\documentclass[%
version=last,%
a5paper,
10pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
twoside,%
reqno,%
cleardoublepage=empty,%
%open=any,%
parskip=half,%
draft=true,%
%DIV=classic,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]
{scrartcl}

\usepackage[turkish]{babel}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[latin5]{inputenc}

\usepackage{hfoldsty}
\usepackage{paralist}
\usepackage{verbatim}

\usepackage{amssymb, amsmath, amsthm,url, mathrsfs,upgreek}
\usepackage[all]{xy}

\newcommand{\Sym}[1]{\operatorname S_{#1}}  % symmetric group
\newcommand{\Dih}[1]{\operatorname D_{#1}}  % dihedral group
\newcommand{\Cen}[2]{\operatorname C_{#1}(#2)} % centralizer
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\tp}[1]{\operatorname{tp}(#1)}
\newcommand{\Exists}[1]{\exists#1\;}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall#1\;}
\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
\newcommand{\lto}{\rightarrow}
\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\pow}[1]{\mathscr P(#1)}
\newcommand{\powf}[1]{\mathscr P_{\mathrm f}(#1)}
%\newcommand{\powcof}[1]{\mathscr P_{\mathrm{cof}}(#1)}
\newcommand{\powfcf}[1]{\mathscr P_*(#1)}
\newcommand{\symdiff}{\vartriangle}
\newcommand{\br}{B}  % arbitrary Boolean ring
\newcommand{\St}[1][\br]{\operatorname S(#1)}  % Stone space
\newcommand{\Br}[1][T]{\operatorname B(#1)}
%\newcommand{\mx}[1][m]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ts}{\operatorname S_n(T)}
\newcommand{\str}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\comp}{{}^{\mathrm c}}

\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\renewcommand{\setminus}{\smallsetminus}
%\renewcommand{\implies}{\text{\quad ise\quad }}
%\newcommand{\andt}{\text{\quad ve\quad}}
%\newcommand{\ort}{\text{\quad veya\quad}}
\renewcommand{\implies}{\text{ ise }}
\newcommand{\andt}{\text{ ve }}
\newcommand{\ort}{\text{ veya }}

\renewcommand{\theequation}{\fnsymbol{equation}}

\swapnumbers

\newtheorem{lemma}{\"Onsav}%[section]
\newtheorem{theorem}[lemma]{Teorem}
\newtheorem{corollary}[lemma]{Sonu\c c}
\newtheorem{proposition}[lemma]{\"Onerme}
\newtheorem{fact}[lemma]{Olgu}
%\newtheorem{fact}[lemma]{Fact?}
\newtheorem{question}[lemma]{Soru}
\newtheorem{problem}[lemma]{Problem}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[lemma]{Tan\i m}
\newtheorem{remark}[lemma]{Uyar\i}
\newtheorem{example}[lemma]{\"Ornek}


%a\c c\i l\i\c s:9 mart, v2:10 mart 


\begin{document}
\title{Stone g\"osterim teoremleri [TASLAK]}
\author{David Pierce}
\date{\today}
\publishers{Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
Matematik B\"ol\"um\"u\\
\url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}}
\maketitle

\begin{definition}
$\br$, bo\c s olmayan bir k\"ume olsun, ve $+$ ile $\cdot$, $\br$ \"uzerinde $2$-konumlu i\c slemler olsun.
E\u ger $(\br,+,\cdot)$ yap\i s\i
\begin{align*}
&\begin{gathered}
	x+y=y+x,\\
	x+(y+z)=(x+y)+z,\\
	x(yz)=(xy)z,
\end{gathered}&
&\begin{gathered}
	x(y+z)=xy+xz,\\
	(x+y)z=xz+yz,\\
	x^2=x
\end{gathered}
\end{align*}
e\c sitliklerini ve
\begin{equation*}
x+y=x+z\lto y=z
\end{equation*}
gerektirmesini sa\u glarsa, o zaman $(\br,+,\cdot)$ yap\i s\i na
\textbf{Boole halkas\i} denir. 
\end{definition}

