\documentclass[%
version=last,%
a5paper,%
12pt,%
headings=small,%
bibliography=totoc,%
listof=leveldown,%
%listof=nochaptergap,%
%titlepage=false,%
twoside,%
open=any,%
%parskip=half,%  this option takes 2.5% more space than parskip
draft=true,%
DIV=12,%
headinclude=false,%
pagesize]%
{scrbook}

%\makeindex
\usepackage{makeidx}
%\usepackage{showidx}
%  Run texindy -L turkish <filename>.idx on the file

%\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\usepackage{cclicenses}

%\usepackage[document]{ragged2e}

\usepackage{moredefs,lips}
\usepackage{relsize}

\usepackage[english,greek,turkish]{babel}
\newcommand{\eng}[1]{\foreignlanguage{english}{\sffamily #1}}
\newcommand{\lat}[1]{\eng{#1}}
%\usepackage{gfsneohellenic}
%\usepackage{relsize}
%\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{\relscale{0.9}\textneohellenic{#1}}}
\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{#1}}
\newcommand{\grm}[1]{\text{\gr{#1}}}

\usepackage{scrpage2}
\pagestyle{scrheadings}
\clearscrheadings
\refoot{\"Onermeler Mant\i\u g\i}
\lofoot{\leftmark}
\ofoot{\pagemark}

%\usepackage{float}
%\floatstyle{boxed} 
%\restylefloat{figure}
\usepackage{subfig}
\renewcommand{\thesubfigure}{\alph{subfigure}}
\renewcommand{\captionformat}{ }
\usepackage{rotating}

\setcounter{tocdepth}{2}

\usepackage{multicol}

\usepackage{verbatim}

\usepackage{calc}

\begin{comment}
\newcounter{hours}\newcounter{minutes}
\newcommand\printtime{\setcounter{hours}{\time/60}%
                      \setcounter{minutes}{\time-\value{hours}*60}%
         \ifthenelse{\value{minutes}>9}%
                    {saat \thehours:\theminutes}%
                    {saat \thehours:0\theminutes}} 
                    % code adapted from the
                                % LaTeX Companion (2d ed), p. 871  

\end{comment}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\usepackage{auto-pst-pdf}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% for Turkish endings on numerals  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{ifthen}
\newcounter{rfp}\newcounter{ones}\newcounter{tens}
\usepackage{refcount}

\newcommand{\sayfanumaraya}[1]{%
\setcounterpageref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6}%
   {ya}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=9}%
       {a}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
           {ye}%
           {\ifthenelse%
               {\value{ones}=0}%
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}
                   {ye}
                   {e}}
               {e}}}}}
\newcommand{\sayfaya}[1]{sayfa \sayfanumaraya{#1}}

\newcommand{\sayfanumarada}[1]{%
%\setcounter{rfp}{\number\numexpr\getpagerefnumber{#1}}%
\setcounterpageref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6\or\value{ones}=9}%
   {da}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=3\or\value{ones}=4\or\value{ones}=5}%
       {te}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=0}%
           {\ifthenelse%
               {\value{tens}=7}%
               {te}
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=4\or\value{tens}=6}%
                   {ta}
                   {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3\or\value{tens}=9}%
                       {da}%
                       {de}}}}%
           {de}}}}
\newcommand{\sayfada}[1]{sayfa \sayfanumarada{#1}}
\newcommand{\Sayfada}[1]{Sayfa \sayfanumarada{#1}}

\newcommand{\numaraya}[1]{%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6}%
   {ya}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=9}%
       {a}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
           {ye}%
           {\ifthenelse%
               {\value{ones}=0}%
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}
                   {ye}
                   {e}}
               {e}}}}}


\newcommand{\numarada}[1]{%
%\setcounter{rfp}{\number\numexpr\getpagerefnumber{#1}}%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6\or\value{ones}=9}%
   {da}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=3\or\value{ones}=4\or\value{ones}=5}%
       {te}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=0}%
           {\ifthenelse%
               {\value{tens}=7}%
               {te}
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=4\or\value{tens}=6}%
                   {ta}
                   {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3\or\value{tens}=9}%
                       {da}%
                       {de}}}}%
           {de}}}}

\newcommand{\numarayi}[1]{%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
  {\value{ones}=1\or\value{ones}=5\or\value{ones}=8}%
  {i}%
  {\ifthenelse%
     {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
     {yi}%
     {\ifthenelse%
        {\value{ones}=3\or\value{ones}=4}%
        {\"u}%
        {\ifthenelse%
           {\value{ones}=6}%
           {y\i}%
           {\ifthenelse%
              {\value{ones}=9}%
              {u}%
              {\ifthenelse%
                 {\value{tens}=7\or\value{tens}=8}%
                 {i}%
                 {\ifthenelse%
                    {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}%
                    {yi}%
                    {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3}%
                       {u}%
                       {\ifthenelse%
                          {\value{tens}=4\or\value{tens}=6\or\value{tens}=9}%
                          {\i}
                          {\"u}}}}}}}}}}

\newcommand{\numaranin}[1]{%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
  {\value{ones}=1\or\value{ones}=5\or\value{ones}=8}%
  {in}%
  {\ifthenelse%
     {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
     {nin}%
     {\ifthenelse%
        {\value{ones}=3\or\value{ones}=4}%
        {\"un}%
        {\ifthenelse%
           {\value{ones}=6}%
           {n\i n}%
           {\ifthenelse%
              {\value{ones}=9}%
              {un}%
              {\ifthenelse%
                 {\value{tens}=7\or\value{tens}=8}%
                 {in}%
                 {\ifthenelse%
                    {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}%
                    {nin}%
                    {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3}%
                       {un}%
                       {\ifthenelse%
                          {\value{tens}=4\or\value{tens}=6\or\value{tens}=9}%
                          {\i n}
                          {\"u}}}}}}}}}}

\newcommand{\Teorem}[1]{Teorem \ref{#1}}
\newcommand{\Teoreme}[1]{Teorem \numaraya{#1}}
\newcommand{\Teoremde}[1]{Teorem \numarada{#1}}
\newcommand{\Teoremi}[1]{Teorem \numarayi{#1}}
\newcommand{\Teoremin}[1]{Teorem \numaranin{#1}}

\newcommand{\Alistirma}[1]{Al\i\c st\i rma \ref{#1}}
\newcommand{\Alistirmaya}[1]{Al\i\c st\i rma \numaraya{#1}}
\newcommand{\Alistirmada}[1]{Al\i\c st\i rma \numarada{#1}}
\newcommand{\Alistirmayi}[1]{Al\i\c st\i rma \numarayi{#1}}
\newcommand{\Alistirmayin}[1]{Al\i\c st\i rma \numaranin{#1}}

\usepackage{chngcntr}
\counterwithout{figure}{chapter}
\newcommand{\Sekil}[1]{\c Sekil \ref{#1}}
\newcommand{\Sekle}[1]{\c Sekil \numaraya{#1}}
\newcommand{\Sekilde}[1]{\c Sekil \numarada{#1}}
\newcommand{\Sekli}[1]{\c Sekil \numarayi{#1}}
\newcommand{\Seklin}[1]{\c Sekil \numaranin{#1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \usepackage{hfoldsty}

