\documentclass[% version=last,% a5paper,% 12pt,% headings=small,% bibliography=totoc,% listof=leveldown,% %listof=nochaptergap,% %titlepage=false,% twoside,% open=any,% %parskip=half,% this option takes 2.5% more space than parskip draft=true,% DIV=12,% headinclude=false,% pagesize]% {scrbook} %\makeindex \usepackage{makeidx} %\usepackage{showidx} % Run texindy -L turkish .idx on the file %\usepackage[notcite,notref]{showkeys} \usepackage{cclicenses} %\usepackage[document]{ragged2e} \usepackage{moredefs,lips} \usepackage{relsize} \usepackage[english,greek,turkish]{babel} \newcommand{\eng}[1]{\foreignlanguage{english}{\sffamily #1}} \newcommand{\lat}[1]{\eng{#1}} %\usepackage{gfsneohellenic} %\usepackage{relsize} %\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{\relscale{0.9}\textneohellenic{#1}}} \newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{#1}} \newcommand{\grm}[1]{\text{\gr{#1}}} \usepackage{scrpage2} \pagestyle{scrheadings} \clearscrheadings \refoot{\"Onermeler Mant\i\u g\i} \lofoot{\leftmark} \ofoot{\pagemark} %\usepackage{float} %\floatstyle{boxed} %\restylefloat{figure} \usepackage{subfig} \renewcommand{\thesubfigure}{\alph{subfigure}} \renewcommand{\captionformat}{ } \usepackage{rotating} \setcounter{tocdepth}{2} \usepackage{multicol} \usepackage{verbatim} \usepackage{calc} \begin{comment} \newcounter{hours}\newcounter{minutes} \newcommand\printtime{\setcounter{hours}{\time/60}% \setcounter{minutes}{\time-\value{hours}*60}% \ifthenelse{\value{minutes}>9}% {saat \thehours:\theminutes}% {saat \thehours:0\theminutes}} % code adapted from the % LaTeX Companion (2d ed), p. 871 \end{comment} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\usepackage{auto-pst-pdf} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%% for Turkish endings on numerals %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{ifthen} \newcounter{rfp}\newcounter{ones}\newcounter{tens} \usepackage{refcount} \newcommand{\sayfanumaraya}[1]{% \setcounterpageref{rfp}{#1}% \setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}% \setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}% \arabic{rfp}'% \ifthenelse% {\value{ones}=6}% {ya}% {\ifthenelse% {\value{ones}=9}% {a}% {\ifthenelse% {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}% {ye}% {\ifthenelse% {\value{ones}=0}% {\ifthenelse% {\value{tens}=2\or\value{tens}=5} {ye} {e}} {e}}}}} \newcommand{\sayfaya}[1]{sayfa \sayfanumaraya{#1}} \newcommand{\sayfanumarada}[1]{% %\setcounter{rfp}{\number\numexpr\getpagerefnumber{#1}}% \setcounterpageref{rfp}{#1}% \setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}% \setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}% \arabic{rfp}'% \ifthenelse% {\value{ones}=6\or\value{ones}=9}% {da}% {\ifthenelse% {\value{ones}=3\or\value{ones}=4\or\value{ones}=5}% {te}% {\ifthenelse% {\value{ones}=0}% {\ifthenelse% {\value{tens}=7}% {te} {\ifthenelse% {\value{tens}=4\or\value{tens}=6}% {ta} {\ifthenelse% {\value{tens}=1\or\value{tens}=3\or\value{tens}=9}% {da}% {de}}}}% {de}}}} \newcommand{\sayfada}[1]{sayfa \sayfanumarada{#1}} \newcommand{\Sayfada}[1]{Sayfa \sayfanumarada{#1}} \newcommand{\numaraya}[1]{% \setcounterref{rfp}{#1}% \setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}% \setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}% \arabic{rfp}'% \ifthenelse% {\value{ones}=6}% {ya}% {\ifthenelse% {\value{ones}=9}% {a}% {\ifthenelse% {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}% {ye}% {\ifthenelse% {\value{ones}=0}% {\ifthenelse% {\value{tens}=2\or\value{tens}=5} {ye} {e}} {e}}}}} \newcommand{\numarada}[1]{% %\setcounter{rfp}{\number\numexpr\getpagerefnumber{#1}}% \setcounterref{rfp}{#1}% \setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}% \setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}% \arabic{rfp}'% \ifthenelse% {\value{ones}=6\or\value{ones}=9}% {da}% {\ifthenelse% {\value{ones}=3\or\value{ones}=4\or\value{ones}=5}% {te}% {\ifthenelse% {\value{ones}=0}% {\ifthenelse% {\value{tens}=7}% {te} {\ifthenelse% {\value{tens}=4\or\value{tens}=6}% {ta} {\ifthenelse% {\value{tens}=1\or\value{tens}=3\or\value{tens}=9}% {da}% {de}}}}% {de}}}} \newcommand{\numarayi}[1]{% \setcounterref{rfp}{#1}% \setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}% \setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}% \arabic{rfp}'% \ifthenelse% {\value{ones}=1\or\value{ones}=5\or\value{ones}=8}% {i}% {\ifthenelse% {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}% {yi}% {\ifthenelse% {\value{ones}=3\or\value{ones}=4}% {\"u}% {\ifthenelse% {\value{ones}=6}% {y\i}% {\ifthenelse% {\value{ones}=9}% {u}% {\ifthenelse% {\value{tens}=7\or\value{tens}=8}% {i}% {\ifthenelse% {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}% {yi}% {\ifthenelse% {\value{tens}=1\or\value{tens}=3}% {u}% {\ifthenelse% {\value{tens}=4\or\value{tens}=6\or\value{tens}=9}% {\i} {\"u}}}}}}}}}} \newcommand{\numaranin}[1]{% \setcounterref{rfp}{#1}% \setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}% \setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}% \arabic{rfp}'% \ifthenelse% {\value{ones}=1\or\value{ones}=5\or\value{ones}=8}% {in}% {\ifthenelse% {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}% {nin}% {\ifthenelse% {\value{ones}=3\or\value{ones}=4}% {\"un}% {\ifthenelse% {\value{ones}=6}% {n\i n}% {\ifthenelse% {\value{ones}=9}% {un}% {\ifthenelse% {\value{tens}=7\or\value{tens}=8}% {in}% {\ifthenelse% {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}% {nin}% {\ifthenelse% {\value{tens}=1\or\value{tens}=3}% {un}% {\ifthenelse% {\value{tens}=4\or\value{tens}=6\or\value{tens}=9}% {\i n} {\"u}}}}}}}}}} \newcommand{\Teorem}[1]{Teorem \ref{#1}} \newcommand{\Teoreme}[1]{Teorem \numaraya{#1}} \newcommand{\Teoremde}[1]{Teorem \numarada{#1}} \newcommand{\Teoremi}[1]{Teorem \numarayi{#1}} \newcommand{\Teoremin}[1]{Teorem \numaranin{#1}} \newcommand{\Alistirma}[1]{Al\i\c st\i rma \ref{#1}} \newcommand{\Alistirmaya}[1]{Al\i\c st\i rma \numaraya{#1}} \newcommand{\Alistirmada}[1]{Al\i\c st\i rma \numarada{#1}} \newcommand{\Alistirmayi}[1]{Al\i\c st\i rma \numarayi{#1}} \newcommand{\Alistirmayin}[1]{Al\i\c st\i rma \numaranin{#1}} \usepackage{chngcntr} \counterwithout{figure}{chapter} \newcommand{\Sekil}[1]{\c Sekil \ref{#1}} \newcommand{\Sekle}[1]{\c Sekil \numaraya{#1}} \newcommand{\Sekilde}[1]{\c Sekil \numarada{#1}} \newcommand{\Sekli}[1]{\c Sekil \numarayi{#1}} \newcommand{\Seklin}[1]{\c Sekil \numaranin{#1}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{hfoldsty} \renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} \usepackage[neverdecrease]{paralist} \newcommand{\enquote}[1]{``#1''} \usepackage{pstricks,pst-node,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,url} \allowdisplaybreaks \usepackage[all]{xy} \usepackage{bm} %\renewcommand{\theequation}{\fnsymbol{equation}} %\numberwithin{equation}{document} % doesn't work; see LaTeX Companion 2d ed. p. 851 %\swapnumbers \newtheorem{theorem}{Teorem} %\newtheorem{lemma}{Yard\i mci teorem} \newtheorem{lemma}{Lemma} \theoremstyle{definition} \newtheorem{exercise}{Al\i\c st\i rma} \newcommand{\cexercise}% {\stepcounter{exercise}\textbf{Al\i\c st\i rma \theexercise.}} \newcommand{\stnd}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\N}{\stnd N} \newcommand{\Z}{\stnd Z} \newcommand{\Q}{\stnd Q} \newcommand{\Qp}{\stnd Q^+} \newcommand{\F}{\stnd F} %\newcommand{\B}{\stnd B} \DeclareMathOperator{\altf}{altf} \newcommand{\af}[1]{\altf(#1)} \usepackage{upgreek} %\newcommand{\liff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\liff}{\leftrightarrow} %\newcommand{\lto}{\Rightarrow} \newcommand{\lto}{\rightarrow} \newcommand{\denktir}{\text{ denktir }} \newcommand{\gerektirir}{\text{ gerektirir }} \newcommand{\ile}{\text{ ile }} \newcommand{\ve}{\text{ ve }} \newcommand{\virgul}{,\ } \usepackage{mathrsfs} \newcommand{\bd}[1]{\mathscr D_{#1}} \newcommand{\proves}[1][2]{\vdash_{#1}} \renewcommand{\models}{\vDash} \newcommand{\Forall}[1]{\forall#1\;} \newcommand{\Exists}[1]{\exists#1\;} \newcommand{\included}{\subseteq} \newcommand{\includes}{\supseteq} %\newcommand{\sv}[1]{#1} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \begin{document} \title{\"Onermeler Mant\i\u g\i} \author{David Pierce} \date{26 Aral\i k 2018} \publishers{Matematik B\"ol\"um\"u\\ Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\ \.Istanbul\\ \mbox{}\\ \url{mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}\\ \url{dpierce@msgsu.edu.tr}} \uppertitleback{\centering Bu eser\\ Creative Commons Attribution--Gayriticari--Share-Alike\\ 3.0 Unported Lisans\i\ ile lisansl\i d\i r.\\ Lisans\i n bir kopyas\i n\i\ g\"orebilmek i\c cin,\\ \url{creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.tr}\\ adresini ziyaret edin.\\ % ya da a\c sa\u g\i daki adrese yaz\i n:\\ %Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900,\\ %Mountain View, California, 94041, USA.\\ \mbox{}\\ \cc \ccby David Austin Pierce \ccnc \ccsa\\ } \lowertitleback{Bu yaz\i, b\"ol\"um\"um\"un \"Oklid Geometrisine Giri\c s dersi i\c cin haz\i rlanm\i\c st\i r. Yaz\i n\i n ana kaynaklar\i, Church'un \cite{MR18:631a}, Shoen\-field'in \cite{MR1809685}, Burris'in \cite{Burris}, ve Nesin'in \cite{Nesin-OM} kitaplar\i\ ve \foreignlanguage{english}{\emph{Foundations of Mathematical Practice}} (Eyl\"ul 2010) adl\i\ notlar\i md\i r. Baz{\i} terimler, \cite{Demirtas,MTS} kaynaklar{\i}ndan al{\i}nm\i\c st{\i}r.} \maketitle \tableofcontents \listoffigures \addchap{Giri\c s ve \"Ozet} \emph{\"Onerme form\"ulleri,} k\i saca \emph{form\"uller,} \c cok karma\c s\i k olabilir; ama daha basitleri, matematikte ve matematik d\i\c s\i nda her zaman kulland\i\u g\i m\i z c\"umlelerin bi\c cimlerini g\"osterir. Bir form\"ul, bir polinom gibidir. Bir polinomun de\u gi\c skenlerine say\i sal de\u gerler verince polinomun de\u gerini hesaplayabiliriz. Bir \"onerme form\"ul\"un\"un de\u gi\c skenlerinin de\u gerleri, ya \emph{do\u gruluk} ya da \emph{yanl\i\c sl\i k}, k\i saca $1$ veya $0$, olabilir. Bir \emph{do\u gruluk g\"ondermesi} bu de\u gerleri se\c cer ve form\"ul\"un de\u gerini verir. Bir form\"ul\"un de\u gi\c skenlerinin ve form\"ul\"un kendisinin t\"um olas\i\ de\u gerleri, form\"ul\"un \emph{do\u gruluk tablosunda} g\"osterilir. E\u ger iki form\"ul\"un, her do\u gruluk g\"ondermesi alt\i nda de\u geri ayn\i\ ise, o zaman form\"uller birbirine \textbf{denktir.} Denklik $\sim$ ile ifade edilebilir. \"Orne\u gin \begin{align*} & \begin{array}{crcrcl} \lnot&\bigl(P&\land&(Q&\liff&0)\bigr)\\\hline 1& 0& 0& 0& 1&0\\ 0& 1& 1& 0& 1&0\\ 1& 0& 0& 1& 0&0\\ 1& 1& 0& 1& 0&0 \end{array}& & \begin{array}{ccrclcc} P&\land&(Q&\lor&1)&\lto&Q\\\hline 0& 0& 0& 1&1 & 1&0\\ 1& 1& 0& 1&1 & 0&0\\ 0& 0& 1& 1&1 & 1&1\\ 1& 1& 1& 1&1 & 1&1 \end{array} \end{align*} do\u gruluk tablolar\i na g\"ore \begin{equation*} \lnot\bigl(P\land(Q\liff0)\bigr) \sim P\land(Q\lor1)\lto Q. \end{equation*} Verilen iki form\"ulde \begin{compactitem} \item $P$ ve $Q$, \textbf{\"onerme de\u gi\c skenidir;} \item $0$, $1$, $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\lto$, ve $\liff$, \textbf{ba\u glay\i c\i d\i r.} \end{compactitem} Ayr\i ca \begin{compactenum}[1)]\setcounter{enumi}{-1} \item $0$ ve $1$, \textbf{s\i f\i r-konumlu} veya \textbf{sabittir;} \item $\lnot$, \textbf{bir-konumludur;} \item $\land$, $\lor$, $\lto$, ve $\liff$, \textbf{iki-konumludur.} \end{compactenum} \begin{sloppypar} \textbf{\"Onerme form\"ullerinin} \emph{\"ozyineli} tan\i m\i n\i n a\c sa\u g\i daki d\"ort par\c cas\i\ vard\i r. \begin{compactenum}\setcounter{enumi}{-1} \item Her $e$ sabiti, bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur. \item E\u ger $F$, bir \"onerme form\"ul\"u ise, o zaman \begin{equation*} \lnot F \end{equation*} ifadesi de bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur. \item Her $*$ iki-konumlu ba\u glay\i c\i s\i\ i\c cin, e\u ger $F$ ve $G$, \"onerme form\"ulleri ise, o zaman \begin{equation*} (F*G) \end{equation*} ifadesi de bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur. \item Her \"onerme de\u gi\c skeni, bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur. \end{compactenum} De\u gi\c sken olmayan her form\"ul\"un \textbf{anaba\u glay\i c\i s\i} vard\i r: \begin{compactenum}[1)]\setcounter{enumi}{-1} \item Bir $e$ form\"ul\"unde $e$, \item bir $\lnot F$ form\"ul\"unde $\lnot$, \item bir $(F*G)$ form\"ul\"unde $*$, \end{compactenum} form\"ul\"un anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. De\u gi\c sken olmayan her form\"ul\"un \emph{tek} anaba\u glay\i c\i s\i\ oldu\u gu, \"onemli bir teoremdir, ama ilk okunu\c sta teoremin kan\i t\i\ atlanabilir. \end{sloppypar} K\i saltma i\c cin baz\i\ form\"ullerden ayra\c clar silinebilir. D\i\c s ayra\c clar her zaman silinebilir; ayr\i ca \begin{compactitem} \item $\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i, $\lto$ ve $\liff$ ba\u glay\i c\i lar\i ndan daha g\"u\c cl\"u say\i l\i r (\"orne\u gin $F\land G\lto H$ demek $(F\land G)\lto H$ demektir); \item\sloppy ayn\i\ iki-konumlu ba\u glay\i c\i n\i n iki \emph{ge\c ci\c sinden,} sa\u gdaki daha g\"u\c cl\"ud\"ur (\"orne\u gin $F\lto G\lto H$ demek $F\lto(G\lto H)$ demektir). \end{compactitem} Bir form\"ulde her simge \begin{compactitem} \item ya bir de\u gi\c skendir, \item ya da form\"ul\"un bir ve tek bir \textbf{altform\"ul\"un\"un} anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. \end{compactitem} Form\"ul\"un \textbf{do\u gruluk tablosunda,} form\"ul\"un \begin{compactitem} \item de\u gi\c skenlerinin de\u gerleri, de\u gi\c skenlerin alt\i nda, \item de\u gi\c sken olmayan altform\"ullerinin de\u gerleri, altform\"ullerin anaba\u glay\i c\i lar\i n\i n alt\i nda, \end{compactitem} yaz\i l\i r. Bir sabit veya bir de\u gi\c sken olmayan bir form\"ul, \textbf{bile\c sik} bir form\"uld\"ur. Bile\c sik form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i, \Sekilde{fig:connectives}ki kurallar ile hesaplanabilir. \begin{figure} \mbox{}\hfill \begin{sideways} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{|*4c|}\hline \multicolumn2{|c}{\"onerme} &\multicolumn2{c|}{cins}\\ s\"oz &simge &T\"urk\c ce &\.Ingilizce\\\hline $F$ ve $G$&$F\land G$& t\"umel-evetleme&\eng{conjunction}\\ $F$ veya $G$&$F\lor G$& tikel-evetleme&\eng{disjunction}\\ $F$ ise $G$&$F\lto G$& ko\c sullu&\eng{conditional}\\ $F$ ancak ve ancak $G$&$F\liff G$&kar\c s\i l\i kl\i-ko\c sullu&\eng{biconditional}\\ $F$ de\u gil & $\lnot F$& de\u gilleme&\eng{negation}\\\hline \end{tabular} \end{sideways} \hfill \begin{sideways} \qquad$\begin{array}{cc|cccc} P&Q&P\land Q&P\lor Q&P\lto Q&P\liff Q\\\hline 0&0&0&0&1&1\\ 1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&1&0\\ 1&1&1&1&1&1 \end{array}$ \qquad $\begin{array}{c|c} P&\lnot P\\\hline 0&1\\ 1&0 \end{array}$\hfill\mbox{} \end{sideways} \hfill\mbox{} \caption{Bile\c sik \"onermeler}\label{fig:connectives} \end{figure} \.Iki form\"ul\"un denk oldu\u gunu form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ hesaplamadan, sadece basit denklikler kullanarak ad\i m ad\i m g\"osterebiliriz. \"Orne\u gin \begin{align*} &\phantom{{}\sim{}}\lnot\bigl(P\land(Q\liff0)\bigr)\\ &\sim\lnot\bigl(P\land\lnot Q\bigr)\\ &\sim\lnot P\lor Q\\ &\sim P\lto Q\\ &\sim P\land 1\lto Q\\ &\sim P\land(Q\lor 1)\lto Q. \end{align*} Bir $\Gamma$ form\"uller k\"umesi ve bir $F$ form\"ul\"u i\c cin e\u ger $\Gamma$'n\i n her eleman\i n\i n do\u gru oldu\u gu zamanda $F$ do\u gru ise, o zaman $\Gamma$, $F$'yi \textbf{gerektirir.