\begin{example}\label{ex:fcf}
$\upomega$, k\"ume kuramc\i s\i n\i n do\u gal say\i lar k\"umesi
  olsun:
  \begin{equation*}
    \upomega=\{0,1,2,\dots\}.
  \end{equation*}
$\pow{\upomega}$ kuvvet k\"umesi \"uzerinde
\begin{equation*}
X\symdiff Y=(X\setminus Y)\cup(Y\setminus X)
\end{equation*}
olsun.  O zaman $(\pow{\upomega},\symdiff,\cap)$ yap\i s\i, bir Boole
halkas\i d\i r.  Burada
\begin{align*}
X\cup Y&=X\symdiff Y\symdiff(X\cap Y),&
X\setminus Y&=X\symdiff(X\cap Y).
\end{align*}
\c Simdi
\begin{gather*}
  P_{\infty}
%=\powf{\upomega}
=\{X\subseteq\upomega\colon X\text{ sonlu}\},\\
H
%=\powfcf{\upomega}
=\{X\subseteq\upomega\colon X\text{
  sonlu}\lor\upomega\setminus X\text{ sonlu}\} 
\end{gather*}
olsun.
Bu k\"umeler, $\pow{\upomega}$ halkas\i n\i n alt halkalar\i d\i r, yani
bo\c s olmazlar ve $\symdiff$ ile $\cap$ i\c slemleri alt\i nda
kapal\i d\i rlar. 
\end{example}

\begin{remark}
E\u ger $\br$, $\pow{\upomega}$ halkas\i n\i n alt halkas\i ysa, o zaman $\br$,
$\upomega$ \"uzerinde bir topolojinin bir taban\i d\i r, \c c\"unk\"u
$\br$'nin her iki eleman\i n\i n kesi\c simi zaten $\br$'dedir. 
\end{remark}

\begin{example}
  \"Onermeler mant\i\u g\i nda, e\u ger $F$ ile $G$ form\"ullerinin do\u gruluk
  tablolar\i, birbirine ayn\i ysa, $F$ ile $G$ birbirine e\c sit
  olarak say\i labilir, ve $F=G$ yaz\i labilir.  Mesela
  \begin{equation*}
    \lnot(P\land Q)=(\lnot P\lor\lnot Q).
  \end{equation*}
O zaman \"onerme form\"ulleri k\"umesi \"uzerinde
\begin{align*}
  (F,G)&\mapsto\lnot(F\liff G),&
(F,G)&\mapsto(F\land G)
\end{align*}
i\c slemleri vard\i r, ve i\c slemler alt\i nda, form\"uller k\"umesi
bir Boole halkas\i d\i r.
\end{example}

\begin{example}
$T$, birinci basamak \emph{teori} olsun \cite{MTS}, $n$ bir do\u gal
  say\i\ olsun, ve $T$'nin imzas\i nda $\phi$ ile $\psi$, $n$-konumlu
  form\"uller olsun \cite{P-MK}.  E\u ger $T$'nin her $\str M$
  modelinde $\phi$'nin
  yorumu $\phi^{\str M}$ ve $\psi$'nin yorumu $\phi^{\str M}$
  birbirine e\c sit ise $\phi$ ile $\psi$, $T$'ye g\"ore birbirine
  \emph{denktir,} ve $\phi\sim\psi$ ifadesini yazabiliriz.  O halde
  $\phi_0\sim\phi_1$ ve $\psi_0\sim\psi$ ise 
\begin{align*}
\phi_0\lor\psi_0&\sim\phi_1\lor\psi_1,&
\phi_0\land\psi_0&\sim\phi_1\land\psi_1,&
\lnot\phi_0&\sim\lnot\phi_1.
\end{align*}
\c Simdi $\ts$, $n$-konumlu form\"ullerin denklik s\i n\i
flar\i\ k\"umesi olsun.  \"Onermeler mant\i\u g\i ndaki gibi $\ts$,
bir Boole halkas\i d\i r.\footnote{Bu halkaya, $T$'nin bir \textbf{Lindenbaum
    halkas\i} denebilir.  Kitaplarda \emph{Lindenbaum cebir} terimi bulunur.}
\end{example}

\begin{theorem}
Her $(\br,+,\cdot)$ Boole halkas\i
\begin{align*}
	xy&=yx,&
	2x+y&=y
\end{align*}
e\c sitliklerini sa\u glar.  \"Oyleyse $(\br,+,\cdot)$ de\u gi\c smeli,
karakteristi\u gi $2$ olan bir halkad\i r, ve \"ozel olarak $(\br,+)$,
de\u gi\c smeli bir gruptur. 
\end{theorem}

