\documentclass[% version=last,% a5paper, 10pt,% headings=small,% bibliography=totoc,% twoside,% reqno,% cleardoublepage=empty,% %open=any,% parskip=half,% draft=true,% %DIV=classic,% DIV=12,% headinclude=false,% pagesize] {scrartcl} \usepackage[turkish]{babel} %\usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage[latin5]{inputenc} \usepackage{hfoldsty} \usepackage{paralist} \usepackage{verbatim} \usepackage{amssymb, amsmath, amsthm,url, mathrsfs,upgreek} \usepackage[all]{xy} \newcommand{\Sym}[1]{\operatorname S_{#1}} % symmetric group \newcommand{\Dih}[1]{\operatorname D_{#1}} % dihedral group \newcommand{\Cen}[2]{\operatorname C_{#1}(#2)} % centralizer \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\tp}[1]{\operatorname{tp}(#1)} \newcommand{\Exists}[1]{\exists#1\;} \newcommand{\Forall}[1]{\forall#1\;} \newcommand{\liff}{\leftrightarrow} \newcommand{\lto}{\rightarrow} \usepackage{mathrsfs} \newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)} \newcommand{\powf}[1]{\mathscr P_{\mathrm f}(#1)} %\newcommand{\powcof}[1]{\mathscr P_{\mathrm{cof}}(#1)} \newcommand{\powfcf}[1]{\mathscr P_*(#1)} \newcommand{\symdiff}{\vartriangle} \newcommand{\br}{B} % arbitrary Boolean ring \newcommand{\St}[1][\br]{\operatorname S(#1)} % Stone space \newcommand{\Br}[1][T]{\operatorname B(#1)} %\newcommand{\mx}[1][m]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ts}{\operatorname S_n(T)} \newcommand{\str}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\comp}{{}^{\mathrm c}} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\emptyset}{\varnothing} \renewcommand{\setminus}{\smallsetminus} %\renewcommand{\implies}{\text{\quad ise\quad }} %\newcommand{\andt}{\text{\quad ve\quad}} %\newcommand{\ort}{\text{\quad veya\quad}} \renewcommand{\implies}{\text{ ise }} \newcommand{\andt}{\text{ ve }} \newcommand{\ort}{\text{ veya }} \renewcommand{\theequation}{\fnsymbol{equation}} \swapnumbers \newtheorem{lemma}{\"Onsav}%[section] \newtheorem{theorem}[lemma]{Teorem} \newtheorem{corollary}[lemma]{Sonu\c c} \newtheorem{proposition}[lemma]{\"Onerme} \newtheorem{fact}[lemma]{Olgu} %\newtheorem{fact}[lemma]{Fact?} \newtheorem{question}[lemma]{Soru} \newtheorem{problem}[lemma]{Problem} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[lemma]{Tan\i m} \newtheorem{remark}[lemma]{Uyar\i} \newtheorem{example}[lemma]{\"Ornek} %a\c c\i l\i\c s:9 mart, v2:10 mart \begin{document} \title{Stone g\"osterim teoremleri [TASLAK]} \author{David Pierce} \date{\today} \publishers{Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\ Matematik B\"ol\"um\"u\\ \url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}} \maketitle \begin{definition} $\br$, bo\c s olmayan bir k\"ume olsun, ve $+$ ile $\cdot$, $\br$ \"uzerinde $2$-konumlu i\c slemler olsun. E\u ger $(\br,+,\cdot)$ yap\i s\i \begin{align*} &\begin{gathered} x+y=y+x,\\ x+(y+z)=(x+y)+z,\\ x(yz)=(xy)z, \end{gathered}& &\begin{gathered} x(y+z)=xy+xz,\\ (x+y)z=xz+yz,\\ x^2=x \end{gathered} \end{align*} e\c sitliklerini ve \begin{equation*} x+y=x+z\lto y=z \end{equation*} gerektirmesini sa\u glarsa, o zaman $(\br,+,\cdot)$ yap\i s\i na \textbf{Boole halkas\i} denir. \end{definition} \begin{example}\label{ex:fcf} $\upomega$, k\"ume kuramc\i s\i n\i n do\u gal say\i lar k\"umesi olsun: \begin{equation*} \upomega=\{0,1,2,\dots\}. \end{equation*} $\pow{\upomega}$ kuvvet k\"umesi \"uzerinde \begin{equation*} X\symdiff Y=(X\setminus Y)\cup(Y\setminus X) \end{equation*} olsun. O zaman $(\pow{\upomega},\symdiff,\cap)$ yap\i s\i, bir Boole halkas\i d\i r. Burada \begin{align*} X\cup Y&=X\symdiff Y\symdiff(X\cap Y),& X\setminus Y&=X\symdiff(X\cap Y). \end{align*} \c Simdi \begin{gather*} P_{\infty} %=\powf{\upomega} =\{X\subseteq\upomega\colon X\text{ sonlu}\},\\ H %=\powfcf{\upomega} =\{X\subseteq\upomega\colon X\text{ sonlu}\lor\upomega\setminus X\text{ sonlu}\} \end{gather*} olsun. Bu k\"umeler, $\pow{\upomega}$ halkas\i n\i n alt halkalar\i d\i r, yani bo\c s olmazlar ve $\symdiff$ ile $\cap$ i\c slemleri alt\i nda kapal\i d\i rlar. \end{example} \begin{remark} E\u ger $\br$, $\pow{\upomega}$ halkas\i n\i n alt halkas\i ysa, o zaman $\br$, $\upomega$ \"uzerinde bir topolojinin bir taban\i d\i r, \c c\"unk\"u $\br$'nin her iki eleman\i n\i n kesi\c simi zaten $\br$'dedir. \end{remark} \begin{example} \"Onermeler mant\i\u g\i nda, e\u ger $F$ ile $G$ form\"ullerinin do\u gruluk tablolar\i, birbirine ayn\i ysa, $F$ ile $G$ birbirine e\c sit olarak say\i labilir, ve $F=G$ yaz\i labilir. Mesela \begin{equation*} \lnot(P\land Q)=(\lnot P\lor\lnot Q). \end{equation*} O zaman \"onerme form\"ulleri k\"umesi \"uzerinde \begin{align*} (F,G)&\mapsto\lnot(F\liff G),& (F,G)&\mapsto(F\land G) \end{align*} i\c slemleri vard\i r, ve i\c slemler alt\i nda, form\"uller k\"umesi bir Boole halkas\i d\i r. \end{example} \begin{example} $T$, birinci basamak \emph{teori} olsun \cite{MTS}, $n$ bir do\u gal say\i\ olsun, ve $T$'nin imzas\i nda $\phi$ ile $\psi$, $n$-konumlu form\"uller olsun \cite{P-MK}. E\u ger $T$'nin her $\str M$ modelinde $\phi$'nin yorumu $\phi^{\str M}$ ve $\psi$'nin yorumu $\phi^{\str M}$ birbirine e\c sit ise $\phi$ ile $\psi$, $T$'ye g\"ore birbirine \emph{denktir,} ve $\phi\sim\psi$ ifadesini yazabiliriz. O halde $\phi_0\sim\phi_1$ ve $\psi_0\sim\psi$ ise \begin{align*} \phi_0\lor\psi_0&\sim\phi_1\lor\psi_1,& \phi_0\land\psi_0&\sim\phi_1\land\psi_1,& \lnot\phi_0&\sim\lnot\phi_1. \end{align*} \c Simdi $\ts$, $n$-konumlu form\"ullerin denklik s\i n\i flar\i\ k\"umesi olsun. \"Onermeler mant\i\u g\i ndaki gibi $\ts$, bir Boole halkas\i d\i r.