} Gerektirme $\models$ ile ifade edilebilir. Bir gerektirme \begin{compactitem} \item ya do\u gruluk tablolar\i \item ya da \emph{bi\c cimsel kan\i t} \end{compactitem} ile g\"osterilebilir. \"Orne\u gin \begin{equation*} \begin{array}{*3c|*4c|*4c} P&\lto&R&\lnot&R&\lto&Q&P&\lor&\lnot&Q\\\hline 0& 1&0& 1&0& 0&0&0& 1& 1&0\\ 1& 0&0& 1&0& 0&0&1& 1& 1&0\\ 0& 1&0& 1&0& 1&1&0& 0& 0&1\\ 1& 0&0& 1&0& 1&1&1& 1& 0&1\\ 0& 1&1& 0&1& 1&0&0& 1& 1&0\\ 1& 1&1& 0&1& 1&0&1& 1& 1&0\\ 0& 1&1& 0&1& 1&1&0& 0& 0&1\\ 1& 1&1& 0&1& 1&1&1& 1& 0&1 \end{array} \end{equation*} do\u gruluk tablolar\i ndan \begin{equation*} P\lto R,\;\lnot R\lto Q,\;P\lor\lnot Q\models R. \end{equation*} Ayr\i ca bi\c cimsel kan\i t ile \begin{align*} &(1)&&P\lto R,&&\text{[hipotez]}\\ &(2)&&\lnot P\lor R,&&\text{[$\sim$ (1)]}\\ &(3)&&\lnot R\lto Q,&&\text{[hipotez]}\\ &(4)&&R\lor Q,&&\text{[$\sim$ (3)]}\\ &(5)&&Q\lor R,&&\text{[$\sim$ (4)]}\\ &(6)&&(\lnot P\lor R)\land(Q\lor R),&&\text{[(2) \&\ (4)]}\\ &(7)&&(\lnot P\land Q)\lor R,&&\text{[$\sim$ (6)]}\\ &(8)&&\lnot(P\lor\lnot Q)\lor R,&&\text{[$\sim$ (7)]}\\ &(9)&& P\lor\lnot Q,&&\text{[hipotez]}\\ &(10)&&R.&&\text{[(8) \&\ (9)]} \end{align*} Bu bi\c cimsel kan\i tta her sat\i r \begin{compactitem} \item ya bir hipotezdir (veya varsay\i md\i r), \item ya da \"once gelen sat\i rlar taraf\i ndan gerektirilir. \end{compactitem} Bu \c sekilde e\u ger $\Gamma$ sonlu ve $\Gamma\models F$ ve $\Gamma$ ise, o zaman bu gerektirme i\c cin bi\c cimsel kan\i t vard\i r. Bi\c cimsel kan\i tlar\i m\i z\i n ad\i mlar\i n\i n kolayl\i kla anla\c s\i lmas\i n\i\ isteriz. E\u ger bi\c cimsel kan\i tlarda \"once gelen sat\i rlardan yeni sat\i rlar elde etmek i\c cin kesin \emph{\c c\i kar\i m kurallar\i} verirsek, bir \emph{bi\c cimsel dizgeyi} tan\i mlar\i z. Bir dizgenin \textbf{tam} olmas\i n\i\ isteriz; bu durumda her gerektirme i\c cin bi\c cimsel bir kan\i t vard\i r. \textbf{T\i k\i zl\i k Teoremi} sayesinde, e\u ger $\Gamma\models F$ ise, o zaman $\Gamma$'n\i n \emph{sonlu} bir altk\"umesi $F$'yi gerektirir. T\i k\i zl\i k ve taml\i k, ilk okunu\c sta atlanabilir. \part{Form\"uller} \chapter{\"Onermeler} Bir \textbf{\"onerme}\index{\"onerme} (\eng{proposition}), belli bir \emph{durumda}\index{durum} \emph{do\u gru}\index{do\u gru} veya \emph{yanl{\i}\c s}\index{yanl\i\c s} denebilen bir \emph{c\"umle}\index{c\"umle} veya \emph{t\"umcedir.}\index{t\"umce} \begin{asparaenum} \item \textbf{C\"umleler} veya \textbf{t\"umceler} (\eng{sentences}), g\"unl\"uk dilden bilinir. \c Ca\u gda\c s matematikte bazen bir c\"umle, simgeler listesi olarak yaz\i l\i yor, \"orne\u gin \begin{equation*} \Forall x\Exists yx*y=\mathrm e. \end{equation*} Bu \"ornek, \enquote{Her say\i n\i n tersi var} c\"umlesinin bir k\i saltmas\i\ olarak anla\c s\i labilir. \item Bir \textbf{durum} (\eng{situation}), matematikte \c co\u gunlukla bir \textbf{yap{\i}d{\i}r}\index{yap\i} (\eng{structure}). \"Orne\u gin \c carpma i\c s\-lemi ve \emph{bir} eleman\i\ ile sayma say\i lar\i, $(\N,\times,1)$ olarak yaz\i labilen yap\i\ olu\c sturur. \"Ozel olarak $\N=\{1,2,3,\dots\}$. Benzer \c sekilde $(\Qp,\times,1)$, $(\upomega,+,0)$, ve $(\Z,+,0)$ yap\i lar\i\ vard\i r. Burada $\Qp$ k\"umesinin elemanlar\i, pozitif kesirli say\i lard\i r; $\upomega$ (\emph{omega}), $\{0,1,2,\dots\}$ do\u gal say\i lar k\"umesidir; ve $\Z$'nin elemanlar\i, tamsay\i lard\i r. \"Oklid geometrisinde bir durum, \sayfada{fig:I.6}ki \Sekilde{fig:I.6}ki gibi bir \textbf{harf\/li diyagramdan}\index{harf\/li diyagram} (\eng{lettered diagram} \cite{MR1683176}) anla\c s\i labilir. \item \textbf{Do\u gruluk} (\eng{truth}) ve \textbf{yanl\i\c sl\i k} (\eng{falsity}), \"orneklerden anla\c s\i l\i r. \enquote{Her say{\i}n{\i}n tersi var} \"onermesi, \begin{compactitem} \item $(\N,\times,1)$ yap{\i}s{\i}nda yanl{\i}\c st\i r, \item $(\Qp,\times,1)$ yap{\i}s{\i}nda do\u grudur, \item $(\upomega,+,0)$ yap{\i}s{\i}nda yanl\i\c st\i r, \item $(\Z,+,0)$ yap{\i}s{\i}nda do\u grudur. \end{compactitem} \end{asparaenum} Do\u gruluk ve yanl\i\c sl\i k, s\i ras\i yla \begin{align*} &1,&&0 \end{align*} olarak yazaca\u g\i z; bunlar \textbf{do\u gruluk de\u gerleridir}\index{do\u gru!---luk de\u geri} (\eng{truth values}). Ba\c ska kaynaklarda $1$ ve $0$'\i n yerine $D$ ve $Y$, ya da $\top$ ve $\bot$ i\c saretleri kullan\i labilir. Belli bir durumda, bir \"onerme do\u gru ise, o \"onermenin o durumdaki do\u gruluk de\u geri $1$'dir; yanl\i\c s ise, \"onermenin durumdaki do\u gruluk de\u geri $0$'d\i r. Sonu\c c olarak her $\mathfrak D$ durumu, bir \textbf{do\u gruluk g\"ondermesi}% \index{do\u gru!---luk g\"ondermesi} (\eng{truth function}) %veya \textbf{de\u gerleme}\index{de\u ger!---leme} %(\eng{evaluation}) belirtir \cite[s.\ 60--1]{Nesin-OM}. Bu g\"onderme, her \"onermeyi $\mathfrak D$'deki do\u gruluk de\u gerine g\"onderir. Mesela $d_1$, $(\N,\times,1)$ yap\i s\i\ taraf\i ndan belirtilen do\u gruluk g\"ondermesi olsun. O zaman \begin{equation*} d_1(\text{\enquote{Her say\i n\i n tersi var}})=0. \end{equation*} E\u ger $d_2$, $(\Qp,\times,1)$ yap\i s\i\ taraf\i ndan belirtilen do\u gruluk g\"ondermesiyse, o zaman \begin{equation*} d_2(\text{\enquote{Her say\i n\i n tersi var}})=1. \end{equation*} S\i f\i r ve $1$ do\u gruluk de\u gerleriyle, \Sekilde{fig:mod-2}ki gibi \begin{figure} \begin{equation*} \begin{array}{*4c} x&y&x\cdot y&x+y\\\hline 0&0& 0 & 0 \\ 1&0& 0 & 1 \\ 0&1& 0 & 1 \\ 1&1& 1 & 0 \end{array} \end{equation*} \caption{Mod\"ul $2$'ye g\"ore hesaplamalar}\label{fig:mod-2} \end{figure} mod\"ul $2$'ye g\"ore hesaplamalar yap\i labilir. Asl\i nda $0$ ve $1$, $\Z_2$ \emph{halkas\i n\i} ve ayn\i\ zamanda $\F_2$ \emph{cismini} olu\c sturur, ve bu halka veya cisimde $0$ ve $1$ ile hesaplamalar yap\i l\i r. \chapter{Bile\c sik \"Onermeler} Verilmi\c s \"onermeler taraf\/\i ndan \begin{compactitem} \item \enquote{ve, veya, ancak} ve \enquote{e\u ger} \textbf{ba\u gla\c clar\i}\index{ba\u gla\c c} (\eng{conjunctions}), \item \enquote{ise} ve \enquote{-ma/-me} \textbf{ekleri} (\eng{affixes}), ve \item \enquote{de\u gil} \textbf{belirteci} (\eng{adverb}) \end{compactitem} ile \textbf{bile\c sik \"onermeler}%% \index{bile\c sik \"onerme} (\eng{compound propositions}) olu\c sturulabilir. Her birinin do\u gruluk de\u geri, olu\c sturan \"onermelerin de\u gerlerinden kullan\i lan ba\u gla\c c, ek, veya belirtece g\"ore bulunur. \section{T\"umel-evetlemeler} \begin{sloppypar} Mesela iki \"onermemiz olsun, ve onlara $P$ ve $Q$ (\enquote{k\"u}% % veya \enquote{ky\"u} ) diyelim. %($Q$ harf\/i, \emph{k\"u} veya \emph{ky\"u} gibi telaffuz edilsin.) O zaman \enquote{$P$ ve $Q$} \"onermesini yapabiliriz. E\u ger $P$ do\u gru ve $Q$ do\u gru ise, o zaman \enquote{$P$ ve $Q$} \"onermesi do\u grudur; di\u ger durumlarda yanl\i\c st\i r. Bile\c sik \enquote{$P$ ve $Q$} \"onermesini \begin{equation*} P\land Q \end{equation*} olarak yazal\i m: b\"oyle bir \"onerme, bir \textbf{t\"umel-evetlemedir}% \index{t\"umel-evetleme} (\eng{conjunction}). Her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin \begin{equation*} d(P)\cdot d(Q)= d(P\land Q), \end{equation*} ve t\"umel-evetlemenin olas\i\ de\u gerleri, \Seklin{fig:tt-land-lto} \subref{fig:land} \c s\i kk\i ndaki \begin{figure} \mbox{}\hfill \subfloat[T\"umel-evetleme]{\label{fig:land} \begin{math} \begin{array}{cc|c} P&Q&P\land Q\\\hline 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&1&1 \end{array} \end{math} } \hfill \subfloat[Ko\c sullu]{\label{fig:lto} \begin{math} \begin{array}{cc|c} P&Q&P\lto Q\\\hline 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\\ 1&1&1 \end{array} \end{math}} \hfill\mbox{} \caption{Do\u gruluk tablolar\i}\label{fig:tt-land-lto} \end{figure} \textbf{do\u gruluk tablosunda}%% \index{do\u gru!---luk tablosu} (\eng{truth table}) g\"osterilebilir. \end{sloppypar} \section{Ko\c sullular} Bir\c cok \"onemli matematiksel \"onerme \enquote{E\u ger $P$ ise, o zaman $Q$} (k\i saca \enquote{$P$ ise $Q$}) bi\c cimindedir. B\"oyle bir \"onerme \textbf{ko\c sulludur}%%% \index{ko\c sullu} (\eng{conditional}) ve \begin{equation*} P\lto Q \end{equation*} \c seklinde yaz\i labilir. Tek-sapl\i\ okun yerine iki-sapl\i\ $\Rightarrow$ oku kullan\i labilir; \"ozellikle eski kitaplarda $\supset$ i\c sareti de kullan\i r. E\u ger $P$ yanl\i\c s veya $Q$ do\u gru ise, o zaman $P\lto Q$ \"onermesi do\u grudur; di\u ger durumda $P$ do\u gru, ama $Q$ yanl\i\c s, ve $P\lto Q$ yanl\i\c st\i r. Bu \c sekilde her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin \begin{equation*} \left. \begin{array}{cc} \text{e\u ger $d(P)=0$ veya $d(Q)=1$ ise},&1\\ \text{e\u ger $d(P)=1$ ve $d(Q)=0$ ise},&0 \end{array} \right\} =d(P\lto Q). \end{equation*} O zaman kontrol edebildi\u giniz gibi \begin{equation*} d(P\lto Q) =1+d(P)+d(P)\cdot d(Q). \end{equation*} $P\lto Q$ \"onermesinin do\u gruluk tablosu \Seklin{fig:tt-land-lto} \subref{fig:lto} \c s\i kk\i ndadir. \"Orne\u gin \"Oklid'in 6.\ \"onermesine bakal\i m \cite{Oklid-2014-T}: \begin{center} E\u ger bir \"u\c cgenin iki a\c c\i s\i\ birbirine e\c sit ise,\\ e\c sit a\c c\i lar\i n g\"ord\"u\u g\"u kenarlar da e\c sittir. \end{center} \Seklin{fig:I.6} \subref{fig:tri} \c s\i kk\i ndaki \begin{figure} \mbox{}\hfill \subfloat[Bir \"u\c cgen]{\label{fig:tri} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5) \pspolygon(0,0)(2,0)(1,2) \uput[u](1,2){$A$} \uput[d](0,0){$B$} \uput[d](2,0){$C$} \end{pspicture}} \hfill \subfloat[Bir d\"ortgen]{\label{fig:quad} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,2.5) \pspolygon(0,0)(4,0)(5,2)(1,2) \uput[u](1,2){$A$} \uput[d](0,0){$B$} \uput[d](4,0){$D$} \uput[u](5,2){$C$} \end{pspicture}} \hfill\mbox{} \caption{Harf\/li diyagramlar}\label{fig:I.6} \end{figure} $ABC$ \"u\c cgenini bir yap\i\ olarak d\"u\c s\"unebiliriz, ve bu yap\i\ i\c cin, bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r. \c Simdi \begin{compactitem} \item $P$, \enquote{$B$ k\"o\c sesindeki a\c c\i\ $C$ k\"o\c sesindeki a\c c\i ya e\c sittir} \"onermesi olsun; \item $Q$, \enquote{$AC$ kenar\i\ $AB$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun. \end{compactitem} Bu durumda \"Oklid'in 6.\ \"onermesine g\"ore $d(P\lto Q)=1$. \begin{exercise} Yukar\i daki $P$ ve $Q$ i\c cin, \"oyle bir yap\i\ bulun ki, bu yap\i da $d(P\lto Q)=0$ olsun. (\emph{\.Ipucu}: $C$ k\"o\c sesindeki a\c c\i\ $ACB$ a\c c\i s\i\ olmayabilir, \c c\"unk\"u incelenen yap\i\ bir \"u\c cgen olmayabilir. \Seklin{fig:I.6} \subref{fig:quad} \c s\i kk\i na bak\i n.) \end{exercise} \"Oklid'in yukar\i daki \"onermesinin kendisi, \textbf{evrensel}\index{evrensel \"onerme} veya \textbf{t\"umel}\index{t\"umel \"onerme} (\eng{universal}) bir \"onermedir, \c c\"unk\"u \emph{her} \"u\c cgen hakk\i ndad\i r. E\u ger tekrar $ABC$, \Seklin{fig:I.6} \subref{fig:tri} \c s\i kk\i ndaki gibi bir \"u\c cgen ise, o zaman yukar\i daki $P\lto Q$ \"onermesi, \"Oklid'in \"onermesinin bir \textbf{\"ozellemesidir}\index{\"ozelleme} \cite[s.\ 139]{Cucen} (\eng{instantiation}). \section{Di\u ger bile\c sik \"onermeler} Do\u gruluk tablolar\i yla, kullanaca\u g\i m\i z t\"um bile\c sik \"onermeler, s\"ozc\"ukler ve simgeler olarak \Sekilde{fig:connectives}dir. Her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin a\c sa\u g\i daki hesaplamalar yap\i labilir. \begin{gather*}\label{eqn:ddd} d(\lnot P)=1+d(P),\\ d(P\liff Q)=1+d(P)+d(Q),\\ d(P\lor Q)=d(P)+d(Q)+d(P)\cdot d(Q). \end{gather*} Her $\land$, $\lor$, $\lto$, $\liff$, veya $\lnot$ i\c saretine \textbf{ba\u glay\i c\i}%% \index{ba\u glay\i c\i} (\eng{connective}) deriz. Hat\i rlamaya yard\i mc\i\ olarak \begin{compactitem} \item Latince \lat{VEL} ba\u glac\i, \enquote{veya} ($\lor$) demektir; %onun i\c cin \enquote{veya} $\lor$ olarak yaz\i l\i r. \item \.Ingilizce \eng{AND} ba\u glac\i, \enquote{ve} ($\land$) demektir. %ve $\land$ i\c sareti \emph A gibidir. \end{compactitem} Ayr\i ca k\"umeler kuram\i nda $A$ ve $B$ k\"umeyse \begin{compactitem} \item $x\in A\cup B$, $x\in A\lor x\in B$ demektir; \item $x\in A\cap B$, $x\in A\land x\in B$ demektir. \end{compactitem} Daha sonra $0$ ve $1$ bile ba\u glay\i c\i\ olarak say\i lacakt\i r. Ba\c ska kaynaklarda \begin{compactitem} \item $P\land Q$ ifadesinin yerine $P\mathrel{\&}Q$ veya $P\mathrel.Q$, \item $P\lto Q$ ifadesinin yerine $P\Rightarrow Q$ veya $P\supset Q$, \item $P\liff Q$ ifadesinin yerine $P\Leftrightarrow Q$ veya $P\equiv Q$, ve \item $\lnot P$ ifadesinin yerine $\mathord{\sim}P$ veya $P'$ \end{compactitem} g\"or\"ulebilir. \section{Tikel-evetlemeler} \"Oklid'in 13.\ \"onermesi\label{13} (daha do\u grusu, onun \"ozellemesi), $P\lor Q$ bi\c ciminde yaz\i labilir. O \"onerme a\c sa\u g\i daki gibidir: \begin{center} Bir do\u gru bir do\u grunun \"uzerine konulursa yapt\i\u g\i\ a\c c\i lar,\\ ya iki dik a\c c\i d\i r\\ ya da iki dik a\c c\i ya e\c sittir. %olacakt\i r. \end{center} \Seklin{fig:13-14} \subref{fig:I.13} \c s\i kk\i nda $ABC$ bir do\u gru olsun, ve $BD$ ba\c ska bir do\u gru olsun. \begin{figure} \mbox{}\hfill \subfloat[Do\u grunun \"uzerine do\u gru]{\label{fig:I.13} \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3.5,2) \psline(-1,0)(3,0) \psline(1,0)(1,1.5) \uput[u](1,1.5){$D$} \uput[d](-1,0){$A$} \uput[d](1,0){$B$} \uput[d](3,0){$C$} \end{pspicture}} \hfill \subfloat[\.Iki biti\c sik a\c c\i]{\label{fig:I.13+} \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3.5,2) \psline(-1,0)(1,0)(3,0.25) \psline(1,0)(1,1.5) \uput[u](1,1.5){$D$} \uput[d](-1,0){$A$} \uput[d](1,0){$B$} \uput[d](3,0.25){$C$} \end{pspicture}} \hfill\mbox{} \caption{\"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri}\label{fig:13-14} \end{figure} Bu durumun do\u gruluk g\"ondermesi $d_1$ olsun. \c Simdi \begin{compactitem} \item $P$, \enquote{$ABD$ ve $CBD$ a\c c\i lar\i\ diktir} \"onermesi olsun, ve \item $Q$, \enquote{$ABD$ ve $CBD$ a\c c\i lar\i\ iki dik a\c c\i ya e\c sittir} \"onermesi olsun. \end{compactitem} O zaman \"Oklid'in 13.\ \"onermeye g\"ore \begin{center} ya $d_1(P)=1$ ya da $d_1(Q)=1$. \end{center} \section{Birle\c stirilmi\c s bile\c sik \"onermeler} Bir \"onermede birden fazla ba\u glay\i c\i\ bulunabilir. Asl\i nda \"Oklid'in 13.\ \"onermesi b\"oyle d\"u\c s\"un\"ulebilir. \Seklin{fig:13-14} \subref{fig:I.13+} \c s\i kk\i ndaki gibi $ABD$ ve $DBC$ biti\c sik a\c c\i lar olsun, ve bu durumun do\u gruluk g\"ondermesi $d_2$ olsun. Ayr\i ca \begin{compactitem} \item $P$ ve $Q$, yukar\i daki gibi olsun, \item $F$, $P\lor Q$ \"onermesi olsun, ve \item $R$, \enquote{$AB$ ve $BC$ do\u grular\i\ do\u grusald\i r} \"onermesi olsun. \end{compactitem} O zaman \"Oklid'in 13.