\begin{proof}
Bir Boole halkas\i nda
\begin{equation*}
x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y.
\end{equation*}
Dolay\i s\i yla $x+y+z=xy+yx+x+y+z$, ve ondan sonra
\begin{gather*}
z=xy+yx+z.
\end{gather*}
O zaman $2x+y=(2x+y)^2=4x^2+2xy+2yx+y^2=4x+y$ ve bundan
\begin{gather*}
y=2x+y.
\end{gather*}
Son olarak $yx+z=2xy+yx+z
=xy+xy+yx+z
=xy+z$ ve bundan
\begin{gather*}
yx=xy.\qedhere
\end{gather*}
\end{proof}

\begin{definition}
Bir Boole halkas\i n\i n toplamaya g\"ore birimi $0$ olarak yaz\i l\i
r, yani $2x=0$.  Halkan\i n \c carpmaya g\"ore birimi varsa $1$ olarak
yaz\i l\i r. 
\end{definition}

\begin{example}
(Numaras\i\ \ref{ex:fcf} olan \"orne\u ge bak\i n.)
$\pow{\upomega}$ ve $H$ Boole halkas\i\ birimlidir, ve bunlarda
\begin{align*}
0&=\emptyset,&1&=\upomega,&1+X&=\upomega\setminus X.
\end{align*} 
Ama $P_{\infty}$ birimli de\u gildir.
\end{example}

\begin{remark}
Bir Boole halkas\i n\i n her eleman\i n\i n toplamaya g\"ore tersi,
kendisidir, yani $-x=x$. 
\end{remark}

\begin{definition}
Bir Boole halkas\i nda
\begin{compactitem}
\item
$x\leq y$ demek $xy=x$ demek olsun,
\item
$x\vee y=x+y+xy$ olsun; $(x,y)\mapsto x\vee y$ i\c slemi, \textbf{biti\c smedir.}\footnote{\.Ingilizcesi \emph{joining.}}
\end{compactitem}
\end{definition}

\begin{example}
$\pow{\upomega}$'da $X\leq Y$ demek $X\subseteq Y$ demektir, ve $X\vee
  Y$ eleman\i\ $X\cup Y$'dir. 
\end{example}

\begin{example}
  \"Onermeler mant\i\u g\i nda $F\leq G$ ancak ve ancak $F$, $G$
  form\"ul\"un\"u gerektirir; ve $F\lor G$, form\"ullerin
  tikel-evetlemesidir. 
\end{example}

\begin{example}
$\ts$'de $\phi\leq\psi$ demek $T\vdash\Forall{\bar x}(\phi\lto\psi)$
  demektir. 
\end{example}

\begin{theorem}
Her Boole halkas\i, $\leq$ ba\u g\i nt\i s\i\ taraf\i ndan k\i smi s\i
ralan\i r.  Ayr\i ca 
\begin{align*}
&  \begin{gathered}
  x\leq x\vee y,\\
xy\leq x,
  \end{gathered}&
&\begin{gathered}
y\leq x\vee y,\\
xy\leq y,
 \end{gathered}&
\begin{gathered}
x\leq z\land y\leq z\lto x\vee y\leq z,\\
z\leq x\land z\leq y\lto z\leq xy,
\end{gathered}
\end{align*}
ve $0\leq x$, ve $1$ varsa, $x\leq 1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Ba\u g\i nt\i s\i n\i n k\i smi s\i ralamalar \"ozelli\u gi vard\i r:
\begin{compactenum}
\item
$x\leq x$ \c c\"unk\"u $x^2=x$.  
\item
$x\leq y$ ve $y\leq x$ ise $x=y$ \c c\"unk\"u bu durumda $xy=x$ ve $xy=yx=y$.
\item
$x\leq y$ ve $y\leq z$ ise $x\leq z$ \c c\"unk\"u bu durumda
$xz=xyz=xy=x$.
\end{compactenum}
Kalan \"ozellikler o kadar kolayd\i r.  Mesela $x\leq x\vee y$
\c c\"unk\"u 
\begin{equation*}
x\cdot(x+y+xy)=x^2+xy+x^2y=x+2xy=x. \qedhere
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{definition}
  Birimli $(\br,+,\cdot)$ Boole halkas\i, $+$, $\cdot$, ve $x\mapsto
  x+1$ i\c slemleri alt\i nda bir \textbf{Boole cebiridir.}  
\c Co\u gunlukla bir Boole cebirinde $\cdot$ i\c slemi $\wedge$ olarak
yaz\i l\i r, ve $x\mapsto x+1$ i\c slemi, $x\mapsto\lnot x$ olarak
yaz\i l\i r.
\end{definition}