 \renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}

 \usepackage[neverdecrease]{paralist}

\newcommand{\enquote}[1]{``#1''}

\usepackage{pstricks,pst-node,pst-tree,pst-eucl}

\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,url}
\allowdisplaybreaks
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{bm}

 %\renewcommand{\theequation}{\fnsymbol{equation}}
%\numberwithin{equation}{document}  % doesn't work; see LaTeX Companion  2d ed. p. 851

%\swapnumbers

\newtheorem{theorem}{Teorem}
%\newtheorem{lemma}{Yard\i mci teorem}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercise}{Al\i\c st\i rma}
\newcommand{\cexercise}%
{\stepcounter{exercise}\textbf{Al\i\c st\i rma \theexercise.}}

\newcommand{\stnd}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\N}{\stnd N}
\newcommand{\Z}{\stnd Z}
\newcommand{\Q}{\stnd Q}
\newcommand{\Qp}{\stnd Q^+}
\newcommand{\F}{\stnd F}
%\newcommand{\B}{\stnd B}

\DeclareMathOperator{\altf}{altf}
\newcommand{\af}[1]{\altf(#1)}

\usepackage{upgreek}

%\newcommand{\liff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
%\newcommand{\lto}{\Rightarrow}
\newcommand{\lto}{\rightarrow}

\newcommand{\denktir}{\text{ denktir }}
\newcommand{\gerektirir}{\text{ gerektirir }}
\newcommand{\ile}{\text{ ile }}
\newcommand{\ve}{\text{ ve }}
\newcommand{\virgul}{,\ }

\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\bd}[1]{\mathscr D_{#1}}
\newcommand{\proves}[1][2]{\vdash_{#1}}
\renewcommand{\models}{\vDash}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall#1\;}
\newcommand{\Exists}[1]{\exists#1\;}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\newcommand{\includes}{\supseteq}

%\newcommand{\sv}[1]{#1}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\begin{document}

\title{\"Onermeler Mant\i\u g\i}
 \author{David Pierce}
 \date{26 Aral\i k 2018}
\publishers{Matematik B\"ol\"um\"u\\
Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
\.Istanbul\\
\mbox{}\\
\url{mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}\\
\url{dpierce@msgsu.edu.tr}}

\uppertitleback{\centering
Bu eser\\
 Creative Commons Attribution--Gayriticari--Share-Alike\\
3.0 Unported Lisans\i\ ile lisansl\i d\i r.\\
Lisans\i n bir kopyas\i n\i\ g\"orebilmek i\c cin,\\
\url{creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.tr}\\
adresini ziyaret edin.\\
% ya da a\c sa\u g\i daki adrese yaz\i n:\\
%Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900,\\
%Mountain View, California, 94041, USA.\\
\mbox{}\\
\cc \ccby David Austin Pierce \ccnc \ccsa\\
}

\lowertitleback{Bu yaz\i, b\"ol\"um\"um\"un
\"Oklid Geometrisine Giri\c s dersi i\c cin haz\i rlanm\i\c st\i r.
Yaz\i n\i n ana kaynaklar\i, 
Church'un \cite{MR18:631a},
Shoen\-field'in \cite{MR1809685},
Burris'in \cite{Burris}, ve Nesin'in \cite{Nesin-OM}
kitaplar\i\ ve \foreignlanguage{english}{\emph{Foundations of
    Mathematical Practice}} (Eyl\"ul 2010) adl\i\ notlar\i md\i r.
Baz{\i} terimler, \cite{Demirtas,MTS}
 kaynaklar{\i}ndan al{\i}nm\i\c st{\i}r.}

 \maketitle

\tableofcontents

\listoffigures

\addchap{Giri\c s ve \"Ozet}

\emph{\"Onerme form\"ulleri,} k\i saca \emph{form\"uller,}
\c cok karma\c s\i k olabilir;
ama daha basitleri,
matematikte ve matematik d\i\c s\i nda
her zaman kulland\i\u g\i m\i z c\"umlelerin
bi\c cimlerini g\"osterir.

Bir form\"ul, bir polinom gibidir.
Bir polinomun de\u gi\c skenlerine say\i sal de\u gerler verince
polinomun de\u gerini hesaplayabiliriz.
Bir \"onerme form\"ul\"un\"un de\u gi\c skenlerinin de\u gerleri,
ya \emph{do\u gruluk} ya da \emph{yanl\i\c sl\i k},
k\i saca $1$ veya $0$, olabilir.
Bir \emph{do\u gruluk g\"ondermesi} bu de\u gerleri se\c cer
ve form\"ul\"un de\u gerini verir.
Bir form\"ul\"un de\u gi\c skenlerinin
ve form\"ul\"un kendisinin t\"um olas\i\ de\u gerleri,
form\"ul\"un \emph{do\u gruluk tablosunda} g\"osterilir.

E\u ger iki form\"ul\"un,
her do\u gruluk g\"ondermesi alt\i nda de\u geri ayn\i\ ise,
o zaman form\"uller birbirine \textbf{denktir.}
Denklik $\sim$ ile ifade edilebilir.
\"Orne\u gin
\begin{align*}
  &
  \begin{array}{crcrcl}
    \lnot&\bigl(P&\land&(Q&\liff&0)\bigr)\\\hline
        1&      0&    0& 0&    1&0\\
        0&      1&    1& 0&    1&0\\
        1&      0&    0& 1&    0&0\\
        1&      1&    0& 1&    0&0
  \end{array}&
  &
  \begin{array}{ccrclcc}
    P&\land&(Q&\lor&1)&\lto&Q\\\hline
    0&    0& 0&   1&1 &   1&0\\
    1&    1& 0&   1&1 &   0&0\\
    0&    0& 1&   1&1 &   1&1\\
    1&    1& 1&   1&1 &   1&1
  \end{array}
\end{align*}
do\u gruluk tablolar\i na g\"ore
\begin{equation*}
  \lnot\bigl(P\land(Q\liff0)\bigr)
  \sim
  P\land(Q\lor1)\lto Q.
\end{equation*}
Verilen iki form\"ulde
\begin{compactitem}
\item
  $P$ ve $Q$, \textbf{\"onerme de\u gi\c skenidir;}
\item
  $0$, $1$, $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\lto$, ve $\liff$,
  \textbf{ba\u glay\i c\i d\i r.}
\end{compactitem}
Ayr\i ca
\begin{compactenum}[1)]\setcounter{enumi}{-1}
\item
  $0$ ve $1$, \textbf{s\i f\i r-konumlu} veya \textbf{sabittir;}
\item
  $\lnot$, \textbf{bir-konumludur;}
\item
  $\land$, $\lor$, $\lto$, ve $\liff$,
  \textbf{iki-konumludur.}
\end{compactenum}

