\documentclass[%
version=last,%
a4paper,
10pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
%twoside,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
parskip=half,%
draft=true,%
DIV=classic,%
%DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\usepackage[turkish]{babel}

\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{hfoldsty,url,verbatim}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}

\newtheorem{problem}{Soru}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{solution}{\c C\"oz\"um}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Uyar\i}

\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\size}[1]{\lvert#1\rvert}
\usepackage{upgreek}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\renewcommand{\setminus}{\smallsetminus}

\begin{document}
\title{Analiz ara s\i nav\i\ 2, \c c\"oz\"umleri}
\author{David Pierce, MSGS\"U}
\date{16 May\i s 2012}
\maketitle\thispagestyle{empty}
%{\large \textbf{Analiz k\i sa s\i nav\i} (David Pierce), 20 \c Subat 2012}


\begin{problem}
$X$, bir topolojik uzay, ve $f$ ile $g$, $X$'ten $\R$'ye giden s\"urekli fonksiyondurlar.  $A$, $X$'in $f(x)=g(x)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan $x$ noktalar\i\ k\"umesi olsun.
\begin{compactenum}[a)]
\item
$A$ kapal\i\ olabilir mi?
\item
$A$ kapal\i\ olmal\i\ m\i?
\end{compactenum}
\end{problem}

\begin{solution}
$A$ kapal\i\ olabilir.  Mesela $f$ ile $g$, farkl\i\ sabit fonksiyonlar olabilir.  O halde $A=\emptyset$ olur, ve $\emptyset$ kapal\i d\i r.

Asl\i nda $A$ kapal\i\ olmal\i.  Nitekim $b\in X\setminus A$ olsun.  O zaman $f(b)\neq g(b)$.  $\R$ Hausdorff oldu\u gundan $\R$'nin \"oyle a\c c\i k $U$ ile $V$ altk\"umeleri vard\i r ki
\begin{align*}
U\cap V&=\emptyset,&f(b)&\in U,&g(b)&\in V
\end{align*}
olur.  Bu durumda $b\in f\inv[U]\cap g\inv[V]$ ve $f\inv[U]\cap g\inv[V]\subseteq X\setminus A$ olur; ayr\i ca $f\inv[U]\cap g\inv[V]$ a\c c\i kt\i r,  \c c\"unk\"u $f$ ile $g$ s\"ureklidir.  \"Oyleyse $X\setminus A$, $b$'nin kom\c sulu\u gudur.  Yani $X\setminus A$, her eleman\i n\i n kom\c sulu\u gudur.  Dolay\i s\i yla $X\setminus A$ a\c c\i kt\i r ve $A$ kapal\i d\i r.
\end{solution}

\begin{problem}
Bir topolojik uzayda, a\c sa\u g\i daki denklemler her zaman do\u gru mudur?
\begin{align*}
\overline A\cap\overline B&=\overline{A\cap B},&\bigcap_{i\in I}\overline{A_i}&=\overline{\bigcap_{i\in I}A_i}.
\end{align*}
\end{problem}

\begin{solution}
Hay\i r.  \"Orne\u gin $\R$'de $A=(-1,0)$ ve $B=(0,1)$ olsun.  O zaman
\begin{align*}
\overline A\cap\overline B&=[-1,0]\cap[0,1]=\{0\},&
\overline{A\cap B}&=\overline{\emptyset}=\emptyset.
\end{align*}
\end{solution}

\begin{remark}
Birinci denklem, ikinci denklemin \"ozel durumudur.  Yani $\lvert I\rvert=2$ olabilir.  \"Oyleyse, birinci denklem her zaman do\u gru de\u gilse, ikinci denklem de her zaman do\u gru de\u gildir.
\end{remark}

\begin{problem}
Bir metrik uzay\i nda, bir a\c c\i k topun ikiden fazla merkezleri olabilir mi?
\end{problem}

\begin{solution}
Evet: ayr\i k metrikte, uzay\i n\i n her $a$ eleman\i\ i\c cin, uzay $\operatorname B(a;2)$ topudur.
\end{solution}

\begin{problem}\mbox{}
\begin{compactenum}[a)]
\item
$\R$'nin say\i labilen sonsuz ba\u glant\i l\i\ altk\"umesi var m\i d\i r?
\item
$\R$'nin say\i labilen sonsuz kopuk altk\"umesi var m\i d\i r?
\end{compactenum}
\end{problem}

\begin{solution}
$\R$'nin her say\i labilen sonsuz altk\"umesi ba\u glant\i l\i\ de\u gildir, ama kopuktur, \c c\"unk\"u $\R$'nin her ba\u glant\i l\i\ altk\"umesi ya tek noktal\i\ ya da bir aral\i kt\i r, ve aral\i klar say\i lamazlar.
\end{solution}

\begin{problem}\mbox{}
\begin{compactenum}[a)]
\item
$\R$'nin say\i labilen sonsuz t\i k\i z altk\"umesi var m\i d\i r?
\item
$\R$'nin her say\i labilen sonsuz altk\"umesi t\i k\i z m\i d\i r?
\end{compactenum}
\end{problem}

\begin{solution}
$\{1/2^n\colon n\in\upomega\}\cup\{0\}$ t\i k\i zd\i r (\c c\"unk\"u kapal\i\ ve s\i n\i rl\i d\i r), ama $\Z$, t\i k\i z de\u gildir.
\end{solution}

\end{document}