\begin{remark}
Bir Boole cebirinde
  \begin{equation*}
    x+y=(x\vee y)\wedge\lnot(x\wedge y)
  \end{equation*}
e\c sitli\u gi sa\u glan\i r.  \"Oyleyse birimli Boole halkalar\i\ ve
Boole cebirleri, birbiriyle ayn\i\ \c seydir.
\end{remark}

\begin{definition}
Bir Boole halkas\i n\i n bir altgrubu, halkan\i n elemanlar\i yla \c
carpma alt\i nda kapal\i ysa, bu altgrup bir \textbf{idealdir.}  Bir
ideal, t\"um halka de\u gilse, \textbf{\"oz idealdir.}  Bir $I$
ideali, 
\begin{equation*}
xy\in I\implies x\in I\ort y\in I
\end{equation*}
gerektirmesini sa\u glarsa, \textbf{asal idealdir.}
Bir \"oz ideal, daha b\"uy\"uk \"oz ideal taraf\i ndan kapsanmazsa, \textbf{maksimal idealdir.}
\end{definition}

\begin{theorem}
Bir Boole halkas\i n\i n bo\c s olmayan $I$ altk\"umesi bir idealdir
ancak ve ancak
\begin{gather*}
	x\in I\andt y\in I\implies x+y\in I,\\
	x\in I\andt y\leq x\implies y\in I.
\end{gather*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
Bir Boole halkas\i n\i n bo\c s olmayan $I$ altk\"umesi bir idealdir
ancak ve ancak
\begin{gather*}
	x\in I\andt y\in I\implies x\vee y\in I,\\
	x\in I\andt y\leq x\implies y\in I.
\end{gather*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
$I$, bir Boole halkas\i n\i n bir ideali olsun.  A\c sa\u g\i daki
  ko\c sullar birbirine denktir. 
\begin{compactenum}
\item\label{item:max}
$I$ maksimal.
\item\label{item:prime}
$I$ asal.
\item\label{item:prime0}
$xy=0\implies x\in I\lor y\in I$.
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
\eqref{item:max}$\Rightarrow$\eqref{item:prime}.  $I$ maksimal, $xy\in
I$, ve $x\notin I$ olsun.  O zaman  
\begin{equation*}
\{w\colon\Exists z(z\in I\land w\leq x+z)\}
\end{equation*}
k\"umesi, t\"um halka olmal\i\ \c c\"unk\"u $I$'dan b\"uy\"uk bir ideald\i r.  O zaman $I$'n\i n $z$ eleman\i\ vard\i r ki
\begin{equation*}
y\leq x+z.
\end{equation*}
O halde $y=y^2\leq y(x+z)=yx+yz$, ve bu, $I$'dad\i r.

\eqref{item:prime}$\Rightarrow$\eqref{item:prime0}.  Apa\c c\i kt\i r \c c\"unk\"u her ideal, $0$'\i\ i\c cerir.

\eqref{item:prime0}$\Rightarrow$\eqref{item:max}.  $J$, $I$'dan b\"uy\"uk bir ideal olsun, ve $x\in J\setminus I$ olsun.  O zaman halkan\i n her $y$ eleman\i\ i\c cin
\begin{align*}
x(y+xy)&=0,& y\leq x+y+xy.
\end{align*}
\"Oyleyse $y+xy\in I$ ise $y\in J$.  O zaman \eqref{item:prime0} do\u
gru ise, $J$ t\"um halkad\i r, ve $I$ maksimaldir. 
\end{proof}

\begin{definition}
  $\br$, bir Boole halkas\i ysa ve $A\subseteq \br$ ise $(A)$ veya
  $(A)_B$, $\br$'nin $A$ k\"umesini kapsayan en k\"u\c c\"uk
  idealidir.  Ayr\i ca $b\in \br$ ise $(b)=(\{b\})$.
\end{definition}