\ \"onermeye g\"ore $d_2(R\lto F)=1$. \"Ustelik \begin{compactitem} \item 14.\ \"onermeye g\"ore $d_2(Q\lto R)=1$; \item dik a\c c\i n\i n tan\i m\i na g\"ore %d\"ord\"unc\"u postulattan $d_2(P\lto R)=1$. \end{compactitem} O zaman $d_2(F\lto R)=1$. Sonunda, t\"um bunlara g\"ore \begin{equation*} d_2(R\liff F)=1. \end{equation*} Ba\c ska bir \"ornek i\c cin, \"Oklid'in 4.\ \"onermesine bakal\i m: \begin{center} \.Iki \"u\c cgenin iki kenar\i\ iki kenara e\c sit olursa\\ (her biri birine)\\ ve a\c c\i\ a\c c\i ya e\c sit olursa (yani e\c sit do\u grular taraf\i ndan i\c cerilen)\\ hem taban tabana e\c sit olacak,\\ hem \"u\c cgen \"u\c cgene e\c sit olacak,\\ hem de geriye kalan a\c c\i lar geriye kalan a\c c\i lara e\c sit olacak\\ (her biri birine, yani e\c sit kenarlar\i\ g\"orenler). \end{center} Bu \"onerme, $F\lto G$ bi\c cimindedir, ama $F$ ve $G$ \"onermelerin kendisi de bile\c siktir. Asl\i nda \Sekli{fig:I.4} kullanarak \begin{figure} \centering \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,2.5) \pspolygon(0,0)(2,0)(0.5,2) \uput[u](0.5,2){$A$} \uput[d](0,0){$B$} \uput[d](2,0){$C$} \pspolygon(4,0)(6,0)(4.5,2) \uput[u](4.5,2){$D$} \uput[d](4,0){$E$} \uput[d](6,0){$F$} \end{pspicture} \caption{\.Iki \"u\c cgen}\label{fig:I.4} \end{figure} \begin{compactitem} \item $P_1$, \enquote{$AB$ kenar\i\ $DE$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun, \item $P_2$, \enquote{$AC$ kenar\i\ $DF$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun, \item $P_3$, \enquote{$BAC$ a\c c\i s\i\ $EDF$ a\c c\i s\i na e\c sittir} \"onermesi olsun, \item $P_4$, \enquote{$BC$ kenar\i\ $EF$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun, \item $P_5$, \enquote{$ABC$ \"u\c cgeni $DEF$ \"u\c cgenine e\c sittir} \"onermesi olsun, \item $P_6$, \enquote{$ABC$ a\c c\i s\i\ $DEF$ a\c c\i s\i na e\c sittir} \"onermesi olsun, ve \item $P_7$, \enquote{$ACB$ a\c c\i s\i\ $DFE$ a\c c\i s\i na e\c sittir} \"onermesi olsun. \end{compactitem} Ayr\i ca \begin{compactitem} \item $F$, $P_1\land P_2\land P_3$ \"onermesi olsun, ve \item $G$, $P_4\land P_5\land P_6\land P_7$ \"onermesi olsun. \end{compactitem} $ABC$ ve $DEF$ \"u\c cgenleri i\c cin bir $d_3$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r, ve \"Oklid'in 4.\ \"onermeye g\"ore $d_3(F\lto G)=1$, yani $d_3(F)=0$ veya $d_3(G)=1$. \"Ustelik $d_3(F)=1$ ancak ve ancak \begin{equation*} d_3(P_1)=d_3(P_2)=d_3(P_3)=1; \end{equation*} ve $d_3(G)=1$ ancak ve ancak \begin{equation*} d_3(P_4)=d_3(P_5)=d_3(P_6)=d_3(P_7)=1. \end{equation*} Bile\c sik bir \"onermenin ba\u glay\i c\i lar\i ndan sadece biri, \"onermenin \textbf{anaba\u g\-lay\i c\i s\i d\i r}%% \index{anaba\u glay\i c\i s\i} (\eng{main connective}). Tekrar \"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri \"orne\u gine bak\i n. Orada $R\lto F$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i, $\lto$ ba\u glay\i c\i s\i d\i r. O \"onermede $\lor$ ba\u glay\i c\i s\i\ bulunur, \c c\"unk\"u $F$'de bulunur, ama $\lor$, $R\lto F$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i\ de\u gil, $F$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. $F$ \"onermesinin $P\lor Q$ oldu\u gu $R\lto F$ \"onermesi, \c su anda $R\lto P\lor Q$ olarak yaz\i lamaz, \c c\"unk\"u bu ifade, \"onermenin anaba\u glay\i c\i s\i n\i\ g\"ostermez. \c Simdilik \"onermemiz \begin{equation*} R\lto(P\lor Q) \end{equation*} gibi bir ifade olarak yaz\i labilir, veya \Seklin{fig:tree} \subref{fig:R(PQ)} \c s\i kk\i ndaki \textbf{a\u ga\c c}%% \index{a\u ga\c c} (\eng{tree}) olarak \c cizilebilir. \begin{figure} \mbox{}\hfill \subfloat[$R\lto(P\lor Q)$]{\label{fig:R(PQ)} \begin{math} \xymatrix@C=4mm{ &\lto\ar@{-}[dl]\ar@{-}[drr]&&&\\ R&&&\lor\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\\ &&P&&Q } \end{math}} \hfill \subfloat[$(R\lto P)\lor Q$]{\label{fig:(RP)Q} \begin{math} \xymatrix@C=4mm{ &&&\lor\ar@{-}[dll]\ar@{-}[dr]&\\ &\lto\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&&&Q\\ R&&P&& } \end{math}} \hfill\mbox{} \caption{A\u ga\c c olarak \"onermeler}\label{fig:tree} \end{figure} $P_1\land P_2\land P_3$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i\ bir $\land$ ba\u glay\i c\i s\i d\i r, ama hangisi? Bu \"onermede $\land$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n iki \textbf{ge\c ci\c si}%% \index{ge\c ci\c s} (\eng{occurrence}) \cite[s.\ 65]{MTS} vard\i r. Hangisinin anaba\u glay\i c\i\ oldu\u gu fark etmez. (Neden?) Kesinlik i\c cin son ge\c ci\c s olsun diyelim. O zaman \begin{center} $P_1\land P_2\land P_3$ demek $P_1\land(P_2\land P_3)$ demektir. \end{center} Ayn\i\ \c sekilde \begin{center} $P_4\land P_5\land P_6\land P_7$, $P_4\land (P_5\land (P_6\land P_7))$ demektir. \end{center} Ancak $P\lto Q\lto R$ \"onermesindeki $\lto$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n hangi ge\c ci\c sinin \"onermenin anaba\u glay\i c\i s\i\ oldu\u gu \"onemlidir. (Neden?) Tekrar son ge\c ci\c s olsun diyelim: \begin{center} $P\lto Q\lto R$ demek $P\lto(Q\lto R)$ demek olsun. \end{center} \chapter{\"Onerme Form\"ulleri} \section{\"Ozyineli tan\i m} $P$, $Q$, ve $R$ gibi Latin harf\/leri, ve $P_1$ ve $P_2$ gibi bile\c sik simgeler, ger\c cekten \"onermeler de\u gil, \textbf{\"onerme de\u gi\c skenleridir} (\eng{propositional variables}). A\c sa\u g\i daki d\"ort kural\i\ kullanarak, \"onerme de\u gi\c skenlerinden, ba\u glay\i c\i lardan, ve ayra\c clardan \textbf{\"onerme form\"ullerini} (\eng{propositional formulas}) olu\c stururuz: \begin{compactenum} \item Her \"onerme de\u gi\c skeni, bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur. \item E\u ger $F$ ve $G$, \"onerme form\"ulleriyse, o zaman \begin{align*} &(F\land G),& &(F\lor G),& &(F\lto G),& &(F\liff G) \end{align*} ifadeleri de \"onerme form\"ulleridir. \item E\u ger $F$, \"onerme form\"ul\"uyse, o zaman \begin{equation*} \lnot F \end{equation*} ifadesi de bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur. \item Ayr\i ca \begin{align*} &0,&&1 \end{align*} simgeleri, \"onerme form\"ulleridir. \end{compactenum} \"Orne\u gin \begin{gather*} P,\qquad (P\land Q),\qquad (R\lor 1),\\ ((P\land Q)\lto(R\lor1)),\qquad \lnot((P\land Q)\lto(R\lor1)),\\ (\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1))\liff0) \end{gather*} ifadeleri, \"onerme form\"ulleridir. %Buradaki $\land$, $\lor$, $\lto$, $\liff$, $\lnot$, $1$, ve $0$ simgeleri, %\textbf{ba\u glay\i c\i d\i rlar}%% %\index{ba\u glay\i c\i} (\eng{connectives}). %\"Ustelik \begin{sloppypar} Her ba\u glay\i c\i\ i\c cin, bir ve tek bir $n$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin, ba\u glay\i c\i\ \textbf{$n$-konumlu}\index{konum} (\eng{$n$-place}) veya \textbf{$n$-lidir} (\eng{$n$-ary}): \begin{compactitem} \item $\land$, $\lor$, $\lto$, ve $\liff$, \textbf{iki-konumlu} (\eng{two-place}) veya \textbf{ikilidir} (\eng{binary}); \item $\lnot$, \textbf{bir-konumlu} (\eng{one-place}) veya \textbf{birlidir} (\eng{singulary, \enquote{unary}}); \item $0$ ve $1$, \textbf{s\i f\i r-konumlu} (\eng{zero-place}) veya \textbf{s\i f\i rl\i d\i r} (\eng{null\-ary}). \end{compactitem} S\i f\i rl\i\ bir ba\u glay\i c\i, bir \textbf{sabittir}\index{sabit} (\eng{constant}). \end{sloppypar} Form\"ullerin tan\i m\i ndaki gibi, form\"uller g\"ostermek i\c cin \begin{align*} &F,& &G,& &H,& &K,& &L \end{align*} %$F$, $G$, $H$, $K$ ve $L$ Latin harf\/lerini kullan\i yoruz. Bu harf\/lerin hi\c c birinin kendisi form\"ul de\u gildir, form\"ul i\c cin \textbf{dizimsel de\u gi\c skendir} \cite[s.\ 49]{MTS} (\eng{syntactical variable} \cite[s.\ 60]{MR18:631a}). Benzer \c sekilde bir iki-konumlu ba\u glay\i c\i\ i\c cin dizimsel de\u gi\c sken olarak \begin{align*} &*,& &\dag \end{align*} (yani \textbf{y\i ld\i z} [\eng{star, asterisk}],%%% \index{y\i ld\i z} \textbf{kama} [\eng{dagger, obelisk}]%%% \index{kama}) i\c saretlerini kullanaca\u g\i z, ve bir sabit i\c cin %s\i f\i r-konumlu ba\u glay\i c\i\ i\c cin \begin{equation*} e \end{equation*} harf\/ini kullanaca\u g\i z. O zaman tan\i ma g\"ore \begin{compactenum}[(1)] \item \"onerme de\u gi\c skenleri, \item $(F*G)$, \item $\lnot F$, ve \item $e$ \end{compactenum} bi\c cimli ifadeler, \"onerme form\"ulleridir. Bu t\"ur tan\i mlara \textbf{\"ozyinelemeli,}%%% \index{\"ozyine!---lemeli} \textbf{\"ozyineli,}\index{\"ozyine!---li} veya \textbf{yinelgen}\index{yinelgen} \cite[s.\ 149]{MTS} (\eng{recursive}) tan\i m denir. \section{Anaba\u glay\i c\i lar} %Resmi bir tan\i m i\c cin \textbf{Bile\c sik form\"uller,} \begin{align*} (F&*G),&&\lnot F,&&e\\ %\end{align*} \intertext{bi\c cimli form\"ullerdir. (Bir sabit bile bile\c sik say\i l\i r.) Bunlar\i n \textbf{anaba\u glay\i c\i lar\i,} s\i ras\i yla} %\begin{align*} &*,&&\lnot,&&e \end{align*} ba\u glay\i c\i lar\i d\i r. Her form\"ul\"un \emph{tek} anaba\u glay\i c\i s\i n\i n oldu\u gunu kan\i tlayaca\u g\i z. $(F*G)$ bi\c cimli form\"ullerine \textbf{ikili bile\c sikler} (\eng{binary compounds}) diyelim. O zaman her bile\c sik form\"ul ya bir sabit, ya da bir de\u gilleme, ya da bir ikili bile\c siktir. Ayr\i ca \begin{compactitem} \item sabit form\"uller sabit ile, \item de\u gillemeler $\lnot$ ile, \item ikili bile\c sikler ayra\c c ile \end{compactitem} ba\c slar. O zaman \begin{compactitem} \item bir sabit, ne de\u gilleme ne ikili bile\c sik olabilir; \item de\u gilleme, ikili bile\c sik olamaz. \end{compactitem} Sonunda ikili bir bile\c si\u gin tek bir \c sekilde ikili oldu\u gunu kan\i tlamal\i y\i z. \"Onerme form\"ullerinin tan\i m\i\ \"ozyineli oldu\u gundan \textbf{t\"umevar\i m}%% \index{t\"umevar\i m} (\eng{induction}) y\"ontemini kullanabiliriz. \begin{theorem}\label{thm:ur} E\u ger bir $(F*G)$ form\"ul\"u bir $(H\mathbin{\dag}K)$ form\"ul\"uyle ayn\i\ ise, o zaman $F$ ve $H$ form\"ulleri de birbiriyle ayn\i d\i r. \end{theorem} \begin{proof} Bir \"onerme form\"ul\"un\"un sonuna yeni simgeler eklenerek yeni \"oner\-me form\"ul\"un\"un elde edilemeyece\u gini g\"ostermek yeter. Asl\i nda her $L$ form\"ul\"u i\c cin \begin{compactitem} \item hem sonuna yeni simgeler eklenerek \item hem de sonundan simgeler kald\i r\i larak \end{compactitem} yeni bir \"onerme form\"ul\"un\"un elde edilemeyece\u gini g\"osterece\u giz. %Form\"uller ta\-n\i m\i n\i n sa\u glad\i\u g\i\ t\"umevar\i m y\"ontemini kullanaca\u g\i z. \begin{asparaenum} \item $L$ bir \"onerme de\u gi\c skeniyse, iddiam\i z do\u grudur. \item T\"umevar\i m hipotezi olarak $L$'nin ya $F$ ya da $G$ form\"ul\"u oldu\u gu durumda iddiam\i z\i n do\u gru oldu\u gunu varsayal\i m. \c Simdi $L$, bir $(F*G)$ form\"ul\"u olsun. M\"umk\"unse, sonuna yeni simgeler eklenerek veya sonundan simgeler kald\i r\i larak yeni bir form\"ul \c c\i kar\i ls\i n. Bu form\"ul $(H\dag K)$ bi\c ciminde olmal\i d\i r, \c c\"unk\"u ayra\c c ile ba\c slar. E\u ger $F$ ve $H$ birbiriyle ayn\i ysa, o zaman ya $G$, $K$'nin ba\c s\i ndan bir par\c cas\i d\i r, ya da $K$, $G$'nin ba\c s\i ndan bir par\c cas\i d\i r. Varsay\i m\i m\i za g\"ore bu m\"umk\"un de\u gildir. Ayn\i\ \c sekilde $F$ ve $H$ birbirinden farkl\i\ olamaz. B\"oylece $L$ bir $(F*G)$ form\"ul\"u ise, iddiam\i z do\u grudur. \item Benzer \c sekilde $L$ form\"ul\"un\"un bir $F$ form\"ul\"u oldu\u gu zamanda iddiam\i z do\u gru ise, $L$ form\"ul\"un\"un $\lnot F$ form\"ul\"u oldu\u gu zamanda da do\u grudur. \item $L$ ya $0$ ya da $1$ ise, iddiam\i z do\u grudur. \end{asparaenum} B\"oylece her durumda iddiam\i z do\u grudur. \end{proof} \begin{exercise}\mbox{} \begin{compactenum}[(a)] \item Her $(F*G)$ form\"ul\"u sadece \begin{equation*} F*G \end{equation*} olarak yaz\i l\i rsa, \Teoremin{thm:ur} yanl\i\c s oldu\u gunu g\"osterin. \item Her $(F*G)$ form\"ul\"u \begin{equation*} (F*G \end{equation*} olarak yaz\i l\i rsa, teoremin hala do\u gru oldu\u gunu g\"osterin. \item Her $(F*G)$ form\"ul\"u \begin{equation*} F*G) \end{equation*} olarak yaz\i l\i rsa, teorem hala do\u gru mudur? \end{compactenum} \end{exercise} \begin{comment} \Teorem{thm:ur} sayesinde bir $(F*G)$ \"onerme form\"ul\"un\"un $*$ ba\u glay\i c\i s\i, form\"ul\"un \textbf{anaba\u glay\i c\i s\i}%% \index{anaba\u glay\i c\i s\i} olarak tan\i mlanabilir. Benzer \c sekilde $\lnot F$ form\"ul\"un\"un anaba\u glay\i c\i s\i\ $\lnot$ simgesidir. $0$ veya $1$, kendisinin anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. Ancak bir de\u gi\c skenin anaba\u glay\i c\i s\i\ yoktur. B\"oylece her de\u gi\c sken olmayan form\"ul\"un sadece bir tane anaba\u glay\i c\i s\i\ vard\i r. \end{comment} \section{Altform\"uller} Bir \"oner\-me form\"ul\"un\"un \textbf{altform\"ulleri} (\eng{subformulas}) a\c sa\u g\i daki kurallara uyar. \begin{compactitem} \item Her \"onerme form\"ul\"u, kendisinin altform\"ul\"ud\"ur. \item $F$'nin veya $G$'nin altform\"ul\"u olan her form\"ul, $(F*G)$ form\"ul\"un\"un bir altform\"ul\"ud\"ur. \item $F$ form\"ul\"un\"un her altform\"ul\"u, $\lnot F$ form\"ul\"un\"un bir altform\"ul\"ud\"ur. \end{compactitem} \"Orne\u gin $\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor 1)\bigr)\liff0\Bigr)$ form\"ul\"un\"un altform\"ulleri, \Sekilde{fig:alt-f}ki %a\c sa\u g\i daki tabloda s\i ralanm\i\c st\i r. \begin{figure} \begin{equation*} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{array}{cc} \text{altform\"ul}&\text{anaba\u glay\i c\i s\i}\\\hline \Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor 1)\bigr)\liff0\Bigr)&\liff\\ \lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr) &\lnot\\ \bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr) &\lto\\ (P\land Q) &\land\\ P &\text{(yok)}\\ Q &\text{(yok)}\\ (R\land1) &\land\\ R &\text{(yok)}\\ 1 &1\\ 0 &0 \end{array} \end{equation*} \caption{Bir form\"ul\"un altform\"uller ve anaba\u glay\i c\i lar\i}%% \label{fig:alt-f} \end{figure} \Teorem{thm:ur} sayesinde verilen form\"ul\"un \emph{t\"um} altform\"ulleri tablodad\i r. Ayn\i\ \c sekilde bir $F$ form\"ul\"un\"un altform\"ulleri \begin{equation*} \af F \end{equation*} k\"umesini olu\c sturursa, o zaman her $P$ \"onerme de\u gi\c skeni i\c cin \begin{equation*} \af P=\{P\}, \end{equation*} ve ayr\i ca \begin{align*} \af{F*G}&=\{(F*G)\}\cup\af F\cup\af G,\\ \af{\lnot F}&=\{\lnot F\}\cup\af F,\\ \af e&=\{e\}. \end{align*} \"Onerme form\"ullerinin kendisinin tan\i m\i\ gibi altform\"ullerin tan\i m\i\ \"ozyinelidir, ama bu yeni tan\i m \Teoreme{thm:ur} dayan\i r. Bir form\"ul\"un altform\"ullerinin kendileri veya anaba\u glay\i c\i lar\i, \Sekil{fig:tree2} ve \numarada{fig:tree3}ki gibi bir (ve tek bir) a\u gac\i n%% \index{a\u ga\c c} \textbf{d\"u\u g\"umleri}%% \index{d\"u\u g\"um} olarak \c cizilebilir. \begin{figure} \centering \psset{levelsep=15mm} \pstree{\Toval{$\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor 1)\bigr)\liff0\Bigr)$}} {\pstree{\Toval{$\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)$}} {\pstree{\Toval{$\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)$}} {\pstree{\Toval{$(P\land