\footnote{Bu halkaya, $T$'nin bir \textbf{Lindenbaum halkas\i} denebilir. Kitaplarda \emph{Lindenbaum cebir} terimi bulunur.} \end{example} \begin{theorem} Her $(\br,+,\cdot)$ Boole halkas\i \begin{align*} xy&=yx,& 2x+y&=y \end{align*} e\c sitliklerini sa\u glar. \"Oyleyse $(\br,+,\cdot)$ de\u gi\c smeli, karakteristi\u gi $2$ olan bir halkad\i r, ve \"ozel olarak $(\br,+)$, de\u gi\c smeli bir gruptur. \end{theorem} \begin{proof} Bir Boole halkas\i nda \begin{equation*} x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y. \end{equation*} Dolay\i s\i yla $x+y+z=xy+yx+x+y+z$, ve ondan sonra \begin{gather*} z=xy+yx+z. \end{gather*} O zaman $2x+y=(2x+y)^2=4x^2+2xy+2yx+y^2=4x+y$ ve bundan \begin{gather*} y=2x+y. \end{gather*} Son olarak $yx+z=2xy+yx+z =xy+xy+yx+z =xy+z$ ve bundan \begin{gather*} yx=xy.\qedhere \end{gather*} \end{proof} \begin{definition} Bir Boole halkas\i n\i n toplamaya g\"ore birimi $0$ olarak yaz\i l\i r, yani $2x=0$. Halkan\i n \c carpmaya g\"ore birimi varsa $1$ olarak yaz\i l\i r. \end{definition} \begin{example} (Numaras\i\ \ref{ex:fcf} olan \"orne\u ge bak\i n.) $\pow{\upomega}$ ve $H$ Boole halkas\i\ birimlidir, ve bunlarda \begin{align*} 0&=\emptyset,&1&=\upomega,&1+X&=\upomega\setminus X. \end{align*} Ama $P_{\infty}$ birimli de\u gildir. \end{example} \begin{remark} Bir Boole halkas\i n\i n her eleman\i n\i n toplamaya g\"ore tersi, kendisidir, yani $-x=x$. \end{remark} \begin{definition} Bir Boole halkas\i nda \begin{compactitem} \item $x\leq y$ demek $xy=x$ demek olsun, \item $x\vee y=x+y+xy$ olsun; $(x,y)\mapsto x\vee y$ i\c slemi, \textbf{biti\c smedir.}\footnote{\.Ingilizcesi \emph{joining.}} \end{compactitem} \end{definition} \begin{example} $\pow{\upomega}$'da $X\leq Y$ demek $X\subseteq Y$ demektir, ve $X\vee Y$ eleman\i\ $X\cup Y$'dir. \end{example} \begin{example} \"Onermeler mant\i\u g\i nda $F\leq G$ ancak ve ancak $F$, $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir; ve $F\lor G$, form\"ullerin tikel-evetlemesidir. \end{example} \begin{example} $\ts$'de $\phi\leq\psi$ demek $T\vdash\Forall{\bar x}(\phi\lto\psi)$ demektir. \end{example} \begin{theorem} Her Boole halkas\i, $\leq$ ba\u g\i nt\i s\i\ taraf\i ndan k\i smi s\i ralan\i r. Ayr\i ca \begin{align*} & \begin{gathered} x\leq x\vee y,\\ xy\leq x, \end{gathered}& &\begin{gathered} y\leq x\vee y,\\ xy\leq y, \end{gathered}& \begin{gathered} x\leq z\land y\leq z\lto x\vee y\leq z,\\ z\leq x\land z\leq y\lto z\leq xy, \end{gathered} \end{align*} ve $0\leq x$, ve $1$ varsa, $x\leq 1$. \end{theorem} \begin{proof} Ba\u g\i nt\i s\i n\i n k\i smi s\i ralamalar \"ozelli\u gi vard\i r: \begin{compactenum} \item $x\leq x$ \c c\"unk\"u $x^2=x$. \item $x\leq y$ ve $y\leq x$ ise $x=y$ \c c\"unk\"u bu durumda $xy=x$ ve $xy=yx=y$. \item $x\leq y$ ve $y\leq z$ ise $x\leq z$ \c c\"unk\"u bu durumda $xz=xyz=xy=x$. \end{compactenum} Kalan \"ozellikler o kadar kolayd\i r. Mesela $x\leq x\vee y$ \c c\"unk\"u \begin{equation*} x\cdot(x+y+xy)=x^2+xy+x^2y=x+2xy=x. \qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{definition} Birimli $(\br,+,\cdot)$ Boole halkas\i, $+$, $\cdot$, ve $x\mapsto x+1$ i\c slemleri alt\i nda bir \textbf{Boole cebiridir.} \c Co\u gunlukla bir Boole cebirinde $\cdot$ i\c slemi $\wedge$ olarak yaz\i l\i r, ve $x\mapsto x+1$ i\c slemi, $x\mapsto\lnot x$ olarak yaz\i l\i r. \end{definition} \begin{remark} Bir Boole cebirinde \begin{equation*} x+y=(x\vee y)\wedge\lnot(x\wedge y) \end{equation*} e\c sitli\u gi sa\u glan\i r. \"Oyleyse birimli Boole halkalar\i\ ve Boole cebirleri, birbiriyle ayn\i\ \c seydir. \end{remark} \begin{definition} Bir Boole halkas\i n\i n bir altgrubu, halkan\i n elemanlar\i yla \c carpma alt\i nda kapal\i ysa, bu altgrup bir \textbf{idealdir.} Bir ideal, t\"um halka de\u gilse, \textbf{\"oz idealdir.} Bir $I$ ideali, \begin{equation*} xy\in I\implies x\in I\ort y\in I \end{equation*} gerektirmesini sa\u glarsa, \textbf{asal idealdir.} Bir \"oz ideal, daha b\"uy\"uk \"oz ideal taraf\i ndan kapsanmazsa, \textbf{maksimal idealdir.} \end{definition} \begin{theorem} Bir Boole halkas\i n\i n bo\c s olmayan $I$ altk\"umesi bir idealdir ancak ve ancak \begin{gather*} x\in I\andt y\in I\implies x+y\in I,\\ x\in I\andt y\leq x\implies y\in I. \end{gather*} \end{theorem} \begin{theorem} Bir Boole halkas\i n\i n bo\c s olmayan $I$ altk\"umesi bir idealdir ancak ve ancak \begin{gather*} x\in I\andt y\in I\implies x\vee y\in I,\\ x\in I\andt y\leq x\implies y\in I. \end{gather*} \end{theorem} \begin{theorem} $I$, bir Boole halkas\i n\i n bir ideali olsun. A\c sa\u g\i daki ko\c sullar birbirine denktir. \begin{compactenum} \item\label{item:max} $I$ maksimal. \item\label{item:prime} $I$ asal. \item\label{item:prime0} $xy=0\implies x\in I\lor y\in I$. \end{compactenum} \end{theorem} \begin{proof} \eqref{item:max}$\Rightarrow$\eqref{item:prime}. $I$ maksimal, $xy\in I$, ve $x\notin I$ olsun. O zaman \begin{equation*} \{w\colon\Exists z(z\in I\land w\leq x+z)\} \end{equation*} k\"umesi, t\"um halka olmal\i\ \c c\"unk\"u $I$'dan b\"uy\"uk bir ideald\i r. O zaman $I$'n\i n $z$ eleman\i\ vard\i r ki \begin{equation*} y\leq x+z. \end{equation*} O halde $y=y^2\leq y(x+z)=yx+yz$, ve bu, $I$'dad\i r. \eqref{item:prime}$\Rightarrow$\eqref{item:prime0}. Apa\c c\i kt\i r \c c\"unk\"u her ideal, $0$'\i\ i\c