangi say\i y\i\ diyebiliriz?  Yani yukar\i daki ilk tablonun alt sat\i r\i ndaki $1$ numaras\i n\i n \"ust\"unde, soru i\c saretinin yerine hangi say\i y\i\ koyabiliriz?  Bu say\i\, $\upomega+1$ olacak.  Ondan sonra $\upomega+2$, $\upomega+3$, vesaire say\i lar\i\ olacak; bunlardan sonra, $\upomega+\upomega$, yani $\upomega\cdot2$, $\upomega\cdot2+1$, vesaire say\i lar\i\ olacak.  Ama $\N$ toplulu\u gunun sadece $\upomega$ tane eleman\i\ olacak.

Asl\i nda k\"umeler kuramc\i lar\i\ olarak sayarken, $0$'dan ba\c slayaca\u g\i z:
\begin{equation*}
\begin{array}{c|*8c}
 &0,&1,&2,&\dots;&\upomega,&\upomega+1,&\upomega+2,&\dots\\\hline
S&1,&3,&5,&\dots;&       2,&         4,&         6,&\dots
\end{array}
\end{equation*}
Burada $0$, $1$, $2$, $3$, \dots; $\upomega$, $\upomega+1$, $\upomega+2$, \dots; $\upomega\cdot2$, $\upomega\cdot2+1$, \dots numaralar\i, \textbf{ordinal say\i lar}\index{ordinal} veya \textbf{ordinallerdir.}  (Her ordinal, bu s\i rada bulunacak.)  Ayr\i ca $0$, $1$, $2$, $3$, \dots, $\upomega$ numaralar\i, \textbf{kardinal} (\eng{cardinal}) \textbf{say\i lar}\index{kardinal} veya \textbf{kardinaldirler} (ba\c ska kardinaller olacak); ama $\upomega+1$, bir kardinal de\u gildir.

Her kardinal, bir ordinal olacak, ama her ordinal, bir kardinal olmayacak.

Her ordinal, bir \textbf{k\"ume}\index{k\"ume} olacak; ama baz\i\ k\"umeler, ordinal olmayacak.

Her \textbf{k\"ume,} bir topluluk olacak; ve her k\"umenin her eleman\i, bir k\"ume olacak.  
O zaman $a$ ile $b$ k\"umeyse, ya $a$ k\"umesi, $b$ k\"umesinin eleman\i d\i r, ya da eleman\i\ de\u gildir.  \.Ilk durumda $b$ k\"umesi, $a$ k\"umesini \textbf{i\c cerir}\index{i\c cerme} (\eng{contains}), yani $a$ k\"umesi, $b$ k\"umesi taraf\i ndan \textbf{i\c cerilir,} ve
\begin{equation*}
a\in b
\end{equation*}
ifadesini yazar\i z;\footnote{\label{epsilon}Buradaki $\in$ i\c
  sareti, Yunan \foreignlanguage{polutonikogreek}{e} (epsilon)
  harf{}inden t\"urer.  Bu harf,
  \foreignlanguage{polutonikogreek}{>est'i} kelimesinin ilk harf{}idir,
  ve $A$ \foreignlanguage{polutonikogreek}{>est'i} $B$ c\"umlesi,
  ``$A$, $B$'dir'' (\eng{$A$ is $B$}) anlam\i na gelir.  Epsilonun bu kullan\i\c s\i n\i, Peano \cite{Peano} ortaya koymu\c stur.} ikinci
durumda $b$ k\"umesi, $a$ k\"umesini \textbf{i\c cermez,} ve 
\begin{equation*}
a\notin b
\end{equation*}
yazar\i z.  Genelde $C$ bir topluluk ise, ya $a\in C$ ya da $a\notin C$ olur.

Bize g\"ore \textbf{bo\c s bir topluluk}---elemanlar\i\ olmayan bir
topluluk---vard\i r, ve bu topluluk, bir k\"umedir.  Bu varsay\i m, 
\textbf{Bo\c s K\"ume Aksiyomudur}%
\label{boskume}%
\index{aksiyom!Bo\c s K\"ume A---u}%
\index{bo\c s!--- k\"ume}%
\index{k\"ume!bo\c s ---} 
(\eng{Empty Set Axiom} \cite{Zermelo-invest}).  
Bo\c s k\"umenin i\c sareti, 
\begin{equation*}
\emptyset
\end{equation*}
olur.  Ayr\i ca $a$ ile $b$ k\"umeyse, o zaman \"oyle bir k\"ume vard\i r ki her eleman\i, ya $a$ k\"umesinin bir eleman\i, ya da $b$ k\"umesinin kendisidir.  Bu yeni k\"umenin ifadesi,
\begin{equation*}
a\cup\{b\}
\end{equation*}
olur.  Bu toplulu\u gun k\"ume oldu\u gu, 
\textbf{Biti\c stirme Aksiyomudur}%
\label{bitistirme}%
\index{aksiyom!Biti\c stirme A---u} 
(\eng{Adjunction Axiom}).%
\footnote{Bu aksiyom, Tarski ve Givant \cite[p.~223, QIII]{MR920815}
  kayna\u g\i nda bulunur; \.Ingilizce ad\i, Boolos
  \cite[p.~100]{Boolos-again} kayna\u g\i nda bulunur.}  
Burada $a$
bo\c s ise, yeni $a\cup\{b\}$ k\"umesi, 
\begin{equation*}
\{b\}
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i r.  O zaman a\c sa\u g\i daki gibi k\"umelerimiz vard\i r:
\begin{align*}
&\emptyset,&
&\{\emptyset\},&
&\{\emptyset\}\cup\bigl\{\{\emptyset\}\bigr\},&
&\Bigl(\{\emptyset\}\cup\bigl\{\{\emptyset\}\bigr\}\Bigr)\cup\Bigl\{\{\emptyset\}\cup\bigl\{\{\emptyset\}\bigr\}\Bigr\}.
%\end{align*}
\intertext{Bu ifadelerin yerine}
%\begin{align*}
&\emptyset,&
&\{\emptyset\},&
&\bigl\{\emptyset,\{\emptyset\}\bigr\},&
&\Bigl\{\emptyset,\{\emptyset\},\bigl\{\emptyset,\{\emptyset\}\bigr\}\Bigr\}
\end{align*}
ifadelerini yazabiliriz.  Asl\i nda $0$ say\i s\i n\i\ $\emptyset$ olarak tan\i mlar\i z, yani
\begin{equation*}
0=\emptyset
\end{equation*}
olur.  Bu say\i, \textbf{ilk ordinaldir.}  Her $\alpha$ ordinali i\c cin bir sonraki ordinal olacak, ve bu ordinal, $\alpha\cup\{\alpha\}$ olacak.  Mesela $0$'dan bir sonraki ordinal $\{0\}$ olacak; yani
\begin{equation*}
1=\{0\}
\end{equation*}
olacak.  Ayr\i ca her $\alpha$ ordinal i\c cin
\begin{equation*}
\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}
\end{equation*}
olacak.  Ama bildi\u gimiz gibi
\begin{align*}
1+1&=2,&
2+1&=3,&
3+1&=4,
\end{align*}
vesaire.  O zaman
\begin{gather*}
2=1\cup\{1\}=\{0,1\},\\
3=2\cup\{2\}=\{0,1,2\},\\
4=3\cup\{3\}=\{0,1,2,3\},
\end{gather*}
vesaire.  B\"oyle tan\i mlanm\i\c s say\i lar, \textbf{von Neumann
  do\u gal say\i lar\i}%
\index{say\i!von Neumann do\u gal ---lar\i}%
\index{von Neumann do\u gal say\i lar\i}\label{vnn}
(\eng{natural numbers} \cite{von-Neumann}) olur.  Bu say\i lar, bir
toplulu\u gu olu\c sturacak, ve bu topluluk, $\upomega$ olacak.  Yani
$\upomega$, \"oyle bir topluluktur ki 
\begin{compactenum}[1)]
\item
$0\in\upomega$ olur,
\item
$\alpha\in\upomega$ ise $\alpha+1\in\upomega$ olur, ve
\item
$\upomega$ toplulu\u gunun ba\c ska eleman\i\ yoktur.
\end{compactenum}
\"Oyleyse $\upomega$ toplulu\u gunun tan\i m\i, \textbf{rek\"ursif}\index{rek\"ursif tan\i m} veya \textbf{\"ozyinelidir}\index{\"ozyineli tan\i m} (\eng{recursive}).

\section{Ordinaller Hesaplar\i}

\textbf{Sonsuzluk Aksiyomuna}%
\index{aksiyom!Sonsuzluk A---u}%
\label{sonsuzluk}%
\footnote{Veya \textbf{Sonsuz K\"ume Aksiyomu} \cite{Nesin-SKK}.} 
(\eng{Axiom of Infinity} \cite{Zermelo-invest})
g\"ore $\upomega$ toplulu\u gu, bir k\"ume olacak.  O zaman $\upomega$
bir ordinal olacak, ve bu ordinalin her $k$ eleman\i\ i\c cin
$\upomega+k$ k\"umesi, bir ordinal olacak. 

Asl\i nda t\"um $\alpha$ ile $\beta$ ordinaller i\c cin
\begin{align*}
&\alpha+\beta\text{ toplam\i n\i,}&
&\alpha\cdot\beta\text{ \c carp\i m\i n\i, ve}&
&\alpha^{\beta}\text{ kuvvetini}
\end{align*}
tan\i mlayaca\u g\i z.  O zaman
\begin{gather*}
1+\upomega=\upomega<\upomega+1,\\
2\cdot\upomega=\upomega<\upomega\cdot2,\\
(\upomega+1)^{\upomega}=\upomega^{\upomega}<\upomega^{\upomega+1}
\end{gather*}
olacak.  Asl\i nda:
\begin{asparaitem}
\item
$1+\upomega$ toplam\i,
\begin{equation*}
(0,0,1,2,3,\dots)
\end{equation*}
s\i ras\i n\i n ordinalidir, ama $\upomega+1$,
\begin{equation*}
(0,1,2,3,\dots,0)
\end{equation*}
s\i ras\i n\i n ordinalidir.
\item
$2\cdot\upomega$ \c carp\i m\i,
\begin{equation*}
(0,1,0,1,0,1,\dots)
\end{equation*}
s\i ras\i n\i n ordinalidir, ama $\upomega\cdot2$,
\begin{equation*}
(0,1,2,3,\dots,0,1,2,3,\dots)
\end{equation*}
s\i ras\i n\i n ordinalidir; ayr\i ca
\begin{gather*}
	2\cdot\upomega=2+2+2+\dotsb,\\
	\upomega\cdot2=\upomega+\upomega=\upomega+1+1+1+\dotsb
\end{gather*}
olur.
\item
$(\upomega+1)^{\upomega}$ kuvveti,
\begin{equation*}
((\upomega+1)^2,(\upomega+1)^3,(\upomega+1)^4,\dots)
\end{equation*}
dizisinin \textbf{limitidir,}\index{limit} ve
\begin{gather*}\allowdisplaybreaks
\begin{aligned}
(\upomega+1)^2
&=(\upomega+1)\cdot(\upomega+1)\\
&=(\upomega+1)\cdot\upomega+(\upomega+1)\cdot1\\
&=(\upomega+1+\upomega+1+\upomega+1+\dotsb)+\upomega+1\\
&=(\upomega+\upomega+\upomega+\dotsb)+\upomega+1\\
&=\upomega^2+\upomega+1,
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
(\upomega+1)^3
&=(\upomega+1)^2\cdot(\upomega+1)\\
&=(\upomega^2+\upomega+1)\cdot(\upomega+1)\\
&=(\upomega^2+\upomega+1)\cdot\upomega+\upomega^2+\upomega+1\\
&=(\upomega^2+\upomega+1+\upomega^2+\upomega+1+\upomega^2+\dotsb) +\upomega^2+\upomega+1\\
&=(\upomega^2+\upomega^2+\dotsb)+\upomega^2+\upomega+1\\
&=\upomega^3+\upomega^2+\upomega+1,
\end{aligned}
\end{gather*}
ve genelde
\begin{equation*}
(\upomega+1)^n=\upomega^n+\upomega^{n-1}+\dots+\upomega+1
\end{equation*}
olur.
\end{asparaitem}
Ayr\i ca her pozitif $\alpha$ ordinali i\c cin \"oyle bir $\ell$ do\u gal say\i s\i, ve $\alpha_0$, \dots, $\alpha_{\ell}$ ordinalleri, ve $a_0$, \dots, $a_{\ell}$ pozitif do\u gal say\i lar\i\ vard\i r ki
\begin{align*}
\alpha_0&>\dots>\alpha_{\ell},&
\alpha&=\upomega^{\alpha_0}\cdot a_0+\dots+\upomega^{\alpha_{\ell}}\cdot a_{\ell}
\end{align*}
olur.  Burada $\upomega^{\alpha_0}\cdot
a_0+\dots+\upomega^{\alpha_{\ell}}\cdot a_{\ell}$ ifadesi, $\alpha$
ordinalinin \textbf{Cantor normal bi\c cimidir}\index{Cantor normal
  bi\c cimi} (\eng{Cantor normal form}).  Her pozitif ordinalin tek
bir Cantor normal bi\c cimi vard\i r.  Bundan hesaplama
kurallar\i\ t\"ureyebilir. 

\section{K\"umeler ve S\i n\i flar}

Her topluluk, bir k\"ume de\u gildir.\label{Russell}  \"Orne\u gin
\"oyle bir $R$ toplulu\u gu vard\i r ki her eleman\i\ bir k\"ume, ama
bu k\"ume, kendisinin eleman\i\ de\u gildir.  Yani 
\begin{equation*}
R=\{x\colon x\notin x\}
\end{equation*}
olur.  Burada $x$ de\u gi\c skeni her zaman bir k\"ume olacak.  \c
Simdi $a$ bir k\"ume olsun.  E\u ger $a\in a$ ise, o zaman $a\notin
R$, dolay\i s\i yla $a\neq R$.  E\u ger $a\notin a$ ise, o zaman $a\in
R$ olmal\i, dolay\i s\i yla $a\neq R$.  Her durumda $R$ toplulu\u gu,
$a$ k\"umesi de\u gildir.  Yani $R$, bir k\"ume de\u gildir.  Bu
teoreme 
\textbf{Russell Paradoksu}%
\index{paradoks!Russell P---u}%
\index{teorem!Russell Paradoksu}
denir. 

Uygunlu\u gumuz i\c cin her toplulu\u gun her eleman\i, bir k\"ume
olacak.  Baz\i\ topluluklar, 
\textbf{s\i n\i f}%
\index{s\i n\i f}
olacak.  Her k\"ume, bir s\i n\i ft\i r, ancak baz\i\ s\i n\i flar,
k\"ume de\u gildir.  Mesela yukar\i daki gibi $\{x\colon x\notin x\}$
toplulu\u gu, bir s\i n\i ft\i r, ama g\"osterdi\u gimiz gibi k\"ume
de\u gildir.  Tan\i ma g\"ore her s\i n\i f, 
\begin{equation*}
\{x\colon\phi(x)\}
\end{equation*}
bi\c ciminde yaz\i labilir.  Burada $\phi(x)$, k\"umeler kuram\i n\i n mant\i\u g\i nda bir \textbf{form\"uld\"ur.}\index{form\"ul}  E\u ger $a$ bir k\"umeyse, o zaman $\phi(a)$ ifadesi, bir \textbf{c\"umledir.}\index{c\"umle}  Her c\"umle, ya do\u gru ya yanl\i\c st\i r.  Bir $\{x\colon\phi(x)\}$ s\i n\i f\i n\i n elemanlar\i, \"oyle $a$ k\"umeleridir ki $\phi(a)$ c\"umlesi do\u grudur.  Bu s\i n\i f, $\phi(x)$ form\"ul\"u taraf\i ndan 
\textbf{tan\i mlan\i r.}%
\index{tan\i mlama}

Bir $\phi(x)$ form\"ul\"un\"un bir tek \textbf{serbest de\u gi\c skeni}\index{ de\u gi\c sken!serbest} vard\i r, ve bu de\u gi\c sken, $x$ olur.  Ancak bir form\"ul\"un birden fazla serbest de\u gi\c skeni olabilir.  \"Orne\u gin
\begin{equation*}
\Forall z(z\in x\liff z\in y)
\end{equation*}
ifadesi, bir form\"uld\"ur, ve serbest de\u gi\c skenleri, $x$ ile $y$ olur.  Bu form\"ulde $z$, \textbf{ba\u glant\i l\i\ de\u gi\c skendir.}\index{de\u gi\c sken!ba\u glant\i l\i}  Form\"ul, k\"umelerin \textbf{e\c sitlik}\index{e\c sitlik} ba\u g\i nt\i s\i n\i\ tan\i mlar.  Yani $a$ ile $b$ k\"umeleri birbirine e\c sittir, ancak ve ancak
\begin{equation*}
\Forall z(z\in a\liff z\in b)
\end{equation*}
olur, yani elemanlar\i\ ayn\i d\i r.  K\"ume olmayan bir s\i n\i f\i n oldu\u gunu kan\i tlarken, bu kural\i\ kulland\i k.
Yukar\i daki $\Forall z(z\in x\liff z\in y)$ form\"ul\"un\"un yerine
\begin{equation*}\label{=}
x=y
\end{equation*}
ifadesini yazar\i z.  O halde bir $\{x\colon x=x\}$ s\i n\i
f\i\ vard\i r, ve bu s\i n\i f, t\"um k\"umelerin s\i n\i f\i d\i r.
Bu s\i n\i f, 
\textbf{evrensel s\i n\i ft\i r,}%
\index{evrensel s\i n\i f}
(\eng{universal class})
ve i\c sareti,
\begin{equation*}\label{universe}
\universe
\end{equation*}
olacak.  Ayr\i ca $a$ bir k\"umeyse, o zaman bir $\{x\colon x\in a\}$ s\i n\i f\i\ vard\i r, ama bu s\i n\i f, $a$ k\"umenin kendisidir, yani
\begin{equation*}
a=\{x\colon x\in a\}
\end{equation*}
olur.  \"Oyleyse, dedi\u gimiz gibi, her k\"ume, bir s\i n\i ft\i r.

Sonsuzluk Aksiyomunu kullanmadan $\upomega$ toplulu\u gunun s\i n\i f oldu\u gu a\c c\i k (apa\c c\i k, a\c sik\^ar) de\u gildir, ama s\i n\i f olacak.

Fakat baz\i\ (k\"umelerden olu\c sturulmu\c s) topluluklar, s\i n\i f
de\u gildir.  Bu sonu\c c, \textbf{G\"odel'in Eksiklik
  Teoremi}\index{teorem!G\"odel Eksiklik T---i} (\eng{G\"odel's
  Incompleteness Theorem} \cite{Goedel-incompl}%\nocite{MR1890980}
)
veya \textbf{Tarski'nin Do\u grulu\u gun Tan\i
  mlanamamas\i\ Teoremi}\index{teorem!Tarski Do\u grulu\u gun Tan\i
  mlanamamas\i\ T---i} (\eng{Tarski's Theorem on the Indefinability of Truth}
\cite{Tarski-truth}%\nocite{MR736686}
)
 gibidir.  Bu teoremlerin as\i l bi\c cimleri,
$\N$ toplulu\u gu hakk\i ndad\i r, ve bu bi\c cimde teoremlerini kan\i
tlamak zordur.  Fakat bu teoremler,  $\universe$ hakk\i nda yaz\i
labilir; ve bu bi\c cimde onlar\i\ kan\i tlamak daha kolay olur. 

T\"um ordinallerin toplulu\u gu, bir s\i n\i f olacak, ve bu s\i n\i f\i n i\c sareti
\begin{equation*}
\on
\end{equation*}
olacak.  Asl\i nda bu s\i n\i f, bir $a$ k\"umesiyse, o zaman $a\in\on$ olurdu, yani $a\in a$ olurdu; ama bu i\c cerme imk\^ans\i zd\i r.  Sonu\c c olarak $\on$, bir k\"ume de\u gildir.  Bu teorem, \textbf{Burali-Forti Paradoksu}%
\index{paradoks!Burali-Forti P---u}%
\index{teorem!Burali-Forti Paradoksu}\label{BFP}
\cite{Burali-Forti}
olarak bilinir.

\section{Kardinaller}

$\on$ s\i n\i f\i n\i n bir s\i ralamas\i\ vard\i r, ve bu s\i ralama,
\emph{i\c cerilmedir,} yani $\in$ ile g\"osterilen s\i ralamad\i r.  
\textbf{Se\c cim Aksiyomuna}%
\label{secim}%
\index{aksiyom!Se\c cim A---u} 
(\eng{Axiom of Choice} \cite{Zermelo-invest}) 
g\"ore, her $a$ k\"umesinden bir $\beta$
ordinaline giden bir \textbf{e\c sleme}\index{e\c sleme}\index{e\c slenik} (yani bir birebir \"orten g\"onderme) vard\i r.  O halde
\begin{equation*}
a\approx\beta
\end{equation*}
ifadesini yazal\i m, ve $a$ ile $\beta$ k\"umelerine \textbf{e\c slenik} densin \cite[s.~82]{Nesin-SKK}.  E\u ger $a$ verilirse, ve $a\approx\beta$ ko\c sulunu sa\u glayan $\beta$ ordinallerinin en k\"u\c c\"u\u g\"u $\kappa$ ise, o zaman $\kappa$, $a$ k\"umesinin 
\textbf{kardinalidir.}%
\index{kardinal}  
T\"um kardinallerden olu\c sturulmu\c s topluluk, bir s\i n\i f olacak, ve bu s\i n\i f\i n i\c sareti
\begin{equation*}
\cn
\end{equation*}
olacak.  En k\"u\c c\"uk \emph{sonsuz} kardinal, $\upomega$ olur.  $\on$ s\i n\i f\i ndan $\cn$ s\i n\i f\i na giden bir
\begin{equation*}
\alpha\mapsto\aleph_{\alpha}
\end{equation*}
g\"ondermesi vard\i r.  Burada
\begin{equation*}
\aleph_0=\upomega
\end{equation*}
olur, ve
\begin{equation*}
\alpha<\beta\iff\aleph_{\alpha}<\aleph_{\beta}
\end{equation*}
olur, ve her sonsuz kardinal, bir $\alpha$ ordinali i\c cin, $\aleph_{\alpha}$ bi\c cimindedir.  \.Iki kardinalin \emph{kardinal} toplam\i\ ve \emph{kardinal} \c carp\i m\i\ vard\i r, ve
\begin{equation*}
\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=
\aleph_{\alpha}\cdot\aleph_{\beta}=\aleph_{\max(\alpha,\beta)}
\end{equation*}
(daha kesinlikle $\aleph_{\alpha}+_{\text{card}}\aleph_{\beta}=
\aleph_{\alpha}\cdot_{\text{card}}\aleph_{\beta}=\aleph_{\max(\alpha,\beta)}$) olur.  Ayr\i ca $1\leq k<\upomega$ ise
\begin{equation*}
k+\aleph_{\alpha}=k\cdot\aleph_{\alpha}=\aleph_{\alpha}
\end{equation*}
olur.