Q)$}} {\Toval{$R$}\Toval{$Q$}} \pstree{\Toval{$(R\lor1)$}} {\Toval{$R$}\Toval{$1$}}}} \Toval{$0$}} \caption{D\"u\u g\"umleri form\"ul olan bir a\u ga\c c}\label{fig:tree2} \end{figure} \begin{figure} \centering \psset{levelsep=8mm} \pstree{\Toval{$\liff$}} {\pstree{\Toval{$\lnot$}} {\pstree{\Toval{$\lto$}} {\pstree{\Toval{$\land$}} {\Toval{$R$}\Toval{$Q$}} \pstree{\Toval{$\lor$}} {\Toval{$R$}\Toval{$1$}}}} \Toval{$0$}} \caption{D\"u\u g\"umleri ba\u glay\i c\i\ veya de\u gi\c sken olan bir a\u ga\c c}\label{fig:tree3} \end{figure} \begin{theorem} Bir form\"ulde, ne de\u gi\c sken ne ayra\c c olan her simge, bir ve sadece bir altform\"ul\"un anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. \end{theorem} \begin{proof} T\"umevar\i m ve \Teoremi{thm:ur} kullanaca\u g\i z. \begin{asparaenum} \item Bir de\u gi\c sken i\c cin iddiam\i z do\u grudur. \item \.Iddiam\i z $F$ ve $G$ i\c cin do\u gru olsun. Bir $(F*G)$ form\"ul\"un\"un her altform\"ul\"u, ya form\"ul\"un kendisidir, ya $F$ altform\"ul\"un\"un altform\"ul\"ud\"ur, ya da $G$ altform\"ul\"un\"un altform\"ul\"ud\"ur. Tan\i ma g\"ore $*$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n g\"ord\"u\u g\"um\"uz ge\c ci\c si, form\"ul\"un kendisinin anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. \Teoremin{thm:ur} kan\i t\i\ sayesinde $*$'\i n bu ge\c ci\c si ba\c ska altform\"ul\"un anaba\u glay\i c\i s\i\ olamaz. Varsay\i m\i m\i za g\"ore, bir $\dag$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n $F$ form\"ul\"undeki ge\c ci\c si, $F$ form\"ul\"un\"un tek bir altform\"ul\"un\"un anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. O zaman $\dag$'n\i n ge\c ci\c si, $(F*G)$ form\"ul\"un\"un tek bir altform\"ul\"un\"un anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. $G$ i\c cin ayn\i\ \c sey do\u grudur. O zaman her $(F*G)$ form\"ul\"u i\c cin iddiam\i z do\u grudur. \item Benzer \c sekilde idd\i am\i z $F$ i\c cin do\u gru ise, $\lnot F$ i\c cin de do\u grudur. \item \.Idd\i am\i z $0$ ve $1$ i\c cin do\u grudur. \end{asparaenum} %Form\"ullerin \"ozyinelemeli tan\i m\i na g\"ore, T\"umevar\i mdan idd\i am\i z do\u grudur. \end{proof} \begin{sloppypar} Bundan sonra bir \textbf{do\u gruluk g\"ondermesi,}%% \index{do\u gru!---luk g\"ondermesi} \begin{compactitem} \item tan\i m k\"umesi \"onerme form\"ullerinden olu\c san k\"umesi olan, \item de\u ger k\"umesi $\{0,1\}$ olan, \item \Sekilde{fig:dgk}ki kurallara uyan \end{compactitem} bir $d$ fonksi\-yonudur. \begin{figure} \begin{equation*} \begin{array}{cc|cccc} d(F)&d(G)&d(F\land G)&d(F\lor G)&d(F\lto G)&d(F\liff G)\\\hline 0&0&0&0&1&1\\ 1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&1&0\\ 1&1&1&1&1&1\\\hline \end{array} \end{equation*} \begin{align*} & \begin{array}{c|c} d(F)&d(\lnot F)\\\hline 0&1\\ 1&0\\\hline \end{array}& &\begin{array}{|c} d(1)\\\hline1\\\hline \end{array}& &\begin{array}{|c} d(0)\\\hline0\\\hline \end{array} \end{align*} \caption{Do\u gruluk g\"ondermesi kurallar\i}\label{fig:dgk} \end{figure} Her do\u gruluk g\"ondermesinin alt\i nda bir form\"ul\"un de\u geri, form\"ul\"un \textbf{do\u gruluk tablosunda}%% \index{do\u gru!---luk tablosu} g\"osteriliyor. $F$ bir \"onerme form\"ul\"u ve $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesiyse, $d(F)$ de\u gerini hesaplamak i\c cin, $F$ form\"ul\"un\"un her $G$ altform\"ul\"u i\c cin $d(G)$ de\u gerini hesaplamal\i y\i z. Bu $d(G)$ de\u geri, $F$ form\"ul\"un\"un do\u gruluk tablosunda, \begin{compactenum}[1)] \item e\u ger $G$ bir de\u gi\c skense, $G$ alt\i nda, \item e\u ger $G$ de\u gi\c sken de\u gilse, $G$ form\"ul\"un\"un anaba\u glay\i c\i s\i\ alt\i nda, \end{compactenum} g\"osterilebilir. Mesela $\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)\liff0\Bigr)$ form\"ul\"u i\c cin, \Sekilde{fig:full}ki do\u gruluk tablosu \c c\i kar. \begin{figure} \centering $\begin{array}{*{10}c} \Bigl(\lnot&\bigl(P&\land&Q)&\lto&(R&\land&1)\bigr)&\liff&0\Bigr)\\\hline 0& 0& 0&0 & 1& 0& 0&1 & 1&0 \\ 0& 1& 0&0 & 1& 0& 0&1 & 1&0 \\ 0& 0& 0&1 & 1& 0& 0&1 & 1&0 \\ 1& 1& 1&1 & 0& 0& 0&1 & 0&0 \\ 0& 0& 0&0 & 1& 1& 1&1 & 1&0 \\ 0& 1& 0&0 & 1& 1& 1&1 & 1&0 \\ 0& 0& 0&1 & 1& 1& 1&1 & 1&0 \\ 0& 1& 1&1 & 1& 1& 1&1 & 1&0 \end{array}$ \caption[Do\u gruluk tablosu]{Altform\"ullerin de\u gerlerini g\"osteren do\u gruluk tablosu}%%% \label{fig:full} \end{figure} O zaman form\"ul\"un kendisinin do\u gruluk tablosu, \Sekilde{fig:reduced} g\"or\"un\"ur. \begin{figure} \begin{equation*} \begin{array}{ccc|c} P&Q&R&\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)\liff0\Bigr)\\\hline 0&0&0&1\\ 1&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{array} \end{equation*} \caption{Form\"ul\"un kendisinin do\u gruluk tablosu}\label{fig:reduced} \end{figure} Hesaplamalar\i n s\i ras\i, ad\i m ad\i m \Sekilde{fig:tt} g\"or\"un\"ur. \begin{figure}[p] \centering\relscale{0.7} $\begin{array}{rrclcrclcl} \Bigl(\lnot&\bigl((P&\land&Q)&\lto&(R&\land&1)\bigr)&\liff&0\Bigr)\\\hline %(\lnot&((P&\land&Q)&\lto&(R&\land&1))&\liff&0)\\\hline & 0& &0 & & 0& &1 & &0\\ & 1& &0 & & 0& &1 & &0\\ & 0& &1 & & 0& &1 & &0\\ & 1& &1 & & 0& &1 & &0\\ & 0& &0 & & 1& &1 & &0\\ & 1& &0 & & 1& &1 & &0\\ & 0& &1 & & 1& &1 & &0\\ & 1& &1 & & 1& &1 & &0\\\hline & 0& 0&0 & & 0& 0&1 & &0\\ & 1& 0&0 & & 0& 0&1 & &0\\ & 0& 0&1 & & 0& 0&1 & &0\\ & 1& 1&1 & & 0& 0&1 & &0\\ & 0& 0&0 & & 1& 1&1 & &0\\ & 1& 0&0 & & 1& 1&1 & &0\\ & 0& 0&1 & & 1& 1&1 & &0\\ & 1& 1&1 & & 1& 1&1 & &0\\\hline & 0& 0&0 & 1& 0& 0&1 & &0\\ & 1& 0&0 & 1& 0& 0&1 & &0\\ & 0& 0&1 & 1& 0& 0&1 & &0\\ & 1& 1&1 & 0& 0& 0&1 & &0\\ & 0& 0&0 & 1& 1& 1&1 & &0\\ & 1& 0&0 & 1& 1& 1&1 & &0\\ & 0& 0&1 & 1& 1& 1&1 & &0\\ & 1& 1&1 & 1& 1& 1&1 & &0\\\hline 0& 0& 0&0 & 1& 0& 0&1 & &0\\ 0& 1& 0&0 & 1& 0& 0&1 & &0\\ 0& 0& 0&1 & 1& 0& 0&1 & &0\\ 1& 1& 1&1 & 0& 0& 0&1 & &0\\ 0& 0& 0&0 & 1& 1& 1&1 & &0\\ 0& 1& 0&0 & 1& 1& 1&1 & &0\\ 0& 0& 0&1 & 1& 1& 1&1 & &0\\ 0& 1& 1&1 & 1& 1& 1&1 & &0\\\hline 0& 0& 0&0 & 1& 0& 0&1 & 1&0\\ 0& 1& 0&0 & 1& 0& 0&1 & 1&0\\ 0& 0& 0&1 & 1& 0& 0&1 & 1&0\\ 1& 1& 1&1 & 0& 0& 0&1 & 0&0\\ 0& 0& 0&0 & 1& 1& 1&1 & 1&0\\ 0& 1& 0&0 & 1& 1& 1&1 & 1&0\\ 0& 0& 0&1 & 1& 1& 1&1 & 1&0\\ 0& 1& 1&1 & 1& 1& 1&1 & 1&0 \end{array}$ \caption{Do\u gruluk tablosu hesaplanmas\i}\label{fig:tt} \end{figure} Her form\"ul\"un do\u gruluk tablosunun var oldu\u gundan dolay\i, a\c sa\u g\i daki teorem do\u g\-rudur. \end{sloppypar} \begin{theorem}\label{thm:hat} Her $P$ \"onerme de\u gi\c skeni i\c cin bir $e_P$ do\u gruluk de\u geri se\c cil\-mi\c s olsun. O zaman bir ve tek bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin, her $P$ i\c cin \begin{equation*} d(P)=e_P. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} Buradaki $d$ do\u gruluk g\"ondermesi, \"ozyineleme ile tan\i mlan\i r. Asl\i nda \Sayfada{eqn:ddd}ki gibi \begin{gather*} d(\lnot F)=1+d(F),\\ d(F\liff G)=1+d(F)+d(G),\\ d(F\lor G) =d(F)+d(G)+d(F)\cdot d(G),\\ d(e)=e. \end{gather*} \Teoremde{thm:ur}n dolay\i\ b\"oyle bir tan\i m\i n yap\i lmas\i\ m\"umk\"und\"ur. \end{proof} Son b\"ol\"umde dedi\u gimiz gibi, \"onerme form\"ullerinde baz\i\ ayra\c clar gerekmez ve kullan\i lmayabilir. \"Orne\u gin d\i\c s ayra\c clar silinebilir. Ba\c ska ayra\c clar\i n silinebilmesi i\c cin, do\u gruluk de\u gerleri a\c sa\u g\i daki s{\i}rada hesaplans\i n: \begin{compactenum}[1)] \item $0$ ve $1$, \item $\lnot$, \item $\land$ ve $\lor$, \item $\lto$ ve $\liff$, \item\label{sagdaki} bir ba\u glay\i c\i n\i n iki ge\c ci\c si varsa, sa\u gdaki. \end{compactenum} \"Orne\u gin: \begin{compactenum}[a)] \item $F*G$ demek $(F*G)$ demektir, \item $\lnot F*G$ ve $\lnot(F*G)$ farkl\i d\i r, \item $F\lto G\lor H$ demek $F\lto(G\lor H)$ demektir, \item $F\land G\lor H$ belirsiz (onun i\c cin yaz\i lmaz), \item $F\land G\land H$ demek $F\land(G\land H)$ demektir, \item $F\lto G\lto H$ demek $F\lto(G\lto H)$ demektir, \item $F\lto G\land H\lto K$ demek $F\lto ((G\land H)\lto K)$ demektir. \end{compactenum} \begin{exercise} A\c sa\u g{\i}daki de\u gi\c skensiz form\"ulleri hesaplay{\i}n. \begin{multicols}2 \begin{compactenum}[a)] \item $1\lto 1\lto 1$, \item $1\lto 0\lto 1$, \item $(0\lto 1)\liff 1$, \item $(0\liff 1)\liff0\liff 1$, \item $0\liff1\liff0\liff 1$, \item $\lnot\lnot\lnot 0$, \item $(1\lor 0)\land 0$, \item $1\lor (0\land 0)$. \end{compactenum} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise} A\c sa\u g{\i}daki form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ yap{\i}n: \begin{compactenum}[a)] \renewcommand{\labelenumii}{(\theenumii)} \item $P\lto Q\lto P$, \item $P\land Q\land R$, \item $\lnot(P\liff\lnot(Q\liff R))$, \item $(P\lto Q\lor R)\lto\lnot P\lor Q$, \item $(P\lto Q\lor\lnot R)\land(Q\lto P\land R)\lto P\lto R$, \item $\lnot(\lnot R\lto P\lto\lnot(R\lto Q))$. \end{compactenum} \end{exercise} \part{Kan\i tlar} \chapter{Denklik} \.Iki \"onermenin do\u gruluk de\u geri her durumda ayn\i ysa, o \"onermeler, mant\i ksal olarak birbirine \textbf{e\c sde\u ger}%% \index{e\c sde\u ger} veya \textbf{denktir.}%% \index{denk}\label{denktir} \.Iki \"onerme \emph{form\"ul\"un\"un} do\u gruluk tablolar\i\ ayn\i ysa, o form\"uller de birbirine \textbf{e\c sde\u ger} veya \textbf{denktir.} Her form\"ul kendisine de denktir. Zaten \sayfada{13} ba\c slayan \"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri \"orne\u ginde denk\-likler kulland\i k. Mesela $P\lor Q\lto R$ \"onermesi $(P\lto R)\land(Q\lto R)$ \"onermesine denktir. ($P\lor Q\lto R$ ifadesinin $((P\lor Q)\lto R)$ demek oldu\u gunu hat\i rlay\i n.) Bu \"onermelerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ hesaplayal\i m: \begin{align*} &\begin{array}{ccccc} P&\lor&Q&\lto&R\\\hline 0& 0&0& 1&0\\ 1& 1&0& 0&0\\ 0& 1&1& 0&0\\ 1& 1&1& 0&0\\ 0& 0&0& 1&1\\ 1& 1&0& 1&1\\ 0& 1&1& 1&1\\ 1& 1&1& 1&1 \end{array} && \begin{array}{ccccccccccc} (&P&\lto&R&)&\land&(&Q&\lto&R&)\\\hline &0& 1&0& & 1& &0& 1&0&\\ &1& 0&0& & 0& &0& 1&0&\\ &0& 1&0& & 0& &1& 0&0&\\ &1& 0&0& & 0& &1& 0&0&\\ &0& 1&1& & 1& &0& 1&1&\\ &1& 1&1& & 1& &0& 1&1&\\ &0& 1&1& & 1& &1& 1&1&\\ &1& 1&1& & 1& &1& 1&1& \end{array} \end{align*} B\"oylece %\ref{fig:tt-5} numaral\i\ \c Sekildeki \Sekilde{fig:tt-5}ki %a\c sa\u g\i daki tablolar\i\ elde ederiz. \begin{figure} \mbox{}\hfill %\begin{align}\label{eqn:tt-5} $\begin{array}{ccc|c} P&Q&R&P\lor Q\lto R\\\hline 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{array}$ \hfill $\begin{array}{ccc|c} P&Q&R&(P\lto R)\land(Q\lto R)\\\hline 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{array}$ %\end{align} \hfill\mbox{} \caption%[$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$ form\"ullerin tablolar\i] {%$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$ \.Iki form\"ul\"un do\u gruluk tablolar\i}\label{fig:tt-5} \end{figure} Bu tablolar, birbiriyle ayn\i d\i r; onun i\c cin \begin{equation*} P\lor Q\lto R\denktir(P\lto R)\land(Q\lto R) \end{equation*} ifadesini yazaca\u g\i z. Genelde, $F$ ve $G$ \"onerme form\"ulleri e\c sde\u ger ise, \begin{equation*} F\sim G \end{equation*} ifadesini de yazabiliriz. \"Orne\u gin \begin{equation*} P\lor Q\lto R\sim(P\lto R)\land(Q\lto R). \end{equation*} Ancak, dikkatli olunmal\i: $F\sim G$ ifadesi \"onerme form\"ul\"u de\u gil; sadece \enquote{$F$ ve $G$ form\"ulleri, birbirine denktir} c\"umlesi i\c cin, yani \begin{equation*} F\denktir G \end{equation*} c\"umlesi i\c cin, bir k\i saltmad\i r. Bir $F\lto G$ \"onerme, \textbf{ko\c sullu \"onermedir,}%% \index{ko\c sullu \"onerme} ve onun \begin{compactenum}[1)] \item \textbf{tersi}%% \index{ters} veya \textbf{evri\u gi,}%% \index{evrik} $G\lto F$ c\"umlesidir, \item \textbf{kar\c s\i t tersi,}%% \index{kar\c s\i t tersi} $\lnot G\lto\lnot F$ c\"umlesidir. \end{compactenum} \begin{theorem} Bir ko\c sullu \"onerme, \begin{compactenum}[1)] \item tersine denk olmayabilir, \item kar\c s\i t tersine her zaman denktir. \end{compactenum} \end{theorem} \begin{proof} \cexercise \end{proof} \begin{theorem}\label{thm:denk} A\c sa\u g\i daki e\c sde\u gerliklerimiz vard\i r. \begin{compactenum} \item Her \"onerme, sadece $\lnot$ ve $\land$ ile yaz\i labilir: \begin{gather*} P\lor Q\denktir\lnot(\lnot P\land\lnot Q),\\ P\lto Q\denktir \lnot P\lor Q,\\ P\liff Q\denktir(P\lto Q)\land (Q\lto P). \end{gather*} \item Her \"onerme, sadece $\lnot$ ve $\lto$ ile yaz\i labilir: \begin{equation*} P\land Q\denktir\lnot(P\lto\lnot Q). \end{equation*} \item \c Cifte de\u gilleme%% \index{\c Cifte De\u gilleme} kald\i r\i labilir: \begin{equation*} \lnot\lnot P\denktir P. \end{equation*} \item De Morgan\index{De Morgan}%%%%% \footnote{Augustus De Morgan, 1806--71, B\"uy\"uk Britanyal\i\ matematik\c ci ve mant\i k\c c\i\ \cite{Struik,Struik-TR}.} kurallar\i: \begin{align*} \lnot (P\lor Q)& \denktir \lnot P\land \lnot Q,\\ \lnot (P\land Q)& \denktir \lnot P\lor \lnot Q. \end{align*} \item $\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n de\u gi\c sme%%% \index{De\u gi\c sme} \"ozelli\u gi: \begin{gather*} P\land Q \denktir Q\land P,\\ P\lor Q \denktir Q\lor P, \end{gather*} $\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n birle\c sme%%% \index{Birle\c sme} \"ozelli\u gi: \begin{gather*} (P\land Q)\land R \denktir P\land (Q \land R),\\ (P \lor Q)\lor R \denktir P\lor (Q\lor R). \end{gather*} \item $\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i\ birbiri \"uzerine da\u g\i l\i r:%% \index{Da\u g\i lma} \begin{align*} P&\land(Q\lor R)\denktir (P\land Q)\lor(P\land R),\\ P&\lor(Q\land R)\denktir (P\lor Q)\land(P\lor R). \end{align*} \item Fazlal\i klar:%% \index{Fazlal\i k} \begin{align*} & \begin{gathered} P\land P \denktir P,\\ P\land\lnot P \denktir 0,\\ P\land 1 \denktir P,\\ P\land 0 \denktir 0, \end{gathered}&& \begin{gathered} P\lor P \denktir P, \\ P\lor \lnot P \denktir 1,\\ P\lor 0 \denktir P,\\ P\lor 1 \denktir 1. \end{gathered} \end{align*} \item Yeni de\u gi\c sken:%% \index{Yeni De\u gi\c sken} \begin{align*} P&\denktir (P\land Q)\lor (P\land \lnot Q),\\ P&\denktir (P\lor Q)\land (P\lor \lnot Q). \end{align*} \item Yutma:\index{Yutma} \begin{align*} P\land(P\lor Q)& \denktir P,\\ P\lor(P\land Q)& \denktir P. \end{align*} \end{compactenum} \end{theorem} \begin{proof} \cexercise \end{proof} Bu teoremden, a\c sa\u g\i daki teoremi kullanarak, sonsuz say\i da denklikler elde edebiliriz. \"Orne\u gin $P\lto Q$ form\"ul\"u $\lnot P\lor Q$ form\"un\"une denk oldu\u gundan \begin{equation*} P\land Q\lto R\denktir\lnot(P\land Q)\lor R \end{equation*} denkli\u gini elde ederiz. \begin{theorem}[De\u gi\c stirim]\label{thm:sub}\index{De\u gi\c stirim} $F$ ve $G$ birbirine denk olan form\"uller olsun, $P$ bir \"onerme de\u gi\c skeni olsun, ve $H$ bir \"onerme form\"ul\"u olsun. E\u ger $F$ form\"ul\"unde $P$ de\u gi\c skeninin ge\c cti\u gi her yere $H$ konulursa, $F'$ form\"ul\"u elde edilsin; benzer \c sekilde, $G$ form\"ul\"unden $G'$ elde edilsin. O zaman \begin{equation*} F'\denktir G'. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} $F$ veya $G$ form\"ul\"un\"un de\u gi\c skenleri $P$, $Q_1$, $Q_2$, \dots, $Q_n$ olsun, $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun, ve \Teoremi{thm:hat} kullanarak $d^*$ \"oyle bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun ki \begin{align*} d^*(P)&=d(H),& d^*(Q_1)&=d(Q_1),& %d^*(Q_2)&=d(Q_2),& &\dots,& d^*(Q_n)&=d(Q_n) \end{align*} olsun. O zaman (neden?) \begin{align*} d(F')&=d^*(F),&d(G')&=d^*(G) \end{align*} dolay\i s\i yla $d^*(F)=d^*(G)$ oldu\u gundan $d(F')=d(G')$. \end{proof} \begin{exercise} Son kan\i tta $d(F')=d^*(F)$ neden oldu\u gunu anlat\i n. \end{exercise} Teoremde $F'$ ve $G'$ form\"ulleri, $F$ ve $G$ form\"ullerinde $P$ de\u gi\c skeninin $H$ form\"ul\"u ile \textbf{de\u gi\c stirim} (\eng{replacement}) \cite[s.\ 46]{MTS} ile elde edilir. \"Ustelik $\lnot(P\land Q)$ form\"ul\"u $\lnot P\lor\lnot Q$ form\"ul\"une denk oldu\u gundan, sonraki teorem sayesinde, \begin{equation*} \lnot(P\land Q)\lor R\denktir(\lnot P\lor\lnot Q)\lor R \end{equation*} denkli\u gini elde ederiz. \begin{theorem}[Yerine Koyma]\label{thm:rep}\index{Yerine Koyma} $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"un bir altform\"ul\"u olsun, ve $F^*$ form\"ul\"u $F$ form\"ul\"une denk olsun. E\u ger $G$ form\"ul\"unde $F$ altform\"ul\"un\"un yerine $F^*$ konulursa, $G^*$ form\"ul\"u elde edilsin. O zaman \begin{equation*} G\denktir G^*. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} \cexercise \end{proof} Teoremde $G^*$ form\"ul\"u, $G$ form\"ul\"undan \textbf{yerine koyma} (\eng{replacement}) \cite[s.\ 148]{MTS} elde edilir. \c Simdi a\c sa\u g\i daki teorem ispatlanabilir: \begin{theorem} $(P\lor Q)\land(R\lor S)$ form\"ul\"u, \begin{equation*} (P\land R)\lor(Q\land R)\lor(P\land S)\lor(Q\land S) \end{equation*} form\"ul\"une denktir. \end{theorem} \begin{proof} \Teoremde{thm:denk}ki kurallar\i\ kullanarak a\c sa\u g\i daki denklikleri elde ederiz. \begin{align*} &\phantom{{}\sim{}}(P\lor Q)\land(R\lor S)&&\\ &\sim((P\lor Q)\land R)\lor((P\lor Q)\land S)&&\text{[Da\u g\i lma]}\\ &\sim(R\land(P\lor Q))\lor(S\land(P\lor Q))&&\text{[De\u gi\c sme]}\\ &\sim((R\land P)\lor(R\land Q))\lor((S\land P)\lor(S\land Q))&&\text{[Da\u g\i lma]}\\ &\sim(R\land P)\lor(R\land Q)\lor(S\land P)\lor(S\land Q)&&\text{[Birle\c sme]}\\ &\sim(P\land R)\lor(Q\land R)\lor(P\land S)\lor(Q\land S)&&\text{[De\u gi\c sme]} \end{align*} Her ad\i mda De\u gi\c stirim veya Yerine Koyma i\c slemlerini (veya ikisini) kulland\i k. \end{proof} Benzer \c sekilde: \begin{theorem} \begin{gather*} \lnot P\lor(P\land Q)\denktir\lnot P\lor Q,\\ P\lor(\lnot P\land Q)\denktir P\lor Q,\\ \lnot P\land(P\lor Q)\denktir\lnot P\land Q,\\ P\land(\lnot P\lor Q)\denktir P\land Q. \end{gather*} \end{theorem} \begin{proof} A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz vard\i r. \begin{align*} &\phantom{{}\sim{}}\lnot P\lor(P\land Q)&&\\ &\sim(\lnot P\lor P)\land(\lnot P\lor Q)&&\text{[Da\u g\i lma]}\\ &\sim 1\land(\lnot P\lor Q)&&\text{[Fazlal\i k]}\\ &\sim\lnot P\lor Q&&\text{[Fazlal\i k]} \end{align*} Di\u ger denklikler, \cexercise \end{proof} \chapter{Gerektirme} \Sayfada{denktir}ki tan\i ma g\"ore, e\u ger her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=d(G)$ ise, o zaman $F$ ve $G$ birbirine denktir. Yani her $d$ i\c cin \begin{compactitem} \item $d(F)=1$ ise $d(G)=1$, \item $d(G)=1$ ise $d(F)=1$ \end{compactitem} durumunda $F\sim G$. \c Simdi her $d$ i\c cin $d(F)=1$ ise $d(G)=1$ ol\-du\u gunu varsayal\i m. O zaman $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u \textbf{gerektirir} deriz.%% \index{gerektirme} Her form\"ul kendisini gerektirir. A\c sik\^ar olmayan \"ornek olarak \Sekilde{fig:PQR}ki \begin{figure} \begin{equation*} \begin{array}{ccc|c|c} P&Q&R&P\lor Q\lto R&P\lto R\\\hline 0&0&0&1&1\\ 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&1\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&1&1&1\\ 1&0&1&1&1\\ 0&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1 \end{array} \end{equation*} \caption{Gerektirmeyi g\"osteren bir do\u gruluk tablosu}\label{fig:PQR} \end{figure} do\u gruluk tablosundan \begin{equation*} P\lor Q\lto R\gerektirir P\lto R. \end{equation*} Bu do\u grudur \c c\"unk\"u tablodaki her sat\i rda, ya $P\lor Q\lto R$ form\"ul\"un\"un de\u geri $0$, ya da $P\lto R$ form\"ul\"un\"un de\u geri $1$. Tabii ki ikisi de olabilir. Genelde, $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirirse,\label{models} \begin{equation*} F\models G \end{equation*} ifadesini yazabiliriz. Bu ifade, \enquote{$F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir} c\"umlesi i\c cin, yani \begin{equation*} F\gerektirir G \end{equation*} c\"umlesi i\c cin, bir k\i saltmad\i r. \"Orne\u gin \begin{equation*} P\lor Q\lto R\models P\lto R. \end{equation*} \begin{theorem} A\c sa\u g\i daki gerektirmelerimiz vard\i r. \begin{description} \item[Basitle\c stirme:]\index{Basitle\c stirme} \begin{align*} P\land Q&\gerektirir P,& P\land Q&\gerektirir Q. \end{align*} \item[Ekleme:]\index{Ekleme} \begin{align*} P&\gerektirir P\lor Q,& Q&\gerektirir P\lor Q. \end{align*} \end{description} \end{theorem} \begin{proof} \cexercise \end{proof} \.Iki form\"ul de bir form\"ul\"u gerektirebilir. $F$ ve $G$ form\"ulleri $H$ form\"ul\"un\"u gerektirir, ancak ve ancak her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin ya $d(F)=0$, ya $d(G)=0$, ya da $d(H)=1$. Mesela \Sekilde{fig:PQR2}ki do\u gruluk tablosundan \begin{equation*} P\lto Q\ile Q\lto R\gerektirir P\lto R. \end{equation*} \begin{figure} \begin{equation*} \begin{array}{ccc|cc|c} P&Q&R&P\lto Q&Q\lto R&P\lto R\\\hline 0&0&0& 1&1&1\\ 1&0&0& 0&1&0\\ 0&1&0& 1&0&1\\ 1&1&0& 1&0&0\\ 0&0&1& 1&1&1\\ 1&0&1& 0&1&1\\ 0&1&1& 1&1&1\\ 1&1&1& 1&1&1 \end{array} \end{equation*} \caption{Gerektirmeyi g\"osteren bir do\u gruluk tablosu daha}\label{fig:PQR2} \end{figure} Asl\i nda sadece 1., 5., 7., ve 8.\ sat\i rlarda hem $P\lto Q$ ve $Q\lto R$ do\u grudur, ve o sat\i rlarda $P\lto R$ de do\u grudur. %Ancak $P\lto R$ ve $P\lto Q$, $Q\lto R$ form\"ul\"un\"u gerektirmez. \begin{theorem}\label{thm:bag-etc} A\c sa\u g\i daki gerektirmelerimiz vard\i r. \begin{description} \item[Ba\u glama:]\index{Ba\u glama} \begin{equation*} P\ile Q\gerektirir P\land Q. \end{equation*} \item[Ay\i rma:]\index{Ay\i rma} \begin{gather*} P\ile P\lto Q\gerektirir Q,\\ \lnot Q\ile P\lto Q\gerektirir\lnot P,\\ P\lor Q\ile \lnot P\gerektirir Q,\\ P\lor Q\ile\lnot Q\gerektirir P. \end{gather*} \item[Hipotetik Tas\i m:]\index{Hipotetik Tas\i m} \begin{equation*} P\lto Q\ile Q\lto R\gerektirir P\lto R. \end{equation*} \end{description} \end{theorem} \begin{proof} \cexercise\ (Hipotetik Tas\i m gerektirmesini \Sekilde{fig:PQR2} ispatlad\i k.) \end{proof} \.Ikiden fazla form\"ul, bir form\"ul gerektirebilir. $\Gamma$ (\emph{Gamma}), bir \"onerme form\"ul\"u \emph{k\"umesi} olsun, ve $F$, bir \"onerme form\"ul\"u olsun. E\u ger her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin \begin{compactenum}[1)] \item ya $\Gamma$ k\"umesinde bir $G$ i\c cin $d(G)=0$, \item ya da $d(F)=1$ \end{compactenum} sa\u glan\i yorsa, o zaman $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u \textbf{gerektirir.}%% \index{gerektirme} Yani $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirir ancak ve ancak $\Gamma\cup\{F\}$ k\"umesindeki b\"ut\"un form\"ullerin do\u gruluk tablosunun her sat\i r\i nda, \begin{compactenum}[1)] \item ya $\Gamma$ k\"umesindeki bir form\"ul yanl\i\c st\i r, \item ya da $F$ form\"ul\"u do\u grudur. \end{compactenum} \begin{theorem}[Olumlu Dilemma]\index{Olumlu Dilemma} A\c sa\u g\i daki gerektirmemiz vard\i r. \begin{equation*} P\lto Q\virgul R\lto S\ve P\lor R\gerektirir Q\lor S. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} Bu gerektirme, \Sekilde{fig:tt4}ki do\u gruluk tablosundan g\"or\"unebilir. \begin{figure}[ht] %\begin{equation*} \centering $\begin{array}{cccc|ccc|c} P&Q&R&S&P\lto Q&R\lto S&P\lor R&Q\lor S\\\hline 0&0&0&0&1&1&0&0\\ 1&0&0&0&0&1&1&0\\ 0&1&0&0&1&1&0&1\\ 1&1&0&0&1&1&1&1\\ 0&0&1&0&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&0&1&0\\ 0&1&1&0&1&0&1&1\\ 1&1&1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&1&1&1&0&1\\ 1&0&0&1&0&1&1&1\\ 0&1&0&1&1&1&0&1\\ 1&1&0&1&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&0&1&1&1\\ 0&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1 \end{array}$ %\end{equation*} \caption{Olumlu Dilemma i\c cin do\u gruluk tablosu}\label{fig:tt4} \end{figure} As\-l\i nda sadece 4., 12., 13., 15., ve 16.\ sat\i rlarda, hem $P\lto Q$ hem $R\lto S$ hem de $P\lor R$ do\u gru, ve o sat\i rlarda $Q\lor S$ de do\u gru. \end{proof} \begin{exercise}\label{exer:ger} $P\lor Q\lor R$, $P\lto Q$, ve $Q\lto R$ gerektirir $R$ oldu\u gunu g\"osterin. \end{exercise} Bir \"onerme form\"ul\"u, bo\c s k\"ume taraf\i ndan gerektirilebilir. Bu durumda, o form\"ule \textbf{(do\u grusal) ge\c cerli form\"ul}\index{ge\c cerli form\"ul} veya \textbf{mant\i ksal do\u gru form\"ul}\index{mant\i ksal do\u gru form\"ul} veya \textbf{totoloji}\index{totoloji} denir.%%%%% \footnote{Ali Nesin~\cite{Nesin-OM}, \"oyle form\"ullere \emph{hepdo\u gru} ad\i n\i\ verir.} %%%%%%%%%%%%%%%%% O zaman $F$ bir totoloji, ancak ve ancak her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=1$. Mesela, \begin{align*} &P\lor\lnot P,&&1 \end{align*} form\"ulleri, totolojidirler. A\c sa\u g\i daki teoremden dolay\i\ yukar\i daki teoremleri kullanarak yeni totolojiler elde edebiliriz. \begin{theorem} A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz vard\i r. \begin{compactenum} \item $F$ ve $G$ form\"ulleri birbirine denktir, ancak ve ancak \begin{equation*} F\liff G \end{equation*} form\"ul\"u bir totolojidir. \item $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir, ancak ve ancak \begin{equation*} F\lto G \end{equation*} form\"ul\"u bir totolojidir. \item $F$ ile $G$ form\"ulleri $H$ form\"ul\"un\"u gerektir, ancak ve ancak \begin{equation*} F\land G\lto H \end{equation*} form\"ul\"u bir totolojidir. \item $F$, $G$, ve $H$ form\"ulleri, $K$ form\"ul\"un\"u gerektir, ancak ve ancak \begin{equation*} F\land G\land H\lto K \end{equation*} form\"ul\"u bir totolojidir. \end{compactenum} \end{theorem} \begin{proof} $F\sim G$, ancak ve ancak her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=d(G)$, yani $d(F\liff G)=1$. Di\u ger b\"ol\"umler, \cexercise \end{proof} Sonraki teoremi g\"ormek yararl\i\ olabilir. \begin{theorem}\label{thm:subset} $\Gamma$, $\Delta$ (\emph{Delta}) k\"umesinin her eleman\i n\i\ i\c cersin. Yani $\Gamma$, $\Delta$ k\"umesini kapsas\i n ($\Delta\included\Gamma$ olsun). \begin{quote}\centering $\Delta\gerektirir F$ ise, o zaman $\Gamma\gerektirir F$. \end{quote} \end{theorem} \begin{proof} Gerektirme tan\i m\i ndan gelir. \end{proof} Bu teorem, sonraki teoremin \"ozel durumudur. \begin{theorem}\label{thm:gerek-comp} $\Gamma$, $\Delta$ k\"umesindeki her form\"ul\"u gerektirsin. \begin{quote}\centering $\Delta\gerektirir F$ ise, o zaman $\Gamma\gerektirir F$. \end{quote} \end{theorem} \begin{proof} Gerektirme tan\i m\i ndan gelir. \end{proof} \Sayfada{thm:sub}ki \Teorem{thm:sub} (De\u gi\c stirim Teoremi) gibi bir teoremimiz vard\i r. \begin{theorem}[De\u gi\c stirim]\label{thm:sub-2} $\Gamma$ form\"uller k\"umesi $G$ form\"ul\"un\"u gerektirsin, $P$ bir \"onerme de\u gi\c skeni olsun, ve $H$ bir \"onerme form\"ul\"u olsun. E\u ger $\Gamma$ k\"umesinin her eleman\i nda $P$ de\u gi\c skeninin ge\c cti\u gi her yere $H$ konulursa, $\Gamma'$ form\"uller k\"umesi elde edilsin; benzer \c sekilde $G$ form\"ul\"unden $G'$ form\"ul\"u elde edilsin. O zaman \begin{equation*} \Gamma'\gerektirir G'. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} \cexercise \end{proof} Bu teorem dolay\i s\i yla \begin{align*} P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P\models\lnot Q\lor R,&&& \text{[Ay\i rma (\Teorem{thm:bag-etc})]}\\ Q\models\lnot\lnot Q,&&& \text{[\c Cifte De\u gilleme (\Teorem{thm:denk})]}\\ \lnot Q\lor R,\ \lnot\lnot Q\models R.&&&\text{[Ay\i rma]} \end{align*} O zaman \Teoremde{thm:subset}n dolay\i \begin{gather*} P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models\lnot Q\lor R,\\ P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models\lnot\lnot Q, \end{gather*} ve \Teoremde{thm:gerek-comp}n dolay\i \begin{equation*} P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models R. \end{equation*} Bu gerektirmeyi, do\u gruluk tablolar\i\ kullanmadan ispatlad\i k. Gerektir\-meyi kan\i tlamak i\c cin, sadece \begin{align}\label{eqn:bk} &P\lor\lnot Q\lor R,& &\lnot P,& &\lnot Q\lor R,& &Q,& &\lnot\lnot Q,& &R \end{align} form\"ulleri yazd\i k. Bu form\"uller listesi, \emph{bi\c cimsel bir kan\i tt\i r.} B\"oyle kan\i tlar sonraki b\"ol\"um\"un konusudur. \chapter{Bi\c cimsel Kan\i tlar} E\u ger $\Gamma$, \begin{multline*} \{\lnot(S\land T),\ (R\land Q)\lor(T\land Q),\ P\lor(S\land\lnot T),\\ \lnot T\lor(Q\land(S\lor R)),\ \lnot R\lor T\} \end{multline*} form\"uller k\"umesi ise, o zaman \begin{equation}\label{eqn:Gamma} \Gamma\gerektirir P\land Q\land R\land\lnot S\land T. \end{equation} Bunu do\u gruluk tablosu y\"ontemiyle g\"ostermek s\i k\i c\i\ olurdu. \emph{Bi\c cimsel kan\i t} y\"ontemi, bu durumda hem daha k\i sa, hem daha ilgin\c ctir. \textbf{Bi\c cimsel kan\i t,}% \index{bi\c cim!---sel kan\i t}\index{kan\i t}\label{kanit} sadece bir form\"uller listesidir. \c Simdi \begin{equation*} F_1,\dots,F_n, \end{equation*} b\"oyle bir liste olsun. %bi\c cimsel bir kan\i t olsun. Bu bi\c cimsel kan\i t\i n \textbf{sonucu,}\index{sonu\c c} $F_n$ form\"ul\"ud\"ur. \c Simdi $1\leq k\leq n$ varsay\i ls\i n. E\u ger $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi $F_k$ form\"ul\"un\"u \emph{gerektirmezse,} o zaman $F_k$, bi\c cimsel kan\i t\i n \textbf{hipotezlerinden}%% \index{hipotez} biridir. E\u ger $k=1$ ise, o zaman $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi bo\c stur: b\"oylece $F_1$ ya totoloji, ya hipotezdir. Tan\i m\i m\i za g\"ore, bi\c cimsel bir kan\i t\i n sonucu bir hipotez de olabilir. Tekrar \sayfada{eqn:bk}ki \eqref{eqn:bk} %numaral\i\ \c Sekildeki listesine bakal\i m. Bu bi\c cimsel kan\i t\i n hipotezleri, $P\lor\lnot Q\lor R$, $\lnot P$, ve $Q$ form\"ulleridir. $\lnot Q\lor R$, hipotez de\u gildir, \c c\"unk\"u onu \"onceki form\"uller gerektirir; ayn\i\ nedenle, $R$ de hipotez de\u gildir. \begin{theorem}\label{thm:kanit} $\Gamma$ bir \"onerme form\"ulleri k\"umesi olsun. E\u ger bir $F_1,\dots,F_n$ bi\c cimsel kan\i t\i n hipotezleri $\Gamma$ k\"umesinden geliyorsa, o zaman \begin{equation*} \Gamma\gerektirir F_n. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} $1\leq k\leq n$ olmak \"uzere her $k$ i\c cin $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi $F_m$ form\"ul\"u gerektirmezse, varsay\i ma g\"ore $F_m$, $\Gamma$ k\"umesindedir. \c Simdi \Teorem{thm:subset} dolay\i s\i yla her $k$ i\c cin \begin{equation*} \Gamma\cup\{F_1,\dots,F_{k-1}\}\models F_k, \end{equation*} yani \begin{gather*} \Gamma\gerektirir F_1,\\ \Gamma\cup\{F_1\}\gerektirir F_2,\\ \Gamma\cup\{F_1,F_2\}\gerektirir F_3,\\ \makebox[4.5cm]{\dotfill},\\ \Gamma\cup\{F_1,\dots,F_{n-1}\}\gerektirir F_n. \end{gather*} O zaman \Teoremin{thm:gerek-comp} yard\i m\i yla \begin{gather*} \Gamma\gerektirir F_2,\\ \Gamma\gerektirir F_3,\\ \makebox[2.35cm]{\dotfill},\\ \Gamma\gerektirir F_n.