cerir. \eqref{item:prime0}$\Rightarrow$\eqref{item:max}. $J$, $I$'dan b\"uy\"uk bir ideal olsun, ve $x\in J\setminus I$ olsun. O zaman halkan\i n her $y$ eleman\i\ i\c cin \begin{align*} x(y+xy)&=0,& y\leq x+y+xy. \end{align*} \"Oyleyse $y+xy\in I$ ise $y\in J$. O zaman \eqref{item:prime0} do\u gru ise, $J$ t\"um halkad\i r, ve $I$ maksimaldir. \end{proof} \begin{definition} $\br$, bir Boole halkas\i ysa ve $A\subseteq \br$ ise $(A)$ veya $(A)_B$, $\br$'nin $A$ k\"umesini kapsayan en k\"u\c c\"uk idealidir. Ayr\i ca $b\in \br$ ise $(b)=(\{b\})$. \end{definition} \begin{example} $\upomega$'n\i n her $n$ eleman\i\ i\c cin $(\upomega\setminus\{n\})_{P_{\infty}}$ ideali, $P_{\infty}$ halkas\i n\i n maksimal bir idealidir. Ayr\i ca bu halkan\i n her maksimal ideali, bu bi\c cimindedir. \end{example} \begin{example} $P_{\infty}$, $H$ halkas\i n\i n maksimal bir idealidir. \c Simdi $n\in\upomega$ ise $P_n=(\upomega\setminus\{n\})_H$ olsun. O zaman $P_n$ de, $H$ halkas\i n\i n maksimal bir idealidir. Bu halkan\i n her maksimal ideali, ya $P_{\infty}$ ya da $P_n$ bi\c cimindedir. \end{example} \begin{definition} Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $\St$, $\br$'nin maksimal idealler k\"umesi olsun. $\br$'nin her $x$ eleman\i\ i\c cin \begin{equation*} [x]=\{P\in\St\colon x\notin P \} \end{equation*} olsun. \end{definition} \begin{theorem} Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $x\mapsto[x]$ g\"ondermesi, $\br$ halkas\i ndan $\pow{\St}$ halkas\i na giden bire bir homomorf{}izimdir. Ayr\i ca \begin{equation*} \bigcup_{x\in \br}[x]=\St. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} Ilk olarak $[x+y]=[x]+[y]$, yani $\br$'nin her $P$ maksimal ideal i\c cin \begin{equation*} x+y\notin P \iff(x\in P \land y\notin P )\lor(x\notin P \land y\in P ), \end{equation*} \c c\"unk\"u her $\{x,y,x+y\}$ \"u\c cl\"us\"u i\c cin \begin{compactitem} \item $xy(x+y)=0$, o zaman \"u\c cl\"uden en az biri $P$'dedir; \item \"u\c cl\"uden her ikisinin toplam\i, \"u\c c\"unc\"ud\"ur; \item \"u\c cl\"uden ikisi $P$'deyse, toplam\i\ da $P$'dedir. \end{compactitem} \c Simdi $[xy]=[x]\cap[y]$, yani her $P$ i\c cin \begin{equation*} xy\notin P \iff x\notin P \land y\notin P , \end{equation*} \c c\"unk\"u $P$ asald\i r. \"Oyleyse $x\mapsto[x]$ bir homomorf{}izimdir. \c Simdi $x\neq0$ olsun. O zaman $[x]$ k\"umesinin bo\c s olmad\i\u g\i n\i\ g\"osterece\u giz. $I=\{y\colon xy=0\}$ olsun. O zaman $I$, $\br$'nin bir \"oz idealdir. Zorn'un \"Onsav\i na g\"ore $\br$'nin $I$'y\i\ kapsayan bir $P$ maksimal ideali vard\i r. O zaman $P \in[x]$, yani $x\notin P$, \c c\"unk\"u $x\in P$ ise, her $y$ i\c cin \begin{gather*} xy\in P ,\\ x\cdot(y+xy)=0,\\ y+xy\in I,\\ y=y+xy+xy,\\ y\in P , \end{gather*} yani $P =\br$, ve bu, bir \c celi\c ski olurdu. Son olarak $P \in\St$ ise $\br\setminus P$'nin $x$ eleman\i\ vard\i r, ve $P \in[x]$. \"Oyleyse $\St=\bigcup_{x\in \br}[x]$. \end{proof} \begin{corollary} Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $\St$ k\"umesinin $[x]$ altk\"umeleri, bir topolojinin bir taban\i n\i\ olu\c sturur. \end{corollary} \begin{definition} Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $\St$ \"uzerinde $\{[x]\colon x\in \br\}$ taraf\i ndan \"uretilen topoloji, \textbf{Stone topolojisidir,} ve bu topolojiyle donat\i lm\i\c s $\St$ topolojik uzay\i, $\br$'nin \textbf{Stone uzay\i d\i r} \cite{MR1501865}. \end{definition} \begin{example} $\St[H]=\{P_n\colon n\in\upomega\}\cup\{P_{\infty}\}$, ve $X\in P_{\infty}$ ise \begin{align*} [X]&=\{P_n\colon n\in X\},& [\upomega\setminus X]&=\{P_n\colon n\in\upomega\setminus X\}\cup\{P_{\infty}\}. \end{align*} \"Ozel olarak $\{P_n\}=[\{n\}]$, ama $P_{\infty}$, $H$ uzay\i n\i n y\i\u g\i lma noktas\i d\i r. \end{example} \begin{definition} Birimli Boole halkas\i n\i n $F$ altk\"umesi i\c cin, e\u ger $\{\lnot x\colon x\in F\}$ bir ideal ise, o zaman $F$ bir \textbf{filtredir.} \.Ideal maksimal ise, filtre bir \textbf{ultra filtredir.} \end{definition} \begin{remark} Bir Boole cebirinin bo\c s olmayan $F$ altk\"umesi bir filtre ancak ve ancak \begin{gather*} x\in F\andt y\in F\implies x\wedge y\in F,\\ x\in F\andt x\leq y\implies y\in F. \end{gather*} Bir $F$ filtresi bir ultra filtredir ancak ve ancak cebirin her $x$ i\c cin ya $x$ ya da $\lnot x$, $F$'de bulunur. Bazen bir Stone uzay\i n\i n elemanlar\i, ultra filtreler olarak d\"u\c s\"un\"ul\"ur. \end{remark} \begin{example} Herhangi topolojik bir uzayda, bir eleman\i n kom\c suluklar\i, bir filtre olu\c sturur. \end{example} \begin{example} $F$, $\pow{\Q}$ kuvvet k\"umesinin bir ultra filtresi olsun. O zaman a\c sa\u g\i daki \"onermelerden biri ve sadece biri do\u grudur. \begin{compactenum} \item $F$'nin her sonlu altk\"umesinin kesi\c siminin \"ust s\i n\i r\i\ yoktur. \item $F$'nin her sonlu altk\"umesinin kesi\c siminin alt s\i n\i r\i\ yoktur. \item Tek bir $\alpha$ ger\c cel say\i s\i\ i\c cin \begin{compactitem} \item ya $\alpha\in\Q$ ve $\{\alpha\}\in F$, dolay\i s\i yla $\bigcap F=\{\alpha\}$ olur, \item ya da $\bigcap F=\emptyset$, ama $\alpha$, $F$'nin her eleman\i n\i n y\i\u gilma noktas\i d\i r. \end{compactitem} \end{compactenum} \end{example} \begin{theorem} Her Boole halkas\i n\i n Stone uzay\i\ Hausdorfftur, ve her $[x]$ altk\"umesi, hem a\c c\i k hem kapal\i d\i r. \end{theorem} \begin{proof} $P$ ile $ Q$, uzay\i n de\u gi\c sik elemanlar\i\ olsun. O zaman $ P \setminus Q$ ve $ Q \setminus P$ farklar\i\ bo\c s olmaz. Elemanlar\i\ s\i ras\i