Genelde siyah harfler, s\i n\i flar\i\ g\"osterecek.  \c Simdi $\bm A$
ile $\bm B$, s\i n\i f olsun.  E\u ger $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n
her eleman\i, $\bm B$ s\i n\i f\i n\i n eleman\i ysa, o zaman $A$ s\i
n\i f\i na $\bm B$ \textbf{s\i n\i f\i n\i n alts\i n\i
  f\i}\index{alts\i n\i f} denir, ve
\begin{equation*}
\bm A\included\bm B
\end{equation*}
ifadesi yaz\i l\i r.  Bu durumda $\bm B$ s\i n\i f\i, $\bm A$ s\i n\i
f\i n\i\ 
\textbf{kapsar.}%
\index{kapsama}  
\textbf{Ay\i rma Aksiyomuna}%
\label{ayirma}%
\index{aksiyom!Ay\i rma A---u} 
(\eng{Separation Axiom} \cite{Zermelo-invest}) 
g\"ore, her \emph{k\"umenin} her alt s\i n\i
f\i, bir k\"umedir.  \c Simdi, e\u ger $\phi(x)$ bir form\"ul ise, ve
$a$ bir k\"umeyse, o zaman \"oyle bir s\i n\i f vard\i r ki her
eleman\i, hem $a$ k\"umesinin eleman\i d\i r, hem de $\phi(x)$
form\"ul\"un\"u sa\u glar.  Bu s\i n\i f, 
\begin{equation*}
\{x\in a\colon\phi(x)\}
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i r.  Ay\i rma Aksiyomuna g\"ore, bu s\i n\i f, bir k\"umedir.  O zaman bu k\"ume, $a$ k\"umesinin bir \textbf{altk\"umesidir.}

Bir $a$ k\"umesinin t\"um altk\"umeleri, bir s\i n\i f olu\c sturur.  Bu s\i n\i f, $a$ k\"umesinin \textbf{kuvvet s\i n\i f\i d\i r} (\eng{power class}), ve
\begin{equation*}
\pow a
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i r.  
\textbf{Kuvvet K\"umesi Aksiyomuna}%
\label{kuvvetkumesi}%
\index{aksiyom!Kuvvet K\"umesi A---u} 
(\eng{Power Set Axiom} \cite{Zermelo-invest}) 
g\"ore, bu s\i n\i f, her zaman bir
k\"umedir.  \textbf{Cantor'un
  Teoremine}\index{teorem!Cantor T---i}\footnote{Levy'e \cite{MR1924429}
  g\"ore Cantor, bu teoremi 1892 y\i l\i nda yay\i mlad\i.} g\"ore,
her k\"umenin kuvvet k\"umesi, k\"umeden kesinlikle daha
b\"uy\"ukt\"ur, yani kardinali daha b\"uy\"ukt\"ur.  Bu teorem, 
\begin{equation*}
a\prec\pow a
\end{equation*}
ifadesiyle s\"oylenir.

E\u ger $a$ ile $b$, iki k\"umeyse, o zaman $a$ k\"umesinden $b$ k\"umesine giden g\"ondermeler toplulu\u gu, bir k\"umedir, ve bu k\"ume
\begin{equation*}
{}^ab
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir.  O zaman
\begin{equation*}
{}^a2\approx\pow a
\end{equation*}
olur.  E\u ger $\kappa$ ile $\lambda$, iki kardinal ise, tan\i ma g\"ore
\begin{equation*}
\kappa^{\lambda}
\end{equation*}
kuvveti, ${}^{\lambda}\kappa$ k\"umesinin kardinalidir.  E\u ger $2\leq\kappa\leq\lambda$ ise, o zaman
\begin{equation*}
2^{\lambda}\leq\kappa^{\lambda}\leq(2^{\kappa})^{\lambda}=2^{\kappa\cdot\lambda}=2^{\lambda}
\end{equation*}
olur; \"ozel olarak
\begin{equation*}
\kappa^{\lambda}=2^{\lambda}
\end{equation*}
olur.

\c Simdi $\Z$, \textbf{tamsay\i lar}\index{say\i!tam---lar\i} toplulu\u gu
olsun.  O zaman
\begin{equation*}
\Z\approx\upomega
\end{equation*}
olur, \c c\"unk\"u tamsay\i lar, sonsuz bir
\begin{equation*}
0,1,-1,2,-2,3,-3,4,\dots
\end{equation*}
listede yaz\i labilir.  Ayr\i ca her tamsay\i, $\upomega$ k\"umesinin
elemanlar\i\ gibi, bir k\"ume olarak d\"u\c s\"un\"ulebilir.  Bunu
g\"ostermek i\c cin, e\u ger $a$ ile $b$, herhangi iki k\"umeyse, o zaman
\begin{equation*}
  (a,b)
\end{equation*}
 \textbf{s\i ral\i\ ikilisi}%
\index{ikili}%
\index{s\i ra!---l\i\ ikili}
(\eng{ordered pair}),
 \begin{equation*}
   \big\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}
 \end{equation*}
k\"umesi olarak tan\i mlan\i r.\footnote{\label{Kuratowski}Bu tan\i
  m, Kuratowski'nin \cite{Kuratowski}.  Daha \"once, Wiener
  \cite{Wiener} daha karma\c s\i k bir tan\i m verdi.}  O zaman
$n\in\upomega$ ve $n>0$ ise, o zaman $-n$ tamsay\i s\i, $(0,n)$ olarak
tan\i mlanabilir.

Ba\c ska y\"ontemle $\Z$ toplulu\u gunun her $r$ eleman\i n\i,
$\{(x,y)\in\upomega\times\upomega\colon x=y+r\}$ olarak tan\i
mlanabiliriz.  Bu tan\i ma g\"ore $\Z$ toplulu\u gunun her eleman\i,
bir 
\textbf{denklik s\i n\i f\i d\i r.}%
\index{s\i n\i f!denklik ---\i}%
\index{denk!---lik s\i n\i f\i, ba\u g\i nt\i s\i}
Asl\i nda $\upomega\times\upomega$ \c carp\i m\i nda \"oyle bir $E$
\textbf{denklik ba\u g\i nt\i s\i}%
\index{ba\u g\i nt\i!denklik ---s\i} 
vard\i r ki
\begin{equation*}
  (a,b)\mathrel E(c,d)\iff a+d=b+c
\end{equation*}
olur,
ve $\Z$ toplulu\u gu, $\upomega\times\upomega/E$ b\"ol\"um\"u olarak
tan\i mlanabilir.

  \"Oyleyse
$\Z$ toplulu\u gu, bir s\i n\i ft\i r.  O zaman 
\textbf{Yerle\c stirme Aksiyomuna}%
\label{yerlestirme}%
\index{aksiyom!Yerle\c stirme A---u} 
(\eng{Replacement Axiom}%
\footnote{Skolem \cite{Skolem-some-remarks}, 1922 y\i l\i nda bu aksiyomu tavsiye etti; ayn\i\ y\i lda Fraenkel, benzer bir aksiyomu tavsiye etmi\c s.
  Ayr\i ca Cantor'a \cite[p.~114]{Cantor-letter} bak\i n\i z.}) 
g\"ore $\Z$, bir k\"ume
olmal\i, \c c\"unk\"u $\Z\approx\upomega$. 

Benzer \c sekilde $\Q$ \textbf{kesirli say\i lar}\index{say\i!kesirli
  ---lar} toplulu\u gu, \"oyle bir
$\Z\times\Z/F$ b\"ol\"um\"ud\"ur ki 
\begin{equation*}
  (a,b)\mathrel F(c,d)\iff ad=bc
\end{equation*}
olur.  Asl\i nda
\begin{equation*}
\Q\approx\upomega
\end{equation*}
olur, \c c\"unk\"u pozitif tamsay\i lar, \ref{fig:SB} numaral\i\ fig\"urdeki a\u ga\c c olarak, ve ondan sonra bir liste olarak, yaz\i labilir.
\begin{figure}[ht]
\centering
\newcommand{\SB}[1]{\TR{\psframebox[linestyle=none]{\ensuremath{#1}}}}
\pstree[treemode=D,treesep=0mm%,showbbox=true,treenodesize=10pt
]{\SB{0}}
{\pstree{\SB{-1}}
       {\pstree{\SB{-2}}
               {\pstree{\SB{-3}}
                       {\SB{-4}
                        \SB{-\frac52}}
                \pstree{\SB{-\frac32}}
                       {\SB{-\frac53}
                        \SB{-\frac43}}}
        \pstree{\SB{-\frac12}}
               {\pstree{\SB{-\frac23}}
                       {\SB{-\frac34}
                        \SB{-\frac35}}
                \pstree{\SB{-\frac13}}
                       {\SB{-\frac25}
                        \SB{-\frac14}}}}
\pstree{\SB{1}}
       {\pstree{\SB{\frac12}}
               {\pstree{\SB{\frac13}}
                       {\SB{\frac14}
                        \SB{\frac25}}
                \pstree{\SB{\frac23}}
                       {\SB{\frac35}
                        \SB{\frac34}}}
        \pstree{\SB{2}}
               {\pstree{\SB{\frac32}}
                       {\SB{\frac43}
                        \SB{\frac53}}
                \pstree{\SB{3}}
                       {\SB{\frac52}
                        \SB{4}}}}}
\caption{Stern--Brocot A\u gac\i}\label{fig:SB}
\end{figure}

\c Simdi $\R$, \textbf{ger\c cel say\i lar}\index{say\i!gercel ---lar}
toplulu\u gu olsun.  Her 
kesirli say\i, ger\c cel say\i\ olarak d\"u\c s\"un\"ulebilir.  Ayr\i ca
her iki farkl\i\ ger\c cel say\i n\i n aras\i nda bir kesirli
say\i\ vard\i r.  O zaman $\R$ toplulu\u gundan $\pow{\Q}$ kuvvet
k\"umesine giden \"oyle bir $f$ g\"ondermesi vard\i r ki her $a$ ger\c
cel say\i s\i\ i\c cin 
\begin{equation*}
f(a)=\{x\in\Q\colon x<a\}
\end{equation*}
olur, ve bu g\"onderme, birebirdir.  \"Oyleyse $a$ say\i s\i, $f(a)$ k\"umesi olarak d\"u\c s\"unebilir, ve $\R$, bir k\"ume olur.  Ayr\i ca
\begin{equation*}
\R\preccurlyeq\pow{\Q}\approx\pow{\upomega}
\end{equation*}
olur.  Asl\i nda
\begin{equation*}
\pow{\upomega}\preccurlyeq\R
\end{equation*}
de olur.  \"Orne\u gin
\begin{equation*}
\pow{\upomega}\approx{}^{\upomega}2
\end{equation*}
\c c\"unk\"u ${}^{\upomega}2$ k\"umesinden $\pow{\upomega}$ k\"umesine giden bir
\begin{equation*}
f\mapsto\{x\colon x\in\upomega\land f(x)=1\}
\end{equation*}
e\c slemesi vard\i r, ve ayr\i ca ${}^{\upomega}2$ k\"umesinden $\R$ k\"umesine giden bir birebir
\begin{equation*}
f\mapsto\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2\cdot f(k)}{3^{k+1}}
\end{equation*}
g\"ondermesi vard\i r.  \"Oyleyse
\begin{equation*}
\R\preccurlyeq\pow{\upomega}\preccurlyeq\R
\end{equation*}
olur.  Sonu\c c olarak, 
\textbf{Schr\"oder--Bernstein Teoremine}%
\index{teorem!Schr\"oder--Bernstein T---i}\label{SBT}
g\"ore
\begin{equation*}
\R\approx\pow{\upomega}
\end{equation*}
olur, \c c\"unk\"u o teoreme g\"ore t\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin
\begin{equation*}
a\preccurlyeq b\preccurlyeq a\implies a\approx b
\end{equation*}
olur.

\c Simdi Cantor'un Teoreminden
\begin{equation*}
\upomega\prec\R
\end{equation*}
olur.  \"Ozel olarak \"oyle bir $\alpha$ olacak ki $\alpha>0$ ve
\begin{equation*}
\R\approx\aleph_{\alpha}
\end{equation*}
olur.  Ama $\alpha$ ordinalinin $1$ olup olmad\i\u g\i n\i\ bilmiyoruz.
\textbf{Kontin\"u Hipotezi}\index{Kontin\"u Hipotezi} (\eng{Continuum
  Hypothesis}), $\R\approx\aleph_1$ denkli\u ginin do\u gru olmas\i
d\i r. 

Se\c cim Aksiyomu hari\c c k\"umeler kuram\i n\i n kullanaca\u g\i m\i
z aksiyomlar\i, 
\textbf{Zermelo--Fraenkel Aksiyomlar\i d\i r.}%
\index{aksiyom!Zermelo--Fraenkel A---lar\i}%
\index{aksiyom!Se\c cim A---u} 
Asl\i nda Zermelo'nun verdi\u gi aksiyomlar \cite{Zermelo-invest}, a\c
sa\u g\i dad\i r.
\begin{compactenum}[I.]
  \item
\emph{Uzama}%
\index{aksiyom!Uzama A---u}
 (\pageref{uzama} numaral\i\ sayfada).
\item
\textbf{Temel K\"umeler}%
\index{aksiyom!Temel K\"umeler A---u}
(\eng{Elementary Sets}):
 $\emptyset$, $\{a\}$, ve $\{a,b\}$
topluluklar\i, k\"umedir.
\item
Ay\i rma%
\index{aksiyom!Ay\i rma A---u}
 (\pageref{ayirma} numaral\i\ sayfada).
\item
Kuvvet K\"umesi (\pageref{kuvvetkumesi} numaral\i\ sayfada).
\item
\textbf{Bile\c sim}%
\index{aksiyom!Bile\c sim A---u}
(\eng{Union}): her $a$ k\"umesi i\c cin, $\bigcup a$ bile\c simi de bir
k\"umedir (\pageref{bilesim} numaral\i\ sayfaya bak\i n\i z).
\item
Se\c cim%
\index{aksiyom!Se\c cim A---u}
  (\pageref{secim} numaral\i\ sayfada).
\item
Sonsuzluk%
\index{aksiyom!Sonsuzluk A---u}
 (\pageref{sonsuzluk} numaral\i\ sayfada).
\end{compactenum}
(\pageref{bitistirme} numaral\i\ sayfadaki Biti\c stirme Aksiyomumuz,%
\index{aksiyom!Biti\c stirme A---u}
Zermelo'nun II.\ ve V.\ aksiyomlar\i\ taraf\i ndan gerektirilir.  Ters
olarak Biti\c stirme ve Bo\c s K\"ume Aksiyomlar\i m\i z, Zermelo'nun
II.\ aksiyomunu gerektirir.)  Sonra iki aksiyom daha verildi:
\begin{compactenum}[I.]
\setcounter{enumi}7
  \item
Yerle\c stirme%
\index{aksiyom!Yerle\c stirme A---u}
 (\pageref{yerlestirme} numaral\i\ sayfada).
\item
\textbf{Temellendirme}%
\label{temellendirme}%
\index{aksiyom!Temellendirme A---u}
(\eng{Foundation} \cite{Skolem-some-remarks}):  Her bo\c s olmayan $a$ k\"umesinin \"oyle bir $b$
eleman\i\ vard\i r ki $a\cap b=\emptyset$ olur (\pageref{kesisim}
numaral\i\ sayfaya bak\i n\i z).
\end{compactenum}
I--V ile VII--IX numaral\i\ aksiyomlar, Zermelo--Fraenkel Aksiyomlar\i
d\i r.

Se\c cim Aksiyomu, Zermelo--Fraenkel Aksiyomlar\i,
Zermelo--Fraenkel Aksiyomlar\i yla Se\c cim Aksiyomu, ve Kontin\"u
Hipotezi s\i ras\i yla
\begin{align*}
&\ac,&&\zf,&&\zfc,&&\ch
\end{align*}
olarak yaz\i l\i r.  \"Ozel olarak
\begin{equation*}
\zfc=\zf+\ac
\end{equation*}
olur.  G\"odel'in kan\i tlad\i\u g\i\ teoreme g\"ore $\zf$ \textbf{tutarl\i ysa}\index{tutarl\i} (yani ondan bir \c celi\c ski \c c\i kmazsa), o zaman $\zfc$ aksiyomlar\i\ da tutarl\i d\i r, ve ayr\i ca $\zfc$ aksiyomlar\i yla $\ch$ tutarl\i d\i r.  Cohen'in kan\i tlad\i\u g\i\ teoreme g\"ore $\zf$ tutarl\i ysa, $\zf+\lnot\ac$ aksiyomlar\i\ da tutarl\i d\i r, ve ayr\i ca $\zfc+\lnot\ch$ tutarl\i d\i r.  (G\"odel'in ve Cohen'in teoremlerini kan\i tlamayaca\u
g\i z.) 

\chapter{Mant\i k}\label{mantik}

\section{Form\"uller}

Form\"ullerde kullanaca\u g\i m\i z simgelerin birka\c c tane t\"ur\"u vard\i r:
\begin{compactenum}[1)]
\item
\textbf{de\u gi\c skenler}\index{de\u gi\c sken} (\eng{variables}): $z$, $y$, $x$, \dots; $x_0$, $x_1$, $x_2$, \dots;
\item
\textbf{sabitler}\index{sabit} (\eng{constants}): $a$, $b$, $c$, \dots; $a_0$, $a_1$, $a_2$, \dots;\footnote{Bilinen de\u gerler i\c cin Latin alfabesinin ba\c slang\i c\i ndan harflerin kullan\i l\i\c s\i, ve bilinmeyen de\u gerler i\c cin Latin alfabesinin sonundan harflerin kullan\i l\i\c s\i, Descartes'te \cite{Descartes-Geometry} g\"or\"un\"ur.}
\item
\textbf{ikili ba\u glay\i c\i lar}\index{ba\u glay\i c\i} (\eng{binary connectives}): $\land$, $\lor$, $\lto$, $\liff$;\footnote{Bazen $\lto$ ile $\liff$ oklar\i n\i n yerine $\to$ ile $\leftrightarrow$ i\c saretleri yaz\i l\i r.  Bunlar\i\ kalemle yazmak daha kolayd\i r.  Ama bu notlarda, $\bm F\colon\bm A\to\bm B$ ifadesi, $\bm F$ g\"ondermesinin $\bm A$ s\i n\i f\i ndan $\bm B$ s\i n\i f\i na gitti\u ginin anlam\i na gelecek.  A\c sa\u g\i daki \pageref{to} numaral\i\ sayfaya bak\i n\i z.}
\item
bir \textbf{birli ba\u glay\i c\i} (\eng{singulary connective}): $\lnot$;
\item
\textbf{niceleyiciler}\index{niceleyici} (\eng{quantifiers}): $\exists$, $\forall$;
\item
\textbf{ayra\c clar}\index{ayra\c c} (\eng{parentheses, brackets}): $($, $)$;
\item
bir \textbf{y\"uklem}\index{y\"uklem} (\eng{predicate}): $\in$ (epsilon).\footnote{Yukar\i daki \pageref{epsilon} numaral\i\ sayfadaki dipnota bak\i n\i z.}
\end{compactenum}
Bir \textbf{terim}%
\index{terim}\label{terim}
(\eng{term}), ya de\u gi\c sken ya da sabittir.  E\u ger $t$ ile $u$, iki terim ise, o zaman
\begin{equation*}
t\in u
\end{equation*}
ifadesi, bir \textbf{b\"ol\"unemeyen form\"uld\"ur}\index{form\"ul} (\eng{atomic formula}).  Genelde \textbf{form\"ullerin} tan\i m\i, rek\"ursiftir:
\begin{compactenum}
\item
B\"ol\"unemeyen bir form\"ul, bir form\"uld\"ur.
\item
E\u ger $\phi$, bir form\"ul ise, o zaman
\begin{equation*}
\lnot\phi
\end{equation*}
ifadesi de bir form\"uld\"ur.
\item
E\u ger $\phi$ ile $\psi$, iki form\"ul ise, o zaman
\begin{align*}
&(\phi\land\psi),&
&(\phi\lor\psi),&
&(\phi\lto\psi),&
&(\phi\liff\psi)
\end{align*}
 ifadeleri de, form\"uld\"ur.
\item
E\u ger $\phi$ bir form\"ul ise, ve $x$ bir de\u gi\c sken ise, o zaman
\begin{align*}
&\Exists x\phi,&\Forall x\phi
\end{align*}
ifadeleri de form\"uld\"ur.
\end{compactenum}
Form\"ullerin her t\"ur\"un\"un ad\i\ vard\i r:
\begin{compactenum}
\item
$\lnot\phi$ form\"ul\"u, bir \textbf{de\u gillemedir} (\eng{negation}).
\item
$(\phi\land\psi)$ form\"ul\"u, bir \textbf{birle\c sme} veya \textbf{t\"umel evetlemedir} (\eng{conjunction}).
\item
$(\phi\lor\psi)$ form\"ul\"u, bir \textbf{ayr\i lma} veya
  \textbf{tikel evetlemedir} (\eng{disjunction}). 
\item
$(\phi\lto\psi)$ form\"ul\"u, bir \textbf{kar\i\c st\i rmad\i r}
  (\eng{implication}). 
\item
$(\phi\liff\psi)$ form\"ul\"u, bir \textbf{denkliktir}
  (\eng{equivalence}). 
\item
$\Exists x\phi$ form\"ul\"u, bir \textbf{\"orneklemedir}
  (\eng{instantiation}). 
\item
$\Forall x\phi$ form\"ul\"u, bir \textbf{genelle\c stirmedir}
  (\eng{generalization}). 
\end{compactenum}
Bu t\"urlerin adlar\i, \c cok \"onemli de\u gildir.  Fakat a\c sa\u
g\i daki teorem \c cok \"onemlidir. 

\begin{theorem}
Her form\"ul\"un tek bir \c sekilde tek bir t\"ur\"u vard\i r.
\end{theorem}

Mesela ayn\i\ form\"ul, hem kar\i\c st\i rma, hem \"ornekleme olamaz:
$\Exists x(\phi\lto\psi)$ form\"ul\"u, kar\i\c st\i rma de\u gil,
\"orneklemedir; $(\Exists x\phi\lto\psi)$ form\"ul\"u, \"ornekleme de\u gil, kar\i\c st\i rmad\i r.

Ayr\i ca $(\phi\land(\psi\land\theta))$ form\"ul\"u, tek bak\i mdan birle\c smedir.  Asl\i nda sadece $\phi$ ile $(\psi\land\theta)$ form\"ullerinin birle\c smesidir.  E\u ger $A$ harf{}i, $\phi\land(\psi$ ifadesini g\"osterirse ve $B$ harf{}i, $\theta)$ ifadesini g\"osterirse, o zaman $(A\land B)$ ifadesi, $(\phi\land(\psi\land\theta))$ form\"ul\"un\"u g\"osterir; ama tan\i ma g\"ore bu form\"ul, $A$ ile $B$ ifadelerinin birle\c smesi de\u gildir, \c c\"unk\"u $A$ ile $B$ ifadeleri (yani $A$ ile $B$ taraf\i ndan g\"osterilen ifadeler), form\"ul de\u gildir.

