\documentclass[%
version=last,%
a4paper,
10pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
%twoside,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
parskip=half,%
draft=true,%
DIV=classic,%
%DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\usepackage[turkish]{babel}

\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{hfoldsty,url,verbatim}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}

\newtheorem{problem}{Soru}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{solution}{\c C\"oz\"um}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Uyar\i}

\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\size}[1]{\lvert#1\rvert}
\usepackage{upgreek}

\begin{document}
\title{Analiz k\i sa s\i nav\i\ 5 \emph{ve \c c\"oz\"umleri}}
\author{David Pierce, MSGS\"U}
\date{19 Mart 2012}
\maketitle\thispagestyle{empty}
%{\large \textbf{Analiz k\i sa s\i nav\i} (David Pierce), 20 \c Subat 2012}

\emph{$\tau$, $\R$ \"uzerinde \"Oklid topolojisi olsun ve
\begin{math}
\sigma=\{U\in\pow{\R}\colon\exists{\epsilon}\;(\epsilon>0\land(-\epsilon,\epsilon)\included U)\}\cup\{\emptyset\}
\end{math}
olsun.}

\begin{remark}
$\sigma$'n\i n bo\c s olmayan elemanlar, $0$'\i n \"Oklid kom\c
  suluklar\i d\i r.  Her \c sey bundan \c c\i kar. 
\end{remark}

\begin{problem}
$\sigma$ k\"umesinin $\R$ \"uzerinde bir topoloji oldu\u gunu g\"osterin.
\end{problem}

\begin{quote}
\begin{solution}
Tan\i mdan $\emptyset\in\sigma$.

$(1,1)\included\R$ oldu\u gundan $\R\in\sigma$.

Bir noktan\i n sonlu say\i da kom\c sulu\u gunun kesi\c simi de bu
noktan\i n kom\c sulu\u gudur. 

Son olarak $\gamma\included\sigma$ olsun.
$\gamma\included\{\emptyset\}$ ise $\bigcup\gamma=\emptyset\in\sigma$.
$\gamma$'n\i n bo\c s olmayan $U$ eleman\i\ varsa, $0$'\i n \"Oklid
kom\c sulu\u gudur.  O halde $U\included\bigcup\gamma$ oldu\u gundan
$\bigcup\gamma$ de $0$'\i n \"Oklid kom\c sulu\u gudur. 
\end{solution}
\end{quote}
\vfill
\begin{problem}
$f\colon\R\to\R$ ve $f(0)=0$ olsun.
A\c sa\u g\i daki ko\c sullar\i n denk oldu\u gunu g\"osterin. 
\begin{enumerate}[(i)]
\item
$f$, $(\R,\tau)$ uzay\i ndan ayn\i\ uzaya giden bir fonksiyon olarak
  $0$ noktas\i nda s\"ureklidir. 
\item
$f$, $(\R,\sigma)$ uzay\i ndan ayn\i\ uzaya giden bir fonksiyon olarak
  s\"ureklidir. 
\end{enumerate}
\end{problem}

\begin{quote}
\begin{solution}
Birinci ko\c sul, $0$'\i n her $V$ \"Oklid kom\c sulu\u gu i\c cin,
$f^{-1}[V]$ \"onimgesi de $0$'\i n kom\c sulu\u gudur.  Ayn\i\ zamanda
bu ikinci ko\c
suldur, \c c\"unk\"u $0$'\i n \"Oklid kom\c suluklar\i,
$\sigma$'n\i n bo\c s olmayan elemanlar\i d\i r. 
\end{solution}
\end{quote}
\vfill
\begin{remark}
Bu \c c\"oz\"um a\c c\i k de\u gilse, daha ayr\i nt\i l\i\ bir kan\i t
yaz\i labilir:

Birinci ko\c sul varsay\i ls\i n.  \.Ikinci ko\c sulu kan\i tlamak
isteriz.  O zaman $U\in\sigma$ olsun; $f^{-1}[U]\in\sigma$ i\c
cindeli\u gini kan\i tlamak isteriz.
\begin{itemize}
\item 
  $U=\emptyset$ ise, o zaman
$f^{-1}[U]=\emptyset$ ve $f^{-1}[U]\in\sigma$.  
\item
$U$ bo\c s de\u
gilse, $\tau$'ya g\"ore $U$, $0$'\i n kom\c sulu\u gudur.  O halde,
birinci ko\c suldan $f^{-1}[U]$ da $0$'\i n kom\c sulu\u gudur, yani,
$f^{-1}[U]\in\sigma$.
\end{itemize}
\c Simdi ikinci ko\c sul varsay\i ls\i n.  Birinci ko\c sulu kan\i tlamak
isteriz.  O zaman $U$, $\tau$'ya g\"ore $0$'\i n kom\c sulu\u gu
olsun.  Bu durumda $U\in\sigma$.  $f$'nin $\sigma$'ya g\"ore
s\"ureklili\u ginden $f^{-1}[U]\in\sigma$.  \"Oyleyse $f^{-1}[U]$ da,
$\tau$'ya g\"ore $0$'\i n kom\c sulu\u gudur.  Dolay\i s\i yla $f$,
$\tau$'ya g\"ore $0$'da s\"ureklidir.
\end{remark}


\end{document}
