\documentclass[%
version=last,%
a4paper,
12pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
%twoside,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
parskip=half,%
draft=true,%
DIV=classic,%
%DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\usepackage[turkish]{babel}

\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{hfoldsty,url,verbatim}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{Soru}
\newtheorem*{bonus}{Bonus}

\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\size}[1]{\lvert#1\rvert}
\usepackage{upgreek}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

\begin{document}
\title{Analiz son s\i nav\i}
\author{David Pierce, MSGS\"U}
\date{30 May\i s 2012}
\maketitle\thispagestyle{empty}
%{\large \textbf{Analiz k\i sa s\i nav\i} (David Pierce), 20 \c Subat 2012}

Bu s\i navda $\R$'nin topolojisi, \"Oklid topolojisidir.

\vfill

\begin{problem}
  $\R$'nin topolojisinin \emph{say\i labilen} taban\i\ var m\i
  d\i r?
\end{problem}
\vfill

\begin{problem}
  $2=\{0,1\}$ olsun, ve topolojisi, ayr\i k
  topoloji olsun.  O zaman $2^{\upomega}$, $\upomega$'dan $2$'ye giden
  fonksiyonlar k\"umesi olsun, ve topolojisi, \c carp\i m topolojisi
  olsun.  (Yani $n_0<\dots<n_m$ ve $e_k\in 2$ ise 
  \begin{equation*}
  \{f\in 2^{\upomega}\colon f(n_0)=e_0\land\dots\land f(n_m)=e_m\}
  \end{equation*}
  temel a\c c\i k bir k\"ume olsun: \"oyle k\"umeler, topolojiyi
  \"uretir.) 
    Bu uzay\i n say\i labilen sonsuz t\i k\i z altk\"umesi
  var m\i d\i r?
\end{problem}
\vfill

\begin{problem}
  $X$, bir topolojik uzay olsun ve $f$, $X$'ten kendisine giden
  s\"urekli bir fonksiyon olsun.  E\u ger $(x_n\colon n\in\N)$ dizisi,
  $x$'e yak\i nsarsa, $(f(x_n)\colon n\in\N)$ dizisinin $f(x)$
  noktas\i na yak\i nsad\i\u g\i n\i\ g\"osterin.
\end{problem}

\vfill


\begin{problem}
$f\colon\R\to\R$ ve $f(0)=0$ olsun.  E\u ger $0$'a yak\i nsayan
  her $(x_n\colon n\in\N)$ dizisi i\c cin $(f(x_n)\colon n\in\N)$
  dizisi $0$'a yak\i nsarsa, $f$'nin $0$'da s\"urekli oldu\u gunu
  g\"osterin. 
\end{problem}

\vfill


\begin{problem}
$A$, yo\u gun ve say\i lamaz tams\i ral\i\ bir k\"ume olsun.
  $\R$'deki gibi $A$'n\i n \emph{aral\i klar\i} vard\i r, ve $A$'n\i n
  \emph{a\c c\i k} aral\i klar\i, bir topolojiyi \"uretir.  
$0\in A$ olsun, ama $0$, $A$'n\i n en b\"uy\"uk eleman\i\ olmas\i n.
Ayr\i ca $(0,\infty)$ aral\i\u g\i n\i n her say\i labilen
altk\"umesinin $0$'dan b\"uy\"uk alt s\i n\i r\i\ olsun.
Hangi diziler $b$'ye yak\i nsar?
\end{problem}
\vfill
\begin{bonus}
  Soru 3'\"un tersi genelde yanl\i\c st\i r.  Yani Soru 4'te, $\R$'nin
  yerine ba\c ska bir uzay konulursa, soru yanl\i\c s olabilir.  Bunu
  g\"osterin. 
\end{bonus}





\end{document}