Teoremi kan\i tlamayaca\u g\i z.  Fakat teoremi kullanarak a\c sa\u
g\i daki rek\"ursif tan\i m\i\ yapabiliriz.  Bir de\u g\i\c skenin bir form\"ulde birka\c c tane 
\textbf{ge\c ci\c si}%
\index{ge\c cis}
(\eng{occurrence})
olabilir.  Mesela $\Forall x(x\in y\liff x\in z)$ form\"ul\"unde $x$ de\u gi\c skeninin \"u\c c tane ge\c ci\c si vard\i r (ve $y$ ile $z$ de\u gi\c skenlerinin birer ge\c ci\c si vard\i r).
\begin{compactenum}
\item
B\"ol\"unemeyen bir form\"ulde bir de\u gi\c skenin her ge\c ci\c si,
\textbf{serbest} bir ge\c ci\c stir.
\item
Bir de\u gi\c skenin $\phi$ form\"ul\"undeki her serbest ge\c ci\c si,
$\lnot\phi$, $(\phi*\psi)$, ve $(\psi*\phi)$ form\"ullerinde de
serbesttir.  (Burada $*$ i\c sareti, herhangi bir ikili ba\u glay\i c\i
d\i r.) 
\item
E\u ger $x$ ile $y$, iki \emph{farkl\i} de\u gi\c sken ise, o zaman $x$ de\u
gi\c skeninin $\phi$ form\"ul\"unde her serbest ge\c ci\c si, $\Exists
y\phi$ ile $\Forall y\phi$ form\"ullerinde de serbesttir. 
\item
$\Exists x\phi$ ile $\Forall x\phi$ form\"ullerinde $x$ de\u gi\c
  skeninin hi\c c serbest ge\c ci\c si yoktur.
\end{compactenum}
Bir form\"ulde bir de\u gi\c skenin serbest ge\c ci\c si varsa, bu
de\u gi\c sken, form\"ul\"un bir \textbf{serbest de\u gi\c skenidir.}
Serbest de\u gi\c skeni olmayan bir form\"ul, bir
\textbf{c\"umledir.}\index{c\"umle}  C\"umleler i\c cin $\sigma$, $\tau$,
ve $\rho$ gibi Yunan harflerini kullanaca\u g\i z. 

\section{Do\u gruluk ve Yanl\i\c sl\i k}

Bir $\phi$ form\"ul\"un\"un tek serbest de\u gi\c skeni $x$ ise, o
zaman form\"ul 
\begin{equation*}
\phi(x)
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir.  O halde $a$ bir sabit ise, ve $x$ de\u gi\c
skeninin $\phi$ form\"ul\"undeki her serbest ge\c ci\c sinin yerine
$a$ konulursa, \c c\i kan c\"umle 
\begin{equation*}
\phi(a)
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir.  \c Simdi 
\textbf{do\u grulu\u gu}%
\index{do\u gruluk}\label{truth}
(\eng{truth}) ve
\textbf{yanl\i\c sl\i\u g\i}%
\index{yanl\i\c sl\i k}
(\eng{falsehood})
tan\i mlayabiliriz: 
\begin{compactenum}
\item
E\u ger $b$ k\"umesi, $a$ k\"umesini i\c cerirse, o zaman $a\in b$
c\"umlesi do\u grudur; i\c cermezse, yanl\i\c st\i r. 
\item
E\u ger $\sigma$ c\"umlesi do\u gruysa, o zaman $\lnot\sigma$ de\u
gillemesi yanl\i\c st\i r; $\sigma$ yanl\i\c s ise, $\lnot\sigma$ do\u
grudur. 
\item
E\u ger hem $\sigma$ hem $\tau$ do\u gruysa, o zaman
$(\sigma\land\tau)$ birle\c smesi de do\u grudur; $\sigma$ ile $\tau$
c\"umlelerinin biri yanl\i\c s ise, birle\c smesi de yanl\i\c st\i r. 
\item
E\u ger bir $a$ k\"umesi i\c cin $\phi(a)$ c\"umlesi do\u gruysa, o
zaman $\Exists x\phi(x)$ \"orneklemesi de do\u grudur; hi\c c \"oyle
bir $a$ yoksa, \"ornekleme yanl\i\c st\i r. 
\item
$(\sigma\lor\tau)$ c\"umlesi, $\lnot(\lnot\sigma\land\lnot\tau)$
  c\"umlesinin anlam\i na gelir, yani bu iki c\"umle ayn\i\ zamanda ya
  do\u grudur, ya da yanl\i\c st\i r. 
\item
$(\sigma\lto\tau)$ c\"umlesi, $(\lnot\sigma\lor\tau)$ c\"umlesinin anlam\i na gelir.
\item
$(\sigma\liff\tau)$ c\"umlesi, $\bigl((\sigma\lto\tau)\land(\tau\lto\sigma)\bigr)$ c\"umlesinin anlam\i na gelir.
\item
$\Forall x\phi(x)$ c\"umlesi, $\lnot\Exists x\lnot\phi(x)$ c\"umlesinin anlam\i na gelir.
\end{compactenum}
\"Ozel olarak form\"ullerde $\lor$, $\lto$, $\liff$, ve $\forall$
simgeleri gerekmez; sadece kolayl\i k i\c cin kullanaca\u g\i z.  Ama
$(\sigma\lto\tau)$ c\"umlesi do\u grudur ancak ve ancak $\tau$ do\u
gru veya $\sigma$ yanl\i\c st\i r; ve $(\sigma\liff\tau)$ c\"umlesi
do\u grudur ancak ve ancak hem $\sigma$ hem $\tau$ ya do\u gru ya
yanl\i\c st\i r.  Ayr\i ca $\Forall x\phi(x)$ do\u grudur ancak ve
ancak her $a$ i\c cin $\phi(a)$ do\u grudur. 

Birka\c c tane daha k\i saltma kullan\i r\i z:
\begin{compactenum}
\item
$\lnot\; t\in u$ form\"ul\"un\"un yerine $t\notin u$ ifadesini yazar\i z;
\item
Bir $(\phi*\psi)$ form\"ul\"un\"un en d\i\c staki ayra\c clar\i
n\i\ yazmay\i z.
\item
$\lto$ ile $\liff$ ba\u glay\i c\i lar\i na g\"ore $\land$ ile
$\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i na \"onceli\u gi veririz:  Mesela
$\phi\land\psi\lto\chi$ ifadesi, $(\phi\land\psi)\lto\chi$
form\"ul\"un\"un anlam\i na gelir.   
\item
$\phi\lto\psi\lto\chi$ ifadesi, $\phi\lto(\psi\lto\chi)$
form\"ul\"un\"un anlam\i na gelir. 
\end{compactenum}
Bir $\phi$ form\"ul\"un\"un serbest de\u gi\c skenleri $x$ ile $y$
ise, o zaman form\"ul 
\begin{equation*}
\phi(x,y)
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir.  O halde $a$ ile $b$, iki sabit ise, ve $x$ de\u
gi\c skeninin $\phi$ form\"ul\"undeki her serbest ge\c ci\c sinin
yerine $a$ konulursa, ve benzer \c sekilde $y$ de\u gi\c skeninin her
serbest ge\c ci\c sinin yerine $b$ konulursa, \c c\i kan c\"umle
\begin{equation*}
\phi(a,b)
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir.  

Genelde $\phi$ form\"ul\"un\"un serbest de\u gi\c skenleri, bir $\vec
x$ listesini olu\c sturursa, o zaman form\"ul 
\begin{equation*}
\phi(\vec x)
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir; ayr\i ca
\begin{align*}
\Forall{\vec x}&\phi(\vec x),&
\Exists{\vec x}&\phi(\vec x)
\end{align*}
c\"umleleri yaz\i labilir.  E\u ger $\vec a$, uzunlu\u gun $\vec x$
listesinin uzunlu\u gu olan bir sabit listesiyse, o zaman 
\begin{equation*}
\phi(\vec a)
\end{equation*}
c\"umlesi de \c c\i kar.
E\u ger $\phi(\vec x)$ ile $\psi(\vec x)$, iki form\"ul ise, ve sadece
do\u grulu\u gun tan\i m\i n\i\ kullanarak
\begin{equation*}
\Forall{\vec x}\bigl(\phi(\vec x)\liff\psi(\vec x)\bigr)
\end{equation*}
c\"umlesinin do\u grulu\u gu kan\i tlanabilirse, o zaman $\phi$ ile
$\psi$ birbirine 
\textbf{(mant\i\u ga g\"ore) denktir}\index{denk} (\eng{logically
  equivalent}).  \"Oyleyse $\phi$ ile $\psi$ birbirine denktir, ancak
ve ancak her $\vec a$ sabit listesi i\c cin, do\u grulu\u gun tan\i
m\i na g\"ore 
\begin{equation*}
\phi(\vec a)\liff\psi(\vec a)
\end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.  \"Orne\u gin, yukar\i daki tan\i mlara g\"ore
\begin{gather*}
	\phi\lor\psi\denk\lnot(\lnot\phi\land\lnot\psi),\\
	\phi\lto\psi\denk\lnot\phi\lor\psi,\\
	\phi\liff\psi\denk(\phi\lto\psi)\land(\psi\lto\phi),\\
	\Forall x\phi\denk\lnot\Exists x\lnot\phi.
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{thm:denklik}
\begin{compactenum}
\item
Her form\"ul, kendisine denktir.
\item
E\u ger $\phi$ ile $\psi$ denk ise, o zaman $\psi$ ile $\phi$ denktir.
\item
E\u ger $\phi$ ile $\psi$ denk ise, ve $\psi$ ile $\chi$ denk ise, o zaman $\phi$ ile $\chi$ denktir.
\end{compactenum}
Yani
\begin{gather*}
	\phi\denk\phi,\\
	\phi\denk\psi\implies\psi\denk\phi,\\
	\phi\denk\psi\And\psi\denk\chi\implies\phi\denk\chi.
\end{gather*}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{asparaenum}
\item
$\sigma\liff\sigma$ her zaman do\u grudur.
\item
$\sigma\liff\tau$ do\u gru olsun.  O zaman hem $\sigma$ hem $\tau$ ya do\u gru ya yanl\i\c st\i r.  \"Oyleyse hem $\tau$ hem $\sigma$ ya do\u gru ya yanl\i\c st\i r; yani $\tau\liff\sigma$ do\u grudur.
\item
$\sigma\liff\tau$ ve $\tau\liff\rho$ do\u gru olsun.  E\u ger $\sigma$ do\u gruysa, o zaman $\tau$ do\u gru olmal\i, ve sonu\c c olarak $\rho$ do\u gru olmal\i, dolay\i s\i yla $\sigma\liff\rho$ do\u grudur.  Benzer \c sekilde $\sigma$ yanl\i\c s ise $\sigma\liff\rho$ tekrar do\u grudur.\qedhere
\end{asparaenum}
\end{proof}

\begin{theorem}\mbox{}\label{thm:lto}
\begin{compactenum}
\item
$\phi\lto\psi\lto\chi$ ile $\phi\land\psi\lto\chi$ denktir.
\item
E\u ger $x$ de\u gi\c skeni, $\phi$ form\"ul\"unde serbest de\u gilse, o zaman $\Forall x(\phi\lto\psi)$ ile $\phi\lto\Forall x\psi$ denktir.
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{asparaenum}
\item
$\sigma\lto\tau\lto\rho$ do\u gru olsun.  E\u ger $\sigma\land\tau$
  c\"umlesi de do\u gruysa, o zaman hem $\sigma$ hem $\tau$ do\u
  grudur, ve sonu\c c olarak $\tau\lto\rho$ do\u grudur, ve $\rho$
  do\u grudur.  Yani $\sigma\land\tau\lto\rho$ do\u grudur. 

Tersi i\c cin $\sigma\land\tau\lto\rho$ do\u gru olsun.  O zaman
$\sigma\land\tau$ yanl\i\c s veya $\rho$ do\u grudur.  Yani $\sigma$
yanl\i\c s, veya $\tau$ yanl\i\c s, veya $\rho$ do\u grudur.  E\u ger
$\sigma$ do\u gruysa, o zaman $\tau$ yanl\i\c s, veya $\rho$ do\u
grudur, yani $\tau\lto\rho$ do\u grudur.  Sonu\c c olarak
$\sigma\lto\tau\lto\rho$ do\u grudur. 

\item
$\Forall x(\sigma\lto\phi(x))$ do\u gru olsun.  O zaman her $a$ i\c cin $\sigma\lto\phi(a)$ do\u grudur.  Sonu\c c olarak $\sigma$ do\u gruysa, o zaman her $a$ i\c cin $\phi(a)$ do\u grudur.  Yani $\sigma\lto\Forall x\phi(x)$ do\u grudur.

Benzer \c sekilde $\sigma\lto\Forall x\phi(x)$ do\u gruysa $\Forall x(\sigma\lto\phi(x))$ do\u grudur.\qedhere
\end{asparaenum}
\end{proof}

\section{E\c sitlik}

Yukar\i daki \pageref{=} numaral\i\ sayfada dedi\u gimiz gibi $t=u$ ifadesi, $\Forall x(x\in t\liff
x\in u)$ form\"ul\"un\"un k\i saltmas\i\ olarak kullan\i labilir.
Burada $x$, herhangi bir de\u gi\c sken olabilir, ama $t$ ile $u$
terimlerinden farkl\i\ olmal\i d\i r.  Bu tan\i ma g\"ore 
\begin{equation*}
t=u\denk\Forall x(x\in t\liff x\in u).
\end{equation*}
O zaman
\begin{equation}\label{eqn:=}
\Forall x\Forall y(x=y\liff\Forall z(z\in x\liff z\in y))
\end{equation}
c\"umlesi do\u grudur.  Yani t\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin
\begin{equation*}
a=b\liff\Forall x(x\in a\liff x\in b)
\end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.  Bu c\"umle, $\liff$ simgesinin tan\i m\i na g\"ore, iki c\"umlenin birle\c smesidir, ve bu c\"umleler,
\begin{align*}
a=b&\lto\Forall x(x\in a\liff x\in b),&
\Forall x(x\in a\liff x\in b)&\lto a=b
\end{align*}
olur.  O zaman t\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin, hem
\begin{equation*}
\Forall x(x\in a\liff x\in b)\lto a=b
\end{equation*}
do\u grudur, hem de, \ref{thm:lto} numaral\i\ teoreme g\"ore, her $c$ k\"umesi i\c cin,
\begin{equation*}
a=b\land c\in a\lto c\in b
\end{equation*}
do\u grudur.

Bizim i\c cin, \eqref{eqn:=} c\"umlesinin do\u grulu\u gu, bir tan\i
md\i r.  Yani, simgesi $\in$ olan \textbf{i\c cerilme}\index{i\c
  cerilme} ba\u g\i nt\i s\i, temel bir ba\u g\i nt\i d\i r, ama
\textbf{e\c sitlik}\index{e\c sitlik} ba\u g\i nt\i s\i, yukar\i daki
\eqref{eqn:=} c\"umlesini sa\u glayan bir $=$ ba\u g\i nt\i s\i d\i r. 

\begin{theorem}\label{thm:=-equiv}
T\"um $a$, $b$, ve $c$ k\"umeleri i\c cin
\begin{align*}
&a=a,&
a=b&\lto b=a,&
a=b\land b=c&\lto a=c
\end{align*}
c\"umleleri do\u grudur.
\end{theorem}

Bu teoreme g\"ore e\c sitlik ba\u g\i nt\i s\i, \textbf{d\"on\"u\c
  sl\"u} (\eng{reflexive}), \textbf{simetrik} (\eng{symmetric}), ve
\textbf{ge\c ci\c sli} (\eng{transitive}) bir ba\u g\i nt\i d\i r,
yani bir 
\textbf{denklik ba\u g\i nt\i s\i d\i r}%
\index{denklik}\label{denklik}
(\eng{equivalence relation}). 

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

Teoremin dolay\i s\i yla $a=b\land b=c$ c\"umlesinin k\i saltmas\i\ olarak $a=b=c$ ifadesi yaz\i l\i r; yani
\begin{equation*}
a=b=c\denk a=b\land b=c.
\end{equation*}

\.Ilk resmi aksiyomumuz \c su:

\begin{axiom}[E\c sitlik]\index{aksiyom!E\c sitlik A---u}
T\"um $a$, $b$, ve $c$ k\"umeleri i\c cin
\begin{equation*}
a=b\land a\in c\lto b\in c
\end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.
\end{axiom}

Bu aksiyomun ba\c ska bi\c cimleri vard\i r, mesela:
\begin{compactenum}
\item
T\"um $a$, $b$, ve $c$ k\"umeleri i\c cin $a=b\lto a\in c\lto b\in c$ olur.
\item
T\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin $\Forall x(a=b\lto a\in x\lto b\in x)$ olur.
\item
T\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin $\Forall x(a=b\land a\in x\lto b\in x)$ olur.
\item
T\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin $a=b\lto\Forall x(a\in x\lto b\in x)$ olur.
\item
$\Forall x\Forall y(x=y\lto\Forall z(x\in z\lto y\in z))$ olur.
\item
$\Forall x\Forall y\Forall z(x=y\lto x\in z\lto y\in z)$ olur.
\item
$\Forall x\Forall y\Forall z(x=y\land x\in z\lto y\in z)$ olur.
\end{compactenum}

\begin{xca}
$a=b\land\Forall x(a\in x\lto b\in x)$ c\"umlesi, E\c sitlik Aksiyomundan kan\i tlanabilir mi?
\end{xca}

\begin{theorem}
Her $\phi(x)$ tek serbest de\u gi\c skenli form\"ul\"u i\c cin
\begin{equation}\label{eqn:a=b}
a=b\land\phi(a)\lto\phi(b)
\end{equation}
c\"umlesi do\u grudur.
\end{theorem}

\begin{proof}
Form\"ullerin rek\"ursif tan\i m\i\ nedeni ile, \emph{t\"umevar\i m} kullanabiliriz.
\begin{asparaenum}
\item
\.Ilk olarak $\phi$ b\"ol\"unemesin.  Yani $\phi(x)$, ya $c\in x$ veya $x\in c$ bi\c ciminde olsun.  O zaman \eqref{eqn:a=b} c\"umlesi, ya e\c sitli\u gin tan\i m\i ndan, ya da E\c sitlik Aksiyomundan, do\u grudur.
\item
E\u ger $\phi$, ya $\psi$ ya da $\chi$ ise, \eqref{eqn:a=b} do\u gru olsun.  \c Simdi $a=b\land(\psi(a)\land\chi(a))$ do\u gru olsun.  O zaman hem $a=b\land\psi(a)$ ve $a=b\land\chi(a)$ do\u gru olmal\i.  Sonu\c c olarak varsay\i m\i m\i zdan hem $\psi(b)$ hem $\chi(b)$ do\u gru olmal\i, yani $\psi(b)\land\chi(b)$ do\u gru olmal\i.  \"Oyleyse $\phi$, $\psi\land\chi$ ise \eqref{eqn:a=b} do\u grudur.
\item
Son olarak, t\"um $c$ i\c cin $\phi(x)$, $\psi(x,c)$ ise, \eqref{eqn:a=b} do\u gru olsun.  \c Simdi $a=b\land\Exists y\phi(a,y)$ do\u gru olsun.  O zaman bir $c$ i\c cin $a=b\land\phi(a,c)$ do\u gru olmal\i, dolay\i s\i yla $\phi(b,c)$ do\u gru olmal\i.  Sonu\c c olarak $\Exists y\phi(b,y)$ do\u grudur.  \"Oyleyse $\phi(x)$, $\Exists y\phi(x,y)$ ise \eqref{eqn:a=b} do\u grudur.\qedhere
\end{asparaenum}
\end{proof}

Kitaplar\i n \c co\u gunda hem $\in$ hem $=$, temel ba\u g\i nt\i d\i
r, ve yukar\i daki \pageref{eqn:=} numaral\i\ sayfadaki \eqref{eqn:=} c\"umlesi, tan\i m de\u gil, 
\textbf{Uzama Aksiyomudur}%
\label{uzama}%
\footnote{Veya \textbf{K\"ume E\c sitli\u gi Aksiyomu}
\cite{Nesin-SKK}.}%
\index{aksiyom!Uzama A---u} 
(\eng{Axiom of Extensionality} \cite{Zermelo-invest}). 
Bu kitaplarda her $\phi(x)$ tek serbest de\u gi\c skenli form\"ul\"u i\c cin \eqref{eqn:a=b} c\"umlesi, bir
\textbf{mant\i ksal aksiyomd\i r.}%
\index{aksiyom!mant\i ksal ---}%
\index{mant\i k!---sal aksiyom} 

\section{S\i n\i flar}

Bir $\phi(x)$ form\"ul\"u ve bir $a$ k\"umesi i\c cin $\phi(a)$ c\"umlesi do\u gruysa $a$ k\"umesi, $\phi(x)$ form\"ul\"un\"u 
\textbf{sa\u glar}%
\index{sa\u glamak}
(\eng{satisfies}).
  O zaman $\phi$ form\"ul\"un\"u sa\u glayan k\"umeler toplulu\u gu vard\i r.  Bu topluluk
\begin{equation*}
\{x\colon\phi(x)\}
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i r, ve ona 
\textbf{$\phi$ taraf\i ndan tan\i mlanm\i\c s s\i n\i f}%
\index{s\i n\i f}%
\index{tan\i mlama}
(\eng{class defined by $\phi$}) denir.