\begin{sloppypar}
  \textbf{\"Onerme form\"ullerinin}
  \emph{\"ozyineli} tan\i m\i n\i n
  a\c sa\u g\i daki d\"ort par\c cas\i\ vard\i r.
  \begin{compactenum}\setcounter{enumi}{-1}
  \item
    Her $e$ sabiti,
    bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
  \item
    E\u ger $F$, bir \"onerme form\"ul\"u ise, o zaman
    \begin{equation*}
      \lnot F
    \end{equation*}
    ifadesi de bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
  \item
    Her $*$ iki-konumlu ba\u glay\i c\i s\i\ i\c cin,
    e\u ger $F$ ve $G$, \"onerme form\"ulleri ise,
    o zaman
    \begin{equation*}
      (F*G)
    \end{equation*}
    ifadesi de bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
  \item 
    Her \"onerme de\u gi\c skeni, bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
  \end{compactenum}
  De\u gi\c sken olmayan her form\"ul\"un
  \textbf{anaba\u glay\i c\i s\i} vard\i r:
  \begin{compactenum}[1)]\setcounter{enumi}{-1}
  \item
    Bir $e$ form\"ul\"unde $e$,
  \item
    bir $\lnot F$ form\"ul\"unde $\lnot$,
  \item
    bir $(F*G)$ form\"ul\"unde $*$,
  \end{compactenum}
  form\"ul\"un anaba\u glay\i c\i s\i d\i r.
  De\u gi\c sken olmayan her form\"ul\"un
  \emph{tek} anaba\u glay\i c\i s\i\ oldu\u gu,
  \"onemli bir teoremdir,
  ama ilk okunu\c sta teoremin kan\i t\i\ atlanabilir.
\end{sloppypar}

K\i saltma i\c cin baz\i\ form\"ullerden
ayra\c clar silinebilir.
D\i\c s ayra\c clar her zaman silinebilir;
ayr\i ca
\begin{compactitem}
\item
  $\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i,
  $\lto$ ve $\liff$ ba\u glay\i c\i lar\i ndan
  daha g\"u\c cl\"u say\i l\i r
  (\"orne\u gin $F\land G\lto H$ demek $(F\land G)\lto H$ demektir);
\item\sloppy
  ayn\i\ iki-konumlu ba\u glay\i c\i n\i n iki \emph{ge\c ci\c sinden,}
  sa\u gdaki daha g\"u\c cl\"ud\"ur
  (\"orne\u gin $F\lto G\lto H$ demek $F\lto(G\lto H)$ demektir).
\end{compactitem}
Bir form\"ulde her simge
\begin{compactitem}
  \item
    ya bir de\u gi\c skendir,
    \item
ya da form\"ul\"un bir ve tek bir \textbf{altform\"ul\"un\"un}
anaba\u glay\i c\i s\i d\i r.
\end{compactitem}
Form\"ul\"un \textbf{do\u gruluk tablosunda,}
form\"ul\"un
\begin{compactitem}
  \item
de\u gi\c skenlerinin de\u gerleri,
de\u gi\c skenlerin alt\i nda,
\item
de\u gi\c sken olmayan altform\"ullerinin de\u gerleri,
altform\"ullerin anaba\u glay\i c\i lar\i n\i n alt\i nda,
\end{compactitem}
yaz\i l\i r.

Bir sabit veya bir de\u gi\c sken olmayan bir form\"ul,
\textbf{bile\c sik} bir form\"uld\"ur.
Bile\c sik form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i,
\Sekilde{fig:connectives}ki kurallar ile hesaplanabilir.
\begin{figure}
\mbox{}\hfill
\begin{sideways}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|*4c|}\hline
\multicolumn2{|c}{\"onerme}         &\multicolumn2{c|}{cins}\\
s\"oz                 &simge     &T\"urk\c ce                  &\.Ingilizce\\\hline
$F$ ve             $G$&$F\land G$&             t\"umel-evetleme&\eng{conjunction}\\
$F$ veya           $G$&$F\lor  G$&               tikel-evetleme&\eng{disjunction}\\
$F$ ise            $G$&$F\lto  G$&                   ko\c sullu&\eng{conditional}\\
$F$ ancak ve ancak $G$&$F\liff G$&kar\c s\i l\i kl\i-ko\c sullu&\eng{biconditional}\\
$F$ de\u gil          & $\lnot F$&                 de\u gilleme&\eng{negation}\\\hline
\end{tabular}
\end{sideways}
\hfill
\begin{sideways}
\qquad$\begin{array}{cc|cccc}
    P&Q&P\land Q&P\lor Q&P\lto Q&P\liff Q\\\hline
0&0&0&0&1&1\\
1&0&0&1&0&0\\
0&1&0&1&1&0\\
1&1&1&1&1&1
  \end{array}$
\qquad
  $\begin{array}{c|c}
    P&\lnot P\\\hline
0&1\\
1&0
  \end{array}$\hfill\mbox{}
\end{sideways}
\hfill\mbox{}
  \caption{Bile\c sik \"onermeler}\label{fig:connectives}
  
\end{figure}

\.Iki form\"ul\"un denk oldu\u gunu
form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ hesaplamadan,
sadece basit denklikler kullanarak
ad\i m ad\i m g\"osterebiliriz.
\"Orne\u gin
\begin{align*}
  &\phantom{{}\sim{}}\lnot\bigl(P\land(Q\liff0)\bigr)\\
  &\sim\lnot\bigl(P\land\lnot Q\bigr)\\
  &\sim\lnot P\lor Q\\
  &\sim P\lto Q\\
  &\sim P\land 1\lto Q\\
  &\sim P\land(Q\lor 1)\lto Q.
\end{align*}




Bir $\Gamma$ form\"uller k\"umesi
ve bir $F$ form\"ul\"u i\c cin
e\u ger $\Gamma$'n\i n her eleman\i n\i n do\u gru oldu\u gu zamanda
$F$ do\u gru ise,
o zaman $\Gamma$, $F$'yi \textbf{gerektirir.}
Gerektirme $\models$ ile ifade edilebilir.
Bir gerektirme
\begin{compactitem}
  \item
    ya do\u gruluk tablolar\i
  \item
    ya da \emph{bi\c cimsel kan\i t}
\end{compactitem}
ile g\"osterilebilir.
\"Orne\u gin
\begin{equation*}
  \begin{array}{*3c|*4c|*4c}
    P&\lto&R&\lnot&R&\lto&Q&P&\lor&\lnot&Q\\\hline
    0&   1&0&    1&0&   0&0&0&   1&    1&0\\
    1&   0&0&    1&0&   0&0&1&   1&    1&0\\
    0&   1&0&    1&0&   1&1&0&   0&    0&1\\
    1&   0&0&    1&0&   1&1&1&   1&    0&1\\
    0&   1&1&    0&1&   1&0&0&   1&    1&0\\
    1&   1&1&    0&1&   1&0&1&   1&    1&0\\
    0&   1&1&    0&1&   1&1&0&   0&    0&1\\
    1&   1&1&    0&1&   1&1&1&   1&    0&1
  \end{array}
\end{equation*}
do\u gruluk tablolar\i ndan
\begin{equation*}
  P\lto R,\;\lnot R\lto Q,\;P\lor\lnot Q\models R.
\end{equation*}
Ayr\i ca bi\c cimsel kan\i t ile
\begin{align*}
  &(1)&&P\lto R,&&\text{[hipotez]}\\
  &(2)&&\lnot P\lor R,&&\text{[$\sim$ (1)]}\\
  &(3)&&\lnot R\lto Q,&&\text{[hipotez]}\\
  &(4)&&R\lor Q,&&\text{[$\sim$ (3)]}\\
  &(5)&&Q\lor R,&&\text{[$\sim$ (4)]}\\
  &(6)&&(\lnot P\lor R)\land(Q\lor R),&&\text{[(2) \&\ (4)]}\\
  &(7)&&(\lnot P\land Q)\lor R,&&\text{[$\sim$ (6)]}\\
  &(8)&&\lnot(P\lor\lnot Q)\lor R,&&\text{[$\sim$ (7)]}\\
  &(9)&& P\lor\lnot Q,&&\text{[hipotez]}\\
  &(10)&&R.&&\text{[(8) \&\ (9)]}
\end{align*}
Bu bi\c cimsel kan\i tta her sat\i r
\begin{compactitem}
  \item
    ya bir hipotezdir (veya varsay\i md\i r),
    \item
ya da \"once gelen sat\i rlar taraf\i ndan gerektirilir.
\end{compactitem}
Bu \c sekilde
e\u ger $\Gamma$ sonlu ve $\Gamma\models F$ ve $\Gamma$ ise,
o zaman bu gerektirme i\c cin bi\c cimsel kan\i t vard\i r.
Bi\c cimsel kan\i tlar\i m\i z\i n ad\i mlar\i n\i n
kolayl\i kla anla\c s\i lmas\i n\i\ isteriz.