\begin{example}
$\upomega$'n\i n her $n$ eleman\i\ i\c cin
  $(\upomega\setminus\{n\})_{P_{\infty}}$ ideali, $P_{\infty}$
  halkas\i n\i n maksimal bir idealidir.  Ayr\i ca bu halkan\i n her
  maksimal ideali, bu bi\c cimindedir.  
\end{example}

\begin{example}
  $P_{\infty}$, $H$ halkas\i n\i n maksimal bir
  idealidir.  \c Simdi
$n\in\upomega$ ise $P_n=(\upomega\setminus\{n\})_H$ olsun.  O zaman
  $P_n$ de, $H$ halkas\i n\i n maksimal bir idealidir.
  Bu halkan\i n her maksimal ideali, ya $P_{\infty}$ ya da
  $P_n$ bi\c cimindedir.
\end{example}

\begin{definition}
Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $\St$, $\br$'nin maksimal idealler
k\"umesi olsun.  $\br$'nin her $x$ eleman\i\ i\c cin 
\begin{equation*}
[x]=\{P\in\St\colon x\notin P \}
\end{equation*}
olsun.
\end{definition}

\begin{theorem}
Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $x\mapsto[x]$ g\"ondermesi, $\br$ halkas\i ndan $\pow{\St}$ halkas\i na giden bire bir homomorf{}izimdir.  Ayr\i ca
\begin{equation*}
\bigcup_{x\in \br}[x]=\St.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Ilk olarak $[x+y]=[x]+[y]$, yani $\br$'nin her $P$ maksimal ideal i\c cin
\begin{equation*}
x+y\notin P \iff(x\in P \land y\notin P )\lor(x\notin P \land y\in P ),
\end{equation*}
\c c\"unk\"u her $\{x,y,x+y\}$ \"u\c cl\"us\"u i\c cin
\begin{compactitem}
\item
$xy(x+y)=0$, o zaman \"u\c cl\"uden en az biri $P$'dedir;
\item
\"u\c cl\"uden her ikisinin toplam\i, \"u\c c\"unc\"ud\"ur;
\item
\"u\c cl\"uden ikisi $P$'deyse, toplam\i\ da $P$'dedir.
\end{compactitem}
\c Simdi $[xy]=[x]\cap[y]$, yani her $P$ i\c cin
\begin{equation*}
xy\notin P \iff x\notin P \land y\notin P ,
\end{equation*}
\c c\"unk\"u $P$ asald\i r.  \"Oyleyse $x\mapsto[x]$ bir homomorf{}izimdir.

\c Simdi $x\neq0$ olsun.  O zaman $[x]$ k\"umesinin bo\c s olmad\i\u g\i n\i\ g\"osterece\u giz.  $I=\{y\colon xy=0\}$ olsun.  O zaman $I$, $\br$'nin bir \"oz idealdir.  Zorn'un \"Onsav\i na g\"ore $\br$'nin $I$'y\i\ kapsayan bir $P$ maksimal ideali vard\i r.  O zaman $P \in[x]$, yani $x\notin P$, \c c\"unk\"u $x\in P$ ise, her $y$ i\c cin
\begin{gather*}
	xy\in P ,\\
	x\cdot(y+xy)=0,\\
	y+xy\in I,\\
	y=y+xy+xy,\\
	y\in P ,
\end{gather*}
yani $P =\br$, ve bu, bir \c celi\c ski olurdu.

Son olarak $P \in\St$ ise $\br\setminus P$'nin $x$ eleman\i\ vard\i r, ve $P \in[x]$.  \"Oyleyse $\St=\bigcup_{x\in \br}[x]$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $\St$ k\"umesinin $[x]$ altk\"umeleri, bir topolojinin bir taban\i n\i\ olu\c sturur.  
\end{corollary}

\begin{definition}
Her $\br$ Boole halkas\i\ i\c cin $\St$ \"uzerinde $\{[x]\colon x\in
\br\}$ taraf\i ndan \"uretilen topoloji, \textbf{Stone topolojisidir,}
ve bu topolojiyle donat\i lm\i\c s $\St$ topolojik uzay\i, $\br$'nin
\textbf{Stone uzay\i d\i r} \cite{MR1501865}. 
\end{definition}