Yukar\i daki \pageref{terim} numaral\i\ sayfadaki tan\i ma g\"ore bir de\u gi\c sken veya sabit, bir \emph{terimdir.}  Daha kesinlikle bir
\textbf{k\"ume terimidir}%
\index{k\"ume!--- terimi}\index{terim!k\"ume ---i}
(\eng{set term}).  \c Simdi, e\u ger $x$ de\u gi\c skeni, $\phi$ form\"ul\"un\"un serbest bir de\u gi\c skeniyse, $\phi$ form\"ul\"un\"u
\begin{equation*}
\phi(\dots x\dots)
\end{equation*}
olarak yazar\i z.  O zaman
\begin{equation*}
\{x\colon\phi(\dots x\dots)\}
\end{equation*}
ifadesi, bir
\textbf{s\i n\i f terimi}%
\index{s\i n\i f!--- terimi}\index{terim!s\i n\i f ---i}
(\eng{class term})
olacak.
S\i n\i f terimlerini form\"ullerde kullanabiliriz, ama \c simdilik, sadece $\in$ i\c saretinin sa\u g\i nda.  Bir $x$ de\u gi\c skeninin bir $\phi(\dots y\dots)$ form\"ul\"undeki serbest ge\c ci\c si, bir
\begin{equation*}
t\in\{y\colon\phi(\dots y\dots)\}
\end{equation*}
form\"ul\"unde (h\^al\^a) serbesttir.
E\u ger $x$ de\u gi\c skeninin $\phi(\dots x\dots)$ form\"ul\"un\"undeki her serbest ge\c ci\c sinin yerine $a$ sabitini koyarsak $\phi(\dots a\dots)$ form\"ul\"u \c c\i kar.  \c Simdi tan\i ma g\"ore
\begin{equation*}
a\in\{x\colon\phi(\dots x\dots)\}\denk\phi(\dots a\dots).
\end{equation*}

Bir sabit veya bir $\{x\colon\phi(x)\}$ s\i n\i f terimi,
\textbf{kapal\i}%
\index{kapal\i}\index{terim!kapal\i\ ---}
(\eng{closed})
bir terimdir.  Kapal\i\ bir terim, bir k\"umenin veya bir s\i n\i f\i n ad\i d\i r.  $\bm A$, $\bm B$, $\bm C$ gibi b\"uy\"uk siyah harfleri kapal\i\ s\i n\i f terimleri olarak kullanaca\u g\i z.  O zaman \pageref{eqn:=} numaral\i\ sayfadaki tan\i ma g\"ore
\begin{gather*}
\bm A=\bm B\denk\Forall x(x\in\bm A\liff x\in\bm B),\\
a=\bm B\denk a=\Forall x(x\in a\liff x\in\bm B).
\end{gather*}
Sonu\c c olarak
\begin{equation*}
a=\{x\colon x\in a\}
\end{equation*}
olur.  Yani her k\"ume, bir s\i n\i fa e\c sitt\i r.  Ama tersi yanl\i\c st\i r;
bildi\u gimiz gibi baz\i\ s\i n\i flar hi\c cbir k\"umeye e\c sit
de\u gildir: 

\begin{theorem}[Russell Paradoksu]%
\index{paradoks!Russell P---u}%
\index{teorem!Russell Paradoksu}
$\{x\colon x\notin x\}$ s\i n\i f\i, hi\c cbir k\"umeye e\c sit de\u gildir.
\end{theorem}

\begin{proof}
Bu teoremi zaten \pageref{Russell} numaral\i\ sayfada kan\i tlad\i k.  \c
Simdi bir kan\i t daha verece\u giz.
$x\notin x$ form\"ul\"u taraf\i ndan tan\i mlanm\i\c s s\i n\i f, $\bm
  A$ olsun.  O zaman her $b$ k\"umesi i\c cin
  \begin{equation*}
    b\in\bm A\liff b\notin b
  \end{equation*}
do\u grudur.  O zaman $\Forall x(x\in\bm A\liff x\in b)$ c\"umlesi yanl\i\c st\i r.  E\c sitli\u gin tan\i m\i na g\"ore $b\neq\bm A$ olur.
\end{proof}

\c Simdi s\i n\i f terimlerini $\in$ i\c saretinin solunda kullanabiliriz, ama \c c\i kan c\"umle do\u gru olaca\u g\i\ i\c cin s\i n\i f terimi bir k\"umeyi adland\i rmal\i:
\begin{equation*}
\bm A\in b\denk\Exists x(x=\bm A\land x\in b).
\end{equation*}

E\u ger $\Forall x(x\in\bm A\lto x\in\bm B)$ do\u gruysa, o
zaman $\bm A$, $\bm B$ s\i n\i f\i n\i n \textbf{alts\i n\i f\i d\i
  r}\index{alts\i n\i f}
(\eng{subclass}), ve $\bm A\included\bm B$ ifadesini yazar\i z.  Yani
\begin{equation*}
\bm A\included\bm B\denk\Forall x(x\in\bm A\lto x\in\bm B).
\end{equation*}

\begin{theorem}\label{thm:=}\mbox{}
\begin{compactenum}
\item
T\"um $\bm A$ ile $\bm B$ s\i n\i flar\i\ i\c cin
\begin{equation*}
\bm A=\bm B\denk\bm A\included\bm B\land\bm B\included\bm A.
\end{equation*}
\item
T\"um $\bm A$, $\bm B$, ve $\bm C$ s\i n\i flar\i\ i\c cin
\begin{equation*}
\bm A\included\bm B\land\bm B\included\bm C\lto\bm A\included\bm C
\end{equation*}
c\"umlesi (mant\i\u ga g\"ore) do\u grudur.
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\section{\.I\c slemler}

S\i n\i flarla birka\c c tane ikili i\c slem vard\i r:
\begin{gather*}\label{kesisim}
  \bm A\cap\bm B=\{x\colon x\in\bm A\land x\in\bm B\},\\
  \bm A\cup\bm B=\{x\colon x\in\bm A\lor x\in\bm B\},\\
  \begin{aligned}
    \bm A\symdiff\bm B
&=\{x\colon(x\in\bm A\land x\notin\bm B)\lor(x\notin\bm A\land x\in\bm B)\}\\
&=\{x\colon\lnot(x\in\bm A\liff x\in\bm B)\}.
  \end{aligned}
\end{gather*}
Bunlar s\i ras\i yla $\bm A$ ile $\bm B$ s\i n\i flar\i n\i n
\textbf{kesi\c simi} (\eng{intersection}), \textbf{bile\c simi}
(\eng{union}), ve \textbf{simetrik fark\i d\i r} (\eng{symmetric
  difference}).  Ayr\i ca
  \begin{align*}
  \bm A\setminus\bm B
&=\{x\colon x\in\bm A\land x\notin\bm B\}\\
&=\{x\colon\lnot(x\in\bm A\lto x\in\bm B)\};
  \end{align*}
bu s\i n\i f, $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n $\bm B$ s\i n\i f\i ndan
\textbf{fark\i d\i r} (\eng{difference}).

\begin{theorem}
T\"um $\bm A$ ile $\bm B$ s\i n\i flar\i\ i\c cin
\begin{align*}
\bm A\symdiff\bm B
&=(\bm A\setminus\bm B)\cup(\bm B\setminus\bm A)\\
&=(\bm A\cup\bm B)\setminus(\bm A\cap\bm B).
\end{align*}
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\ref{thm:=} numaral\i\ teorem sayesinde bir $\bm A\included\bm B\land\bm B\included\bm C$ c\"umlesinin yerine
\begin{equation*}
\bm A\included\bm B\included\bm C
\end{equation*}
ifadesini yazabiliriz.

\begin{theorem}
T\"um $\bm A$ ile $\bm B$ s\i n\i flar\i\ i\c cin
\begin{align*}
\bm A\cap\bm B&\included\bm A\included\bm A\cup\bm B,&
\bm A\cap\bm B&\included\bm B\included\bm A\cup\bm B.
\end{align*}
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

S\i n\i flarda bir \emph{birli} i\c slem vard\i r:
\begin{equation*}
\bm A\comp=\{x\colon x\notin\bm A\};
\end{equation*}
bu s\i n\i f, $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n \textbf{t\"umleyenidir}%
\index{t\"umleyen}
(\eng{complement}).

\begin{theorem}[De Morgan Kurallar\i]%
\index{teorem!De Morgan Kurallar\i}
T\"um $\bm A$ ile $\bm B$ s\i n\i flar\i\ i\c cin
\begin{align*}
	(\bm A\cap\bm B)\comp&=\bm A\comp\cup\bm B\comp,&
	(\bm A\cup\bm B)\comp&=\bm A\comp\cap\bm B\comp.
\end{align*}
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\.I\c cerilme ba\u g\i nt\i s\i n\i\ kullanarak birka\c c tane birli
i\c slemi daha tan\i mlayabiliriz:
\begin{gather*}\label{bilesim}
  \bigcap\bm A=\{x\colon\Forall y(y\in\bm A\lto x\in y)\},\\
\bigcup\bm A=\{x\colon\Exists y(x\in y\land y\in\bm A)\},\\
\begin{aligned}
\pow{\bm A}
&=\{x\colon\Forall y(y\in x\lto y\in\bm A)\}\\
&=\{x\colon x\included\bm A\};
\end{aligned}
\end{gather*}
bunlar s\i ras\i yla $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n \textbf{kesi\c simi}
(\eng{intersection}), \textbf{bile\c simi} (\eng{union}), ve
\textbf{kuvvet s\i n\i f\i d\i r} (\eng{power class}).

\begin{theorem}\label{thm:cap-cup}
E\u ger $a\in\bm B$ ise
\begin{equation*}
\bigcap\bm B\included a\included\bigcup\bm B
\end{equation*}
do\u grudur.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

Son olarak \pageref{universe} numaral\i\ sayfadaki gibi
\begin{equation*}
\universe=\{x\colon x=x\},
\end{equation*}
ve
\begin{gather*}
  \emptyset=\{x\colon x\neq x\},\\
\{a\}=\{x\colon x=a\},\\
\{a,b\}=\{x\colon x=a\lor x=b\},\\
\{a,b,c\}=\{x\colon x=a\lor x=b\lor x=c\},\\
\parbox{7cm}{\dotfill}
\end{gather*}
Buradaki $\emptyset$ s\i n\i f\i, \textbf{bo\c s s\i n\i ft\i r.}%
\index{s\i n\i f!bo\c s ---}%
\index{bo\c s!--- s\i n\i f}
%Ancak birka\c c aksiyom daha verilmeden bunlar sadece s\i n\i ft\i rlar.

Bu altb\"ol\"um\"un
\begin{align*}
  &\begin{gathered}
\bm A\cap\bm B,\\
\bm A\cup\bm B,\\
\bm A\symdiff\bm B,\\
\bm A\setminus\bm B,
   \end{gathered}&
&\begin{gathered}
    \bm A\comp,\\
\bigcap\bm A,\\
\bigcup\bm A,\\
\pow{\bm A},
  \end{gathered}&
&\universe,&
&\begin{gathered}
 \emptyset,\\
\{a\},\\
\{a,b\},\\
\{a,b,c\}   
  \end{gathered}
\end{align*}
ifadeleri, 
\emph{s\i n\i f} terimidir.%
\index{terim!s\i n\i f ---i}
Her $\bm A$ veya $\bm B$
teriminin yerine ba\c ska bir terimi koyabiliriz.  Zaten bu \c sekilde $(\bm
A\setminus\bm B)\cup(\bm B\setminus\bm A)$ gibi ifadeleri yazd\i k.
Fakat \c simdilik k\"u\c c\"uk harfler hari\c c, k\"ume terimlerimiz
yoktur.  Bu durum hemen de\u gi\c secek.

%\begin{comment}
  


\chapter{Do\u gal Say\i lar}

\section{Do\u gal say\i lar k\"umesi}

\pageref{truth} numaral\i\ sayfadaki tan\i ma g\"ore $\Exists xx=a$
c\"umlesi do\u gru mudur?  Yani $\Exists x\Forall y(y\in x\liff y\in a)$
c\"umlesi do\u gru mudur?  E\u ger bir $b$ k\"umesi i\c cin $b=a$
c\"umlesi, yani $\Forall y(y\in b\liff y\in a)$ c\"umlesi, do\u
gruysa, o zaman $\Exists xx=a$ c\"umlesi de do\u grudur.  Asl\i nda
\ref{thm:=-equiv} numaral\i\ teoreme g\"ore $a=a$ c\"umlesi do\u gru,
de\u gil mi?  O halde $\Exists xx=a$ c\"umlesi do\u gru olmal\i. 

Ama bu iddia pek do\u gru de\u gildir.  Bir $a$ k\"umesi varsa, o zaman
$\Exists xx=a$ c\"umlesi do\u grudur.  Bir k\"ume varsa, bu k\"umeye
$a$ denilebilir, ve sonu\c c olarak $\Exists xx=a$ c\"umlesi do\u
gru oluyor.  Bu ana kadar hi\c c kesin bir k\"umemiz olmad\i.  Ama k\"umeler olmal\i, ve birini zaten biliyoruz: 

\begin{axiom}[Bo\c s K\"ume]\index{aksiyom!Bo\c s K\"ume A---u}
  $\emptyset$ bo\c s s\i n\i f, bir k\"umedir:
  \begin{equation*}
    \Exists x\Forall y(y\notin x)
  \end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.
\end{axiom}

Bu aksiyom sayesinde $\emptyset$ i\c sareti, bir 
k\"ume terimidir.%
\index{terim!k\"ume ---i}
Bu y\"uzden
$\{\emptyset\}$ ve $\{\emptyset,a\}$ gibi s\i n\i f terimlerini
yazabiliriz.  Bu terimler, k\"ume terimi olacak.  Bo\c s k\"ume gibi bilinen k\"umelerden yeni k\"umeler olu\c sturulabilir:

\begin{axiom}[Biti\c stirme]\index{aksiyom!Biti\c stirme A---u}
T\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin $a\cup\{b\}$ s\i n\i f\i, bir
k\"umedir:
\begin{equation*}
 \Forall x\Forall y\Exists z\Forall w(w\in z\liff w\in x\lor w=y)
\end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.  
\end{axiom}

\begin{theorem}[Temel K\"umeler]
  T\"um $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin $\{a\}$ ile $\{a,b\}$ s\i n\i flar\i, 
k\"umedir:
\begin{gather*}
  \Forall x\Exists y\Forall z(z\in y\liff z=x),\\
\Forall x\Forall y\Exists z\Forall w(w\in z\liff w=x\lor w=y)
\end{gather*}
c\"umleleri do\u grudur.
\end{theorem}

\begin{proof}
Bo\c s K\"ume ile Biti\c stirme Aksiyomlar\i na g\"ore
  $\{a\}$ s\i n\i f\i, $\emptyset\cup\{a\}$ k\"umesine e\c sittir, ve
$\{a,b\}$ s\i n\i f\i, $\{a\}\cup\{b\}$ k\"umesine e\c sittir. 
\end{proof}

\"Ozel olarak her $a$ k\"umesi i\c cin $a\cup\{a\}$ bir k\"umedir.  Bu
son k\"ume, $a'$ olsun.  Yani her $a$ k\"umesi i\c cin
\begin{equation*}
a'=a\cup\{a\}
\end{equation*}
olsun.  $a'$ k\"umesi, $a$ k\"umesinin
\textbf{ard\i l\i d\i r}%
\index{ard\i l}
(\eng{successor}).
S\i k s\i k ard\i llar\i\ alarak
\begin{align*}
&\emptyset,&
&\emptyset',&
&\emptyset'',&
&\emptyset''',&
&\dots
\\
%\end{align*}
\intertext{
k\"ume dizisini olu\c
sturabiliriz.  Bu dizi,
}
%\begin{align*}
  &\emptyset,&
  &\{\emptyset\},&
  &\bigl\{\emptyset,\{\emptyset\}\bigr\},&
  &\Bigl\{\emptyset,\{\emptyset\},\bigl\{\emptyset,\{\emptyset\}\bigr\}\Bigr\},&
&\dots
\\
%\end{align*}
\intertext{
olur.  Yukar\i daki \pageref{vnn} numaral\i\ sayfadaki gibi bu
k\"umeler,
}
%\begin{align*}
&0,&
&1,&
&2,&
&3,&
&\dots
\end{align*}
do\u gal say\i lar\i\ olacak.
Elemanlar\i\ \emph{t\"um} do\u gal say\i lar olan bir s\i n\i f var
m\i d\i r? 

Do\u gal say\i lar\i n \emph{toplulu\u gunun} iki \"ozelli\u gi vard\i
r:
\begin{compactenum}
  \item
$0$, bu topluluktad\i r.
\item
E\u ger $a$, bu topluluktaysa, $a\cup\{a\}$ k\"umesi de, bu
topluluktad\i r.
\end{compactenum}
Bu \"ozellikleri olan \emph{k\"umeler,} bir s\i n\i f olu\c sturur.  Yani
\begin{equation*}
\bm{\Omega}=\{x\colon 0\in x\land\Forall y(y\in x\lto y\cup\{y\}\in x)\}
\end{equation*}
e\c sitli\u gini sa\u glayan bir $\bm{\Omega}$ s\i n\i f\i\ vard\i r.

\begin{theorem}\label{thm:Omega}
\mbox{}
  \begin{compactenum}
    \item
$0\in\bigcap\bm{\Omega}$.
\item
E\u ger $a\in\bigcap\bm{\Omega}$ ise, o zaman $a\cup\{a\}\in\bigcap\bm{\Omega}$
olur.
\item
E\u ger $a\included\bigcap\bm{\Omega}$ ise, ve $a$,
\begin{align*}
  0&\in a,&
\Forall x(x\in a&\lto x\cup\{x\}\in a)
\end{align*}
\"ozelliklerini sa\u glarsa, o zaman $a=\bigcap\bm{\Omega}$ olur.
  \end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{asparaenum}
\item
E\u ger $a\in\bm{\Omega}$ ise, o zaman $0\in a$.  Sonu\c c olarak $0\in\bigcap\bm{\Omega}$.
\item
$a\in\bigcap\bm{\Omega}$ olsun.  O zaman $\bm{\Omega}$ s\i n\i f\i n\i n her $b$ eleman\i\ i\c cin $a\in b$.  Ayr\i ca $b\in\bm{\Omega}$ y\"uz\"unden $\Forall y(y\in b\lto y\cup\{y\}\in b)$ c\"umlesi do\u grudur.  O zaman $a\cup\{a\}\in b$ olmal\i.  Sonu\c c olarak $a\cup\{a\}\in\bigcap\bm{\Omega}$.
\item
$0\in a$ ve
$\Forall x(x\in a\lto x\cup\{x\}\in a)$ do\u gru olsun.  O zaman $a\in\bm{\Omega}$.  Bu y\"uzden \ref{thm:cap-cup} numaral\i\ teoreme g\"ore $\bigcap\bm{\Omega}\included a$ olmal\i.  E\u ger ayr\i ca
$a\included\bigcap\bm{\Omega}$ ise, o zaman \ref{thm:=} numaral\i\ teoreme g\"ore $a=\bigcap\bm{\Omega}$.\qedhere
\end{asparaenum}
\end{proof}

Bu teoreme ra\u gmen e\u ger
\begin{align}\label{eqn:induction}
\bm A&\included\bigcap\bm{\Omega},&
0&\in\bm A,&
\Forall x(x\in\bm A&\lto x\cup\{x\}\in\bm A)
\end{align}
ise $\bm A=\bigcap\bm{\Omega}$ c\"umlesini sonu\c cland\i ram\i yoruz.  Neden?  Tan\i m\i m\i za g\"ore\footnote{Baz\i\ kitaplarda $\bm A$ bo\c s ise $\bigcap\bm A$ kesi\c simi tan\i mlanmaz.  \"Orne\u gin \cite[s.~51 \&\ 285]{Nesin-SKK} kayna\u g\i na bak\i n\i z.}
\begin{equation*}
\bigcap0=\universe
\end{equation*}
(yani $\bigcap\emptyset=\universe$)
olur, ve $\bm{\Omega}$ s\i n\i f\i n\i n bo\c s olmad\i\u g\i n\i\ \c simdilik bilmiyoruz.  Bu durumu hemen de\u gi\c stirebiliriz:

\begin{axiom}[Sonsuzluk]%
\index{aksiyom!Sonsuzluk A---u}
$\bm{\Omega}\neq0$, yani
\begin{equation*}
\Exists x\bigl(0\in x\land\Forall y(y\in x\lto y\cup\{y\}\in x)\bigr)
\end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.
\end{axiom}

H\^al\^a yukar\i daki \eqref{eqn:induction} sat\i r\i ndaki varsay\i lar\i ndan $\bm A=\bigcap\bm{\Omega}$ c\"umlesini sonu\c cland\i ram\i yoruz.  Neden?  Bir tane aksiyomu daha kullanarak bunu sonu\c cland\i rabiliriz:

\begin{axiom}[Ay\i rma]%
\index{aksiyom!Ay\i rma A---u}
Bir k\"umenin her alts\i n\i f\i, bir k\"umedir, yani her $\phi(x)$ form\"ul\"u i\c cin
\begin{equation*}
\Forall x\Exists y\Forall z\bigl(z\in y\liff z\in x\land\phi(z)\bigr)
\end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.
\end{axiom}

\c Simdi her $a$ k\"umesi ve $\phi(x)$ form\"ul\"u i\c cin $\{x\colon x\in a\land\phi(x)\}$ s\i n\i f\i, bir k\"umedir, ve bu k\"ume
\begin{equation*}
\{x\in a\colon\phi(x)\}
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i r.

\begin{theorem}
Bir s\i n\i f bo\c s de\u gilse, kesi\c simi bir k\"umedir.
\end{theorem}

\begin{proof}
$a\in\bm B$ olsun.  \ref{thm:cap-cup} numaral\i\ teoreme g\"ore $\bigcap\bm B\included a$.  Ay\i rma Aksiyomuna g\"ore $\bigcap\bm B$ kesi\c simi, bir k\"ume olmal\i.
\end{proof}

\"Ozel olarak
\begin{equation*}
\upomega=\bigcap\bm{\Omega}
\end{equation*}
e\c sitli\u gini sa\u glayan bir $\upomega$ k\"umesi vard\i r.  Bu k\"umenin elemanlar\i, \textbf{von Neumann do\u gal say\i lar\i d\i r.}%
\index{say\i!von Neumann do\u gal ---lar\i}%
\index{von Neumann do\u gal say\i lar\i}
$\upomega$ i\c sareti, yeni bir k\"ume terimidir.  Bundan sonra $\bm{\Omega}$ s\i n\i f terimini kullanmayaca\u g\i z.

\c Simdi \ref{thm:Omega} numaral\i\ teoremi a\c sa\u g\i daki bi\c cimde yazabiliriz:
  \begin{compactenum}\label{induction}
    \item
$0\in\upomega$.
\item
E\u ger $a\in\upomega$ ise, o zaman $a'\in\upomega$
olur.
\item
E\u ger $a\included\upomega$ ise, ve $a$,
\begin{align*}
  0&\in a,&
\Forall x(x\in a&\lto x'\in a)
\end{align*}
\"ozelliklerini sa\u glarsa, o zaman $a=\upomega$ olur.
  \end{compactenum}
Ayr\i ca her k\"umeninki gibi $\upomega$ k\"umesinin de her alts\i n\i f\i, bir k\"umedir.  Sonu\c c olarak $\upomega$ k\"umesinin baz\i\ \"ozelliklerini 
\textbf{t\"umevar\i m}%
\index{t\"umevar\i m}
(\eng{induction})
y\"ontemiyle kan\i tlayabilece\u giz.

Asl\i nda bazen $\upomega$ k\"umesinin iki \"ozelli\u gininin
daha kullan\i lmas\i\ gerekecek.  $\Forall xx'\neq0$ apa\c c\i kt\i r.
Ama $k$ ile $m$, do\u gal say\i lar ise, ve $k'=m'$ ise, $k=m$ e\c
sitli\u gini elde etmek, biraz daha zor olacak. 

M\"umk\"unse $k'=m'$ ama $k\neq m$ olsun.  O zaman $k\in m$ ve $m\in k$
olmal\i.  Bundan $k\in k$ c\"umlesini sonu\c cland\i rmak istiyoruz.

