\documentclass[%
version=last,%
a4paper,
10pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
%twoside,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
parskip=half,%
draft=true,%
%DIV=classic,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\usepackage[turkish]{babel}

\usepackage{relsize}

\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{hfoldsty,url,verbatim}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{problem}{Soru}
\newtheorem*{solution}{\c C\"oz\"um}

%\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Uyar\i}

\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
\newcommand{\inv}{^{-1}}

\begin{document}
\title{Analiz k\i sa s\i nav\i\ 3 \emph{ile \c c\"oz\"umleri}}
\author{David Pierce, MSGS\"U}
\date{5 Mart 2012}
\maketitle\thispagestyle{empty}
%{\large \textbf{Analiz k\i sa s\i nav\i} (David Pierce), 20 \c Subat 2012}

\begin{problem}
$f$, $X$ k\"umesinden $Y$ k\"umesine giden bir fonksiyon olsun; 
$\tau_X$, $X$ \"uzerinde bir topoloji olsun; ve
$\tau_Y$, $Y$ \"uzerinde bir topoloji olsun.
\begin{compactenum}
\item
A\c sa\u g\i daki harf{}li \"onermelerden ikisi do\u grudur; hangileri?  
\item
Onlar\i\ kan\i tlay\i n.
\end{compactenum}
\begin{compactenum}[A.]
\item
$\{V\in\pow Y\colon f\inv[V]\in\tau_X\}$, $Y$ \"uzerinde bir topolojidir.
\item
$\{f[U]\colon U\in\tau_X\}$, $Y$ \"uzerinde bir topolojidir.
\item
$\{U\in\pow X\colon f[U]\in\tau_Y\}$, $X$ \"uzerinde bir topolojidir.
\item
$\{f\inv[V]\colon V\in\tau_Y\}$, $X$ \"uzerinde bir topolojidir.
\end{compactenum}
\end{problem}

\begin{solution}
A ile D, do\u grudur.
A\c sa\u g\i daki e\c sitlikleri kullanaca\u g\i z:
\begin{align*}
  f\inv[\emptyset]&=\emptyset,&
f\inv[Y]&=X,&
f\inv[U\cap V]&=f\inv[U]\cap f\inv[V],&
f\inv[\bigcup_{i\in I}U_i]&=\bigcup_{i\in I}f\inv[U_i].
\end{align*}
$\tau_Y'=\{V\in\pow Y\colon f\inv[V]\in\tau_X\}$ olsun.
\begin{itemize}
  \item
$\emptyset\in\tau_Y'$ \c c\"unk\"u $f\inv[\emptyset]=\emptyset$ ve
    $\emptyset\in\tau_X$ (\c c\"unk\"u
  $\tau_X$ bir topolojidir). 
\item
$Y\in\tau_Y'$ \c c\"unk\"u $f\inv[Y]=X$ ve $X\in\tau_X$ (\c c\"unk\"u
  $\tau_X$ bir topolojidir).
\item
$U,V\in\tau_Y'$ ise
$U\cap V\in\tau_Y'$ \c c\"unk\"u
 $f\inv[U\cap V]=f\inv[U]\cap f\inv[V]$ ve
  $f\inv[U]\cap f\inv[V]\in\tau_X$ (\c c\"unk\"u
 $f\inv[U],f\inv[V]\in\tau_X$ ve
  $\tau_X$ bir topolojidir).
\item
Bir $I$ g\"osterge\c c k\"umesindeki her $i$ i\c cin
$V_i\in\tau_Y'$ ise
$\bigcup_{i\in I}V_i\in\tau_X'$ \c c\"unk\"u
$f\inv[\bigcup_{i\in I}V_i]=\bigcup_{i\in I}f\inv[V_i]$ ve
  $\bigcup_{i\in I}f\inv[V_i]\in\tau_X$ (\c c\"unk\"u
 $f\inv[V_i]\in\tau_X$ ve
  $\tau_X$ bir topolojidir).
\end{itemize}
\"Oyleyse $\tau_X'$, $X$ \"uzerinde bir topolojidir.

\c Simdi $\tau_X'=\{f\inv[V]\colon V\in\tau_Y\}$ olsun.
\begin{itemize}
\item 
$\emptyset\in\tau_X'$ \c c\"unk\"u $\emptyset=f\inv[\emptyset]$ ve
  $\emptyset\in\tau_Y$. 
\item
$X\in\tau_X'$ \c c\"unk\"u $X=f\inv[Y]$ ve
  $Y\in\tau_Y$. 
\item
$U,V\in\tau_X'$ ise $U\cap V\in\tau_X'$ \c c\"unk\"u
$\tau_Y$ k\"umesinin bir $U'$ ile $V'$ elemanlar\i\ i\c cin $U=f\inv[U']$
  ve $V=f\inv[V']$, dolay\i s\i yla $U\cap V=f\inv[U'\cap V']$ ve $U'\cap
  V'\in\tau_Y$ (\c c\"unk\"u $\tau_Y$ bir topolojidir).
\item
Bir $I$ g\"osterge\c c k\"umesindeki her $i$ i\c cin
$V_i\in\tau_X'$ ise $\bigcup_{i\in I}V_i\in\tau_X'$ \c c\"unk\"u
her $i$ i\c cin
$\tau_Y$ k\"umesinin bir $U_i$ eleman\i\ i\c cin $V_i=f\inv[U_i]$,
dolay\i s\i yla $\bigcup_{i\in I}V_i=f\inv[\bigcup_{i\in I}U_i]$ ve
$\bigcup_{i\in I}U_i\in\tau_Y$ (\c c\"unk\"u $\tau_Y$ bir topolojidir).
\end{itemize}
\end{solution}
%\relscale{0.90}
\begin{remark}
  \begin{itemize}
  \item
  $\tau_Y'$, $\tau_Y$ topolojisinden farkl\i\ olabilir; $\tau_X'$,
  $\tau_X$ topolojisinden farkl\i\ olabilir.
\item
$f\inv[V]\in\tau_X'$ ise $V\notin\tau_Y$ olabilir.
\item
$f[\emptyset]=\emptyset$, ve $f[\bigcup_{i\in I}V_i]=\bigcup_{i\in
  I}f[V_i]$, ama $f[X]$, $Y$ k\"umesinin \"ozalt k\"umesi 
  olabilir, ve $f[U\cap V]$, $f[U]\cap f[V]$ kesi\c siminin \"ozalt
  k\"umesi olabilir.  (Dolay\i s\i yla B ile C yanl\i \c st\i r.)
  \end{itemize}
\end{remark}



\end{document}