yla $x$ ve $y$ olsun. O zaman \begin{align*} P &\notin[x],& Q &\in[x],& Q &\notin[y],& P &\in[y]. \end{align*} \"Ozel olarak $[x]$, $ Q$'nin a\c cik kom\c sulu\u gudur, ve $[y]$, $P$'nin a\c c\i k kom\c sulu\u gudur. Fakat $[x]\cap[y]$ bo\c s olmayabilir. Asl\i nda $y+xy\in Q$ ve $y+xy\notin P$ (\c c\"unk\"u $xy\in P \cap Q$). Yani \begin{align*} Q &\notin[y+xy],& P &\in[y+xy]. \end{align*} Ayr\i ca $x(y+xy)=0$ dolay\i s\i yla $[x]\cap[y+xy]=\emptyset$. \"Oyleyse $\St$ uzay\i\ Hausdorfftur. Burada $P$'nin $x$'i i\c cermesini kullanmad\i k. \"Oyleyse $x\notin Q$, $P \neq Q$, ve $y\in Q \setminus P$ ise \begin{align*} P &\in[y+xy],&[y+xy]&\subseteq[x]\comp. \end{align*} O zaman $[x]\comp$, her noktas\i n\i n kom\c sulu\u gudur,\footnote{Burada c, \emph{complement} (yani `t\"umleyen') i\c cindir.} yani bu k\"ume a\c c\i kt\i r (ve kapal\i d\i r), ve $[x]$ k\"umesi kapal\i d\i r (ve a\c c\i kt\i r). \end{proof} \begin{remark} Hausdorff topolojik bir uzay\i n, elemanlar\i\ kapal\i\ da olan bir taban\i\ varsa, uzay \emph{tamamen kopuktur,}\footnote{\.Ingilizcesi \emph{totally disconnected} \cite[sayfa 111, Al\i\c st\i rma 9.9]{Nesin-Analiz-IV}.} yani her iki de\u gi\c sik $p$ ile $q$ noktalar\i\ i\c cin, $p$'nin $q$'y\"u i\c cermeyen hem a\c c\i k hem kapal\i\ kom\c sulu\u gu vard\i r. Ters yanl\i\c s olabilir. Mesela sonsuz bir $X$ uzay\i n topolojisi \begin{equation*} \{V\in\pow X\colon p,q\notin V\}\cup\{V\in\pow X\colon X\setminus V\text{ sonlu}\} \end{equation*} olsun. Bu topoloji tamamen kopuktur, ama $p$ veya $q$'n\"un her kom\c sulu\u gu, t\"umleyeni sonlu olan bir k\"umedir, dolay\i s\i yla iki kom\c sulu\u gun kesi\c simi bo\c s de\u gildir. Fakat her \emph{t\i k\i z} ve tamamen kopuk uzay Hausdorfftur, ve elemanlar\i\ kapal\i\ da olan bir taban\i\ vard\i r. \end{remark} \begin{theorem} Her birimli Boole halkas\i n\i n Stone uzay\i\ t\i k\i zd\i r. \end{theorem} \begin{proof} $A$, birimli Boole halkas\i n\i n altk\"umesi olsun. $A$'n\i n her sonlu $A_0$ altk\"umesi i\c cin \begin{equation*} \bigcap_{x\in A_0}[x]\comp\neq\emptyset \end{equation*} varsay\i ls\i n. O zaman halkan\i n $A_0$'y\i\ kapsayan bir \"oz ideali vard\i r. Halka birimli oldu\u gundan $\sum A_0\neq1$.\footnote{Yani $A_0=\{x_0,\dots,x_{n-1}\}$ ise $x_0+\dots+x_{n-1}\neq0$.} Bundan halkan\i n $A$'y\i\ kapsan bir \"oz ideali vard\i r. Zorn'un \"Onsav\i na g\"ore $A$'y\i\ kapsan maksimal bir ideal vard\i r, yani \begin{equation*} \bigcap_{x\in A}[x]\comp\neq\emptyset. \end{equation*} \"Oyleyse birimli Boole halkas\i n\i n Stone uzay\i\ t\i k\i zd\i r. \end{proof} \begin{example} $\St[P_{\infty}]$ t\i k\i z de\u gildir, \c c\"unk\"u $\bigcap_{k\in\upomega}[\{k\}]\comp=\emptyset$, ama her $n$ i\c cin $\bigcap_{k