E\u ger bir $\bm A$ s\i n\i f\i,
\begin{equation*}
  \Forall x\Forall y(x\in\bm A\land y\in x\lto y\in\bm A)
\end{equation*}
c\"umlesini sa\u glarsa, o zaman $\bm A$ s\i n\i f\i na 
\textbf{ge\c ci\c sli}%
\index{ge\c ci\c sli}
(\eng{transitive}) denir.  \"Oyleyse her ge\c ci\c sli s\i n\i f\i n
her eleman\i, s\i n\i f\i n bir altk\"umesidir de.

\begin{theorem}\label{thm:n-trans}
$\upomega$ k\"umesinin her eleman\i, ge\c ci\c slidir.
\end{theorem}

\begin{proof}
$a$, $\upomega$ k\"umesinin ge\c ci\c sli elemanlar\i\ k\"umesi olsun.  Yani
\begin{align*}
a
&=\{x\in\upomega\colon\Forall y\Forall z(y\in x\land z\in y\lto z\in x)\}\\
&=\{x\in\upomega\colon\Forall y(y\in x\lto y\included x)\}
\end{align*}
olsun.  O zaman $0\in a$ olur.  \emph{T\"umevar\i m hipotezi} olarak $b\in a$ olsun.  $b'\in a$ c\"umlesinin do\u grulu\u gunu g\"osterece\u giz.  $c\in b'$ olsun.  Ya $c\in b$ ya da $c=b$ olur.  E\u ger $c\in b$ ise, o zaman hipotezimize g\"ore $c\included b$ olur.  Her durumda $b\included b'$.  \"Oyleyse $c\included b'$.  Ama $c$, $b'$ k\"umesinin herhangi bir eleman\i d\i r.  Sonu\c c olarak $b'\in a$ olur.  T\"umevar\i mdan (yani \ref{thm:Omega} numaral\i\ teoremin \pageref{induction} numaral\i\ sayfadaki bi\c ciminden) $a=\upomega$ olur.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm:w-trans}
$\upomega$ k\"umesi, ge\c ci\c slidir.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{xca}
$\bigl\{0,1,\{1\}\bigr\}$ k\"umesinin ge\c ci\c sli oldu\u gunu kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}\label{thm:irr}
$\upomega$ k\"umesinin hi\c cbir eleman\i, kendisini i\c cermez.
\end{theorem}

\begin{proof}
Tekrar t\"umevar\i m\i\ kullanaca\u g\i z.  \c C\"unk\"u bo\c s k\"umenin hi\c cbir eleman\i\ yok, $0\notin0$ olur.  \c Simdi $a\in\upomega$ ve $a\notin a$ olsun.  E\u ger $a'\in a'$ ise, ya $a'\in a$ ya da $a'=a$ olur.  Her durumda, ge\c cen teoreme g\"ore, $a'\included a$ olur, dolay\i s\i yla $a\in a$ olur (\c c\"unk\"u $a\in a'$).  Bu sonu\c c, varsay\i m\i m\i zla \c celi\c sir.  O zaman $a'\notin a'$ olmal\i.  T\"umevar\i mdan kan\i t\i m\i z bitti.
\end{proof}

\begin{theorem}
$\upomega$ k\"umesinin t\"um $k$ ile $m$ elemanlar\i\ i\c cin $k'=m'$ ise $k=m$ olur.
\end{theorem}

\begin{proof}
M\"umk\"unse $k'=m'$ ama $k\neq m$ olsun.  Dedi\u gimiz gibi $k\in m$ ve $m\in k$
olmal\i.  \ref{thm:n-trans} ile \ref{thm:irr} numaral\i\ teoremlere g\"ore $k\in k$ ve $k\notin k$ olur, bir \c celi\c skidir.
\end{proof}

\c Simdi, \ref{thm:Omega} numaral\i\ teoremdekiler dahil, $\upomega$
k\"umesinin be\c s tane \"ozelli\u gi vard\i r: 
%\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{compactenum}
\item
$0\in\upomega$.
\item
$\Forall x(x\in\upomega\lto x'\in\upomega)$.
\item
$\Forall x\bigl(x\included\upomega\land 0\in x\land\Forall y(y\in x\lto y'\in x)\lto x=\upomega\bigr)$.
\item
$\Forall x(x\in\upomega\lto x'\neq0)$.
\item
$\Forall x\Forall y(x\in\upomega\land y\in\upomega\land x'=y'\lto x=y)$.
\end{compactenum}
%\end{minipage}
Bu \"ozelliklerin \"onemi, 1887 y\i l\i nda Dedekind \cite[II, \P71]{MR0159773}
taraf\i ndan, ve 1889 y\i l\i nda Peano \cite{Peano} taraf\i ndan,
fark edilmi\c stir.  S\i k s\i k 
\textbf{Peano Aksiyomlar\i,}%
\index{aksiyom!Peano A---lar\i, Dedekind--Peano A---lar\i}\label{PA}
bu \"ozelliklere denir, ama
\textbf{Dedekind--Peano Aksiyomlar\i}
de kullan\i labilir.  Asl\i nda bizim i\c cin aksiyomlar de\u gil,
teoremdirler. 

Peano Aksiyomlar\i ndan do\u gal say\i lar\i n t\"um \"ozellikleri
elde edilebilir.  Mesela \emph{iyi s\i ralama} \"ozelli\u gi elde
edilebilir.  Asl\i nda $\upomega$, i\c cerilme ($\in$) ba\u g\i nt\i
s\i\ taraf\i ndan iyi s\i ralan\i r.  Ama bir ba\u g\i nt\i\ nedir? 

\section{Ba\u g\i nt\i lar}

Herhangi $a$ ile $b$ k\"umeleri i\c cin $\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}$
k\"umesi $(a,b)$ \textbf{s\i ral\i\ ikilisi}%
\index{ikili}%
\index{s\i ra!---l\i\ ikili}
(\eng{ordered pair})
olarak yaz\i l\i r.  Yani
\begin{equation*}
(a,b)=\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}
\end{equation*}
olur.\footnote{\ref{Kuratowski} numaral\i\ sayfadaki notta dedi\u gimiz gibi bu tan\i m, Kuratowski'nin \cite{Kuratowski} 1921 y\i l\i nda verdi\u gi tan\i md\i r.}

\begin{theorem}
  T\"um $a$, $b$, $c$, ve $d$ k\"umeleri i\c cin
  \begin{equation*}
    (a,b)=(c,d)\liff a=c\land b=d
  \end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.
\end{theorem}

\begin{xca}
  Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{xca}
$\bigl\{\{a,1\},\{b,2\}\bigr\}
=\bigl\{\{c,1\},\{d,2\}\bigr\}\liff
a=c\land b=d$ c\"umlesini kan\i tlay\i n\i z.\footnote{Heijenoort'a \cite[s.~224]{MR1890980} g\"ore bu c\"umlede, Hausdorff'un 1914 y\i l\i nda verdi\u gi s\i ral\i\ ikili tan\i m\i\ bulmu\c stur.}
\end{xca}

\begin{xca}
$\Bigl\{\bigl\{\{a\},0\bigr\},\bigl\{\{b\}\bigr\}\Bigr\}
=\Bigl\{\bigl\{\{c\},0\bigr\},\bigl\{\{d\}\bigr\}\Bigr\}
\liff a=c\land b=d$ c\"umlesini kan\i tlay\i n\i z.\footnote{Bu c\"umlede, Wiener'in \cite{Wiener} 1914 y\i l\i nda verdi\u gi s\i ral\i\ ikili tan\i m\i\ bulmu\c stur.}
\end{xca}

\c Simdi her ikili $\phi(x,y)$ form\"ul\"u i\c cin
\begin{equation*}
  \bigl\{z\colon\Exists x\Exists y\bigl(z=(x,y)\land\phi(x,y)\bigr)\bigr\}
\end{equation*}
s\i n\i f\i,
\begin{equation*}
  \{(x,y)\colon\phi(x,y)\}
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir.  \"Oyle bir s\i n\i f, bir 
\textbf{ikili ba\u g\i nt\i d\i r}%
\index{ba\u g\i nt\i}
(\eng{binary relation}).

\"Orne\u gin:
\begin{asparaenum}
\item
\.I\c cerilme ba\u g\i nt\i s\i, $\{(x,y)\colon x\in y\}$ s\i n\i f\i d\i r.
\item
E\c sitlik ba\u g\i nt\i s\i, $\{(x,y)\colon x=y\}$ s\i n\i f\i d\i r.
\end{asparaenum}


Ayn\i\ \c sekilde, e\u ger $\bm R$, bir ikili ba\u g\i nt\i ysa, o
zaman $(x,y)\in\bm R$ form\"ul\"un\"un k\i saltmas\i\ olarak
$x\mathrel{\bm R}y$ ifadesini yazar\i z, yani 
\begin{equation*}
  x\mathrel{\bm R}y\denk(x,y)\in\bm R.
\end{equation*}
$\bm R$ ba\u g\i nt\i s\i n\i n \textbf{ters ba\u g\i nt\i s\i}%
\index{ba\u g\i nt\i!ters ---} 
veya
\textbf{tersi}% 
\index{ters}
(\eng{converse}),
\begin{equation*}
  \{(y,x)\colon x\mathrel{\bm R}y\}
\end{equation*}
ba\u g\i nt\i s\i d\i r.  Bu ba\u g\i nt\i, $\conv{\bm R}$ olarak
yaz\i l\i r; yani
\begin{equation*}
  x\mathrel{\conv{\bm R}}y\denk y\mathrel{\bm R}x.
\end{equation*}
$\bm A$ ile $\bm B$, iki s\i n\i f ise, o zaman tan\i ma g\"ore
\begin{equation*}
  \bm A\times\bm B=\{(x,y)\colon x\in\bm A\land y\in\bm B\}
\end{equation*}
olur; bu ba\u g\i nt\i, $\bm A$ ile $\bm B$ s\i n\i flar\i n\i n
\textbf{\c carp\i m\i d\i r}%
\index{\c carp\i m}
(\eng{product}).
E\u ger $\bm R\included\bm A\times\bm B$, o zaman $\bm R$, $\bm A$ s\i
n\i f\i ndan $\bm B$ s\i n\i f\i na giden bir ba\u g\i nt\i d\i r.

S\i n\i flar aras\i ndaki bir ba\u g\i nt\i n\i n kendisi,
bir s\i n\i ft\i r.  S\i ral\i\ ikililerin tan\i m\i, s\i n\i flarla
ba\u g\i nt\i lar\i\ birle\c stirir.  Benzer \c sekilde Newton'un A\u
g\i rl\i k Kanunu, Ay'\i n Yerin etraf\i nda d\"on\"u\c s\"u ile
nesnelerin yere d\"u\c s\"u\c s\"un\"u birle\c stirir. 

E\u ger $\bm F$,
\begin{equation}\label{eqn:F}
\Forall x\Forall y\Forall z(x\mathrel{\bm F}y\land x\mathrel{\bm F}z\lto y=z)
\end{equation}
c\"umlesini sa\u glayan bir ikili ba\u g\i nt\i ysa, o zaman
\begin{compactenum}[(1)]
\item
 $\bm F$ ba\u g\i nt\i s\i na \textbf{g\"onderme}%
\index{g\"onderme}
denir; 
\item
$\{x\colon\Exists yx\mathrel{\bm F}y\}$ s\i n\i f\i na $\bm F$ g\"ondermesinin 
\textbf{tan\i m s\i n\i f\i}%
\index{tan\i m s\i n\i f\i}
(\eng{domain})
denir;
\item
$\{y\colon\Exists xx\mathrel{\bm F}y\}$ s\i n\i f\i na $\bm F$ g\"ondermesinin 
\textbf{de\u ger s\i n\i f\i}%
\index{de\u ger s\i n\i f\i}
(\eng{range})
denir.\footnote{Bu notlarda bir g\"onderme, sadece \eqref{eqn:F} c\"umlesini sa\u glayan bir $\bm F$ ikili ba\u g\i nt\i s\i d\i r.  Fakat baz\i\ kaynaklarda (\"orne\u gin \cite[s.~70]{Nesin-SKK} kayna\u g\i nda) bir g\"onderme veya fonksiyon,
\begin{inparaenum}[(1)]
\item
\eqref{eqn:F} c\"umlesini sa\u glayan bir $\bm F$ ikili ba\u g\i nt\i s\i,
\item
$\{y\colon\Exists xx\mathrel{\bm F}y\}$ s\i n\i f\i na e\c sit bir $\bm A$ s\i n\i f\i, ve
\item
$\{y\colon\Exists xx\mathrel{\bm F}y\}$ s\i n\i f\i n\i\ \emph{kapsayan} bir $\bm B$ s\i n\i f\i\
\end{inparaenum}
taraf\i ndan olu\c sturulmu\c s bir \"u\c cl\"ud\"ur.  O halde (a\c
sa\u g\i daki \pageref{to} numaral\i\ sayfadaki gibi) $\bm F\colon\bm
A\to\bm B$ ifadesi yaz\i l\i r.  Ayr\i ca, $\bm B$ s\i n\i f\i na
\emph{g\"ondermenin de\u ger s\i n\i f\i} (veya \emph{var\i\c s s\i
  n\i f\i}) denilebilir.  \.Ingilizcede \eng{codomain} kullan\i l\i r.
Ama buradaki $\bm B$ s\i n\i f\i, sadece $\bm F$ s\i n\i
f\i\ taraf\i ndan belirtilmez, ve buna hi\c cbir ad vermiyoruz.} 
\end{compactenum}
Bu durumda $x\mathrel{\bm F}y$ form\"ul\"un\"un yerine
\begin{equation*}
  y=\bm F(x)
\end{equation*}
ifadesini yazar\i z, \c c\"unk\"u $a\mathrel{\bm F}b$ do\u gruysa, o
zaman $b$ k\"umesi, $a$ k\"umesi taraf\i ndan belirtilir.  Buradaki $\bm F(x)$ ifadesi, yeni bir k\"ume terimidir.  O zaman $\bm F$, 
\begin{equation*}
x\mapsto\bm F(x)
\end{equation*}
olarak yaz\i labilir; yani
\begin{equation*}
(x\mapsto\bm F(x))=\{(x,y)\colon y=\bm F(x)\}.
\end{equation*}
\"Orne\u gin:
\begin{asparaenum}
\item
Her $a$ k\"umesi i\c cin, $x\mapsto a$
\textbf{sabit g\"onderme}%
\index{sabit!--- g\"onderme}\index{g\"onderme!sabit ---}
(\eng{constant function}) vard\i r, \"ozel olarak $x\mapsto0$, $x\mapsto1$, \dots, $x\mapsto\upomega$, \dots
\item
$x\mapsto x$, \textbf{\"ozde\c slik g\"ondermesidir}%
\index{\"ozde\c slik g\"ondermesi}\index{g\"onderme!\"ozde\c slik ---si}
(\eng{identity function}).
\item
$x\mapsto x'$,
\textbf{ard\i l g\"ondermesi}
(\eng{successor function}) veya 
\textbf{ard\i llamad\i r}%
\index{g\"onderme!ard\i l ---si}%
\index{ard\i l}
(\eng{succession}).
\end{asparaenum}
E\u ger $\bm F$ g\"ondermesinin tan\i m s\i n\i f\i\ $\bm A$ ise, ve
de\u ger s\i n\i f\i n\i, bir $\bm B$ s\i n\i f\i\ taraf\i ndan
kapsan\i rsa, o zaman
\begin{equation*}\label{to}
  \bm F\colon\bm A\to\bm B
\end{equation*}
ifadesini yazar\i z.  Yani bu ifade,
\begin{multline*}
  \Forall x\Forall y(x\mathrel{\bm F}y\lto x\in\bm A\land
  y\in\bm B)\\
\land\Forall x\bigl(x\in\bm A\lto\Exists y(x\mathrel{\bm F}y)\bigr)\\
\land\Forall x\Forall y\Forall z(x\mathrel{\bm F}y\land x\mathrel{\bm
  F}z\lto y=z)
\end{multline*}
c\"umlesinin k\i saltmas\i d\i r.


\section{S\i ralamalar}

\textbf{S\i ralama}%
\index{s\i ralama}
(\eng{ordering}),
\begin{align*}
\Forall x\lnot\; x&\mathrel{\bm R}x,&
\Forall x\Forall y\Forall z(x\mathrel{\bm R}y\land y\mathrel{\bm R}z&\lto x\mathrel{\bm R}z)
\end{align*}
c\"umlelerini sa\u glayan bir $\bm R$ ikili ba\u g\i nt\i s\i d\i r.  \"Orne\u gin yukaradaki \pageref{SBT} numaral\i\ sayfada bahsedildi\u gi ve a\c sa\u g\i daki \pageref{thm:SB} numaral\i\ sayfada kan\i tlanacak Schr\"oder--Bernstein Teoremine g\"ore $\prec$ ba\u g\i nt\i s\i, bir s\i ralama olacakt\i r.  Ayr\i ca
\begin{equation*}
\bm A\pincluded\bm B\denk\bm A\included\bm B\land\bm A\neq\bm B
\end{equation*}
olsun; o zaman $\pincluded$ ba\u g\i nt\i s\i\ da, bir s\i ralamad\i r. 

Belki bir $\bm R$ ba\u g\i nt\i s\i, bir s\i ralama de\u gildir, ama bir $\bm A$ s\i n\i f\i\ i\c cin
\begin{equation*}
\bm R\cap(\bm A\times\bm A)
\end{equation*}
kesi\c simi, bir s\i ralama olabilir.  O zaman $\bm A$, $\bm R$ taraf{}\i ndan s\i ralan\i r.  \"Orne\u gin $\in$, s\i ralama de\u gil; ama \ref{thm:n-trans} ile \ref{thm:irr} numaral\i\ teoremlere g\"ore $\in$ ba\u g\i nt\i s\i\ $\upomega$ k\"umesini s\i ralar.

E\u ger $\bm A$ s\i n\i f\i, $\bm R$ taraf{}\i ndan s\i ralan\i rsa, ve \"ustelik
\begin{equation*}
\Forall x\Forall y(x\in\bm A\land y\in\bm A\land x\neq y\lto x\mathrel{\bm R}y\lor y\mathrel{\bm R}x)
\end{equation*}
do\u gruysa, o zaman $\bm R$, $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n bir
\textbf{do\u grusal}%
\index{do\u grusal}
(\eng{linear})
s\i ralamas\i d\i r.

\begin{theorem}
$\in$ ba\u g\i nt\i s\i, her do\u gal say\i n\i n do\u grusal s\i ralamas\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

E\u ger $\bm R$, $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n do\u grusal s\i ralamas\i ysa, ve \"ustelik $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n her bo\c s olmayan $b$ altk\"umesinin $\bm R$ s\i ralamas\i na g\"ore
\textbf{en k\"u\c c\"uk}%
\index{k\"u\c c\"uk}
(\eng{least})
eleman\i\ varsa, yani
\begin{equation*}
\Forall x\Bigl(x\included\bm A\land x\neq0\lto\Exists y\bigl(y\in x\land\Forall z(z\in x\setminus\{y\}\lto y\mathrel{\bm R}z)\bigr)\Bigr)
\end{equation*}
do\u gruysa, o zaman $\bm A$, $\bm R$ taraf{}\i ndan
\textbf{iyi s\i ralan\i r}%
\index{iyi s\i ralama}\index{s\i ra!iyi ---lama}
(\eng{well-ordered}).

\begin{theorem}\label{thm:n-wo}
$\in$ ba\u g\i nt\i s\i, her do\u gal say\i n\i n iyi s\i ralamas\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}\label{thm:in-pinc}
$\upomega$ k\"umesinde $\in$ ile $\pincluded$, ayn\i\ ba\u g\i nt\i d\i r, yani
\begin{equation*}
\Forall x\Forall y\bigl(x\in\upomega\land y\in\upomega\lto(x\in y\liff x\pincluded y)\bigr)
\end{equation*}
do\u grudur.
\end{theorem}

\begin{proof}
$k$ ile $m$, do\u gal say\i lar olsun.  \ref{thm:n-trans} ile \ref{thm:irr} numaral\i\ teoremlere g\"ore $k\in m$ ise $k\pincluded m$ olur.  

\c Simdi $k\pincluded m$ olsun.  \"Onceki teoreme g\"ore $m\setminus k$ fark\i n\i n en k\"u\c c\"uk $\ell$ eleman\i\ vard\i r.  O zaman $\ell\in m$, dolay\i s\i yla $\ell\included m$.  Ayr\i ca $a\in\ell$ ise $a\in k$ olmal\i\ (\c c\"unk\"u $a\in m$, ama i\c cerilmeye g\"ore $\ell$, $m\setminus k$ fark\i n\i n en k\"u\c c\"uk eleman\i d\i r).  \"Oyleyse $\ell\included k$ olur.  Ama $b\in k$ ise $b\in m$, dolay\i s\i yla $\ell\in b$ veya $\ell=b$ veya $b\in\ell$ olur.  Ancak $\ell\notin b$ ve $\ell\neq b$ (\c c\"unk\"u $b\included k$ ve $\ell\notin k$).  \"Oyleyse $b\in\ell$.  Sonu\c c olarak $k\included\ell$.  Fakat $\ell\included k$.  O zaman $k=\ell$, dolay\i s\i yla $k\in m$.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm:w-wo}
$\upomega$, i\c cerilme taraf{}\i ndan iyi s\i ralan\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\upomega$ k\"umesinde $m\notin k$ ve $m\neq k$ olsun.  Yani (\"onceki teoremi kullanarak) $m\not\included k$ olsun.  O zaman $m\setminus k$ fark\i n\i n en k\"u\c c\"uk $\ell$ eleman\i\ vard\i r.  Ge\c cen kan\i ttaki gibi $\ell\included k$, yani $\ell\in k$ veya $\ell=k$.  Fakat $\ell\notin k$.  Sonu\c c olarak $\ell=k$, dolay\i s\i yla $k\in m$.  \"Oyleyse i\c cerilme, $\upomega$ k\"umesinin bir do\u grusal s\i ralamas\i d\i r.

Ayr\i ca $a\included\upomega$ ve $n\in a$ ise, ya $n$ $a$ k\"umesinin en k\"u\c c\"uk eleman\i d\i r, ya da $n\cap a$ kesi\c simi bo\c s de\u gildir.  Son durumda bu kesi\c simin en k\"u\c c\"uk eleman\i\ vard\i r, ve bu eleman, $a$ k\"umesinin en k\"u\c c\"uk eleman\i d\i r.
\end{proof}

\section{Ordinaller}

\"Onceki iki teoremin kan\i tlar\i, do\u gal say\i lar\i n sadece ge\c ci\c slilik ve iyi s\i ralama \"ozelliklerini kullanmaktad\i r.  Bir 
\textbf{ordinal,}%
\index{ordinal}
\begin{compactenum}[1)]
\item
ge\c ci\c sli ve
\item
$\in$ taraf\i ndan iyi s\i ralanm\i\c s
\end{compactenum}
bir k\"umedir.  Ordinaller,
\begin{equation*}
\on
\end{equation*}
s\i n\i f\i n\i\ olu\c sturur.  O zaman \ref{thm:n-trans} ve \ref{thm:n-wo} numaral\i\ teoremlere g\"ore
\begin{equation*}
\upomega\included\on.
\end{equation*}
\"Ustelik \ref{thm:w-trans} ve \ref{thm:w-wo} numaral\i\ teoremlere g\"ore
\begin{equation*}
\upomega\in\on.
\end{equation*}
Dolay\i s\i yla $\upomega'\in\on$.

\begin{theorem}
Her ordinalin ard\i l\i, bir ordinaldir.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}\label{thm:on-in-pinc}
$\on$ s\i n\i f\i nda $\in$ ve $\pincluded$, ayn\i\ ba\u g\i nt\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{xca}
\ref{thm:in-pinc} numaral\i\ teoremin kan\i t\i n\i\ kullanarak bu teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}[Burali-Forti Paradoksu \cite{Burali-Forti}]%
\index{teorem!Burali-Forti Paradoksu}%
\index{paradoks!Burali-Forti P---u}
$\on$ ge\c ci\c slidir, ve $\in$ taraf\i ndan iyi s\i ralan\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\alpha$ bir ordinal olsun, ve $\beta\in\alpha$ olsun.  O zaman
  $\beta\included\alpha$ olur.  Bu durumda $\beta$, $\in$ taraf\i ndan
  iyi s\i ralan\i r.  \c Simdi $\gamma\in\beta$ olsun.  O zaman
  $\gamma\in\alpha$, dolay\i s\i yla $\gamma\included\alpha$ olur.  O
  zaman $\delta\in\gamma$ ise $\delta\in\alpha$ olur.  $\alpha$, $\in$
  taraf\i ndan iyi s\i raland\i\u g\i ndan, $\delta\in\beta$ olur, \c
  c\"unk\"u $\beta$, $\gamma$, ve $\delta$, hepsi $\alpha$
  k\"umesindedir, ve $\delta\in\gamma$, ve $\gamma\in\beta$.  K\i saca
  $\delta\in\gamma\lto\delta\in\beta$, yani $\gamma\included\beta$.
  Ama $\gamma$, $\beta$ k\"umesinin herhangi bir eleman\i d\i r.
  \"Oyleyse $\beta$, ge\c ci\c slidir.  Sonu\c c olarak $\beta$, bir
  ordinaldir.  Ama $\beta$, $\alpha$ ordinalinin herhangi bir eleman\i
  d\i r.  O zaman $\alpha\included\on$.  Ve $\alpha$, herhangi bir
  ordinaldir.  \"Oyleyse $\on$ ge\c ci\c slidir. 