\begin{example}
  $\St[H]=\{P_n\colon n\in\upomega\}\cup\{P_{\infty}\}$,
ve $X\in P_{\infty}$ ise
\begin{align*}
[X]&=\{P_n\colon n\in X\},&
  [\upomega\setminus X]&=\{P_n\colon n\in\upomega\setminus
  X\}\cup\{P_{\infty}\}. 
\end{align*}
\"Ozel olarak $\{P_n\}=[\{n\}]$, ama $P_{\infty}$, $H$ uzay\i n\i n
y\i\u g\i lma noktas\i d\i r.
\end{example}

\begin{definition}
  Birimli Boole halkas\i n\i n $F$ altk\"umesi i\c cin, e\u ger
  $\{\lnot x\colon x\in F\}$ bir ideal ise, o zaman $F$ bir
  \textbf{filtredir.}  \.Ideal maksimal ise, filtre bir \textbf{ultra
    filtredir.} 
\end{definition}

\begin{remark}
  Bir Boole cebirinin bo\c s olmayan $F$ altk\"umesi bir filtre ancak
  ve ancak 
\begin{gather*}
	x\in F\andt y\in F\implies x\wedge y\in F,\\
	x\in F\andt x\leq y\implies y\in F.
\end{gather*}
  Bir $F$ filtresi bir
ultra filtredir ancak ve ancak cebirin her $x$ i\c cin ya $x$ ya da
$\lnot x$, $F$'de bulunur.  Bazen bir Stone uzay\i n\i n elemanlar\i,
ultra filtreler olarak d\"u\c s\"un\"ul\"ur.
\end{remark}

\begin{example}
  Herhangi topolojik bir uzayda, bir eleman\i n kom\c suluklar\i, bir
  filtre olu\c sturur.
\end{example}

\begin{example}
  $F$, $\pow{\Q}$ kuvvet k\"umesinin bir ultra filtresi olsun.  O
  zaman a\c sa\u g\i daki \"onermelerden biri ve sadece biri do\u grudur.
  \begin{compactenum}
\item
$F$'nin her sonlu altk\"umesinin kesi\c siminin \"ust s\i n\i
r\i\ yoktur.
\item
$F$'nin her sonlu altk\"umesinin kesi\c siminin alt s\i n\i
r\i\ yoktur.
    \item
Tek bir $\alpha$ ger\c cel say\i s\i\ i\c cin
  \begin{compactitem}
    \item
ya $\alpha\in\Q$ ve $\{\alpha\}\in F$, dolay\i s\i yla $\bigcap
F=\{\alpha\}$ olur, 
\item
ya da $\bigcap F=\emptyset$, ama $\alpha$, $F$'nin her eleman\i n\i n
y\i\u gilma noktas\i d\i r.
  \end{compactitem}
  \end{compactenum}
\end{example}

\begin{theorem}
Her Boole halkas\i n\i n Stone uzay\i\ Hausdorfftur, ve her $[x]$
altk\"umesi, hem a\c c\i k hem kapal\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
$P$ ile $ Q$, uzay\i n de\u gi\c sik elemanlar\i\ olsun.  O zaman $
  P \setminus Q$ ve $ Q \setminus P$ farklar\i\ bo\c s olmaz.
  Elemanlar\i\ s\i ras\i yla $x$ ve $y$ olsun.  O zaman 
\begin{align*}
 P &\notin[x],& Q &\in[x],& Q &\notin[y],& P &\in[y].
\end{align*}
\"Ozel olarak $[x]$, $ Q$'nin a\c cik kom\c sulu\u gudur, ve $[y]$, $P$'nin a\c c\i k kom\c sulu\u gudur.  Fakat $[x]\cap[y]$ bo\c s olmayabilir.
Asl\i nda $y+xy\in Q$ ve $y+xy\notin P$ (\c c\"unk\"u $xy\in P \cap Q$).  Yani
\begin{align*}
 Q &\notin[y+xy],& P &\in[y+xy].
\end{align*}
Ayr\i ca $x(y+xy)=0$ dolay\i s\i yla $[x]\cap[y+xy]=\emptyset$.  \"Oyleyse $\St$ uzay\i\ Hausdorfftur.