\qedhere \end{gather*} \end{proof} Teoremdeki bi\c cimsel kan\i t \begin{compactitem} \item $\Gamma$ k\"umesinden $F_n$ form\"ul\"un\"u \textbf{kan\i tlar;}\index{kan\i tlama} \item \textbf{$F_n$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden} gelen bi\c cimsel bir kan\i t\i d\i r. \end{compactitem} Son teoremin tersine g\"ore $\Gamma$ bir $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse, o zaman $F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r. Teoremin tersi do\u gru mudur? \begin{compactenum} \item $\Gamma$ \emph{sonlu} ise,\label{sonlu} teoremin tersi kolayca \c c\i kar. Asl\i nda $\Gamma=\{F_1,\dots,F_{n-1}\}$ ve $\Gamma\models F$ ise, o zaman $F_1,\dots,F_{n-1},F$ listesi, $F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen bi\c cimsel bir kan\i t\i d\i r. \item $\Gamma$ k\"umesinin \emph{sonsuz} oldu\u gu durum i\c cin B\"ol\"um \numaraya{tikizlik} %numaral\i\ b\"ol\"ume bak\i n. \end{compactenum} Sonlu durumda, $\Gamma$ k\"umesinin $F$ form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gini bir ki\c siye \emph{g\"ostermek} istersek, sadece $F_1,\dots,F_{n-1},F$ listesini yazmak yeterli olmayabilir; daha fazla form\"uller yazmam\i z gerekebilir. \"Orne\u gin \sayfada{exer:ger}ki \Alistirmayi{exer:ger} yapt\i ysak, a\c sa\u g\i daki listenin, $R$ form\"ul\"un\"un $P\lor Q\lor R$, $P\lto Q$, $Q\lto R$ hipotezlerinden bir bi\c cimsel kan\i t\i\ oldu\u gunu biliyoruz: \begin{align*} &P\lor Q\lor R,& &P\lto Q,& &Q\lto R,& &R. \end{align*} Ancak o al\i\c st\i rmay\i\ yapmad\i ysak, a\c sa\u g\i daki gibi daha fazla ad\i m gerekir: \begin{gather*} P\lto Q,\\ \lnot P\lor Q,\\ \lnot P\lor Q\lor R,\\ Q\lto R,\\ \lnot Q\lor R,\\ (\lnot P\lor Q\lor R)\land(\lnot Q\lor R),\\ ((\lnot P\lor Q)\land\lnot Q))\lor R,\\ (\lnot P\land\lnot Q)\lor R,\\ \lnot(P\lor Q)\lor R,\\ P\lor Q\lor R,\\ (\lnot(P\lor Q)\lor R)\land(P\lor Q\lor R),\\ (\lnot(P\lor Q)\lor P\lor Q)\land R,\\ 1\land R,\\ R. \end{gather*} \Sekilde{fig:3al-ile}ki gibi ad\i mlar\i n nedenlerini ekleyebiliriz. \begin{exercise} Yukar\i daki~\eqref{eqn:Gamma} gerektirmesinin, \begin{gather*} (R\land Q)\lor(T\land Q),\\ (R\lor T)\land Q,\\ Q,\\ R\lor T,\\ \lnot R\lor T,\\ (R\lor T)\land(\lnot R\lor T),\\ (R\land\lnot R)\lor T,\\ 1\lor T,\\ T,\\ \lnot(S\land T),\\ \lnot S\lor\lnot T,\\ \lnot\lnot T,\\ \lnot S%\lnot S\land T ,\\ P\lor(S\land\lnot T),\\ \lnot S\lor\lnot\lnot T,\\ \lnot(S\land\lnot T),\\ P,\\ \lnot T\lor(Q\land(S\lor R)),\\ Q\land(S\lor R),\\ S\lor R,\\ R,\\ R\land\lnot S,\\ R\land\lnot S\land T,\\ Q\land R\land\lnot S\land T,\\ P\land Q\land R\land\lnot S\land T \end{gather*} bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r. Her sat\i r\i n nedenini verin. \end{exercise} G\"ord\"u\u g\"um\"uz %\Sekil{fig:3al-ile} ve \numarada{fig:kan}ki bi\c cimsel kan\i tlarda, hipotez olmayan her sat\i r, bildi\u gi\-miz kurallara g\"ore \"onceki sat\i rlar taraf\i ndan gerektirilir. Bi\c cimsel kan\i tlarda kullan\i labilen kurallar kesinle\c stirilirse, \emph{bi\c cimsel bir dizge}\index{dizge}\index{bi\c cim!---sel dizge} elde edilir. %B\"ol\"um \numarada{dizge}, \"U\c c bi\c cimsel dizgesini \ref{dizge} numaral\i\ b\"ol\"umde inceleyece\u giz. \c Simdilik t\"um bildi\u gimiz kurallar\i\ kullan\i yoruz. \begin{exercise} A\c sa\u g\i daki totolojiler ve gerektirmeler i\c cin bi\c cimsel kan\i tlar yaz\i n. \begin{compactenum} \item $P\lto P\lto P$ bir totolojidir. \item $P\lto Q\lto P$ bir totolojidir. \item $P\lor(P\lto Q)$ bir totolojidir. \item $(P\lto Q)\lor\lnot Q$ bir totolojidir. \item $P\lto Q\land R\gerektirir P\lto Q$. \item $P\land\lnot P\gerektirir Q$. \item $P\land(Q\lor R)\gerektirir P\liff(\lnot Q\lor P)$. \item $P\lto Q\ile P\lto\lnot Q\gerektirir\lnot P$. \item $P\lto R\ile Q\lto R\gerektirir P\lor Q\lto R$. \item $P\lto R\ile Q\lto S\gerektirir P\lor Q\lto R\lor S$. \item $P\liff Q\ile P\lto R\gerektirir Q\lto R$. \end{compactenum} \end{exercise} \begin{figure} \centering \begin{sideways} \renewcommand{\arraystretch}{1.4} $\begin{array}{rcl} \text{1.}& P\lto Q&\text{Hipotez}\\ \text{2.}&\lnot P\lor Q&\text{1.\ sat\i ra denk}\\ \text{3.}&\lnot P\lor Q\lor R&\text{2.\ sat\i rdan Eklemeyle}\\ \text{4.}&Q\lto R&\text{Hipotez}\\ \text{5.}&\lnot Q\lor R&\text{4.\ sat\i ra denk}\\ \text{6.}&(\lnot P\lor Q\lor R)\land(\lnot Q\lor R)&\text{3.\ ve 5.\ sat\i rdan Ba\u glamayla}\\ \text{7.}&((\lnot P\lor Q)\land\lnot Q))\lor R&\text{6. sat\i rdan Da\u g\i lmayla}\\ \text{8.}&(\lnot P\land\lnot Q)\lor R&\text{7.\ sat\i ra denk}\\ \text{9.}&\lnot(P\lor Q)\lor R&\text{8.\ sat\i rdan De Morgan Kural\i yla}\\ \text{10.}&P\lor Q\lor R&\text{Hipotez}\\ \text{11.}&(\lnot(P\lor Q)\lor R)\land(P\lor Q\lor R)&\text{9.\ ve 10.\ sat\i rdan Ba\u glamayla}\\ \text{12.}&(\lnot(P\lor Q)\lor P\lor Q)\land R&\text{11.\ sat\i rdan Da\u g\i lmayla}\\ \text{13.}&1\land R&\text{12.\ sat\i rdan Fazlal\i kla}\\ \text{14.}&R&\text{13.\ sat\i rdan Fazlal\i kla} \end{array}$ \end{sideways} \caption{A\c c\i klamal\i\ bi\c cimsel kan\i t}\label{fig:3al-ile} \end{figure} \chapter{\"Oklid'in \"Onermeleri} \"Oklid'in \"onermelerinin g\"ostermeleri, daha bi\c cimsel olarak yaz\i labilir. \"Or\-ne\u gin 5.\ \"onermeye bakal\i m. Likyal\i\ Proklus'a g\"ore \cite[s.\ 159]{MR1200456}, \"Oklid'in her \"onermesinin 6 tane par\c cas\i\ olabilir: \begin{compactenum}[(1)] \item bildirme, \item a\c c\i klama, \item belirtme, \item d\"uzenleme, \item g\"osterme, ve \item bitirme. \end{compactenum} A\c c\i klamada hipotezler bulunur; belirtmede sonu\c clar bulunur. \c Co\u gunlukla bir \"onermenin bir sonucu vard\i r; ama 5.\ \"onermenin iki sonucu vard\i r. D\"uzenleme ve g\"osterme, sonu\c clar\i n hipotezlerinden bi\c cimsel kan\i t olarak yaz\i labilir. G\"ostermenin hipotezleri, d\"uzenlemeden de gelebilir. O zaman par\c calar\i yla \"Oklid'in 5.\ \"onermesi a\c sa\u g\i daki gibi yaz\i labilir. \begin{description} \item[Bildirme:]\mbox{} \begin{compactitem} \item Bir ikizkenar \"u\c cgenin taban\i ndaki a\c c\i lar birbirine e\c sittir. \item E\c sit do\u grular uzat\i ld\i\u g\i nda taban\i n alt\i nda kalan a\c c\i lar birbirine e\c sit olacaklard\i r. \end{compactitem} \item[A\c c\i klama:]\mbox{} \begin{compactitem} \item \Sekilde{fig:I.5}ki \gr{ABG} \"u\c cgeninde $\grm{AB}=\grm{AG}$. \item \gr{AB}, \gr D noktas\i na uzat\i lm\i\c s. \item \gr{AG}, \gr E noktas\i na uzat\i lm\i\c s. \end{compactitem} \begin{figure}[ht] \centering \begin{center} \begin{pspicture}(6.6,3.3) % \psgrid \psset{PointName=none,PointSymbol=none} \pstGeonode(0.5,0.4)A(4,0.4)B \pstRotation[RotAngle=28]AB[G] \pstHomO[HomCoef=1.6]A{B,G}[D,E] \pstHomO[HomCoef=1.3]A{B,G}[Z,H] \ncline AD\ncline AE\ncline ZG\ncline GB\ncline BH \uput[l](A){\grm A} \uput[d](B){\grm B} \uput[104](G){\grm G} \uput[4](D){\grm D} \uput[4](E){\grm E} \uput[d](Z){\grm Z} \uput[104](H){\grm H} \end{pspicture} \end{center} \caption{\"Oklid'in 5.\ \"onermesinin \c sekli}\label{fig:I.5} \end{figure} \item[Belirtme:] \mbox{} \begin{compactenum} \item $\angle\;\grm{ABG}=\angle\;\grm{AGB}$. \item $\angle\;\grm{GBD}=\angle\;\grm{BGE}$. \end{compactenum} \item[D\"uzenleme:]\mbox{} \begin{compactenum} \item \grm Z noktas\i, \grm{BD} do\u grusundad\i r. \item \grm H noktas\i, \grm{GE}'dad\i r, ve $\grm{AH}=\grm{AZ}$. \hfill[\"Onerme 3] \end{compactenum} \item[G\"osterme:]\mbox{} \begin{compactenum} \item $\grm{AZ}=\grm{AH}$\hfill[d\"uzenlemedeki 2.\ sat\i rdan] \item $\grm{AB}=\grm{AG}$\hfill[hipotez] \item $\grm{ZG}=\grm{HB}$\hfill[1.\ ve 2.\ sat\i rdan \"Onerme 4 ile] \item $\triangle\;\grm{AZG}=\triangle\;\grm{AHB}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan \"On.\ 4 ile] \item $\angle\;\grm{AGZ}=\angle\;\grm{ABH}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan \"On.\ 4 ile] \item $\angle\;\grm{AZG}=\angle\;\grm{AHB}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan \"On.\ 4 ile] \item $\grm{BZ}=\grm{GH}$\hfill[1.\ ve 2.\ sat\i rdan Ortak Kavram 3 ile] \item $\triangle\;\grm{BZG}=\triangle\;\grm{GHB}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan \"On.\ 4 ile] \item $\angle\;\grm{ZBG}=\angle\;\grm{HGB}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan \"On.\ 4 ile] \item $\angle\;\grm{BGZ}=\angle\;\grm{GBH}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan \"On.\ 4 ile] \item $\angle\;\grm{ABG}=\angle\;\grm{AGB}$\hfill[5.\ ve 10.\ sat\i rdan O.K. 3 ile] \end{compactenum} \item[Bitirme:]\mbox{} \begin{compactitem} \item Bir ikizkenar \"u\c cgenin taban\i ndaki a\c c\i lar birbirine e\c sittir. \item E\c sit do\u grular uzat\i ld\i\u g\i nda taban\i n alt\i nda kalan a\c c\i lar birbirine e\c sit olacaklar. \end{compactitem} G\"osterilmesi gereken tam buydu. \end{description} Burada, belirtmedeki 1.\ sonu\c c, g\"ostermenin 11.\ sat\i r\i d\i r, ve 2.\ sonu\c c, g\"osterinin 9.\ sat\i r\i d\i r, ama $\angle\;\grm{ZBG}=\angle\;\grm{GBD}$ ve $\angle\;\grm{HGB}=\angle\;\grm{BGE}$ e\c sitliklerini tan\i mam\i z gerekir. \"Oklid, g\"osterinin 4.\ ve 8.\ sat\i r\i n\i\ verir, ama kullanmaz. \begin{exercise} Bi\c cimsel olarak \"Oklid'in her \"onermesini yaz\i n. \end{exercise} \part{Kuram} \chapter{T\i k\i zl\i k}\label{tikizlik} \Sayfada{sonlu} g\"osterdi\u gimiz gibi, her \emph{sonlu} $\Gamma$ \"onermeler k\"umesi i\c cin, e\u ger $\Gamma$ bir $F$ form\"ul\"un\"u gerektiriyorsa, o zaman $F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen bir bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r. Sonluluk ko\c sulunun kald\i r\i labildi\u gini g\"osterece\u giz; bu ger\c ce\u ge \textbf{t\i k\i zl\i k} denir.\index{t\i k\i zl\i k} E\u ger bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi ve bir $\Delta$ form\"uller k\"umesi i\c cin $\Delta$'n\i n her $G$ eleman\i\ i\c cin $d(G)=1$ ise, o zaman $d$'ye $\Delta$'n\i n bir \textbf{modeli}%% \index{model} denir. \begin{theorem}\label{thm:yok} $\Gamma\gerektirir F$ ancak ve ancak $\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin modeli yoktur. \end{theorem} \begin{proof} \cexercise \end{proof} E\u ger $\Delta$'n\i n her sonlu altk\"umesinin modeli varsa, $\Delta$'ya \textbf{tutarl\i} denir. \begin{lemma}\label{lem:tutarli} E\u ger $\Gamma$ tutarl\i\ ise, o zaman her $F$ form\"ul\"u i\c cin, ya $\Gamma\cup\{F\}$ ya da $\Gamma\cup\{\lnot F\}$ tutarl\i d\i r. \end{lemma} \begin{proof} %$\Gamma$ tutarl\i\ olsun ama $\Gamma\cup\{F\}$ tutarl\i\ olmas\i n. $\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin tutarl\i\ oldu\u gunu g\"osterece\u giz. E\u ger $\Theta$ (\emph{Theta}), $\Gamma$'n\i n sonlu bir alt\"umesi ise, $\Theta\cup\{\lnot F\}$'nin bir modeli bulmak yeter. $\Gamma\cup\{F\}$ tutarl\i\ olmad\i\u g\i ndan $\Gamma$'n\i n sonlu bir $\Delta$ altk\"umesi i\c cin $\Delta\cup\{F\}$'nin modeli yoktur. $\Delta\cup\Theta$ birle\c simi, $\Gamma$'n\i n sonlu bir altk\"umesidir. $\Gamma$ tutarl\i\ oldu\u gundan $\Delta\cup\Theta$'n\i n bir $d$ modeli vard\i r. Bu model, $\Delta$'n\i n modelidir, dolay\i s\i yla $\Delta$'n\i n her $G$ eleman\i\ i\c cin $d(G)=1$. Ama $\Delta\cup\{F\}$'nin modeli olmad\i\u g\i ndan $d(F)=0$. Bu durumda $d(\lnot F)=1$, dolay\i s\i yla $d$, $\Theta\cup\{\lnot F\}$'nin modelidir. B\"oylece $\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin her sonlu altk\"umesinin modeli vard\i r. \end{proof} \begin{theorem}[T\i k\i zl\i k]\label{thm:tkz} Elemanlar\i\ \"onerme form\"ul\"u olan her tutarl\i\ k\"umesinin modeli vard\i r. \end{theorem} \begin{proof} $\Delta$ tutarl\i\ olsun. $\Delta$'n\i n bir $d^*$ modelini in\c sa edece\u giz. \"Onerme de\u gi\c skenleri $\{P_1,P_2,P_3,\dots\}$ k\"umesini olu\c stursun. \Teoreme{thm:hat} g\"ore $d^*(P_k)$ de\u gerlerini belirleyerek $d^*$ g\"ondermesinin kendisini tan\i mlayaca\u g\i z. \"Ozyineleme ile her $k$ i\c cin bir $F_k$ form\"ul\"un\"u tan\i mlayaca\u g\i z, ve bu form\"ul ya $P_k$ ya da $\lnot P_k$ olacak. Her durumda $d^*(F_k)=1$ olacak. \begin{compactdesc} \item[Ad\i m 1.] E\u ger $\Delta\cup\{P_1\}$ tutarl\i\ ise, o zaman $F_1$, $P_1$ olsun. Di\u ger durumda Lemma \numaraya{lem:tutarli} g\"ore $\Delta\cup\{\lnot P_1\}$ tutarl\i d\i r. Bu durumda $F_1$, $\lnot P_1$ olsun. Her durumda $\Delta\cup\{F_1\}$ tutarl\i d\i r. \item[Ad\i m 2.] E\u ger $\Delta\cup\{F_1,P_2\}$ tutarl\i\ ise, o zaman $F_2$, $P_2$ olsun. Di\u ger durumda $\Delta\cup\{F_1,\lnot P_2\}$ tutarl\i d\i r. Bu durumda $F_2$, $\lnot P_2$ olsun. Her durumda $\Delta\cup\{F_1,F_2\}$ tutarl\i d\i r. \item[\lips]\dotfill \item[Ad\i m \emph k.] E\u ger $\Delta\cup\{F_1,\dots,F_{k-1},P_k\}$ tutarl\i\ ise, o zaman $F_k$, $P_k$ olsun. Di\u ger durumda $F_k$, $\lnot P_k$ olsun. \item[\lips]\dotfill \end{compactdesc} T\"umevar\i mdan ve Lemma \numarada{lem:tutarli}n her $k$ i\c cin $\Delta\cup\{F_1,\dots,F_k\}$ tutarl\i d\i r. \c Simdi \begin{equation*} \left. \begin{array}{ll} \text{e\u ger $F_k$, $P_k$ ise}&1\\ \text{e\u ger $F_k$, $\lnot P_k$ ise}&0 \end{array} \right\}=d^*(P_k) \end{equation*} olsun. O zaman her durumda \begin{equation*} d^*(F_k)=1. \end{equation*} E\u ger $G\in\Delta$ ise, o zaman bir $n$ i\c cin, $G$'n\i n her $P_k$ de\u gi\c skeni i\c cin, $1\leq k\leq n$. $\Delta\cup\{F_1,\dots,F_n\}$ tutarl\i\ oldu\u gundan bir $d$ modeli vard\i r. E\u ger $1\leq k\leq n$ ise, o zaman \begin{equation*} d(F_k)=1=d^*(F_k). \end{equation*} Bu durumda $d(P_k)=d^*(P_k)$, dolay\i s\i yla \Teorem{thm:hat} sayesinde $d(G)=d^*(G)$. B\"oylece $d^*$, $\Delta$'n\i n modelidir. \end{proof} E\u ger $\Gamma\models F$ ise, o zaman \Teoreme{thm:yok} g\"ore $\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin modeli yoktur, dolay\i s\i yla \Teorem{thm:tkz} sayesinde $\Gamma$'n\i n sonlu bir $\Delta$ altk\"umesi i\c cin $\Delta\cup\{\lnot F\}$'nin modeli yoktur, ve sonu\c c olarak $\Delta\models F$. Topoloji bilenler i\c cin \Teorem{thm:tkz}, \emph{Tihonov Teoremi}'nin bir durumudur. \begin{comment} \begin{theorem}[T\i k\i zl\i k] $\Gamma$ \"onerme form\"ulleri k\"umesi $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse, o zaman $\Gamma$ k\"umesinin sonlu bir altk\"umesi $F$ form\"ul\"un\"u gerektirir. %$F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen %bir bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r. \end{theorem} \begin{proof} Kar\c s\i t tersini ispatlayaca\u g\i z. $\Gamma$ k\"umesinin her sonlu $\{G_1,\dots,G_n\}$ altk\"umesi $F$ form\"ul\"un\"u gerektirmesin. O zaman her durumda, \Teoreme{thm:yok} g\"ore $\{G_1,\dots,G_n,\lnot F\}$ k\"umesinin modeli vard\i r. $\Gamma\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin bir modelini bulaca\u g\i z. O zaman $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirmeyecektir. T\"um \"onerme