Ordinaller s\i n\i f\i n\i n $\in$ taraf\i ndan iyi s\i raland\i\u
g\i\ kan\i t, \ref{thm:w-wo} numaral\i\ teoremin kan\i t\i\ ile ayn\i
d\i r. 
\end{proof}

\pageref{BFP} numaral\i\ sayfada dedi\u gimiz gibi $\on$ bir k\"ume olsayd\i, $\on\in\on$ olur, ki bu sa\c cmad\i r (\c c\"unk\"u $\on$ s\i n\i f\i nda $\in$ d\"on\"u\c ss\"uzd\"ur).

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ve $\delta$ gibi k\"u\c c\"uk Yunanca
harfleri, her zaman ordinaller olacakt\i r.  Ayr\i ca
\ref{thm:on-in-pinc} numaral\i\ teorem sayesinde $\alpha\in\beta$ veya
$\alpha\pincluded\beta$ form\"ul\"un\"un yerine 
\begin{equation*}
\alpha<\beta
\end{equation*}
ifadesini yazabiliriz.

\begin{theorem}\label{thm:'}
$\alpha'=\min\{\beta\colon\alpha<\beta\}$, yani her ordinal i\c cin
  daha b\"uy\"uk ordinaller s\i n\i f\i n\i n en k\"u\c c\"uk
  eleman\i, ordinalin ard\i l\i d\i
  r.\footnote{$\{\beta\colon\alpha<\beta\}$ ifadesinde $\beta$, sabit
    de\u gil, de\u gi\c sken olarak kullan\i lmaktad\i r; ama bu de\u
    gi\c skenin de\u gerleri, sadece ordinaldir.  Yani
    $\{\beta\colon\alpha<\beta\}=\{x\colon x\in\on\land\alpha\in
    x\}$.} 
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

E\u ger $\alpha$ bo\c s veya ard\i l de\u gilse, ve $\beta\in\alpha$, o zaman $\alpha'<\beta$ olmal\i d\i r.  Bu durumda, $\beta$ ordinaline 
\textbf{limit}%
\index{limit}%
\index{ordinal!limit}
denir.  \"Orne\u gin $\upomega$, bir limittir.

\begin{theorem}
$\upomega$, hem limit olmayan hem limit i\c cermeyen ordinaller s\i n\i f\i d\i r.  Yani
\begin{multline}\label{eqn:omega}
\upomega=
\{x\colon x\in\on\land(x=0\lor\Exists yy'=x)\\
\land\Forall z(z\in x\lto z=0\lor\Exists yy'=z)\}
\end{multline}
olur.
\end{theorem}

\begin{proof}
T\"umevar\i mla her do\u gal say\i, ne limittir ne limit i\c cerir.
\"Ote yandan, e\u ger $\alpha'$ ard\i l\i, hi\c c limit i\c cermezse, o
zaman $\alpha$ ordinal de, hi\c c limit i\c cermez.  \"Oyleyse en
k\"u\c c\"uk limit olmayan, limit i\c cermeyen, do\u gal
say\i\ olmayan ordinal yoktur.  O zaman hi\c c \"oyle ordinaller
yoktur. 
\end{proof}

Bu teoremin kan\i t\i, Sonsuzluk Aksiyomunu kullanmaz, dolay\i s\i yla
\eqref{eqn:omega} e\c sitli\u gi, $\upomega$ s\i n\i f\i n\i n tan\i
m\i\ olarak kullan\i labilir.  O halde \pageref{PA}
numaral\i\ sayfadaki Peano Aksiyomlar\i\ yeniden kan\i tlanmal\i d\i r.

\section{\"Ozyineleme}

$\upomega$ k\"umesinde toplama, bir \textbf{ikili i\c slem}%
\index{i\c slem}
olacak, yani $\upomega\times\upomega$ \c carp\i m\i ndan $\upomega$ k\"umesine giden bir g\"onderme.  Bu i\c slem,
\begin{equation*}
(x,y)\mapsto x+y
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i r.  O zaman her $k$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin bir
$x\mapsto k+x$ \textbf{birli i\c slemi} olacakt\i r.  Bu i\c slemin
\"ozelliklerinden ikisi, 
\begin{align}\label{eqn:+}
k+0&=k,&\Forall x\bigl(x\in\upomega\lto k+x'&=(k+x)'\bigr)
\end{align}
olacakt\i r.  Asl\i nda $\upomega$ k\"umesindeki birli i\c slemlerden en \c cok birinin bu \"ozellikleri vard\i r.  \c C\"unk\"u $f\colon\upomega\to\upomega$, $f(0)=k$, ve $\Forall x\bigl(x\in\upomega\lto f(x')=f(x)'\bigr)$ olsun.  O zaman $f(0)=k+0$, ve $f(m)=k+m$ ise $f(m')=f(m)'=(k+m)'=k+m'$.  T\"umevar\i mla her $n$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin $f(n)=k+n$.

Neden $\upomega$ k\"umesindeki birli i\c slemlerden \emph{en az} birinin \eqref{eqn:+} sat\i r\i ndaki \"ozellikleri vard\i r?  $k=0$ durumunda her $n$ i\c cin $k+n=n$ olsun.  O zaman $k+0=0$, ve $k+m'=m'=(k+m)'$ olur.  \"Ustelik $k=\ell$ durumunda \eqref{eqn:+} sat\i r\i ndaki gibi $x\mapsto k+x$ i\c slemi varsa $\ell'+n=(\ell+n)'$ olsun.  O zaman $\ell'+0=(\ell+0)'=\ell'$, ve $\ell'+m'=(\ell+m')'=(\ell+m)''=(\ell'+m)'$ olur.  Yani $k=\ell'$ durumunda \eqref{eqn:+} sat\i r\i ndaki gibi $x\mapsto k+x$ i\c slemi vard\i r.

T\"umevar\i mla $\upomega$ k\"umesindeki her $k$ i\c cin \eqref{eqn:+}
sat\i r\i ndaki gibi $x\mapsto k+x$ i\c sleminin oldu\u gu sonucuna
varabilir miyiz?  T\"umevar\i mla bir \emph{k\"umenin} $\upomega$
k\"umesine e\c sit oldu\u gu kan\i tlanabilir.  \c Simdiki durumda
hangi k\"ume, $\upomega$ k\"umesine e\c sit olmal\i d\i r?
M\"umk\"unse $a$, $\upomega$ k\"umesinin \"oyle $k$
elemanlar\i\ taraf\i ndan olu\c sturulsun ki \eqref{eqn:+} sat\i r\i
ndaki \"ozelliklerini sa\u glayan bir i\c slem olsun.  O halde
g\"osterdi\u gimiz gibi $a=\upomega$ olmal\i d\i r.  Ama \"oyle bir
$a$ k\"umesi var m\i d\i r?  Hangi form\"ul, bu k\"umeyi tan\i
mlayabilir? 

\pageref{yerlestirme} ve \pageref{Yer} numaral\i\ sayfalardaki Yerle\c stirme Aksiyomuna g\"ore bir k\"umede birli bir i\c slemin kendisi, bir k\"umedir.  O halde istedi\u gimiz $a$ k\"umesi tan\i mlanabilir, dolay\i s\i yla $\upomega$ k\"umesindeki toplaman\i n kendisi tan\i mlanabilir.  Asl\i nda \eqref{eqn:+} sat\i r\i ndaki \"ozellikleri, toplaman\i n 
\textbf{\"ozyineli tan\i m\i n\i}%
\index{\"ozyineli tan\i m}
(\eng{recursive definition})
sa\u glar.

Benzer \c sekilde her $k$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin
\begin{align}\label{eqn:.}
k\cdot0&=0,&\Forall x(x\in\upomega\lto k\cdot x'&=k\cdot x+k)
\end{align}
\"ozellikleri olan $x\mapsto k\cdot x$ i\c slemi vard\i r.  (Burada tabii ki $k\cdot x+k=(k\cdot x)+k$ olur.)  \c C\"unk\"u $0\cdot n=0$ ise $0\cdot0=0$ ve $0\cdot m'=0=0+0=0\cdot m+0$.  Ayr\i ca istedi\u gimiz gibi $x\mapsto\ell\cdot x$ varsa $\ell'\cdot n=\ell\cdot n+n$ olsun.  O halde
\begin{align*}
\ell'\cdot m'
&=\ell\cdot m'+m'\\
&=(\ell\cdot m+\ell)+m'\\
&=\ell\cdot m+(\ell+m')\\
&=\ell\cdot m+(\ell+m)'\\
&=\ell\cdot m+(m+\ell)'\\
&=\ell\cdot m+(m+\ell')\\
&=(\ell\cdot m+m)+\ell'\\
&=\ell'\cdot m+\ell'
\end{align*}
olur.  Ama burada toplaman\i n birle\c sme ve de\u gi\c sme \"ozelliklerini kulland\i k; bunlar kan\i tlanmal\i d\i r.

Buraya kadar gelmek i\c cin t\"umevar\i m yeter.  Yani \pageref{PA} numaral\i\ sayfadaki ilk \"u\c c Peano Aksiyomu yeter.  Say\i lar teorisinde, her pozitif $n$ mod\"ul\"use g\"ore tamsay\i lar, bu aksiyomlar\i\ sa\u glar.  Yani e\u ger bir $a$ k\"umesinin elemanlar\i\, tamsay\i\ ise, ve
\begin{equation*}
x\equiv 0\pmod n
\end{equation*}
denkli\u ginin $a$ k\"umesinden \c c\"oz\"um\"u varsa, ve ayr\i ca her $\ell$ tamsay\i s\i\ i\c cin
\begin{equation*}
x\equiv \ell\implies y\equiv \ell'\pmod n
\end{equation*}
kara\c st\i rmas\i n\i n $a$ k\"umesinden \c c\"oz\"um\"u varsa, o zaman her $k$ tamsay\i s\i\ i\c cin
\begin{equation*}
x\equiv k\pmod n
\end{equation*}
denkli\u ginin $a$ k\"umesinden \c c\"oz\"um\"u vard\i r.  \"Orne\u gin $p$, bir asal say\i\ olsun.  O zaman
\begin{equation*}
0^p\equiv0\pmod p,
\end{equation*}
ve
\begin{equation*}
a^p\equiv a\implies(a+1)^p\equiv a+1\pmod p,
\end{equation*}
\c c\"unk\"u
\begin{align*}
(a+1)^p&\equiv a^p+pa^{p-1}+\binom p2a^{p-2}+\dots+\binom p{p-2}a^2+pa+1\\
       &\equiv a^p+1\pmod p
\end{align*}
olur.  Sonu\c c olarak Fermat'n\i n Teoremi%
\index{teorem!Fermat'n\i n T---i}
do\u grudur, yani her $p$ asal say\i s\i\ i\c cin, her $a$ tamsay\i s\i\ i\c cin
\begin{equation*}
a^p\equiv a\pmod p
\end{equation*}
olur.\footnote{Gauss'a \cite[\P50]{Gauss} g\"ore verdi\u gimiz kan\i t, Euler'indir.}
Ayn\i\ sebeple t\"um $a$, $b$, $c$, ve $d$ tamsay\i lar\i\ i\c cin, her pozitif $n$ say\i s\i\ i\c cin
\begin{equation*}
a\equiv b\And c\equiv d\implies a+c\equiv b+d\And a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod n
\end{equation*}
olur.

Sadece t\"umevar\i m\i\ kullanarak $(x,y)\mapsto x^y$ ikili \"ustel i\c slemi tan\i mlanabilir mi?  \"Ozyineli tan\i m varsa $\upomega$ k\"umesindeki her $k$ i\c cin
\begin{align}\label{eqn:exp}
k^0&=1,&\Forall x(x\in\upomega\lto k^{x'}=k^x\cdot k)
\end{align}
olur.  \"Ozel olarak $0^0=1$, ama $n>0$ ise $0^n=0$ olur.  \"Oyleyse
$0\equiv n$ ama $0^0\not\equiv 0^n\pmod n$.  \"Ustel i\c slem i\c cin
t\"umevar\i m yetmez.\footnote{\cite{Pierce-IR} makalesine bak\i n\i z.}

\begin{theorem}[\"Ozyineleme \protect{[\eng{Recursion}]}]%
\index{teorem!\"Ozyineleme T---i}\label{thm:rec}
$\bm A$, bir s\i n\i f olsun, ve $b\in\bm A$ ile $\bm F\colon\bm A\to\bm A$ olsun.  O zaman $\upomega$ k\"umesinden $\bm A$ s\i n\i f\i na giden
\begin{align*}
\bm G(0)&=b,&
\Forall x\Bigl(x\in\upomega\lto\bm G(x')=\bm F\bigl(\bm G(x)\bigr)\Bigr)
\end{align*}
\"ozellikleri olan bir ve tek bir $\bm G$ g\"ondermesi vard\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}%[Kan\i t\i n fikri.]
T\"umevar\i mla en \c cok bir $\bm G$ g\"ondermesi vard\i r.  En az biri varsa, ba\u g\i nt\i\ olarak, $\upomega\times\bm A$ \c carp\i m\i n\i n alts\i n\i f\i d\i r, ve her $(\ell,d)$ eleman\i\ i\c cin,
\begin{compactitem}
\item
ya $(\ell,d)=(0,b)$,
\item
ya da bir $(k,c)$ eleman\i\ i\c cin, $k'=\ell$ ve $\bm F(c)=d$ olur.
\end{compactitem}
Bu \"ozelli\u gi olan \emph{k\"umeler} vard\i r, mesela
\begin{align*}
&\{(0,b)\},&
&\bigl\{(0,b),\bigl(1,\bm F(b)\bigr)\bigr\},&
&\Bigl\{(0,b),\bigl(1,\bm F(b)\bigr),\Bigl(2,\bm F\bigl(\bm F(b)\bigr)\Bigr)\Bigr\},&
&\dots
\end{align*}
\"Ozelli\u gi olan k\"umelerin olu\c sturdu\u gu s\i n\i f, $\bm C$
olsun.  O zaman $\bigcup\bm C$, istedi\u gimiz $\bm G$ g\"ondermesi
olacakt\i r.  Bunu g\"ostermek i\c cin, t\"um Peano
Aksiyomlar\i\ kullan\i lmal\i d\i r.

Hemen $\{(0,b)\}\in\bm C$, dolay\i s\i yla $(0,b)\in\bigcup\bm C$.  \c Simdi $(k,c)\in\bigcup\bm C$ varsay\i ls\i n.  O zaman $\bm C$ s\i n\i f\i n\i n bir $a$ eleman\i\ i\c cin $(k,c)\in a$.  O halde $a\cup\{(k',\bm F(c))\}\in\bm C$ olur.  B\"oylece $(k',\bm F(c))\in\bigcup\bm C$ olur.  T\"umevar\i mla her $k$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n $(k,c)\in\bigcup\bm C$ i\c cerilmesini sa\u glayan $c$ eleman\i\ vard\i r, yani
\begin{equation*}
\{x\colon\Exists y(x,y)\in\bigcup\bm C\}=\upomega
\end{equation*}
olur.  \c Simdi
\begin{equation*}
\bigl\{x\colon\Forall y\Forall z\bigl((x,y)\in\bigcup\bm C\land(x,z)\in\bigcup\bm C\lto y=z)\bigr)\bigr\}=\upomega
\end{equation*}
e\c sitli\u gini kan\i tlayaca\u g\i z.  Soldaki k\"ume, $a_0$ olsun.  E\u ger $(0,e)\in\bigcup\bm C$ ise, o zaman $\bm C$ s\i n\i f\i n\i n bir $a$ eleman\i\ i\c cin $(0,e)\in a$ olur, dolay\i s\i yla $e=b$ olmal\i d\i r, \c c\"unk\"u $0$, ard\i l de\u gildir.  \"Oyleyse $0\in a_0$ olur.
\c Simdi $k\in a_0$ olsun.  G\"osterdi\u gimiz gibi $\bm A$ s\i n\i f\i n\i n bir $c$ eleman\i\ i\c cin $(k,c)\in\bigcup\bm C$ ve $(k',\bm F(c))\in\bigcup\bm C$ olur.  $(k',d)\in\bigcup\bm C$ varsay\i ls\i n.  O zaman $\bm C$ s\i n\i f\i n\i n bir $a$ eleman\i\ i\c cin $(k',d)\in a$ olur.  O halde $a$ k\"umesinin bir $(j,e)$ eleman\i\ i\c cin $j'=k'$ ve $\bm F(e)=d$ olur.  Bu durumda $j=k$ olmal\i d\i r.  B\"oylece $(k,e)\in\bigcup\bm C$, dolay\i s\i yla $e=c$ ve $d=\bm F(c)$ olur, \c c\"unk\"u $k\in a_0$ varsay\i l\i r.  \"Oyleyse $k'\in a_0$ olur.  T\"umevar\i mla $a_0=\upomega$ olur.

Sonu\c c olarak $\bigcup\bm C$, $\upomega$ k\"umesinden $\bm A$ s\i n\i f\i na giden bir $\bm G$ g\"ondermesidir.  $\bm C$ s\i n\i f\i n\i n tan\i m\i ndan $\bm G$ g\"ondermesinin istedi\u gimiz \"ozellikleri vard\i r.
\end{proof}

\c Simdi, do\u gal say\i larda, \eqref{eqn:+}, \eqref{eqn:.}, ve
\eqref{eqn:exp} sat\i rlar\i 
ndaki b\"ut\"un tan\i mlar ge\c cerlidir.  



\chapter{Ordinaller}


\section{\"Ozyineleme}

Do\u gal say\i larda, bir g\"ondermenin \"ozyineli tan\i m\i n\i n iki
tane par\c cas\i\ vard\i r, biri $0$ i\c cin, biri ard\i llar i\c
cin.  Ordinallerde \"u\c c\"unc\"u bir par\c ca gerekir, limitler
i\c cin.

T\"um $\alpha$ ordinalleri i\c cin
\begin{align}\label{eqn:++}
  \alpha+0&=\alpha,&
\alpha+\beta'&=(\alpha+\beta)'
\end{align}
olacak.  Ama $\beta$ limitse, $\alpha+\beta$ nedir?
Mesela $\alpha+\upomega$ nedir?  Asl\i nda \ref{thm:rec}
numaral\i\ teoreme g\"ore $\upomega$ k\"umesinden $\on$ s\i n\i f\i na
giden, \eqref{eqn:++} sat\i r\i ndaki \"ozellikleri olan
$x\mapsto\alpha+x$ g\"ondermesi vard\i r.
Her $n$ do\u gal
say\i\ i\c cin, 
\begin{equation*}
  \alpha+n<\alpha+\upomega
\end{equation*}
e\c sitsizli\u gini isteriz.  Yani $\alpha+\upomega$,
$\{y\colon\Exists x(x\in\upomega\land y=\alpha+x)\}$ s\i n\i f\i n\i n
\"ust s\i n\i r\i\ olmal\i d\i r (s\i n\i f\i n \"ust s\i n\i
r\i\ varsa).  Bu s\i n\i f, $\{\alpha+x\colon x\in\upomega\}$ olarak
yaz\i labilir.  

Genelde $\bm F\colon\bm A\to\bm B$ ve $\bm C\included\bm A$ ise
\begin{equation*}
  \{y\colon\Exists x(x\in\bm C\land\bm F(x)=y)\}
\end{equation*}
s\i n\i f\i,
\begin{align*}
&\{\bm F(x)\colon x\in\bm C\},&
&\bm F[\bm C]
\end{align*}
ifadelerinin biri olarak yaz\i labilir.  Bu s\i n\i f, $\bm C$ s\i n\i f\i n\i n $\bm F$ alt\i nda \textbf{g\"or\"unt\"us\"ud\"ur.}%
\index{g\"or\"unt\"u}
Bu durumda, $\bm F$ g\"ondermesi $\bm C$ s\i n\i f\i nda
\textbf{tan\i mlan\i r,}% 
\index{tan\i mlama}
\c c\"unk\"u $\bm C$, $\bm F$ g\"ondermesinin tan\i m s\i n\i
f\i\ taraf\i ndan kapsan\i r.  E\u ger $\bm F$, $\bm C$ s\i n\i f\i
nda tan\i mlanmazsa, $\bm F[\bm C]$ ifadesini yazmayaca\u g\i z. 