Burada $P$'nin $x$'i i\c cermesini kullanmad\i k.  \"Oyleyse $x\notin Q$, $P \neq Q$, ve $y\in Q \setminus P$ ise
\begin{align*}
 P &\in[y+xy],&[y+xy]&\subseteq[x]\comp.
\end{align*}
O zaman $[x]\comp$, her noktas\i n\i n kom\c sulu\u
gudur,\footnote{Burada c, \emph{complement} (yani `t\"umleyen') i\c
  cindir.} yani bu k\"ume a\c c\i kt\i r (ve kapal\i d\i r), ve $[x]$
k\"umesi kapal\i d\i r (ve a\c c\i kt\i r). 
\end{proof}

\begin{remark}
Hausdorff topolojik bir uzay\i n, elemanlar\i\ kapal\i\ da olan bir
taban\i\ varsa, uzay \emph{tamamen kopuktur,}\footnote{\.Ingilizcesi
  \emph{totally disconnected} \cite[sayfa 111, Al\i\c st\i rma
    9.9]{Nesin-Analiz-IV}.} yani her iki de\u gi\c sik $p$ ile $q$
noktalar\i\ i\c cin, $p$'nin $q$'y\"u i\c cermeyen hem a\c c\i k hem
kapal\i\ kom\c sulu\u gu vard\i r.  Ters yanl\i\c s olabilir.  Mesela
sonsuz bir $X$ uzay\i n topolojisi 
\begin{equation*}
\{V\in\pow X\colon p,q\notin V\}\cup\{V\in\pow X\colon X\setminus V\text{ sonlu}\}
\end{equation*}
olsun.  Bu topoloji tamamen kopuktur, ama $p$ veya $q$'n\"un her kom\c sulu\u gu, t\"umleyeni sonlu olan bir k\"umedir, dolay\i s\i yla iki kom\c sulu\u gun kesi\c simi bo\c s de\u gildir.  Fakat her \emph{t\i k\i z} ve tamamen kopuk uzay Hausdorfftur, ve elemanlar\i\ kapal\i\ da olan bir taban\i\ vard\i r.
\end{remark}

\begin{theorem}
Her birimli Boole halkas\i n\i n Stone uzay\i\ t\i k\i zd\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
$A$, birimli Boole halkas\i n\i n altk\"umesi olsun.  $A$'n\i n her sonlu $A_0$ altk\"umesi i\c cin
\begin{equation*}
\bigcap_{x\in A_0}[x]\comp\neq\emptyset
\end{equation*}
varsay\i ls\i n.  O zaman halkan\i n $A_0$'y\i\ kapsayan bir \"oz ideali vard\i r.
Halka birimli oldu\u gundan $\sum A_0\neq1$.\footnote{Yani $A_0=\{x_0,\dots,x_{n-1}\}$ ise $x_0+\dots+x_{n-1}\neq0$.}  Bundan halkan\i n $A$'y\i\ kapsan bir \"oz ideali vard\i r.  Zorn'un \"Onsav\i na g\"ore $A$'y\i\ kapsan maksimal bir ideal vard\i r, yani
\begin{equation*}
\bigcap_{x\in A}[x]\comp\neq\emptyset.
\end{equation*}
\"Oyleyse birimli Boole halkas\i n\i n Stone uzay\i\ t\i k\i zd\i r.
\end{proof}

\begin{example}
$\St[P_{\infty}]$ t\i k\i z de\u gildir, \c c\"unk\"u $\bigcap_{k\in\upomega}[\{k\}]\comp=\emptyset$, ama her $n$ i\c cin
$\bigcap_{k<n}[\{k\}]\comp\neq\emptyset$.  Ama $\St[H]$
  t\i k\i zd\i r. 
\end{example}