E\u ger bi\c cimsel kan\i tlarda
\"once gelen sat\i rlardan yeni sat\i rlar elde etmek i\c cin
kesin \emph{\c c\i kar\i m kurallar\i} verirsek,
bir \emph{bi\c cimsel dizgeyi} tan\i mlar\i z.
Bir dizgenin \textbf{tam} olmas\i n\i\ isteriz;
bu durumda her gerektirme i\c cin bi\c cimsel bir kan\i t vard\i r.

\textbf{T\i k\i zl\i k Teoremi} sayesinde,
e\u ger $\Gamma\models F$ ise,
o zaman $\Gamma$'n\i n \emph{sonlu} bir altk\"umesi
$F$'yi gerektirir.

T\i k\i zl\i k ve taml\i k,
ilk okunu\c sta atlanabilir.


\part{Form\"uller}

\chapter{\"Onermeler}

Bir \textbf{\"onerme}\index{\"onerme}
(\eng{proposition}),
 belli bir \emph{durumda}\index{durum}
\emph{do\u gru}\index{do\u gru} 
veya \emph{yanl{\i}\c s}\index{yanl\i\c s} 
denebilen 
bir \emph{c\"umle}\index{c\"umle} 
veya \emph{t\"umcedir.}\index{t\"umce} 
 \begin{asparaenum}
\item
\textbf{C\"umleler} veya \textbf{t\"umceler} (\eng{sentences}), g\"unl\"uk dilden bilinir.
\c Ca\u gda\c s matematikte bazen bir c\"umle,
simgeler listesi olarak yaz\i l\i yor,
\"orne\u gin
\begin{equation*}
\Forall x\Exists yx*y=\mathrm e.
\end{equation*}
Bu \"ornek, \enquote{Her say\i n\i n tersi var} 
c\"umlesinin bir k\i saltmas\i\ olarak anla\c s\i labilir.
   \item
Bir \textbf{durum} (\eng{situation}), 
matematikte \c co\u gunlukla bir 
\textbf{yap{\i}d{\i}r}\index{yap\i}
(\eng{structure}).
\"Orne\u gin
 \c carpma i\c s\-lemi ve \emph{bir} eleman\i\ ile 
sayma say\i lar\i,
$(\N,\times,1)$ olarak yaz\i labilen yap\i\ olu\c sturur.
\"Ozel olarak $\N=\{1,2,3,\dots\}$.
Benzer \c sekilde
$(\Qp,\times,1)$,
$(\upomega,+,0)$, ve
$(\Z,+,0)$ yap\i lar\i\ vard\i r.
Burada $\Qp$ k\"umesinin elemanlar\i,
pozitif kesirli say\i lard\i r;
$\upomega$ (\emph{omega}),
$\{0,1,2,\dots\}$ do\u gal say\i lar k\"umesidir;
ve $\Z$'nin elemanlar\i,
tamsay\i lard\i r.
\"Oklid geometrisinde bir durum, 
\sayfada{fig:I.6}ki \Sekilde{fig:I.6}ki gibi
bir \textbf{harf\/li diyagramdan}\index{harf\/li diyagram}
(\eng{lettered diagram} \cite{MR1683176})
anla\c s\i labilir.
\item
\textbf{Do\u gruluk} (\eng{truth}) 
ve \textbf{yanl\i\c sl\i k} (\eng{falsity}),
\"orneklerden anla\c s\i l\i r.
\enquote{Her say{\i}n{\i}n tersi var} \"onermesi, 
\begin{compactitem}
\item
$(\N,\times,1)$ yap{\i}s{\i}nda yanl{\i}\c st\i r,
\item
$(\Qp,\times,1)$ yap{\i}s{\i}nda do\u grudur,
\item
$(\upomega,+,0)$ yap{\i}s{\i}nda yanl\i\c st\i r,
\item
$(\Z,+,0)$ yap{\i}s{\i}nda do\u grudur.
\end{compactitem}
 \end{asparaenum}

Do\u gruluk ve yanl\i\c sl\i k,
s\i ras\i yla
\begin{align*}
  &1,&&0
\end{align*}
olarak yazaca\u g\i z;
bunlar
\textbf{do\u gruluk de\u gerleridir}\index{do\u gru!---luk de\u geri}
(\eng{truth values}).
Ba\c ska kaynaklarda $1$ ve $0$'\i n yerine $D$ ve $Y$,
ya da $\top$ ve $\bot$ i\c saretleri kullan\i labilir.
Belli bir durumda, bir \"onerme do\u gru ise, o \"onermenin o durumdaki
do\u gruluk de\u geri $1$'dir; yanl\i\c s ise,
\"onermenin durumdaki do\u gruluk de\u geri $0$'d\i r.

Sonu\c c olarak her $\mathfrak D$ durumu, 
bir \textbf{do\u gruluk g\"ondermesi}%
\index{do\u gru!---luk g\"ondermesi}
(\eng{truth function})
%veya \textbf{de\u gerleme}\index{de\u ger!---leme}
%(\eng{evaluation})
belirtir
\cite[s.\ 60--1]{Nesin-OM}.
Bu g\"onderme, 
her \"onermeyi $\mathfrak D$'deki do\u gruluk de\u gerine
g\"onderir.  Mesela $d_1$,
$(\N,\times,1)$ yap\i s\i\ taraf\i ndan belirtilen
do\u gruluk g\"ondermesi olsun.  
O zaman 
\begin{equation*}
d_1(\text{\enquote{Her say\i n\i n tersi var}})=0.
\end{equation*}
E\u ger $d_2$,
$(\Qp,\times,1)$ yap\i s\i\ taraf\i ndan belirtilen
do\u gruluk g\"ondermesiyse, 
o zaman 
\begin{equation*}
d_2(\text{\enquote{Her say\i n\i n tersi var}})=1.
\end{equation*}
S\i f\i r ve $1$ do\u gruluk de\u gerleriyle,
\Sekilde{fig:mod-2}ki gibi
\begin{figure}
\begin{equation*}
\begin{array}{*4c}
x&y&x\cdot y&x+y\\\hline
0&0&    0   & 0 \\
1&0&    0   & 1 \\
0&1&    0   & 1 \\
1&1&    1   & 0 
\end{array}
\end{equation*}
\caption{Mod\"ul $2$'ye g\"ore hesaplamalar}\label{fig:mod-2}
\end{figure}
mod\"ul $2$'ye g\"ore hesaplamalar yap\i labilir.
Asl\i nda $0$ ve $1$,
$\Z_2$ \emph{halkas\i n\i} ve ayn\i\ zamanda $\F_2$ \emph{cismini} olu\c sturur,
ve bu halka veya cisimde
$0$ ve $1$ ile
hesaplamalar yap\i l\i r.