$\upomega$ k\"umesinin $\{\alpha+x\colon x\in\upomega\}$ g\"or\"unt\"us\"un\"un \"ust s\i n\i
r\i\ varsa, en k\"u\c c\"uk \"ust s\i n\i r\i, yani \emph{supremumu,}
vard\i r (\c c\"unk\"u $\on$, iyi s\i ralan\i r).  \c Simdi
\eqref{eqn:++} sat\i r\i ndaki \"ozelliklere g\"ore  
\begin{equation*}
  \alpha\included\alpha+1\included\alpha+2\included\dotsb
\end{equation*}
E\u ger $\bigcup\{\alpha+x\colon x\in\upomega\}$ bir ordinalse,
$\{\alpha+x\colon x\in\upomega\}$ k\"umesinin \"ust s\i n\i r\i d\i r,
asl\i nda supremumudur.

\begin{theorem}
Elemanlar\i\ ordinal olan her s\i n\i f\i n bile\c simi, ya bir
ordinal, ya da ordinallerin s\i n\i f\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\bm A\included\on$ olsun.  $b\in\bigcup\bm A$ ise, $\bm A$ s\i n\i
  f\i n\i n bir $\alpha$ eleman\i\ i\c cin $b\in\alpha$, dolay\i s\i
  yla $b\included\alpha$ ve onun i\c cin $b\included\bigcup\bm A$.
  \"Oyleyse $\bigcup\bm A$ ge\c ci\c slidir.  Ayr\i ca, $\on$ s\i n\i
  f\i\ da ge\c ci\c sli oldu\u gundan, $\bigcup\bm A\included\on$
  olur, dolay\i s\i yla $\bigcup\bm A$, $\in$ taraf\i ndan iyi s\i
  ralan\i r.  \"Oyleyse $\bigcup\bm A$ ya bir ordinaldir, ya da k\"ume olmayan bir s\i n\i ft\i r.  \.Ikinci durumda $\bigcup\bm A$ bile\c siminin $\on$ oldu\u gunu g\"osterece\u giz.  E\u ger $\bigcup\bm A\pincluded\on$ ise
  $\beta\in\on\setminus\bigcup\bm A$ olsun.  O zaman $\bigcup\bm
  A\included\beta$, \c c\"unk\"u $\bigcup\bm A$ ge\c ci\c slidir (e\u
  ger $\gamma\in\bigcup\bm A$ ise $\gamma\included\bigcup\bm A$,
  dolay\i s\i yla $\beta\notin\gamma$ ve $\gamma\leq\beta$).  Bu
  durumda $\bigcup\bm A$, bir k\"umedir, dolay\i s\i yla ordinaldir.
\end{proof}

Sonu\c c olarak, e\u ger $\bm A\included\on$ ve $\bigcup\bm A$ bir
k\"umeyse, o zaman bir ordinaldir; de\u gilse, $\on$ s\i n\i f\i d\i
r.  \c Simdi $\bm A$ bir k\"umeyse, $\bigcup\bm A$ bile\c siminin bir
k\"ume oldu\u gunu isteriz:   

\begin{axiom}[Bile\c sim]%
\index{aksiyom!Bile\c sim A---u}
  Her k\"umenin bile\c simi, bir k\"umedir:
  \begin{equation*}
    \Forall x\Exists y\Forall z\bigl(z\in y\liff\Exists w(w\in x\land
    z\in w)\bigr). 
  \end{equation*}
\end{axiom}

\begin{theorem}
  Ordinallerin olu\c sturdu\u gu her k\"umenin bile\c simi, k\"umenin
  supremumudur. 
\end{theorem}

\begin{proof}
  $a\included\on$ olsun.  Son teorem ve Bile\c sim Aksiyomuna g\"ore $\bigcup a$, bir $\alpha$
  ordinalidir.  O zaman $\alpha$, $a$ k\"umesinin bir \"ust s\i n\i r\i
  d\i r.  E\u ger $\beta<\alpha$ ise, o zaman $\beta\in\alpha$,
  dolay\i s\i yla $a$ k\"umesinin bir $\gamma$ eleman\i\ i\c cin
  $\beta\in\gamma$, yani $\beta<\gamma$.  Sonu\c c olarak $\beta$, $a$
  k\"umesinin \"ust s\i n\i r\i\ de\u gildir.  \"Oyleyse $\alpha=\sup(a)$.
\end{proof}

\c Simdi $\{\alpha+x\colon x\in\upomega\}$ gibi g\"or\"unt\"uler, k\"ume
olsun:

\begin{axiom}[Yerle\c stirme]%
\index{aksiyom!Yerle\c stirme A---u}\label{Yer}
Her g\"ondermenin tan\i m s\i n\i f\i n\i n altk\"umesinin g\"onderme alt\i nda g\"or\"unt\"us\"u, bir k\"umedir.  Yani her ikili $\phi(x,y)$
form\"ul\"u i\c cin
\begin{multline*}
\Forall w\biggl(\Forall x\Forall y\Forall z\bigl(\phi(x,y)\land\phi(x,z)\land x\in w\lto y=z\bigr)\\
\lto\Exists z\Forall y\Bigl(y\in z\liff\Exists x\bigl(x\in w\land\phi(x,y)\bigr)\Bigr)\biggr).
\end{multline*}
\end{axiom}

\c Simdi $\beta$ ordinalinde $x\mapsto\alpha+x$ g\"ondermesi tan\i
mlan\i rsa $\{\alpha+x\colon x\in\beta\}$ g\"or\"unt\"us\"u, bir
k\"umedir.  $\beta$ limitse 
\begin{equation}\label{eqn:+lim}
  \alpha+\beta=\sup\{\alpha+\gamma\colon\gamma<\beta\}
\end{equation}
olsun.  Bu \c sart, \eqref{eqn:++} sat\i r\i ndaki \c sartlarla, $\on$ s\i n\i f\i nda $x\mapsto\alpha+x$ i\c
slemesini tan\i mlayacakt\i r.

\begin{theorem}[T\"umevar\i m]%
\index{teorem!T\"umevar\i m T---i}
$\bm A\included\on$ olsun.  E\u ger
\begin{compactenum}[1)]
\item
$0\in\bm A$,
\item
her $\alpha$ i\c cin $\alpha\in\bm A\lto\alpha'\in\bm A$,
\item
her $\alpha$ limiti i\c cin $\alpha\included\bm A\lto\alpha\in\bm A$
\end{compactenum}
ise, o zaman $\bm A=\on$ olur.
\end{theorem}

\begin{proof}
Hipotez alt\i nda $\on\setminus\bm A$ fark\i n\i n en k\"u\c c\"uk eleman\i\ olamaz.
\end{proof}
E\u ger $\bm F\colon\bm A\to\bm B$ ve $\bm C\included\bm A$ ise
\begin{equation*}
\bm F\cap(\bm C\times\bm B)=\bm F\restriction\bm C
\end{equation*}
olsun.  Bu $\bm F\restriction\bm C$ g\"ondermesi, $\bm F$ g\"ondermesinin $\bm C$ s\i n\i f\i na \textbf{s\i n\i rlamas\i d\i r}%
\index{s\i n\i rlama}
(\eng{restriction}).

\begin{theorem}[\"Ozyineleme \protect{[\eng{Recursion}]}]%
\index{teorem!\"Ozyineleme T---i}
$\bm A$, bir s\i n\i f olsun, ve $b\in\bm A$, $\bm F\colon\bm
A\to\bm A$, ve $\bm G\colon\pow{\bm A}\to\bm A$ olsun.  O zaman
$\on$ s\i n\i f\i ndan $\bm A$ s\i n\i f\i 
na giden 
\begin{gather*}
  \bm H(0)=b,\\
\bm H(\alpha')=\bm F(\bm H(\alpha)),\\
\alpha\text{ limit ise }\bm H(\alpha)=\bm G\bigl(\{\bm
H(\beta)\colon\beta<\alpha\}\bigr) 
\end{gather*}
\"ozellikleri olan bir ve tek bir $\bm H$ g\"ondermesi vard\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
T\"umevar\i mla en \c cok bir $\bm H$ g\"ondermesi vard\i r.  \c C\"unk\"u $\bm H_1$ g\"ondermesinin ve $\bm H$ g\"ondermesinin \"ozellikleri ayn\i\ olsun.  O zaman
\begin{compactenum}[1)]
\item
$\bm H_1(0)=b=\bm H(0)$;
\item
$\bm H_1(\alpha)=\bm H(\alpha)$ ise
\begin{equation*}
\bm H_1(\alpha')=\bm F(\bm H_1(\alpha))=\bm F(\bm H(\alpha))=\bm H(\alpha');
\end{equation*}
\item
$\alpha$ limit ise ve $\bm H_1\restriction\alpha=\bm H\restriction\alpha$ ise
\begin{equation*}
\bm H_1(\alpha)=\bm G(\bm H_1[\alpha])=\bm G(\bm H[\alpha])=\bm H(\alpha).
\end{equation*}
\end{compactenum}
 \ref{thm:rec} numaral\i\ teoremin kan\i t\i ndaki gibi bir $\bm C$ s\i n\i f\i\ i\c cin $\bm H=\bigcup\bm C$ olacakt\i r.  Bu s\i n\i f\i n tan\i m\i na g\"ore her $a$ eleman\i\ i\c cin $a\subseteq\on\times\bm A$ olur, ve $a$ k\"umesinin her $(\alpha,d)$ eleman\i\ i\c cin,
\begin{compactitem}
\item
ya $(\alpha,d)=(0,b)$,
\item
ya da bir $(\beta,c)$ eleman\i\ i\c cin, $\beta'=\alpha$ ve $\bm F(c)=d$ olur,
\item
ya da $\alpha$ limit, ve $a\cap(\alpha\times\bm A)$ kesi\c simi, tan\i m k\"umesi $\alpha$ olan bir $f$ g\"ondermesi, ve $\bm G(f[\alpha])=d$ olur.
\end{compactitem}
E\u ger $\bigcup\bm C$ bile\c simi, tan\i m s\i n\i f\i\ $\on$ olan bir g\"onderme de\u gilse, bir \emph{en k\"u\c c\"uk} $\alpha$ i\c cin
\begin{equation*}
\{x\colon x\in\bm A\land(\alpha,x)\in\bigcup\bm C\}
\end{equation*}
s\i n\i f\i n\i n ya hi\c c eleman\i\ yoktur ya da en az iki
eleman\i\ vard\i r.  O zaman $\alpha\neq0$ olur.  E\u ger
$\alpha=\beta'$ ise, o zaman bir $c$ i\c cin $(\beta,c)\in\bigcup\bm
C$ olur, dolay\i s\i yla $(\alpha,\bm F(c))\in\bigcup\bm C$ olur.  Bu
durumda e\u ger $(\alpha,d)\in\bigcup\bm C$ ise bir $e$ i\c cin $d=\bm
F(e)$ ve $(\beta,e)\in\bigcup\bm C$, dolay\i s\i yla $c=e$ ve $d=\bm
F(c)$ olur (\c c\"unk\"u $\alpha$ en k\"u\c c\"ukt\"ur).  \"Oyleyse
$\alpha$ ard\i l olamaz.  Benzer \c sekilde $\alpha$ limit olamaz.
Sonu\c c olarak $\bigcup\bm C$ bile\c simi, tan\i m s\i n\i f\i\ $\on$
olan bir g\"onderme olmal\i d\i r.  Bu g\"ondermenin, tan\i m\i ndan
dolay\i\ istedi\u gimiz \"ozellikleri vard\i r.
\end{proof}

\section{Toplama}

Son teoreme g\"ore her $\alpha$ i\c cin \eqref{eqn:++} ve
\eqref{eqn:+lim} sat\i rlar\i ndaki ko\c sullar $\on$ s\i n\i f\i nda
$x\mapsto\alpha+x$ i\c slemini tan\i mlar.  Yani
\begin{gather*}
  \alpha+0=\alpha,\\
\alpha+\beta'=(\alpha+\beta)',\\
\beta\text{ limit}\lto\alpha+\beta=\sup\{\alpha+\gamma\colon\gamma<\beta\}.
\end{gather*}
\"Ozel olarak
\begin{equation*}
  \alpha+1=\alpha'.
\end{equation*}
O zaman
\begin{equation*}
  1+\upomega=\sup\{1+x\colon x\in\upomega\}=\upomega<\upomega+1,
\end{equation*}
ve genelde $0<n<\upomega$ ise
\begin{equation*}
n+\upomega=\upomega<\upomega+n.
\end{equation*}
B\"oylece $\on$ s\i n\i f\i nda toplama de\u gi\c smeli de\u gildir.

\begin{theorem}\label{thm:<}
  $\beta<\gamma$ ise $\alpha+\beta<\alpha+\gamma$.
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\gamma$ \"uzerinden t\"umevar\i m kullanaca\u g\i z.  
  \begin{asparaenum}
    \item
    $\gamma=0$ ise, iddia do\u grudur, \c c\"unk\"u hi\c cbir zaman
  $\beta<0$ de\u gildir.  
\item
$\gamma=\delta$ durumda iddian\i n do\u gru oldu\u gu varsay\i ls\i n.  E\u ger $\beta<\delta'$ ise, o zaman $\beta\leq\delta$, dolay\i s\i yla
  \begin{equation*}
    \alpha+\beta\leq\alpha+\delta<(\alpha+\delta)'=\alpha+\delta'.
  \end{equation*}
\item
$\delta$ limit ve $\gamma<\delta$ durumunda iddia do\u gru ve $\beta<\delta$ ise, o zaman $\beta<\beta'<\delta$, dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
\alpha+\beta<\alpha+\beta'\leq\sup_{\gamma<\delta}(\alpha+\gamma)=\alpha+\delta.\qedhere
\end{equation*}
  \end{asparaenum}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm:leq}
  $\beta\leq\gamma$ ise $\beta+\alpha\leq\gamma+\alpha$.
\end{theorem}

\begin{proof}
  \c Simdi $\alpha$ \"uzerinden t\"umevar\i m kullanaca\u g\i z.
  $\beta\leq\gamma$ olsun.
  \begin{asparaenum}
    \item
$\beta+0=\beta\leq\gamma=\gamma+0$.
\item
$\beta+\alpha=\gamma+\alpha$ ise tabii ki
  \begin{equation*}
    \beta+\alpha'=(\beta+\alpha)'=(\gamma+\alpha)'=\gamma+\alpha'.
  \end{equation*}
$\beta+\alpha<\gamma+\alpha$ ise, \ref{thm:'}
numaral\i\ teoreme g\"ore
\begin{equation*}
  \beta+\alpha'
  =(\beta+\alpha)'\leq\gamma+\alpha<(\gamma+\alpha)'=\gamma+\alpha'.  
\end{equation*}
\item
$\delta$ limit olsun, ve $\alpha<\delta$ ise,
  $\beta+\alpha\leq\gamma+\alpha$ olsun.  O zaman
  \begin{equation*}
    \beta+\delta=\sup_{\alpha<\gamma}(\beta+\alpha)
\leq\sup_{\alpha<\gamma}(\gamma+\alpha)=\gamma+\delta.\qedhere
  \end{equation*}
  \end{asparaenum}
\end{proof}

G\"ord\"u\u g\"um\"uz gibi ayn\i\ zamanda $\beta<\gamma$ ama
$\beta+\alpha=\gamma+\alpha$ olabilir, mesela $0<k<\ell<\upomega$ ise $k+\upomega=\ell+\upomega$.

\begin{theorem}\label{thm:0+}
Her $\alpha$ i\c cin $0+\alpha=\alpha$.
\end{theorem}

\begin{xca}
  Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
  $\alpha\leq\beta$ ise
  \begin{equation*}
    \alpha+x=\beta
  \end{equation*}
denkleminin bir ve tek bir ordinal \c c\"oz\"um\"u vard\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
  \ref{thm:<} numaral\i\ teoreme g\"ore denklemin en \c cok bir \c
  c\"oz\"um\"u vard\i r.  \ref{thm:leq} ve \ref{thm:0+}
  numaral\i\ teoremlere g\"ore
  \begin{equation*}
    \alpha+\beta\geq0+\beta=\beta,
  \end{equation*}
dolay\i s\i yla $\{\gamma\colon\beta\leq\alpha+\gamma\}$ bo\c s de\u
gildir (\c c\"unk\"u $\beta$ eleman\i n\i\ i\c cerir).  En k\"u\c c\"uk eleman\i, $\delta$ olsun.  \"U\c c durum
vard\i r.
\begin{asparaenum}
  \item
$\delta=0$ ise
\begin{equation*}
  \beta\leq\alpha+0=\alpha,
\end{equation*}
dolay\i s\i yla $\beta=\alpha=\alpha+0$ (\c c\"unk\"u
$\alpha\leq\beta$ da sa\u glan\i r).
\item
$\delta=\gamma'$ ise $\alpha+\gamma<\beta$, dolay\i s\i yla
  \begin{gather*}
    \alpha+\delta=(\alpha+\gamma)'\leq\beta,\\
\alpha+\delta=\beta
  \end{gather*}
olur (\c c\"unk\"u $\alpha+\delta\geq\beta$ da sa\u glan\i r).
\item
$\delta$ limit olsun.  E\u ger $\gamma<\delta$ ise
  $\alpha+\gamma<\beta$ olmal\i d\i r.  O zaman
  \begin{gather*}
    \alpha+\delta=\sup_{\gamma<\delta}(\alpha+\gamma)\leq\beta,\\
\alpha+\delta=\beta.\qedhere
  \end{gather*}
\end{asparaenum}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm:lim}
  $\beta$ limitse $\alpha+\beta$ toplam\i\ da limittir.
\end{theorem}

\begin{xca}
  Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
  T\"um $\alpha$, $\beta$, ve $\gamma$ i\c cin
  \begin{equation*}
    \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\gamma$ \"uzerinden t\"umevar\i m kullanaca\u g\i z.
  \begin{asparaenum}
    \item
$\alpha+(\beta+0)=\alpha+\beta=(\alpha+\beta)+0$ olur.
\item
$\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$ ise
  \begin{align*}
    \alpha+(\beta+\gamma')=\alpha+(\beta+\gamma)'
&=(\alpha+(\beta+\gamma))'\\
&=((\alpha+\beta)+\gamma)'
=(\alpha+\beta)+\gamma'.
  \end{align*}
\item
$\delta$ limit olsun, ve $\gamma<\delta$ ise
  $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$ olsun.  Ama
  $\gamma<\delta$ ise
  \begin{align*}
    \beta+\gamma&<\beta+\delta,&
    \alpha+(\beta+\gamma)&<\alpha+(\beta+\delta).
  \end{align*}
\"Oyleyse
\begin{equation*}
  (\alpha+\beta)+\delta
=\sup_{\gamma<\delta}((\alpha+\beta)+\gamma)
=\sup_{\gamma<\delta}(\alpha+(\beta+\gamma))
\leq\alpha+(\beta+\delta).
\end{equation*}
Ayr\i ca, \ref{thm:lim} numaral\i\ teoreme g\"ore
$\beta+\delta$ limit oldu\u gundan
\begin{equation*}
  \alpha+(\beta+\delta)=\sup_{\zeta<\beta+\delta}(\alpha+\zeta).
\end{equation*}
Dahas\i\ $\zeta<\beta+\delta$ ise, bir $\gamma$ i\c cin
$\gamma<\delta$ ve $\zeta<\beta+\gamma$ olur (\c c\"unk\"u $\beta+\delta=\sup\{\beta+\gamma\colon\gamma<\delta\}$).  O halde
\begin{equation*}
  \sup_{\zeta<\beta+\delta}(\alpha+\zeta)\leq\sup_{\gamma<\delta}(\alpha+(\beta+\gamma))
=(\alpha+\beta)+\delta.
\end{equation*}
Sonu\c c olarak $\alpha+(\beta+\delta)=(\alpha+\beta)+\delta$.\qedhere 
  \end{asparaenum}
\end{proof}

Asl\i nda son teoremin kan\i t\i, genel bir y\"ontemin \"orne\u
gidir.  $\on$ s\i n\i f\i nda $x\mapsto\alpha+x$ i\c slemi,
\begin{compactenum}[1)]
  \item
$\beta<\gamma\lto\bm F(\beta)<\bm F(\gamma)$,
\item
$\gamma$ limitse $\bm F(\gamma)=\sup\{\bm F(\beta)\colon\beta<\gamma\}$
\end{compactenum}
ko\c sullar\i n\i\ sa\u glayan bir $\bm F$ i\c slemidir.  Bu tip herhangi
bir i\c slemeye \textbf{normal}%
\index{normal i\c slem}
(\eng{normal}) denir.  \.Ilk ko\c sula g\"ore $\bm F$, \textbf{kesin
  artan}%
\index{artan g\"onderme}
(\eng{strictly increasing})
bir g\"ondermedir.  O zaman ikinci ko\c sula g\"ore $\bm F$,
\textbf{s\"ureklidir}%
\index{s\"urekli g\"onderme}
(\eng{continuous}).

\begin{theorem}
  E\u ger $0\pincluded a\pincluded\on$ ve $\sup(a)\notin a$, o zaman
  $\sup(a)$, bir limittir.
\end{theorem}

\begin{xca}
  Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
  $\bm F$, $\on$ s\i n\i f\i nda normal bir i\c slem olsun.  T\"um
  bo\c s olmayan ordinallerin olu\c sturdu\u gu $a$ k\"umeleri i\c cin
  \begin{equation*}
    \bm F(\sup(a))=\sup(\bm F[a]),
  \end{equation*}
  yani
  \begin{equation*}
\bm F(\sup_{x\in a}x)=\sup_{x\in a}\bm F(x).
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\sup(a)=\beta$ olsun.  E\u ger $\beta\in a$ ise, $\bm F$ i\c
  slemi artan oldu\u gundan
  \begin{equation*}
    \bm F(\beta)=\sup_{\gamma\in a}\bm F(\gamma).
  \end{equation*}
\c Simdi $\beta\notin a$ olsun.  Son teoreme g\"ore $\beta$
bir limit olmal\i d\i r.  Ayr\i ca $a\included\beta$, dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
  \sup(\bm F[a])\leq\sup(\bm F[\beta])=\bm F(\beta)
\end{equation*}
(\c c\"unk\"u $\bm F$ s\"ureklidir).  Dahas\i\ $\alpha<\beta$ ise, $a$
k\"umesinin bir $\gamma$ eleman\i\ i\c cin $\alpha<\gamma$, dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
  \bm F(\beta)=\sup(\bm F[\beta])\leq\sup(\bm F[a])
\end{equation*}
(yine $\bm F$ s\"urekli oldu\u gu i\c cin).
\end{proof}

Bu teoremde $a=0$ ise $\sup(\bm F[a])=\sup(0)=0$, ama $\bm F$ normal olunca, $\bm F(0)>0$
olabilir. 

Bir $\delta$ limiti i\c cin, e\u ger
\begin{equation*}
  \gamma<\delta\lto\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma
\end{equation*}
ise, o zaman teoreme g\"ore
\begin{align*}
  \alpha+(\beta+\delta)
&=\alpha+\sup_{\gamma<\delta}(\beta+\gamma)\\
&=\sup_{\gamma<\delta}(\alpha+(\beta+\gamma))
=\sup_{\gamma<\delta}((\alpha+\beta)+\gamma)
=(\alpha+\beta)+\delta,
\end{align*}
\c c\"unk\"u $x\mapsto\alpha+x$, normaldir.