\begin{example}
  Simdi $P_{(\infty,\infty)}=\{X\subseteq\upomega\times\upomega\colon X\text{
    sonlu}\}$ olsun, ve $H_2$, $\pow{\upomega\times\upomega}$
  cebirinin en k\"u\c c\"uk alt cebiri ki
  \begin{compactitem}
    \item
$P_{(\infty,\infty)}\subseteq H_2$, ve
\item
$\upomega$'n\i n her $n$ eleman\i\ i\c cin $\{n\}\times\upomega\in
  H_2$ ve $\upomega\times\{n\}\in H_2$.
  \end{compactitem}
O zaman $P_{(\infty,\infty)}$, $H_2$ halkas\i n\i n bir maksimal
idealidir, ve halkan\i n ba\c ska maksimal ideallerinin tan\i mlar\i,
a\c sa\u g\i dad\i r.
$\upomega\times\upomega$'n\i n her $(k,m)$ eleman\i\ i\c cin
  \begin{gather*}
    P_{(k,m)}=\{X\in H_2\colon (k,m)\notin X\},\\
P_{(k,\infty)}=\{X\in H_2\colon X\cap\{k\}\times\upomega\text{
  sonlu}\},\\
P_{(\infty,m)}=\{X\in H_2\colon X\cap\upomega\times\{m\}\text{
  sonlu}\}.
  \end{gather*}
O zaman\footnote{Bir $T$ uzay\i n\i n y\i\u g\i lma
  noktalar\i\ k\"umesi, $T'$ olur.} 
\begin{gather*}
 \St[H_2]'=\St[H_2]\setminus\{P_{(k,m)}\colon(k,m)\in\upomega\times\upomega\},\\
\St[H_2]''=\{P_{(\infty,\infty)}\}.
\end{gather*}
\end{example}

\begin{definition}
Her $T$ topolojik uzay i\c cin $\Br$, $T$'nin hem a\c c\i k hem
kapal\i\ altk\"umeler k\"umesi olsun. 
\end{definition}

\begin{theorem}
Her birimli $\br$ Boole halkas\i\ $x\mapsto[x]$ g\"ondermesi alt\i nda $\Br[\St]$ halkas\i na izomorftur.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\Br[\St]$'nin $\pow{\St}$'nin birimli Boole althalkas\i\ oldu\u gu
  apa\c c\i kt\i r.  \c Simdi $F\in\Br[\St]$ olsun.  $F$'nin a\c c\i k
  oldu\u gundan $\br$'nin bir $A$ altk\"umesi i\c cin $F=\bigcup_{x\in
    A}[x]$.  $F$ kapal\i\ oldu\u gundan t\i k\i zd\i r.  O zaman
  $A$'n\i n sonlu bir $\{x_0,\dots,x_{n-1}\}$ altk\"umesi i\c cin 
\begin{equation*}
F=[x_0]\cup\dots\cup[x_{n-1}]=[x_0\vee\dots\vee x_{n-1}].
\end{equation*}
\"Oyleyse $x\mapsto[x]$ g\"ondermesi $\Br[\St]$ halkas\i n\i\ \"ort\"ur.
\end{proof}

\begin{definition}
Her $T$ topolojik uzay\i\ i\c cin, $T$'nin her $p$ noktas\i\ i\c cin
\begin{equation*}
[p]=\{F\in\Br\colon p\notin F\}
\end{equation*}
olsun.
\end{definition}

\begin{theorem}
$T$ uzay\i, t\i k\i z ve tamamen kopuk olsun.  O zaman
\begin{compactitem}
\item
 $T$'nin her $p$ noktas\i\ i\c cin, $[p]\in\St[\Br]$;
 \item
$T$, $p\mapsto[p]$ g\"ondermesi alt\i nda $\St[\Br]$ uzay\i na topolojik olarak denktir.\footnote{Yani homeomorfiktir \cite[sayfa 83]{Nesin-Analiz-IV}.}
\end{compactitem}
\end{theorem}

\begin{proof}
Al\i\c st\i rma.
\end{proof}

%\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{../references}

\def\rasp{\leavevmode\raise.45ex\hbox{$\rhook$}} \def\cprime{$'$}
  \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{MTS}
Teo Gr{\"u}nberg and Adnan Onart, \emph{Mant{\i}k terimleri s{\"o}zl{\"u}{\u
  g}{\"u}}, T{\"u}rk Dil Kurumu Yay{\i}nlar{\i}, Ankara, 1976.

\bibitem{Nesin-Analiz-IV}
Ali Nesin, \emph{Analiz {IV}}, Nesin Yay{\i}nc{\i}l{\i}k, {\.I}stanbul, 2011.

\bibitem{P-MK}
David Pierce, \emph{Modeller kuram{\i}na giri{\c s}},
  \url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/Modeller-kurami/}, February
  2012.

\bibitem{MR1501865}
M.~H. Stone, \emph{The theory of representations for {B}oolean algebras},
  Trans. Amer. Math. Soc. \textbf{40} (1936), no.~1, 37--111. \MR{MR1501865}

\end{thebibliography}


\end{document}
