\documentclass[%
version=last,%
a4paper,
10pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
%twoside,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
parskip=half,%
draft=true,%
%DIV=classic,%
%DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\usepackage[turkish]{babel}

\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{hfoldsty,url,verbatim}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{Soru}
\newtheorem*{solution}{\c C\"oz\"um}

%\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Uyar\i}

\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\size}[1]{\lvert#1\rvert}
\usepackage{upgreek}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall#1\;}
\newcommand{\Exists}[1]{\exists#1\;}
\newcommand{\lto}{\Rightarrow}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}

\begin{document}
\title{Analiz k\i sa s\i nav\i\ 4}
\author{David Pierce, MSGS\"U}
\date{12 Mart 2012}
\maketitle\thispagestyle{empty}
%{\large \textbf{Analiz k\i sa s\i nav\i} (David Pierce), 20 \c Subat 2012}

\begin{problem}
$\{U\in\pow{\R}\colon\size U>\upomega\}$ k\"umesi, $\R$ \"uzerinde bir
  topoloji midir?  ($\size U>\upomega$ demek, $U$ say\i lamaz
  demektir.) 
\end{problem}

\begin{solution}
  $\emptyset$ say\i labilir oldu\u gu i\c cin verilen k\"ume topoloji
  de\u gildir.
\end{solution}

\begin{remark}
  \begin{compactitem}
 \item
  $\{U\in\pow{\R}\colon\size U>\upomega\}\cup\{\emptyset\}$ k\"umesi bir
  topoloji midir?  Hay\i r, \c c\"unk\"u $(-\infty,0]$ ile $[0,\infty)$
      say\i lamaz, ama kesi\c simi say\i labilir ve bo\c s de\u
      gildir.
\item
$\upomega$ harf{}i $w$ de\u gil, \emph{omega}d\i r.  $\upomega$ veya
  $\aleph_0$, ilk sonsuz kardinalitedir.
  \end{compactitem}
\end{remark}

\begin{problem}
$f\colon X\to Y$ olsun; $\tau_Y$, $Y$ \"uzerinde bir topoloji olsun; ve
\begin{equation*}
\tau_X=\{f\inv(V)\colon V\in\tau_Y\}
\end{equation*}
olsun.  Bildi\u gimiz gibi $\tau_X$, $X$ \"uzerinde bir topolojidir.
E\u ger $(x_n\colon n\in\upomega)$, $X$ k\"umesinin bir dizisiyse,
$x\in X$ ise, ve $f(x)$, $(f(x_n)\colon n\in\upomega)$ dizisinin bir
limitiyse, $x$ noktas\i, $(x_n)_n$ dizisinin bir limiti midir? 
\end{problem}

\begin{solution}
  Evet, $x$, $(x_n)_n$ dizisinin limitidir.  Nitekim $U$, $x$
  noktas\i n\i n a\c c\i k bir kom\c sulu\u gu olsun.  O zaman $\tau_Y$
  k\"umesinin bir $V$ eleman\i\ i\c cin $U=f\inv[V]$.  $x\in U$ oldu\u
  gundan $f(x)\in V$.  \"Oyleyse $V$, $f(x)$ noktas\i n\i n a\c c\i k
  kom\c sulu\u gudur.  $f(x)$, $(f(x_n))_n$ dizisinin limiti oldu\u gundan
  \begin{equation*}
    n\geq M\implies f(x_n)\in V
  \end{equation*}
ko\c sulunu sa\u glayan bir $M$ vard\i r.  Ayr\i ca 
\begin{equation*}
  f(x_n)\in V\implies x_n\in f\inv[V].
\end{equation*}
\"Oyleyse
\begin{equation*}
  n\geq M\implies x_n\in U.
\end{equation*}
Dolay\i s\i yla $x$, $(x_n)_n$ dizisinin limitidir.
\end{solution}

\begin{remark}
  Limit tan\i m\i\ kusursuz bir bi\c cimde bilinmeli.  $(S,\sigma)$,
  bir topolojik uzay olsun, ve bu uzayda $a$, $(a_n\colon
  n\in\upomega)$ dizisinin bir limiti olsun.  Mant\i ksal simgelerle:
  \begin{equation*}
    \Forall U\Exists M\Forall n(U\in\sigma\land M\in\upomega\land
    n\in\upomega\land n\geq M\lto a_n\in U)
  \end{equation*}
veya
\begin{equation*}
  (\forall U\in\sigma)(\exists M\in\upomega)(\forall
  n\in\upomega)(n\geq M\lto a_n\in U)
\end{equation*}
veya sadece
\begin{equation*}
  (\forall U\in\sigma)\;\Exists M\Forall n(n\geq M\lto a_n\in U)
\end{equation*}

($\upomega$ simgesinin yerine $\N$ kullan\i labilir.)
T\"urk\c cede:  
\begin{center}
$\sigma$ k\"umesinin her $U$ eleman\i\ i\c cin\\
 \"oyle bir $M$ do\u gal say\i s\i\ vard\i r ki\\
her $n$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin\\
$n\geq M$ ise $a_n\in U$
\end{center}
veya
\begin{center}
$S$ uzay\i n\i n her $U$ a\c c\i k altk\"umesi i\c cin\\
``her $n$ i\c cin, $n\geq M$ ise $a_n\in U$''\\
ko\c sulunu sa\u glayan bir $M$ vard\i r.
\end{center}

  \.Ingilizcede:
\begin{center}
  \emph{For all $U$ in $\sigma$\\
 there is (a natural number) $M$ such that\\
  for all (natural numbers $n$),\\
if $n\geq M$, then $a_n\in U$.}
\end{center}
\end{remark}

\end{document}