\section{\c Carpma}

Her $\alpha$ i\c cin $\on$ s\i n\i f\i nda $x\mapsto\alpha\cdot x$ i\c slemi,
\begin{gather*}
	\alpha\cdot0=0,\\
	\alpha\cdot\beta'=\alpha\cdot\beta+\alpha,\\
	\gamma\text{ limit}\lto\alpha\cdot\gamma=\sup\{\alpha\cdot\beta\colon\beta<\gamma\}
\end{gather*}
\c sartlar\i\ sa\u glar.  \"Ozel olarak
\begin{equation*}
\alpha\cdot1=\alpha.
\end{equation*}
\"Orne\u gin
\begin{gather*}
	\upomega\cdot2=\upomega\cdot1+\upomega=\upomega+\upomega=\sup_{n<\upomega}(\upomega+n),\\
	2\cdot\upomega=\sup_{n<\upomega}(2\cdot n)=\upomega,
\end{gather*}
dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
  	2\cdot\upomega<\upomega\cdot2.
\end{equation*}

\begin{theorem}
$0\cdot\alpha=0$ ve $1\cdot\alpha=\alpha$.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

$\alpha\geq1$ ise, $x\mapsto\alpha\cdot x$ i\c sleminin normal oldu\u gunu kan\i tlayaca\u g\i z.  Bu i\c slem kesin artan ise, tan\i mdan dolay\i\ s\"ureklidir, dolay\i s\i yla normaldir.  O zaman \ref{thm:<} numaral\i\ teorem gibi bir teorem yeterli olacakt\i r, \c c\"unk\"u\ \ref{thm:<} numaral\i\ teorem, genel bir y\"ontem g\"osterir:

\begin{theorem}
E\u ger $\bm F\colon\on\to\on$, ve t\"um $\alpha$ i\c cin
\begin{equation*}
\bm F(\alpha)<\bm F(\alpha'),
\end{equation*}
ve limit olan t\"um $\beta$ i\c cin
\begin{equation*}
\bm F(\beta)=\sup_{\alpha<\beta}\bm F(\alpha)
\end{equation*}
ise, o zaman $\bm F$ normaldir.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
$\alpha\geq1$ ise $x\mapsto\alpha\cdot x$ i\c slemi, normaldir.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
$\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma$.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\gamma=0$ durumunda kan\i t kolayd\i r.  $\gamma=\delta$ durumunda iddia do\u gruysa
\begin{align*}
\alpha\cdot(\beta+\delta')
&=\alpha\cdot(\beta+\delta)'\\
&=\alpha\cdot(\beta+\delta)+\alpha\\
&=(\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\delta)+\alpha\\
&=\alpha\cdot\beta+(\alpha\cdot\delta+\alpha)\\
&=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\delta';
\end{align*}
b\"oylece $\gamma=\delta'$ durumunda iddia do\u grudur.  Son olarak $\delta$ limit, ve $\gamma<\delta$ durumunda iddia do\u gru olsun.  $\gamma=\delta$ durumunu kan\i tlayaca\u g\i z.  $\alpha=0$ ise iddia kolayd\i r.  $\alpha\geq1$ olsun.  O zaman $x\mapsto\alpha\cdot x$ ve $x\mapsto\alpha\cdot\beta+x$ i\c slemleri normal oldu\u gundan
\begin{align*}
\alpha\cdot(\beta+\delta)
&=\alpha\cdot\sup_{\gamma<\delta}(\beta+\gamma)\\
&=\sup_{\gamma<\delta}(\alpha\cdot(\beta+\gamma))\\
&=\sup_{\gamma<\delta}(\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma)\\
&=\alpha\cdot\beta+\sup_{\gamma<\delta}\alpha\cdot\gamma\\
&=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\delta.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

G\"ord\"u\u g\"um\"uz gibi $2\cdot\upomega<\upomega+\upomega$,
dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
(1+1)\cdot\upomega<1\cdot\upomega+1\cdot\upomega.  
\end{equation*}

\begin{theorem}
  $\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)=(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma$.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
$\beta\leq\gamma$ ise $\beta\cdot\alpha\leq\gamma\cdot\alpha$.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
$1\leq\alpha$ ise
\begin{equation*}
\alpha\cdot x+y=\beta
\end{equation*}
denkleminin $y<\alpha$ ko\c sulunu sa\u glayan bir ve tek bir \c c\"oz\"um\"u vard\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\alpha\cdot\beta\geq1\cdot\beta=\beta$ ve $x\mapsto\alpha\cdot x$ artan oldu\u gundan
\begin{equation*}
\{x\colon x\in\on\land\alpha\cdot x\leq\beta\}\included\beta,
\end{equation*}
dolay\i s\i yla $\bigcup\{x\colon x\in\on\land\alpha\cdot x\leq\beta\}$, bir $\gamma$ ordinalidir.  B\"oylece
\begin{equation*}
\gamma=\sup\{x\colon x\in\on\land\alpha\cdot x\leq\beta\}.
\end{equation*}
E\u ger $\gamma\in\{x\colon x\in\on\land\alpha\cdot x\leq\beta\}$ ise $\alpha\cdot\gamma\leq\beta$.  De\u gilse $\gamma$ limit olmal\i d\i r,
dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
\alpha\cdot\gamma=\sup_{\zeta<\gamma}(\alpha\cdot\zeta)\leq\beta.
\end{equation*}
\c Simdi $\alpha\cdot\gamma+y=\beta$ denkleminin $\delta$ \c c\"oz\"um\"u vard\i r\dots
\end{proof}

\chapter{Kardinaller}

\section{E\c sleniklik}

\c Simdi $\bm F\colon\bm A\to\bm B$ olsun.  E\u ger $\bm F$ ba\u g\i
nt\i s\i n\i n ters ba\u g\i nt\i s\i, $\bm B$ s\i n\i f\i
ndan $\bm A$ s\i n\i f\i na giden bir g\"ondermeyse, o zaman bu
g\"onderme, $\bm F$ g\"ondermesinin 
\textbf{ters g\"ondermesi}%
\index{g\"onderme!ters ---}
veya \textbf{tersidir}%
\index{ters}
(\eng{inverse}), ve $\bm F$ g\"ondermesi, $\bm A$ s\i n\i f\i ndan
$\bm B$ s\i n\i f\i na giden bir \textbf{e\c slemedir}%
\index{e\c sleme}
(\eng{bijection}), ve $\bm A$ ile $\bm B$ s\i n\i flar\i n\i n
kendileri, \textbf{e\c sleniktir}%
\index{e\c slenik}
(\eng{equipollent}).
Asl\i nda bir s\i n\i f, bir \emph{k\"umeyle} e\c slenikse, o zaman
s\i n\i f ve e\c sleme de k\"umedir.

\begin{theorem}\label{thm:sinif}
Bir s\i n\i f, bir k\"umeyle e\c slenikse, s\i n\i f da bir k\"umedir.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}\label{thm:gonderme}
Tan\i m s\i n\i f\i\ bir k\"ume olan her g\"onderme bir k\"umedir.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{xca}
$\bm F$ bir g\"onderme olsun.
\begin{compactenum}[(a)]
\item
Ay\i rma Aksiyomunu kullanmadan
her $a$ k\"umesi i\c cin $\{y\colon\Exists x(x\in a\land x\mathrel{\bm F}y)\}$ s\i n\i f\i n\i n bir k\"ume oldu\u gunu kan\i tlay\i n\i z.
\item
Bu sonucu kullanarak Yerle\c stirme ve Ay\i rma Aksiyomlar\i n\i\ kan\i tlay\i n\i z.
\end{compactenum}
\end{xca}

\ref{thm:sinif} ve \ref{thm:gonderme} numaral\i\ teoremler sayesinde
k\"umelerin e\c slenikli\u gi, bir ikili ba\u g\i nt\i d\i r.  Bu ba\u
g\i nt\i n\i n i\c sareti
\begin{equation*}
\approx
\end{equation*}
olsun.  (O zaman $=$ gibi $\approx$, yeni bir y\"uklemdir.)  Asl\i
nda e\c sitlik gibi e\c sleniklik de, bir denklik ba\u g\i nt\i s\i d\i r
(\pageref{denklik} numaral\i\ sayfaya bak\i n\i z):


\begin{theorem}
T\"um $a$, $b$, ve $c$ k\"umeleri i\c cin
\begin{align*}
&a\approx a,&
a\approx b&\lto b\approx a,&
a\approx b\land b\approx c&\lto a\approx c
\end{align*}
c\"umleleri do\u grudur.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

Birka\c c tane von Neumann do\u gal say\i s\i n\i n tan\i m\i n\i,
\pageref{vnn} numaral\i\ sayfadan hat\i rlayal\i m:
\begin{align*}
  0&=\emptyset,&
1&=\{0\},&
2&=\{0,1\},&
3&=\{0,1,2\},&
4&=\{0,1,2,3\}.
\end{align*}
Bir $a$ k\"umesinin
\begin{compactenum}[1)]
  \item
hi\c cbir eleman\i\ yoksa, o zaman $a\approx0$; asl\i
    nda $a=0$;
  \item
tek bir eleman\i\ varsa, o zaman $a\approx1$;
  \item
iki (ve sadece iki) eleman\i\ varsa, o zaman $a\approx2$;
  \item
\"u\c c (ve sadece \"u\c c) eleman\i\ varsa, o zaman
    $a\approx3$. 
\end{compactenum}
Ayr\i ca
\begin{align*}
  0&\not\approx1,&
  0&\not\approx2,&
  0&\not\approx3,&
  1&\not\approx2,&
  1&\not\approx3,&
  2&\not\approx3.
\end{align*}
Ancak herhangi iki e\c slenik do\u gal say\i\ e\c sit olmal\i\ m\i?

\begin{theorem}
Her do\u gal say\i, ya $0$ ya bir do\u gal say\i n\i n ard\i ld\i r.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}
$\Forall x\Forall y(x\in\upomega\land y\in\upomega\land x\neq y\lto x\not\approx y)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
T\"umevar\i mla her $n$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin
\begin{equation*}
\Forall x(x\in\upomega\land x\neq n\lto x\not\approx n)
\end{equation*}
c\"umlesini kan\i tlayaca\u g\i z.  $n=0$ ise do\u grudur.  $n=m$ ise do\u gru olsun, ve bir $\ell$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin $m'\approx\ell$ olsun.  O zaman $\ell$ bo\c s de\u gil.  Son teoreme g\"ore $\ell$ bir halef olmal\i.  $\ell=k'$ olsun.  $m'$ say\i s\i ndan $k'$ say\i s\i na giden bir $f$ e\c slemesi vard\i r.  E\u ger $f(m)=k$, o zaman $f\setminus\{(m,k)\}$, $m$ say\i s\i ndan $k$ say\i s\i na giden bir e\c slemedir.  E\u ger $f(m)\neq k$, o zaman
\begin{equation*}
\bigl\{(x,y)\colon x\in m\setminus\{\conv f(k)\}\land y=f(x)\bigr\}\cup\bigl\{(\conv f(k),f(m))\bigr\}
\end{equation*}
ba\u g\i nt\i s\i, $m$ say\i s\i ndan $k$ say\i s\i na giden bir e\c slemedir.  \"Oyleyse her durumda $m\approx k$ olur.  Hipotezimize g\"ore $m=k$ olmal\i, dolay\i s\i yla $m'=\ell$ olur.  Kan\i t bitti.
\end{proof}


\section{B\"uy\"ukl\"uk}

\c Simdi $\bm F$, tan\i m k\"umesi $\bm A$
olan bir g\"onderme olsun.  E\u ger
\begin{equation*}
\Forall x\Forall y(x\in\bm A\land y\in\bm A\land\bm F(x)=\bm F(y)\lto x=y)
\end{equation*}
ise, o zaman $\bm F$ bir \textbf{birebir}%
\index{g\"onderme!birebir ---}
(\eng{one-to-one}) veya
\textbf{injektif}
\index{g\"onderme!injektif ---}
(\eng{injective})
g\"ondermedir.  O halde
\begin{equation*}
  \bm F\colon\bm A\rightarrowtail\bm B
\end{equation*}
ifadesini yazar\i z.  E\u ger bir $a$ k\"umesinden bir $b$ k\"umesine
giden bir injektif g\"onderme varsa
\begin{equation*}
  a\preccurlyeq b
\end{equation*}
ifadesini yazar\i z.  \"Oyleyse $\preccurlyeq$, bir ba\u g\i nt\i d\i r.

\begin{theorem}
T\"um $a$, $b$, ve $c$ k\"umeleri i\c cin
\begin{align*}
&a\preccurlyeq a,&
a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c&\lto a\preccurlyeq c
\end{align*}
c\"umleleri do\u grudur.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

Bir tane ba\u g\i nt\i\ daha vard\i r:
\begin{equation*}
  a\prec b\denk a\preccurlyeq b\land a\not\approx b.
\end{equation*}
O zaman son teoremin \"ozel durumu vard\i r:
\begin{equation*}
a\prec b\land b\prec c\lto a\preccurlyeq c.  
\end{equation*}
Ama $a\prec b\land b\prec c$ ise $a\prec c$ sonu\c clanabilir mi?

E\u ger $\bm R$ ve $\bm S$, iki ba\u g\i nt\i ysa, o zaman tan\i ma g\"ore
\begin{equation*}
\bm R/\bm S=\{(x,z)\colon\Exists y(x\mathrel{\bm R}y\land y\mathrel{\bm S}z)\}
\end{equation*}
olur.

\begin{theorem}
E\u ger $\bm F\colon\bm A\to\bm B$ ve $\bm G\colon\bm B\to\bm C$ ise, o zaman 
\begin{align*}
\bm F/\bm G&\colon\bm A\to\bm C,&
\Forall x\bigl(x\in\bm A\lto(\bm F/\bm G)(x)&=\bm G(\bm F(x))\bigr)
\end{align*}
olur.
\end{theorem}

\begin{xca}
Teoremi kan\i tlay\i n\i z.
\end{xca}

\begin{theorem}[Schr\"oder--Bernstein]\label{thm:SB}
T\"um $a$ ve $b$ k\"umeleri i\c cin
\begin{equation*}
a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq a\lto a\approx b.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}[Kan\i t (Zermelo \cite{Zermelo-invest}).]
$f\colon a\rightarrowtail b$ ve $g\colon b\rightarrowtail a$ olsun.  Bu durumda
\begin{align*}
(f/g)[a]&\included g[b]\included a,&
g[b]&\approx b
\end{align*}
olur.  Biz $a\approx g[b]$ e\c slenikli\u gini kan\i tlayaca\u g\i z.  Sonu\c c olarak $c\approx b$ olacak.

$a$ k\"umesinden $g[b]$ k\"umesine giden bir $h$ e\c slemesini tan\i mlayabilirsek, herhalde $a$ k\"umesinin bir $c$ altk\"umesi i\c cin
\begin{equation}\label{h}
h=\{(x,x)\colon x\in c\}\cup\{(x,(f/g)(x))\colon x\in a\setminus c\}
\end{equation}
olacak.  O halde, \c c\"unk\"u $h[a]=g[b]$ olacak,
\begin{equation}\label{cup}
c\cup(f/g)[a\setminus c]=g[b]
\end{equation}
olmal\i.  \c C\"unk\"u $h$ birebir olacak,
\begin{equation}\label{cap}
c\cap(f/g)[a\setminus c]=\emptyset
\end{equation}
olmal\i.  O zaman
\begin{equation*}
c=g[b]\setminus(f/g)[a\setminus c]
\end{equation*}
olur.  \c C\"unk\"u $f/g$ birebirdir,
\begin{equation*}
(f/g)[a\setminus c]=(f/g)[a]\setminus(f/g)[c],
\end{equation*}
dolay\i s\i yla
\begin{equation*}
c=g[b]\setminus\bigl((f/g)[a]\setminus(f/g)[c]\bigr)
\end{equation*}
olur.  \c C\"unk\"u $(f/g)[c]\included(f/g)[a]\included g[b]$,
\begin{equation}\label{c}
c=\bigl(g[b]\setminus(f/g)[a]\bigr)\cup(f/g)[c]
\end{equation}
olur.  Ters olarak, e\u ger $c$, \eqref c sat\i r\i ndaki gibiyse, o zaman \eqref{cup} ile \eqref{cap} sat\i rlar\i\ do\u grudur, ve sonu\c c olarak, \c c\"unk\"u $f/g$ birebirdir, \eqref h sat\i r\i ndaki gibi $h$ g\"ondermesi, $a$ k\"umesinden $g[b]$ k\"umesine giden bir e\c slemedir.

\c Simdi \"oyle bir $c$ k\"umesini bulmal\i y\i z.  O zaman
\begin{equation*}
\bm A=\bigl\{x\colon \bigl(g[b]\setminus(f/g)[a]\bigr)\cup(f/g)[x]\included x\included a\big\}
\end{equation*}
olsun.  Bu durumda $a\in\bm A$, dolay\i s\i yla $\bigcap\bm A$ bir k\"ume olmal\i.  Bu k\"ume $c$ olsun.  O zaman \eqref c sat\i r\i\ do\u grudur.  Nitekim $c\in\bm A$ olmal\i\ (neden?).  E\u ger \eqref c sat\i r\i\ yanl\i\c s ise, o zaman
\begin{equation*}
d\in c\setminus\Bigl(\bigl(g[b]\setminus(f/g)[a]\bigr)\cup(f/g)[c]\Bigr)
\end{equation*}
c\"umlesini sa\u glayan bir $d$ vard\i r.  Bu durumda
\begin{align*}
c\setminus\{d\}&\in\bm A,&
\bigcap\bm A&\included c\setminus\{d\},&
c&\included c\setminus\{d\},&
d&\notin c
\end{align*}
olur.  Bu bir \c celi\c skidir.  O zaman \eqref c sat\i r\i\ do\u gru olmal\i, ve $a\approx g[b]$, dolay\i s\i yla $a\approx b$.
\end{proof}

\begin{axiom}[Kuvvet K\"umesi]%
\index{aksiyom!Kuvvet K\"umesi A---u}
Her k\"umenin kuvvet s\i n\i f\i, bir k\"umedir, yani
\begin{equation*}
\Forall x\Exists y\Forall z\bigl(z\in y\liff\Forall w(w\in z\lto w\in x)\bigr)
\end{equation*}
c\"umlesi do\u grudur.
\end{axiom}

\begin{theorem}[Cantor]
  Her $a$ k\"umesi i\c cin
  \begin{equation*}
    a\prec\pow a.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
 $\bigl\{\bigl(x,\{x\}\bigr)\colon
  x\in a\bigr\}$ ba\u g\i nt\i s\i n\i n sayesinde $a\preccurlyeq\pow
  a$ olur.  \c Simdi $f\colon a\rightarrowtail\pow a$ olsun ve
  \begin{equation*}
    b=\{x\colon x\in a\land x\notin f(x)\}
  \end{equation*}
olsun.  O zaman $a$ k\"umesinin her $c$ eleman\i\ i\c cin
\begin{equation*}
  c\in b\liff c\notin f(c).
\end{equation*}
\"Oyleyse $b\neq f(c)$.  Dolay\i s\i yla $b\notin f[a]$, ve $f$, e\c
sleme de\u gildir.  O zaman $a\not\approx\pow a$.
\end{proof}



$\universe$ evrensel s\i n\i f\i n\i\ hat\i rlay\i n:
\begin{equation*}
\universe=\{x\colon x=x\}
\end{equation*}
olur.  E\u ger $\bm F$ bir g\"ondermeyse ve $\bm A$ tan\i m k\"umesiyse o zaman
\begin{equation*}
\bm F\colon\bm A\to\universe
\end{equation*}
olur.  O halde her $\bm B$ s\i n\i f\i\ i\c cin
\begin{equation*}
\{x\colon x\in\bm A\land\bm F(x)\in\bm B\}
\end{equation*}
s\i n\i f\i na $\bm B$ s\i n\i f\i n\i n $\bm F$ alt\i nda
\textbf{\"ong\"or\"unt\"us\"u}%
\index{\"ong\"or\"unt\"u}
(\eng{pre-image})
denir, ve bu \"ong\"or\"unt\"u
\begin{equation*}
\bm F\inv[\bm B]
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i r.

\begin{xca}
Bir k\"umenin bir g\"onderme alt\i nda \"ong\"or\"unt\"us\"u bir k\"ume olmal\i\ m\i?
\end{xca}


%\end{comment}

\backmatter

%\bibliographystyle{plain}
%\bibliography{../../references}
%\bibliography{../references}

\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{Boolos-again}
George Boolos.
\newblock Iteration again (1989).
\newblock In {\em Logic, Logic, and Logic}, pages 88--104. Harvard University
  Press, Cambridge, MA, 1998.
\newblock With introductions and an afterword by John P. Burgess, With a
  preface by Burgess and Richard Jeffrey, Edited by Jeffrey.

\bibitem{Burali-Forti}
Cesare Burali-Forti.
\newblock A question on transfinite numbers (1897).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 104--12.

\bibitem{Cantor-letter}
Georg Cantor.
\newblock Letter to {D}edekind (1899).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 113--7.

\bibitem{MR0159773}
Richard Dedekind.
\newblock {\em Essays on the theory of numbers. {I}: {C}ontinuity and
  irrational numbers. {II}: {T}he nature and meaning of numbers}.
\newblock authorized translation by Wooster Woodruff Beman. Dover Publications
  Inc., New York, 1963.

\bibitem{Descartes-Geometry}
Descartes.
\newblock {\em The Geometry of {R}en{\'e} {D}escartes}.
\newblock Dover Publications, Inc., New York, 1954.
\newblock Translated from the French and Latin by David Eugene Smith and Marcia
  L. Latham, with a facsimile of the first edition of 1637.

\bibitem{Gauss}
Carl~Friedrich Gauss.
\newblock {\em Disquisitiones Arithmeticae}.
\newblock Springer-Verlag, New York, 1986.
\newblock Translated into English by Arthur A. Clarke, revised by William C.
  Waterhouse.

\bibitem{Goedel-incompl}
Kurt G{\"o}del.
\newblock On formally undecidable propositions of {\emph{{p}rincipia
  mathematica}} and related systems {I} (1931).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 596--616.

\bibitem{Kuratowski}
Casimir Kuratowski.
\newblock Sur la notion d'ordre dans la th{\'e}orie des ensembles.
\newblock {\em Fundamenta Mathematicae}, pages 161--71, 1921.

\bibitem{MR1924429}
Azriel Levy.
\newblock {\em Basic set theory}.
\newblock Dover Publications Inc., Mineola, NY, 2002.
\newblock Reprint of the 1979 original [Springer, Berlin].

\bibitem{Lewis2}
Geoffrey Lewis.
\newblock {\em Turkish Grammar}.
\newblock Oxford University Press, second edition, 2000.
\newblock First edition 1967.

\bibitem{Nesin-SKK}
Ali Nesin.
\newblock {\em Sezgisel K{\"u}meler Kuram{\i}}, volume~6 of {\em Nesin
  Matematik K{\"o}y{\"u} Kitapl{\i}{\u g}{\i}}.
\newblock Nesin Yay{\i}nc{\i}l{\i}k, {\.I}stanbul, 2010.

\bibitem{Peano}
Giuseppe Peano.
\newblock The principles of arithmetic, presented by a new method (1889).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 83--97.

\bibitem{Pierce-IR}
David Pierce.
\newblock Induction and recursion.
\newblock {\em The De Morgan Journal}, 2(1):99--125, 2012.
\newblock
  \url{http://education.lms.ac.uk/2012/04/david-pierce-induction-and-recursion/}.

\bibitem{Ozkirimli-T}
Atilla~\"Ozk\i r\i ml\i.
\newblock {\em T\"urk Dili, Dil ve Anlat\i m: {Y}a\c sayan {T}\"urk\c ce
  \"Uzerine Bir Deneme}.
\newblock \.Istanbul Bilgi \"Universitesi Yay\i nlar\i, 2001.

\bibitem{Skolem-some-remarks}
Thoralf Skolem.
\newblock Some remarks on axiomatized set theory (1922).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 290--301.

\bibitem{Tarski-truth}
Alfred Tarski.
\newblock The concept of truth in formalized languages (1933).
\newblock pages 152--278.

\bibitem{MR920815}
Alfred Tarski and Steven Givant.
\newblock {\em A formalization of set theory without variables}, volume~41 of
  {\em American Mathematical Society Colloquium Publications}.
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 1987.

\bibitem{MR1890980}
Jean van Heijenoort, editor.
\newblock {\em From {F}rege to {G}\"odel: {A} source book in mathematical
  logic, 1879--1931}.
\newblock Harvard University Press, Cambridge, MA, 2002.

\bibitem{von-Neumann}
John von Neumann.
\newblock On the introduction of transfinite numbers (1923).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 346--354.

\bibitem{Wiener}
Norbert Wiener.
\newblock A simplification of the logic of relations (1914).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 224--7.

\bibitem{Zermelo-invest}
Ernst Zermelo.
\newblock Investigations in the foundations of set theory {I} (1908a).
\newblock In van Heijenoort \cite{MR1890980}, pages 199--215.

\end{thebibliography}


\printindex



\end{document}