\chapter{Bile\c sik \"Onermeler}

Verilmi\c s \"onermeler taraf\/\i ndan
\begin{compactitem}
\item
\enquote{ve, veya, ancak} ve \enquote{e\u ger}
\textbf{ba\u gla\c clar\i}\index{ba\u gla\c c}
(\eng{conjunctions}),
\item
\enquote{ise} ve \enquote{-ma/-me} \textbf{ekleri} (\eng{affixes}), ve
\item
\enquote{de\u gil} \textbf{belirteci} (\eng{adverb})
\end{compactitem}
ile
\textbf{bile\c sik \"onermeler}%%
\index{bile\c sik \"onerme}
(\eng{compound propositions})
olu\c sturulabilir.
Her birinin do\u gruluk de\u geri,
olu\c sturan \"onermelerin de\u gerlerinden 
kullan\i lan ba\u gla\c c, ek, veya belirtece g\"ore
bulunur.  

\section{T\"umel-evetlemeler}

\begin{sloppypar}
  Mesela iki \"onermemiz olsun, 
  ve onlara $P$ ve $Q$ (\enquote{k\"u}%
  % veya \enquote{ky\"u}
  ) diyelim.
  %($Q$ harf\/i, \emph{k\"u} veya \emph{ky\"u} gibi telaffuz edilsin.)
  O zaman \enquote{$P$ ve $Q$} \"onermesini yapabiliriz.  
  E\u ger $P$ do\u gru ve $Q$ do\u gru ise,
  o zaman \enquote{$P$ ve $Q$} \"onermesi do\u grudur;
  di\u ger durumlarda yanl\i\c st\i r.
  Bile\c sik \enquote{$P$ ve $Q$} \"onermesini
  \begin{equation*}
    P\land Q
  \end{equation*}
  olarak yazal\i m:
  b\"oyle bir \"onerme,
  bir \textbf{t\"umel-evetlemedir}%
  \index{t\"umel-evetleme}
  (\eng{conjunction}).
  Her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
  \begin{equation*}
d(P)\cdot d(Q)=    d(P\land Q),
  \end{equation*}
  ve t\"umel-evetlemenin olas\i\ de\u gerleri,
  \Seklin{fig:tt-land-lto} \subref{fig:land} \c s\i kk\i ndaki
  \begin{figure}
    \mbox{}\hfill
    \subfloat[T\"umel-evetleme]{\label{fig:land}
      \begin{math}
        \begin{array}{cc|c}
          P&Q&P\land Q\\\hline
          0&0&0\\
          1&0&0\\
          0&1&0\\
          1&1&1
        \end{array}
      \end{math}
    }
    \hfill
    \subfloat[Ko\c sullu]{\label{fig:lto}
      \begin{math}
        \begin{array}{cc|c}
          P&Q&P\lto Q\\\hline
          0&0&1\\
          1&0&0\\
          0&1&1\\
          1&1&1
        \end{array}
    \end{math}}
    \hfill\mbox{}
    \caption{Do\u gruluk tablolar\i}\label{fig:tt-land-lto}
  \end{figure}
  \textbf{do\u gruluk tablosunda}%%
  \index{do\u gru!---luk tablosu}
  (\eng{truth table})
  g\"osterilebilir.
\end{sloppypar}

\section{Ko\c sullular}

Bir\c cok \"onemli matematiksel \"onerme 
\enquote{E\u ger $P$ ise, o zaman $Q$} 
(k\i saca \enquote{$P$ ise $Q$})
bi\c cimindedir.  
B\"oyle bir \"onerme
\textbf{ko\c sulludur}%%%
\index{ko\c sullu}
(\eng{conditional})
ve
\begin{equation*}
P\lto Q
\end{equation*}
\c seklinde yaz\i labilir.
Tek-sapl\i\ okun yerine
iki-sapl\i\ $\Rightarrow$ oku kullan\i labilir;
\"ozellikle eski kitaplarda $\supset$ i\c sareti de kullan\i r.
E\u ger $P$ yanl\i\c s veya $Q$ do\u gru ise,
o zaman $P\lto Q$ \"onermesi do\u grudur;
di\u ger durumda $P$ do\u gru, ama $Q$ yanl\i\c s,
ve $P\lto Q$ yanl\i\c st\i r.
Bu \c sekilde
her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
\begin{equation*}
  \left.
\begin{array}{cc}
	\text{e\u ger $d(P)=0$ veya $d(Q)=1$ ise},&1\\
	\text{e\u ger $d(P)=1$ ve $d(Q)=0$ ise},&0
\end{array}
\right\}
=d(P\lto Q).
\end{equation*}
O zaman kontrol edebildi\u giniz gibi
\begin{equation*}
d(P\lto Q)
=1+d(P)+d(P)\cdot d(Q).
\end{equation*}
$P\lto Q$ \"onermesinin do\u gruluk tablosu
\Seklin{fig:tt-land-lto} \subref{fig:lto} \c s\i kk\i ndadir.
\"Orne\u gin
\"Oklid'in 6.\ \"onermesine bakal\i m \cite{Oklid-2014-T}:
\begin{center}
E\u ger bir \"u\c cgenin iki a\c c\i s\i\ birbirine e\c sit ise,\\
e\c sit a\c c\i lar\i n g\"ord\"u\u g\"u kenarlar da e\c sittir.
\end{center}
\Seklin{fig:I.6} \subref{fig:tri} \c s\i kk\i ndaki 
\begin{figure}
  \mbox{}\hfill
	\subfloat[Bir \"u\c cgen]{\label{fig:tri}
  \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(1,2)
\uput[u](1,2){$A$}
\uput[d](0,0){$B$}
\uput[d](2,0){$C$}
  \end{pspicture}}
	\hfill
	\subfloat[Bir d\"ortgen]{\label{fig:quad}
  \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,2.5)
    \pspolygon(0,0)(4,0)(5,2)(1,2)
\uput[u](1,2){$A$}
\uput[d](0,0){$B$}
\uput[d](4,0){$D$}
\uput[u](5,2){$C$}
  \end{pspicture}}
\hfill\mbox{}	
  \caption{Harf\/li diyagramlar}\label{fig:I.6}
  
\end{figure}
$ABC$ \"u\c cgenini bir yap\i\ olarak d\"u\c s\"unebiliriz,
ve bu yap\i\ i\c cin, bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r.  
\c Simdi
\begin{compactitem}
\item
 $P$, \enquote{$B$ k\"o\c sesindeki a\c c\i\ 
$C$ k\"o\c sesindeki a\c c\i ya e\c sittir} \"onermesi olsun;  
 \item
 $Q$, \enquote{$AC$ kenar\i\ $AB$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun.  
 \end{compactitem}
Bu durumda \"Oklid'in 6.\ \"onermesine g\"ore $d(P\lto Q)=1$.