de\u gi\c skenlerinin, $\{P_1,P_2,P_3,\dots\}$ k\"umesini olu\c sturdu\u gunu varsayabiliriz. Her $n$ i\c cin $\Gamma_n$, $\Gamma$ k\"umesinde olan ve de\u gi\c skenleri sadece $\{P_1,\dots,P_n\}$ k\"umesinden olan form\"uller k\"umesi olsun. $\Gamma_n$ sonsuz olabilir; ama $\Gamma_n$ k\"umesindeki form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i n\i n k\"umesi sonludur (neden?). Onun i\c cin varsay\i m\i m\i za g\"ore $\Gamma_n\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin modeli vard\i r. O k\"umenin t\"um modellerinin k\"umesi $M_n$ olsun. E\u ger $n\leq p$ ise, o zaman $M_n$, $M_p$ k\"umesini kapsar, yani $M_p\included M_n$. B\"oylece \begin{equation*} M_1\includes M_2\includes M_3\includes\cdots \end{equation*} Bir $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin, her $n$ i\c cin, $d^*$ g\"ondermesinin $M_n$ k\"ume\-sinin bir eleman\i\ oldu\u gunu (yani $d^*\in\bigcap_nM_n$) g\"osterece\u giz. Asl\i nda $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesinin \emph{\"ozyinelemeli tan\i m\i}\index{\"ozyineleme} olacakt\i r. \begin{asparadesc} \item[Ad\i m 1.] \"Once $d^*(P_1)$ tan\i mlanacakt\i r. \begin{compactitem} \item E\u ger bir $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki her $d$ i\c cin $d(P_1)=0$ ise, o zaman $d^*(P_1)=0$ olsun. \item E\u ger her $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki bir $d$ i\c cin $d(P_1)=1$ ise, o zaman $d^*(P_1)=1$ olsun. \end{compactitem} B\"oylece $d^*(P_1)$ tan\i mlanm\i\c st\i r. Her durumda, her $n$ i\c cin, $M_n$ k\"umesinin $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan bir $d$ eleman\i\ vard\i r. \item[Ad\i m 2.] \c Simdi $d^*(P_2)$ tan\i mlanacakt\i r. \begin{compactitem} \item E\u ger bir $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan her $d$ i\c cin $d(P_2)=0$ ise, o zaman $d^*(P_2)=0$ olsun. \item E\u ger her $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan bir $d$ i\c cin $d(P_2)=1$ ise, o zaman $d^*(P_2)=1$ olsun. \end{compactitem} B\"oylece $d^*(P_1)$ tan\i mlanm\i\c st\i r. Her durumda, her $n$ i\c cin, $M_n$ k\"umesinin $d(P_1)=d^*(P_1)$ ve $d(P_2)=d^*(P_2)$ e\c sitliklerini sa\u glayan $d$ eleman\i\ vard\i r. \item[Ad\i m \emph k.] Ayn\i\ \c sekilde devam ediyoruz. Bir $k$ i\c cin, $d^*(P_1)$, \dots, $d^*(P_k)$ de\u gerlerini se\c cti\u gimizi varsay\i yoruz, ve her $n$ i\c cin, $M_n$ k\"umesinin \begin{align}\label{eqn:d} d(P_1)&=d^*(P_1),& %d(P_2)&=d^*(P_2),& &\dots,& d(P_k)&=d^*(P_k) \end{align} e\c sitliklerini sa\u glayan $d$ eleman\i n\i n oldu\u gunu varsay\i yoruz. \begin{compactitem} \item E\u ger bir $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki \eqref{eqn:d} %$d(P_1)=d^*(P_1)$, \dots, $d(P_k)=d^*(P_k)$ e\c sitliklerini sa\u gla\-yan her $d$ i\c cin $d(P_{k+1})=0$ ise, o zaman $d^*(P_{k+1})=0$ olsun. \item E\u ger her $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki \eqref{eqn:d} e\c sitliklerini sa\u glayan bir $d$ i\c cin $d(P_{k+1})=1$ ise, o zaman $d^*(P_{k+1})=1$ olsun. \end{compactitem} B\"oylece $d^*(P_{k+1})$ tan\i mlanm\i\c st\i r. Her durumda, her $n$ i\c cin, $M_n$ k\"umesinin \eqref{eqn:d} e\c sitliklerini sa\u glayan bir $d$ eleman\i\ vard\i r. \end{asparadesc} B\"oylece \"ozyinelemeyle $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesi tan\i mlanm\i\c st\i r. Her $n$ i\c cin $d^*$, $\Gamma_n\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin bir modelidir; o zaman $d^*$, $\Gamma\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin modelidir. Bu \c sekilde $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirmez. \end{proof} \end{comment} \chapter{Taml\i k}\label{dizge} \Sayfada{kanit}ki tan\i ma g\"ore bi\c cimsel bir kan\i tta, her sat\i r \begin{compactenum}[1)] \item ya bir totoloji, \item ya da \"onceki sat\i rlar\i n gerektirdi\u gi bir form\"ul, \item ya da bir hipotezdir. \end{compactenum} E\u ger bir form\"ul bir totolojiyse, bunu do\u gruluk tablosuyla g\"osterebiliriz. E\u ger bir form\"ul ba\c ska form\"uller taraf\i ndan gerektiriliyorsa, bunu da do\u gruluk tablolar\i yla g\"osterebiliriz. \c Simdi do\u gruluk tablolar\i n\i\ kullanmadan, bi\c cimsel bir kan\i t\i n hipotezlerini ve hipotez olmayan sat\i rlar\i n\i\ ay\i rt edebilmek isteriz. Bunu yapmak i\c cin \emph{aksiyomlar\i} ve \emph{\c c\i kar\i m kurallar\i n\i} meydana koyaca\u g\i z. Bir \textbf{aksiyom,}\index{aksiyom} se\c ckin bir totolojidir. Bir \textbf{\c c\i kar\i m kural\i,}%% \index{\c c\i kar\i m kural\i} se\c ckin bir gerektirmedir. Aksiyomlar ve \c c\i kar\i m kurallar\i, bir \textbf{bi\c cimsel dizgeyi,}%% \index{dizge}\index{bi\c cim!---sel dizge} olu\c sturur. E\u ger \begin{compactitem} \item $\bd{}$ bi\c cimsel bir dizge, \item $\Gamma$ bir form\"uller k\"umesi, ve \item bi\c cimsel bir kan\i t\i n her sat\i r\i \begin{compactenum}[1)] \item ya $\bd{}$'nin bir aksiyomu, \item ya da $\bd{}$'nin bir \c c\i kar\i m kural\i na g\"ore \"onceki sat\i rlar\i n gerektirdi\u gi bir form\"ul, \item ya da $\Gamma$'n\i n bir eleman\i \end{compactenum} \end{compactitem} ise, o zaman $\Gamma$, bi\c cimsel kan\i t\i n sonucunu gerektirir, ve ayr\i ca bu gerektirme, $\bd{}$ dizgesinin \textbf{(bi\c cimsel) bir teoremdir.}% \index{teorem}\index{bi\c cim!---sel teorem} E\u ger her gerektirme $\bd{}$ dizgesinin bir teoremi ise, bu dizgeye \textbf{tam} denir. \"U\c c bi\c cimsel dizgeyi tan\i mlay\i p taml\i\u g\i n\i\ kan\i tlayaca\u g\i z. \section{$\bd0$ bi\c cimsel dizgesi} Asl\i nda bir form\"ul\"u sonlu say\i da form\"ullerin gerektirip gerektirmedi\u gini \"o\u grenmek i\c cin, do\u gruluk tablosu y\"onteminin kendisi bi\c cimsel bir y\"ontemdir. O zaman en kapsaml\i\ bi\c cimsel dizgede \begin{compactenum}[1)] \item her totoloji bir aksiyomdur, \item sonlu say\i da form\"ullerden gelen her gerektirme bir \c c\i kar\i m kural\i d\i r. \end{compactenum} Bu dizge $\bd0$ olsun. O zaman \Teorem{thm:tkz} sayesinde $\bd0$ tamd\i r. \section{$\bd1$ bi\c cimsel dizgesi} $\bd1$ bi\c cimsel dizgesinin aksiyomlar\i\ iki \c sekildedir. \begin{compactenum} \item $1$, bir aksiyomdur. \item Her $\lnot F\lor F$ form\"ul\"u, bir aksiyomdur. \end{compactenum} \c C\i kar\i m kurallar\i\ \"u\c c \c sekildedir. \begin{description} \item[Ekleme.]\index{Ekleme} Her $F$ form\"ul\"unden, her $G$ form\"ul\"u i\c cin, $G\lor F$ \c c\i kar. \item[Ba\u glama.]\index{Ba\u glama} Herhangi $F$ ve $G$ form\"ullerinden $F\land G$ \c c\i kar. \item[Yerine Koyma.]\index{Yerine Koyma} Her $K$ form\"ul\"unden \"oyle bir $K^*$ form\"ul\"u \c c\i kar ki \Teoremde{thm:denk}n \c c\i kan bir $F\sim G$ denkli\u gi i\c cin, bundan \Teorem{thm:sub} sayesinde \c c\i kan bir $F'\sim G'$ denkli\u gi i\c cin, $F'$, $K$'n\i n bir altform\"ul\"ud\"ur, ve $K$'da $F'$ altform\"ul\"un\"un yerine (\Teoremde{thm:rep}ki gibi) $G'$ konularak $K^*$ \c c\i kar. \end{description} $\bd1$ dizgesinin taml\i\u g\i n\i\ g\"ostermek i\c cin, her form\"ul\"un denk \textbf{ti\-kel-evetlemeli normal bi\c cimi} (\eng{disjunctive normal form}) oldu\u gunu g\"ozlemleyece\u giz. Bu bi\c cim, baz\i\ \emph{t\"umel}-evetlemelerin tikel evetlemesidir. Bu t\"umel-evetlemeler, baz\i\ \emph{harf{}ilerin} t\"u\-mel-evetlemeleridir. Bir \textbf{harf\/i}\index{harf\/i} (\eng{literal} \cite[s.\ 101]{Burris}), ya bir \"onerme de\u gi\c skeni ya da de\u gillemesidir. Ti\-kel-evetlemeli normal bi\c ciminin her t\"umel-evetlemesinde, ayn\i\ de\u gi\c skenler ge\c cer. \"Orne\u gin $P\lor Q\lto R$ form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi a\c sa\u g\i daki gibidir: \begin{multline*}%\label{eqn:dnf} (\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R)\lor(\lnot P\land\lnot Q\land R)\lor(P\land\lnot Q\land R)\\ {}\lor(\lnot P\land Q\land R)\lor(P\land Q\land R). \end{multline*} Bunu anlamak i\c cin, \Sekle{fig:dnf} bak\i n. \begin{figure} \newcommand{\fnot}{\phantom{\lnot}} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \centering $ \begin{array}{c|*8c} P &0&1&0&1&0&1&0&1\\ Q &0&0&1&1&0&0&1&1\\ R &0&0&0&0&1&1&1&1\\\hline P\lor Q\lto R &1&0&0&0&1&1&1&1\\\hline \lnot P\land\lnot Q\land\lnot R&1&0&0&0&0&0&0&0\\ \lnot P\land\lnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&1&0&0&0\\ \fnot P\land\lnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&1&0&0\\ \lnot P\land\fnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&0&1&0\\ \fnot P\land\fnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&0&0&1 \end{array}$ \caption[Normal bi\c cim i\c cin do\u gruluk tablolar\i]{$P\lor Q\lto R$ form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi i\c cin do\u gruluk tablolar\i} \label{fig:dnf} \end{figure} \Sekilde{fig:tt-5}ki gibi $P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$ form\"ullerinin do\u gruluk tablolar\i\ birbiriyle ayn\i\ oldu\u gundan form\"ullerin tikel-evetlemeli normal bi\c cimleri birbiriyle ayn\i d\i r. \c Simdi $F$ rastgele bir \"onerme form\"ul\"u olsun, ve onun \"onerme de\u gi\c skenleri $P_1$, \dots, $P_n$ olsun. \"Ustelik $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun. O zaman \begin{equation*} (d(P_1),\dots,d(P_n)) \end{equation*} listesi i\c cin, $2^n$ tane se\c cenek var. Bir $m$ i\c cin, $m$ ve sadece $m$ tane se\c cenek i\c cin, $d(F)=1$. O se\c cenekler, \begin{align*} &(e_1^1,\dots,e_n^1),&&\dots,&&(e_1^m,\dots,e_n^m) \end{align*} olsun. \"Orne\u gin $P_1\lor P_2\lto P_3$ i\c cin se\c cenekler $(0,0,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ listeleridir; bunlar \Sekilde{fig:dnf}n okunabilir. Genelde \begin{equation*} \left. \begin{array}{ll} \text{e\u ger $e_j^i=0$ ise}&\lnot P_j,\\ \text{e\u ger $e_j^i=1$ ise}&P_j, \end{array} \right\}\text{$P_j^i$ olsun.} \end{equation*} Ondan sonra $F^i$ form\"ul\"u, \begin{equation*} P_1^i\land\dotsb\land P_n^i \end{equation*} t\"umel-evetlemesi olsun. O zaman \begin{equation*} F^1\lor\dotsb\lor F^m \end{equation*} tikel-evetlemesi, $F$'nin \textbf{tikel-evetlemeli normal bi\c cimi\-dir.}%% \index{normal bi\c cimi}\index{bi\c cim!normal ---} B\"oylece $F$ form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi, \begin{equation*} (P_1^1\land\dotsb\land P_n^1)\lor\dotsb\lor(P_1^m\land\dotsb\land P_n^m) \end{equation*} form\"ul\"ud\"ur. Bu form\"ul\"un $F$ form\"ul\"une denk oldu\u gu g\"or\"unebilir. \.Iki \"ozel durum vard\i r: \begin{description} \item[$\bm{m=0}$] ise $F$'nin tikel-evetlemeli normal bi\c cimi $0$ form\"ul\"ud\"ur. \item[$\bm{n=0}$] ise, ya $F\sim 0$ ya da $F\sim 1$. S\i ras\i yla $F$'nin tikel-evetlemeli normal bi\c cimi, ya $0$ ya da $1$'dir. \end{description} \c Simdi a\c sa\u g\i daki al\i\c st\i rma kolayl\i kla \c c\"oz\"ulebilir. \begin{exercise} Rastgele bir do\u gruluk tablosu i\c cin, do\u gruluk tablosu o olan bir form\"ul\"u yaz\i n. \end{exercise} \begin{lemma}\label{lem:FG} Bir $\{F_1,\dots,F_n\}$ form\"uller k\"umesi bir $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir ancak ve ancak $G\lor(F_1\land\dots\land F_n)$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"une denktir. \end{lemma} \begin{proof} \cexercise \end{proof} \begin{theorem} $\bd1$ bi\c cimsel dizgesi tamd\i r. \end{theorem} \begin{proof} Sadece Yerine Koyma kural\i n\i\ kullanarak her $F$ form\"ul\"un\"u tikel-evetlemeli normal $F'$ bi\c cimine getirebiliriz. T\"um ad\i mlar\i m\i z, tersine \c cevrilebilir. Bu \c sekilde \begin{compactitem} \item $F'$ form\"ul\"un\"un $F$'yi gerektirdi\u gi ve \item $F$'nin $F'$ form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gi, \end{compactitem} $\bd1$ dizgesinin bir teoremidir. Ayr\i ca $F$ bir totolojiyse, tekrar sadece Yerine Koyma kural\i n\i\ kullanarak $F$ form\"ul\"un\"un normal $F'$ bi\c ciminin $1$'e denk oldu\u gunu g\"osterebiliriz, ve ad\i mlar\i m\i z tersine \c cevrilebilir. Bu \c sekilde her totolojinin bir totoloji oldu\u gu, $\bd1$ dizgesinin bir teoremidir. \c Simdi $\Gamma$ k\"umesi, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirsin. T\i k\i zl\i k Teoremine g\"ore $\Gamma$ k\"umesinin sonlu bir $\{G_1,\dots,G_n\}$ altk\"umesi de $F$ form\"ul\"un\"u gerektirir. Ba\u glama ve Ekleme kurallar\i\ sayesinde, bu $\{G_1,\dots,G_n\}$ k\"umesinin \begin{equation*} F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n) \end{equation*} form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gi, $\bd1$ dizgesinin bir teoremidir. Lemma \numaraya{lem:FG} g\"ore $F$ ve $F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)$ form\"ulleri, birbirine denktir; dolay\i s\i yla, bu form\"ullerin ayn\i\ tikel-evetlemeli normal $F'$ bi\c cimi vard\i r. G\"osterdi\u gimiz gibi $F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)$ form\"ul\"un\"un $F'$ form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gi, ve $F'$ form\"ul\"un\"un $F$'yi gerektirdi\u gi, $\bd1$ dizgesinin teoremidir. O zaman $\Gamma$ k\"umesinin $F$'yi gerektirdi\u gi, $\bd1$ dizgesinin teoremidir. \end{proof} \section{$\bd2$ bi\c cimsel dizgesi} Bu a\c samada yeni bir simge yararl\i\ olacak. \Sayfada{models}ki gibi, e\u ger $\Gamma$ form\"uller k\"umesi $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse, \begin{equation*} \Gamma\models F \end{equation*} ifadesini yazaca\u g\i z. Bu $\models$ simgesine \textbf{turnike} [\eng{turnstile}]\index{turnike} denir. \Teoreme{thm:tkz} g\"ore $\Gamma\models F$ ise, o zaman $\Gamma$ k\"umesinin sonlu bir $\Gamma_0$ altk\"umesi i\c cin $\Gamma_0\models F$. E\u ger bir $\Gamma\models F$ gerektirmesi, $\bd{}$ bi\c cimsel dizgesinin bir teoremiyse, \begin{equation*} \Gamma\proves[\bd{}]F \end{equation*} ifadesini yazaca\u g\i z. Bu $\proves[]$ simgesi de, bir turnikedir. \.Istersek \begin{compactitem} \item $\models$ simgesine \textbf{yorumsal} [\eng{semantic}]\index{yorumsal} turnike, \item $\proves[]$ simgesine \textbf{dizimsel} [\eng{syntactic}]\index{dizimsel} turnike, \end{compactitem} diyebiliriz. Ancak adlar \"onemli de\u gil. \Sayfada{thm:kanit}ki \Teoreme{thm:kanit} g\"ore \begin{center} %her $\Gamma$ ve $F$ i\c cin, $\Gamma\proves[\bd{}]F$ ise $\Gamma\models F$. \end{center} Ayr\i ca $\bd{}$ dizgesi tamd\i r ancak ve ancak \begin{center} %her $\Gamma$ ve $F$ i\c cin, $\Gamma\models F$ ise $\Gamma\proves[\bd{}]F$. \end{center} Tam bi\c cimsel bir dizge, $\bd1$ dizgesinden daha basit olabilir. \.Ilk olarak, bir form\"ul\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi, sadece $\lor$, $\land$, $\lnot$, $0$, ve $1$ ba\u glay\i c\i\-lar\i n\i\ kullan\i r. Ayr\i ca \begin{align*} 0&\sim\lnot 1,& 1&\sim\lnot P_1\lor P_1,& F\land G&\sim\lnot(\lnot F\land\lnot G). \end{align*} \"Oyleyse her form\"ul, sadece $\lor$ ile $\lnot$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n kullan\i ld\i\u g\i\ bir form\"ule denktir. $\bd2$ adl\i\ bi\c cimsel dizge,\footnote{Bu dizgeyi Shoenfield'den \cite{MR1809685} ald\i m, ama ilk kayna\u g\i\ Russell ile Whitehead'dir \cite{PM}.