\begin{exercise}
  Yukar\i daki $P$ ve $Q$ i\c cin, \"oyle bir yap\i\ bulun ki, bu
  yap\i da $d(P\lto Q)=0$ olsun. 
(\emph{\.Ipucu}:  $C$ k\"o\c sesindeki a\c c\i\
$ACB$ a\c c\i s\i\ olmayabilir,
\c c\"unk\"u incelenen yap\i\ bir \"u\c cgen olmayabilir.
\Seklin{fig:I.6} \subref{fig:quad} \c s\i kk\i na bak\i n.)
\end{exercise}

\"Oklid'in yukar\i daki \"onermesinin kendisi,
\textbf{evrensel}\index{evrensel \"onerme}
veya \textbf{t\"umel}\index{t\"umel \"onerme}
(\eng{universal})
bir \"onermedir,
\c c\"unk\"u \emph{her} \"u\c cgen hakk\i ndad\i r.
E\u ger tekrar $ABC$,
\Seklin{fig:I.6} \subref{fig:tri} 
\c s\i kk\i ndaki gibi bir \"u\c cgen ise,
o zaman yukar\i daki $P\lto Q$ \"onermesi,
\"Oklid'in \"onermesinin bir \textbf{\"ozellemesidir}\index{\"ozelleme}
\cite[s.\ 139]{Cucen}
(\eng{instantiation}).

\section{Di\u ger bile\c sik \"onermeler}

Do\u gruluk tablolar\i yla,
kullanaca\u g\i m\i z 
t\"um bile\c sik \"onermeler,
s\"ozc\"ukler ve simgeler olarak
\Sekilde{fig:connectives}dir.

Her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
a\c sa\u g\i daki hesaplamalar yap\i labilir.
\begin{gather*}\label{eqn:ddd}
	d(\lnot P)=1+d(P),\\
	d(P\liff Q)=1+d(P)+d(Q),\\
	d(P\lor Q)=d(P)+d(Q)+d(P)\cdot d(Q).
\end{gather*}
Her $\land$, $\lor$, $\lto$, $\liff$, veya $\lnot$ i\c saretine
\textbf{ba\u glay\i c\i}%%
\index{ba\u glay\i c\i}
(\eng{connective})
deriz.
Hat\i rlamaya yard\i mc\i\ olarak
\begin{compactitem}
\item
Latince \lat{VEL} ba\u glac\i, \enquote{veya} ($\lor$) demektir;
%onun i\c cin \enquote{veya} $\lor$ olarak yaz\i l\i r.  
\item
\.Ingilizce \eng{AND} ba\u glac\i, \enquote{ve} ($\land$) demektir.
%ve $\land$ i\c sareti \emph A gibidir.
\end{compactitem}
Ayr\i ca k\"umeler kuram\i nda
$A$ ve $B$ k\"umeyse
\begin{compactitem}
\item
$x\in A\cup B$, $x\in A\lor x\in B$ demektir;
\item
$x\in A\cap B$, $x\in A\land x\in B$ demektir.
\end{compactitem}
Daha sonra $0$ ve $1$ bile ba\u glay\i c\i\ olarak
say\i lacakt\i r.
Ba\c ska kaynaklarda
\begin{compactitem}
\item
$P\land Q$ ifadesinin yerine $P\mathrel{\&}Q$ veya $P\mathrel.Q$, 
\item
$P\lto Q$ ifadesinin yerine $P\Rightarrow Q$ veya $P\supset Q$,
\item
$P\liff Q$ ifadesinin yerine $P\Leftrightarrow Q$ veya $P\equiv Q$, ve
\item
$\lnot P$ ifadesinin yerine $\mathord{\sim}P$ veya $P'$
\end{compactitem}
g\"or\"ulebilir.

\section{Tikel-evetlemeler}

\"Oklid'in 13.\ \"onermesi\label{13} 
(daha do\u grusu, onun \"ozellemesi),
$P\lor Q$ bi\c ciminde yaz\i labilir.  
O \"onerme a\c sa\u g\i daki gibidir: 
\begin{center}
Bir do\u gru
bir do\u grunun \"uzerine konulursa
yapt\i\u g\i\ a\c c\i lar,\\
ya iki dik a\c c\i d\i r\\
ya da iki dik a\c c\i ya e\c sittir.
%olacakt\i r.
\end{center}
\Seklin{fig:13-14} \subref{fig:I.13} \c s\i kk\i nda
$ABC$ bir do\u gru olsun, ve $BD$ ba\c ska bir do\u gru olsun.  
\begin{figure}
  \mbox{}\hfill
	\subfloat[Do\u grunun \"uzerine do\u gru]{\label{fig:I.13}
  \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3.5,2)
    \psline(-1,0)(3,0)
\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](1,1.5){$D$}
\uput[d](-1,0){$A$}
\uput[d](1,0){$B$}
\uput[d](3,0){$C$}
  \end{pspicture}}
	\hfill
	\subfloat[\.Iki biti\c sik a\c c\i]{\label{fig:I.13+}
  \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3.5,2)
    \psline(-1,0)(1,0)(3,0.25)
\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](1,1.5){$D$}
\uput[d](-1,0){$A$}
\uput[d](1,0){$B$}
\uput[d](3,0.25){$C$}
  \end{pspicture}}
  	\hfill\mbox{}
  \caption{\"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri}\label{fig:13-14}
  
\end{figure}
Bu durumun do\u gruluk g\"ondermesi $d_1$ olsun.
\c Simdi
\begin{compactitem}
\item
$P$, \enquote{$ABD$ ve $CBD$ a\c c\i lar\i\ diktir} \"onermesi olsun, ve
\item
$Q$, \enquote{$ABD$ ve $CBD$ a\c c\i lar\i\ iki dik a\c c\i ya e\c sittir} 
\"onermesi olsun.
\end{compactitem}
O zaman \"Oklid'in 13.\ \"onermeye g\"ore
\begin{center}
ya $d_1(P)=1$ ya da $d_1(Q)=1$.
\end{center}

\section{Birle\c stirilmi\c s bile\c sik \"onermeler}

Bir \"onermede birden fazla ba\u glay\i c\i\ bulunabilir.
Asl\i nda \"Oklid'in 13.\ \"onermesi b\"oyle d\"u\c s\"un\"ulebilir.  
\Seklin{fig:13-14} \subref{fig:I.13+} \c s\i kk\i ndaki gibi 
$ABD$ ve $DBC$ biti\c sik a\c c\i lar olsun, 
ve bu durumun do\u gruluk g\"ondermesi $d_2$ olsun.
Ayr\i ca   
\begin{compactitem}
\item
$P$ ve $Q$, yukar\i daki gibi olsun, 
\item
$F$, $P\lor Q$ \"onermesi olsun, ve 
\item
$R$, \enquote{$AB$ ve $BC$ do\u grular\i\ do\u grusald\i r} \"onermesi olsun.
\end{compactitem}
O zaman \"Oklid'in 13.\ \"onermeye g\"ore $d_2(R\lto F)=1$.  
\"Ustelik
\begin{compactitem}
\item 
14.\ \"onermeye g\"ore $d_2(Q\lto R)=1$;
\item
dik a\c c\i n\i n tan\i m\i na g\"ore
%d\"ord\"unc\"u postulattan
$d_2(P\lto R)=1$.
\end{compactitem}
O zaman $d_2(F\lto R)=1$.  
Sonunda, t\"um bunlara g\"ore
\begin{equation*}
d_2(R\liff F)=1.
\end{equation*} 

Ba\c ska bir \"ornek i\c cin, \"Oklid'in 4.\ \"onermesine bakal\i m:
  \begin{center}
  \.Iki \"u\c cgenin iki kenar\i\ iki kenara e\c sit olursa\\
 (her biri birine)\\
ve a\c c\i\ a\c c\i ya e\c sit olursa
(yani e\c sit do\u grular taraf\i ndan i\c cerilen)\\
hem taban tabana e\c sit olacak,\\
hem \"u\c cgen \"u\c cgene e\c sit olacak,\\
hem de geriye kalan a\c c\i lar geriye kalan a\c c\i lara  e\c sit olacak\\
(her biri birine,
yani e\c sit kenarlar\i\ g\"orenler).
  \end{center}
Bu \"onerme, $F\lto G$ bi\c cimindedir, 
ama $F$ ve $G$ \"onermelerin kendisi de bile\c siktir.  
Asl\i nda \Sekli{fig:I.4} kullanarak
\begin{figure}
  \centering
  \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,2.5)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(0.5,2)
\uput[u](0.5,2){$A$}
\uput[d](0,0){$B$}
\uput[d](2,0){$C$}
    \pspolygon(4,0)(6,0)(4.5,2)
\uput[u](4.5,2){$D$}
\uput[d](4,0){$E$}
\uput[d](6,0){$F$}
  \end{pspicture}
  \caption{\.Iki \"u\c cgen}\label{fig:I.4}
  
\end{figure}
\begin{compactitem}
\item
$P_1$, \enquote{$AB$ kenar\i\ $DE$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun,
\item
$P_2$, \enquote{$AC$ kenar\i\ $DF$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun,
\item
$P_3$, \enquote{$BAC$ a\c c\i s\i\ $EDF$ a\c c\i s\i na e\c sittir} \"onermesi olsun,
\item
$P_4$, \enquote{$BC$ kenar\i\ $EF$ kenar\i na e\c sittir} \"onermesi olsun,
\item
$P_5$, \enquote{$ABC$ \"u\c cgeni $DEF$ \"u\c cgenine e\c sittir} \"onermesi olsun,
\item
$P_6$, \enquote{$ABC$ a\c c\i s\i\ $DEF$ a\c c\i s\i na e\c sittir} \"onermesi olsun,
ve
\item
$P_7$, \enquote{$ACB$ a\c c\i s\i\ $DFE$ a\c c\i s\i na e\c sittir} \"onermesi olsun.
\end{compactitem}
Ayr\i ca
\begin{compactitem}
\item
$F$, $P_1\land P_2\land P_3$ \"onermesi olsun, ve
\item
$G$, $P_4\land P_5\land P_6\land P_7$ \"onermesi olsun.
\end{compactitem}
$ABC$ ve $DEF$ \"u\c cgenleri i\c cin 
bir $d_3$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r, 
ve \"Oklid'in 4.\ \"onermeye g\"ore $d_3(F\lto G)=1$, yani
$d_3(F)=0$ veya $d_3(G)=1$.  
\"Ustelik $d_3(F)=1$ ancak ve ancak 
\begin{equation*}
d_3(P_1)=d_3(P_2)=d_3(P_3)=1;
\end{equation*}
ve $d_3(G)=1$ ancak ve ancak
\begin{equation*}
d_3(P_4)=d_3(P_5)=d_3(P_6)=d_3(P_7)=1.
\end{equation*}

Bile\c sik bir \"onermenin
ba\u glay\i c\i lar\i ndan sadece biri, \"onermenin 
\textbf{anaba\u g\-lay\i c\i s\i d\i r}%%
\index{anaba\u glay\i c\i s\i} 
(\eng{main connective}).
Tekrar \"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri \"orne\u gine bak\i n.  
Orada $R\lto F$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i, 
$\lto$ ba\u glay\i c\i s\i d\i r.  
O \"onermede $\lor$ ba\u glay\i c\i s\i\ bulunur, 
\c c\"unk\"u $F$'de bulunur,
ama $\lor$,
$R\lto F$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i\ de\u gil, 
$F$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i d\i r. 

$F$ \"onermesinin $P\lor Q$ oldu\u gu $R\lto F$ \"onermesi, 
\c su anda $R\lto P\lor Q$ olarak yaz\i lamaz, 
\c c\"unk\"u bu ifade, 
\"onermenin anaba\u glay\i c\i s\i n\i\ g\"ostermez.  
\c Simdilik \"onermemiz
\begin{equation*}
R\lto(P\lor Q)
\end{equation*}
gibi bir ifade olarak yaz\i labilir,
veya
\Seklin{fig:tree} \subref{fig:R(PQ)} \c s\i kk\i ndaki \textbf{a\u ga\c c}%%
\index{a\u ga\c c}
(\eng{tree})
olarak \c cizilebilir.
\begin{figure}
\mbox{}\hfill
\subfloat[$R\lto(P\lor Q)$]{\label{fig:R(PQ)}
  \begin{math}
  \xymatrix@C=4mm{
&\lto\ar@{-}[dl]\ar@{-}[drr]&&&\\
R&&&\lor\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\\
&&P&&Q
}
\end{math}}
\hfill
\subfloat[$(R\lto P)\lor Q$]{\label{fig:(RP)Q}
  \begin{math}
  \xymatrix@C=4mm{
	&&&\lor\ar@{-}[dll]\ar@{-}[dr]&\\
&\lto\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&&&Q\\
R&&P&&
}
\end{math}}
\hfill\mbox{}
  \caption{A\u ga\c c olarak \"onermeler}\label{fig:tree}
  
\end{figure}

$P_1\land P_2\land P_3$ \"onermesinin anaba\u glay\i c\i s\i\
bir $\land$ ba\u glay\i c\i s\i d\i r, ama hangisi?  
Bu \"onermede
$\land$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n iki \textbf{ge\c ci\c si}%%
\index{ge\c ci\c s}
(\eng{occurrence})
\cite[s.\ 65]{MTS}
vard\i r.
Hangisinin anaba\u glay\i c\i\ oldu\u gu fark etmez.  (Neden?)  
Kesinlik i\c cin son ge\c ci\c s olsun diyelim.  
O zaman 
\begin{center}
$P_1\land P_2\land P_3$ demek $P_1\land(P_2\land P_3)$ demektir.  
\end{center}
Ayn\i\ \c sekilde 
\begin{center}
$P_4\land P_5\land P_6\land P_7$,
$P_4\land (P_5\land (P_6\land P_7))$  demektir.
\end{center}
Ancak $P\lto Q\lto R$ \"onermesindeki $\lto$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n
hangi ge\c ci\c sinin \"onermenin anaba\u glay\i c\i s\i\ oldu\u gu
\"onemlidir.  (Neden?)  
Tekrar son ge\c ci\c s olsun diyelim:
\begin{center}
$P\lto Q\lto R$ demek
$P\lto(Q\lto R)$ demek olsun. 
\end{center}