} sadece bu ba\u glay\i c\i lar\i\ kullanacak. \c Simdi $\Gamma\proves[\bd2]F$ ifadesinin yerine \begin{equation*} \Gamma\proves F \end{equation*} ifadesini yazal\i m. $\bd2$ dizgesinin her aksiyomu $\lnot F\lor F$ bi\c cimindedir: \begin{equation*} \proves\lnot F\lor F. \end{equation*} $\bd2$ dizgesinin \c c\i kar\i m kurallar\i, a\c sa\u g\i daki \c sekillerdedir. \begin{compactdesc} \item[Ekleme.]\index{Ekleme} T\"um $F$ ve $G$ form\"ulleri i\c cin, $F$ form\"ul\"unden $G\lor F$ \c c\i kar: \begin{equation*} F\proves G\lor F. \end{equation*} \item[Daralma.]\index{Daralma} $F\lor F$ form\"ul\"unden $F$ \c c\i kar: \begin{equation*} F\lor F\proves F. \end{equation*} \item[Birle\c sme.]\index{Birle\c sme} $F\lor(G\lor H)$ form\"ul\"unden $(F\lor G)\lor H$ \c c\i kar: \begin{equation*} F\lor(G\lor H)\proves(F\lor G)\lor H. \end{equation*} \item[Kesme.]\index{Kesme} $F\lor G$ ve $\lnot F\lor H$ form\"ullerinden $G\lor H$ \c c\i kar: \begin{equation*} F\lor G\virgul\lnot F\lor H\proves G\lor H. \end{equation*} \end{compactdesc} \begin{lemma}[De\u gi\c sme]\label{lem:degisme}\index{De\u gi\c sme} $\Gamma\proves F\lor G$ ise $\Gamma\proves G\lor F$. \end{lemma} \begin{proof} E\u ger $\Gamma\proves F\lor G$ ise, o zaman $\proves\lnot F\lor F$ sayesinde Kesme kural\i yla $\Gamma\proves G\lor F$. \end{proof} Sayfa \numarada{sagdaki}n $F\lor G\lor H$'nin $F\lor(G\lor H)$ dedi\u gini hat\i rlay\i n, onun i\c cin \begin{center} $F_1\lor\dotsb\lor F_n$ demek $F_1\lor(F_2\lor\cdots(F_{n-1}\lor F_n)\cdots)$. \end{center} \begin{lemma}[Genelle\c stirilmi\c s Ekleme, Daralma \&\ De\u gi\c sme]%% \index{Ekleme}\index{Daralma}\index{De\u gi\c sme}\label{lem:gen} %Rastgele Bir $n$ i\c cin $F_1$, \dots, $F_n$, form\"uller olsun. Bir $m$ i\c cin, her $i$ i\c cin, $1\leq i\leq m$ ise $1\leq k_i\leq n$ ko\c sulunu sa\u glayan $k_i$ se\c cilsin. O zaman \begin{center} $\Gamma\proves F_{k_1}\lor\dotsb\lor F_{k_m}$ ise $\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$. \end{center} \end{lemma} \begin{proof} Kan\i t\i m\i z, $m$ \"uzerine t\"umevar\i m y\"ontemini kullanacakt\i r. Asl\i nda \"u\c c durum vard\i r. \begin{asparaitem} \item \textbf{$\bm{m=1}$ durumu.} $1\leq k\leq m$ ve $\Gamma\proves F_k$ varsay\i yoruz. O zaman \begin{align*} \Gamma&\proves(F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_k,&&\text{[Ekleme]}\\ \Gamma&\proves F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ \Gamma&\proves F_{k-1}\lor F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Ekleme]}\\ &\makebox[5cm]{\dotfill}&&\\ \Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Ekleme]} \end{align*} yani $\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$. \item \textbf{$\bm{m=2}$ durumu.} $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq n$ ve \begin{equation*} \Gamma\proves F_i\lor F_j \end{equation*} varsay\i yoruz. E\u ger $i=j$ ise, o zaman Daralmayla $\Gamma\proves F_i$, ve $m=1$ durumundan $\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$. E\u ger $j2$ ise, o zaman \begin{align*} \Gamma&\proves F_1\lor F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1},&&\text{[$n=k$ durumu]}\\ \Gamma&\proves(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ \Gamma&\proves F_2\lor(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Ekleme]}\\ \Gamma&\proves ((F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1)\lor F_2,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ \Gamma&\proves (F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1\lor F_2,&&\text{[Birle\c sme]}\\ \Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]} \end{align*} \item E\u ger $i>1$ ise, o zaman \begin{align*} \Gamma&\proves F_2\lor\dotsb\lor F_{k+1},&&\text{[$n=k$ durumu]}\\ \Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[Ekleme]} \end{align*} \end{compactitem} \end{compactenum} B\"oylece, t\"umevar\i m ile, $m=2$ durumunda teorem ispatlanm\i\c st\i r. \item \textbf{$\bm{m>2}$ durumu.} $\ell\geq2$ olsun, ve $m=\ell$ durumunda teoremin ispatland\i\u g\i n\i\ varsayal\i m. $m=\ell+1$ durumunda ispatlayaca\u g\i z. O zaman \begin{equation*} \Gamma\proves F_{k_1}\lor\dotsb\lor F_{k_{\ell+1}} \end{equation*} varsay\i yoruz. Bu durumda, \begin{align*} \Gamma&\proves(F_{k_1}\lor F_{k_2})\lor\dotsb\lor F_{k_{\ell+1}},&&\text{[Birle\c sme]}\\ \Gamma&\proves(F_{k_1}\lor F_{k_2})\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=\ell$ d.]}\\ \Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1}\lor F_{k_2},&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ \Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1})\lor F_{k_2},&&\text{[Birle\c sme]}\\ \Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1})\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=2$ d.]}\\ \Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1},&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ \Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1},&&\text{[Birle\c sme]}\\ \Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n)&&\\ &\qquad\lor(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=2$ d.]}\\ \Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Daralma]}\\ \Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Daralma]} \end{align*} \end{asparaitem} T\"umevar\i mdan t\"um durumda teorem kan\i tlanm\i\c st\i r. \end{proof} \begin{lemma}\label{lem:eb} $n$ bir say\i\ olsun, ve her $k$ i\c cin, $1\leq k\leq n$ ise $F_k$ bir harf{}i olsun. E\u ger \begin{equation*} \models F_1\lor\dotsb\lor F_n \end{equation*} ise, o zaman baz\i\ $i$ ve $j$ i\c cin $F_i$, $\lnot F_j$ form\"ul\"uyle ayn\i d\i r. \end{lemma} \begin{proof} \cexercise \end{proof} \begin{lemma}\label{lem:2} $1$'den b\"uy\"uk olan her $n$ i\c cin, e\u ger $\models F_1\lor\dotsb\lor F_n$ ise, o zaman \begin{equation*} \proves F_1\lor\dotsb\lor F_n. \end{equation*} \end{lemma} \begin{proof} $n\geq2$ ve $\models F_1\lor\dotsb\lor F_n$ varsay\i l\i yor. T\"umevar\i m kullanaca\u g\i z. \begin{asparaenum} \item\sloppy En basit durumda, her $F_k$ bir harf\/idir. Bu durumda, Lemma \numaraya{lem:eb} g\"ore, bir $i$ ve $j$ i\c cin, $F_i$ ve $\lnot F_j$ birbiriyle ayn\i d\i r. O zaman \begin{align*} &\proves F_i\lor F_j,&&\text{[aksiyom]}\\ &\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]} \end{align*} \item \c Simdi, bir $k$ i\c cin, $F_k$ form\"ul\"u harf\/i olmas\i n. Lemma \ref{lem:gen} sayesinde, $k=1$ varsayabiliriz. \"U\c c tane durum var. Her bir durumda, t\"umevar\i m hipotezi olarak, daha basit durumlar\i n ispatland\i\u g\i n\i\ varsay\i yoruz. \begin{asparadesc} \item[$\bm{F_1}$, $\bm{\lnot\lnot G}$ bi\c ciminde ise,] o zaman $\models G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$, dolay\i s\i yla \begin{align*} &\proves G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\ &\proves F_1\lor\lnot G,&&\text{[aksiyom]}\\ &\proves\lnot G\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ &\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[Kesme]}\\ &\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]} \end{align*} \item[$\bm{F_1}$, $\bm{\lnot(G\lor H)}$ bi\c ciminde ise,] o zaman $\models\lnot G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$ ve $\models\lnot H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$, dolay\i s\i yla \begin{align*} &\proves\lnot G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\ &\proves F_1\lor G\lor H,&&\text{[aksiyom]}\\ &\proves G\lor H\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\\ &\proves(H\lor F_1)\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Kesme]}\\ &\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor H\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ &\proves H\lor(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\\ &\proves\lnot H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\ &\proves((F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1)\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Kesme]}\\ &\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ &\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]} \end{align*} \item[$\bm{F_1}$, $\bm{G\lor H}$ bi\c ciminde ise,] o zaman $\models G\lor H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$, dolay\i s\i yla \begin{align*} &\proves G\lor H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\ &\proves F_2\lor\dotsb\lor F_n\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\\ &\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\qedhere \end{align*} \end{asparadesc} \end{asparaenum} \end{proof} \begin{lemma}[Totoloji]\label{lem:totoloji} $\models F$ ise $\proves F$. \end{lemma} \begin{proof} $\models F$ ise, o zaman \begin{equation*} \models F\lor F, \end{equation*} dolay\i s\i yla \begin{align*} &\proves F\lor F,&&\text{[Lemma \ref{lem:2}]}\\ &\proves F.&&\text{[Daralma]}\qedhere \end{align*} \end{proof} \begin{lemma}[Ay\i rma]\label{lem:ayirma} $\Gamma\proves F$ ile $\Gamma\proves\lnot F\lor G$ ise $\Gamma\proves G$. \end{lemma} \begin{proof} $\Gamma\proves F$ ile $\Gamma\proves\lnot F\lor G$ varsayal\i m. O zaman \begin{align*} \Gamma&\proves G\lor F,&&\text{[Ekleme]}\\ \Gamma&\proves F\lor G,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\ \Gamma&\proves G\lor G,&&\text{[Kesme]}\\ \Gamma&\proves G.&&\text{[Daralma]}\qedhere \end{align*} \end{proof} \begin{theorem}[$\bd2$ dizgesinin taml\i\u g\i] $\Gamma\models F$ ise $\Gamma\proves F$. \end{theorem} \begin{proof} $\Gamma\models F$ varsayal\i m. \Teorem{thm:tkz} sayesinde $\Gamma$ k\"umesinin bir $\{G_1\dots,G_n\}$ altk\"umesi i\c cin $\{G_1\dots,G_n\}\models F$. O zaman \begin{equation*} \models\lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F, \end{equation*} dolay\i s\i yla \begin{align*} &\proves \lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\text{[Lemma \ref{lem:totoloji}]}\\ \Gamma&\proves \lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\\ \Gamma&\proves G_1,&&\\ \Gamma&\proves\lnot G_2\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\text{[Lemma \ref{lem:ayirma}]}\\ &\makebox[4cm]{\dotfill},&&\\ \Gamma&\proves F.&&\qedhere \end{align*} \end{proof} %\bibliographystyle{plain} %\bibliography{../../../references} %\bibliography{../../../Public/references} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\rasp{\leavevmode\raise.45ex\hbox{$\rhook$}} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \begin{thebibliography}{10} \bibitem{Burris} Stanley~N. Burris. \newblock {\em Logic for Mathematics and Computer Science}. \newblock Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 1998. \bibitem{MR18:631a} Alonzo Church. \newblock {\em Introduction to mathematical logic. {V}ol. {I}}. \newblock Princeton University Press, Princeton, N.~J., 1956. \bibitem{Cucen} A.~Kadir {\c C}{\"u}{\c c}en. \newblock {\em Mant{\i}k}. \newblock Sentez, Ankara, 2013. \newblock G\"ozden ge\c cirilmi\c s 8.\ bask\i. \bibitem{Demirtas} Abdurrahman Demirta{\c s}. \newblock {\em Matematik S{\"o}zl{\"u}{\u g}{\"u}}. \newblock Bilim Teknik K{\"u}lt{\"u}r Yay{\i}nlar{\i}, Ankara, 1986. \bibitem{MTS} Teo Gr{\"u}nberg and Adnan Onart. \newblock {\em Mant{\i}k Terimleri S{\"o}zl{\"u}{\u g}{\"u}}. \newblock T{\"u}rk Dil Kurumu Yay{\i}nlar{\i}, Ankara, 1976. \bibitem{Nesin-OM} Ali Nesin. \newblock {\em {\"O}nermeler Mant{\i}{\u g}{\i}}. \newblock Bilgi {\"U}niversitesi Yay{\i}nlar{\i}, Ekim 2001. \bibitem{MR1683176} Reviel Netz. \newblock {\em The Shaping of Deduction in {G}reek Mathematics}, volume~51 of {\em Ideas in Context}. \newblock Cambridge University Press, Cambridge, 1999. \newblock A study in cognitive history. \bibitem{Oklid-2014-T} {\"O}klid. \newblock {\em {\"O}{\u g}elerin 13 Kitab{\i}ndan Birinci Kitap}. \newblock Matematik B{\"o}l{\"u}m{\"u}, Mimar Sinan G{\"u}zel Sanatlar {\"U}niversitesi, {\.I}stanbul, 4 edition, Eyl{\"u}l 2014. \newblock {\"O}klid'in Yunanca metni ve {\"O}zer {\"O}zt{\"u}rk \&\ David Pierce'in {\c c}evirdi{\u g}i T{\"u}rk{\c c}esi. \bibitem{MR1200456} Proclus. \newblock {\em A Commentary on the First Book of {E}uclid's \emph{{E}lements}}. \newblock Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992. \newblock Translated from the Greek and with an introduction and notes by Glenn R. Morrow. Reprint of the 1970 edition. With a foreword by Ian Mueller. \bibitem{MR1809685} Joseph~R. Shoenfield. \newblock {\em Mathematical logic}. \newblock Association for Symbolic Logic, Urbana, IL, 2001. \newblock reprint of the 1973 second printing. \bibitem{Struik} Dirk~J. Struik. \newblock {\em A Concise History of Modern Mathematics}. \newblock Dover, New York, fourth revised edition, 1987. \bibitem{Struik-TR} Dirk~J. Struik. \newblock {\em K{\i}sa Matematik Tarihi}. \newblock Sarmal Yay\i nevi, {\.I}stanbul, 1996. \newblock T{\"u}rk{\c c}esi: Y{\i}ld{\i}z Silier. \bibitem{PM} Alfred~North Whitehead and Bertrand Russell. \newblock {\em Principia Mathematica}, volume~I. \newblock University Press, Cambridge, 1910. \newblock Reprinted by Merchant Books, 2009. \end{thebibliography} %\printindex \begin{theindex} \providecommand*\lettergroupDefault[1]{} \providecommand*\lettergroup[1]{% \par\textbf{#1}\par \nopagebreak } \lettergroup{A} \item a\u ga\c c, 13, 17 \item aksiyom, 49 \item anaba\u glay\i c\i s\i, 13, 17 \item Ay\i rma, 31 \indexspace \lettergroup{B} \item Ba\u glama, 31, 50 \item ba\u glay\i c\i, 9, 15 \item Basitle\c stirme, 30 \item bi\c cim \subitem normal ---, 52 \subitem ---sel dizge, 39, 49 \subitem ---sel kan\i t, 37 \subitem ---sel teorem, 49 \item bile\c ske \"onerme, 8 \item Birle\c sme, 26, 55 \indexspace \lettergroup{Ç} \item \c Cifte De\u gilleme, 26 \item \c c\i kar\i m kural\i, 49 \indexspace \lettergroup{D} \item Da\u g\i lma, 26 \item Daralma, 54, 55 \item De Morgan, 26 \item De\u gi\c sme, 26, 55 \item De\u gi\c stirim, 27 \item denk, 24 \item dizge, 39, 49 \item dizimsel, 54 \item do\u gru, 6 \subitem ---luk de\u geri, 7 \subitem ---luk g\"ondermesi, 7, 19 \subitem ---luk tablosu, 8, 19 \item durum, 6 \item d\"u\u g\"um, 17 \indexspace \lettergroup{E} \item Ekleme, 31, 50, 54, 55 \item e\c sde\u ger, 24 \item evrik, 25 \indexspace \lettergroup{F} \item Fazlal\i k, 26 \indexspace \lettergroup{G} \item ge\c cerli form\"ul, 33 \item ge\c ci\c s, 13 \item gerektirme, 30, 32 \indexspace \lettergroup{H} \item harf\/i, 57 \item Hipotetik Tas\i m, 32 \item hipotez, 37 \indexspace \lettergroup{K} \item kan\i t, 37 \item kan\i tlama, 38 \item kar\c s\i t tersi, 25 \item Kesme, 55 \item konum, 15 \item ko\c sullu \"onerme, 25 \indexspace \lettergroup{M} \item mant\i ksal do\u gru form\"ul, 33 \item model, 46 \indexspace \lettergroup{N} \item normal bi\c cimi, 52 \indexspace \lettergroup{O} \item Olumlu Dilemma, 33 \indexspace \lettergroup{Ö} \item \"onerme, 6 \item \"ozyineleme, 16, 17, 47 \indexspace \lettergroup{S} \item sonu\c c, 37 \indexspace \lettergroup{T} \item teorem, 49 \item ters, 25 \item tikel-evetleme, 52 \item t\i k\i zl\i k, 46 \item totoloji, 34 \item turnike, 53 \item t\"umel-evetleme, 52 \item t\"umevar\i m, 16 \indexspace \lettergroup{Y} \item yanl\i\c s, 6 \item Yeni De\u gi\c sken, 26 \item Yerine Koyma, 28, 50 \item yorumsal, 54 \item Yutma, 27 \end{theindex} \end{document}