\chapter{\"Onerme Form\"ulleri}

\section{\"Ozyineli tan\i m}

$P$, $Q$, ve $R$ gibi
Latin harf\/leri, ve $P_1$ ve $P_2$ gibi bile\c sik simgeler,
ger\c cekten \"onermeler de\u gil, \textbf{\"onerme de\u gi\c skenleridir}
(\eng{propositional variables}).  
A\c sa\u g\i daki d\"ort kural\i\ kullanarak,
\"onerme de\u gi\c skenlerinden,
ba\u glay\i c\i lardan,
ve ayra\c clardan
\textbf{\"onerme form\"ullerini} 
(\eng{propositional formulas})
olu\c stururuz:
\begin{compactenum}
\item 
Her \"onerme de\u gi\c skeni, bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
\item
  E\u ger $F$ ve $G$, \"onerme form\"ulleriyse,
  o zaman
  \begin{align*}
&(F\land G),&
&(F\lor G),&
&(F\lto G),&
&(F\liff G)
\end{align*}
ifadeleri de \"onerme form\"ulleridir.
\item
E\u ger $F$, \"onerme form\"ul\"uyse, o zaman
  \begin{equation*}
\lnot F
  \end{equation*}
ifadesi de bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
\item
Ayr\i ca
\begin{align*}
	&0,&&1
\end{align*}
simgeleri, \"onerme form\"ulleridir.
\end{compactenum}
\"Orne\u gin
\begin{gather*}
P,\qquad
(P\land Q),\qquad
(R\lor 1),\\
((P\land Q)\lto(R\lor1)),\qquad
\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1)),\\
(\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1))\liff0)
\end{gather*}
ifadeleri, 
\"onerme form\"ulleridir.  
%Buradaki $\land$, $\lor$, $\lto$, $\liff$, $\lnot$, $1$, ve $0$ simgeleri,
%\textbf{ba\u glay\i c\i d\i rlar}%%
%\index{ba\u glay\i c\i} (\eng{connectives}).
%\"Ustelik

\begin{sloppypar}
  Her ba\u glay\i c\i\ i\c cin,
  bir ve tek bir $n$ do\u gal say\i s\i\ i\c cin,
  ba\u glay\i c\i\ \textbf{$n$-konumlu}\index{konum}
  (\eng{$n$-place})
  veya \textbf{$n$-lidir}
  (\eng{$n$-ary}):
  \begin{compactitem}
  \item
    $\land$, $\lor$, $\lto$, ve $\liff$,
    \textbf{iki-konumlu}
    (\eng{two-place})
    veya \textbf{ikilidir}
    (\eng{binary});
  \item 
    $\lnot$, 
    \textbf{bir-konumlu}
    (\eng{one-place})
    veya \textbf{birlidir}
    (\eng{singulary, \enquote{unary}});
  \item
    $0$ ve $1$,
    \textbf{s\i f\i r-konumlu} 
    (\eng{zero-place})
    veya
    \textbf{s\i f\i rl\i d\i r} 
    (\eng{null\-ary}).
  \end{compactitem}
  S\i f\i rl\i\ bir ba\u glay\i c\i,
  bir \textbf{sabittir}\index{sabit}
  (\eng{constant}).
\end{sloppypar}

Form\"ullerin tan\i m\i ndaki gibi,
form\"uller g\"ostermek i\c cin
\begin{align*}
	&F,&
	&G,&
	&H,&
	&K,&
	&L
\end{align*}
%$F$, $G$, $H$, $K$ ve $L$ 
Latin harf\/lerini
kullan\i yoruz.
Bu harf\/lerin hi\c c birinin kendisi
form\"ul de\u gildir,
form\"ul i\c cin
\textbf{dizimsel de\u gi\c skendir}
\cite[s.\ 49]{MTS}
(\eng{syntactical variable}
\cite[s.\ 60]{MR18:631a}).
Benzer \c sekilde
bir iki-konumlu ba\u glay\i c\i\ i\c cin
dizimsel de\u gi\c sken olarak
\begin{align*}
	&*,&
	&\dag
\end{align*}
(yani
\textbf{y\i ld\i z} [\eng{star, asterisk}],%%%
\index{y\i ld\i z}
\textbf{kama} [\eng{dagger, obelisk}]%%%
\index{kama})
i\c saretlerini
kullanaca\u g\i z,
ve bir sabit i\c cin
%s\i f\i r-konumlu ba\u glay\i c\i\ i\c cin
\begin{equation*}
e
\end{equation*}
harf\/ini kullanaca\u g\i z.
O zaman tan\i ma g\"ore
  \begin{compactenum}[(1)]
  \item
\"onerme de\u gi\c skenleri,
\item
$(F*G)$,
\item
$\lnot F$, ve
\item
$e$
  \end{compactenum}
  bi\c cimli
ifadeler,
\"onerme form\"ulleridir.
Bu t\"ur tan\i mlara
\textbf{\"ozyinelemeli,}%%%
\index{\"ozyine!---lemeli}
\textbf{\"ozyineli,}\index{\"ozyine!---li}
veya
\textbf{yinelgen}\index{yinelgen}
\cite[s.\ 149]{MTS}
(\eng{recursive})
tan\i m denir. 

\section{Anaba\u glay\i c\i lar}

%Resmi bir tan\i m i\c cin
\textbf{Bile\c sik form\"uller,}
\begin{align*}
(F&*G),&&\lnot F,&&e\\
%\end{align*}
  \intertext{bi\c cimli form\"ullerdir.
    (Bir sabit bile bile\c sik say\i l\i r.)
Bunlar\i n \textbf{anaba\u glay\i c\i lar\i,}
s\i ras\i yla}
%\begin{align*}
	&*,&&\lnot,&&e
\end{align*}
ba\u glay\i c\i lar\i d\i r.
Her form\"ul\"un \emph{tek} 
anaba\u glay\i c\i s\i n\i n oldu\u gunu
kan\i tlayaca\u g\i z.

$(F*G)$ bi\c cimli form\"ullerine
\textbf{ikili bile\c sikler}
(\eng{binary compounds})
diyelim.
O zaman her bile\c sik form\"ul
ya bir sabit,
ya da bir de\u gilleme,
ya da bir ikili bile\c siktir.
Ayr\i ca
\begin{compactitem}
\item
sabit form\"uller sabit ile,
\item
de\u gillemeler $\lnot$ ile,
\item
ikili bile\c sikler ayra\c c ile
\end{compactitem}
ba\c slar.
O zaman
\begin{compactitem}
  \item
bir sabit,
ne de\u gilleme ne ikili bile\c sik olabilir;
\item
de\u gilleme, ikili bile\c sik olamaz.
\end{compactitem}
Sonunda ikili bir bile\c si\u gin
tek bir \c sekilde ikili oldu\u gunu
kan\i tlamal\i y\i z.
\"Onerme form\"ullerinin tan\i m\i\
\"ozyineli oldu\u gundan
\textbf{t\"umevar\i m}%%
\index{t\"umevar\i m}
(\eng{induction}) 
y\"ontemini kullanabiliriz.

\begin{theorem}\label{thm:ur}
E\u ger bir $(F*G)$ form\"ul\"u
bir $(H\mathbin{\dag}K)$ form\"ul\"uyle
ayn\i\ ise, 
o zaman $F$ ve $H$ form\"ulleri de birbiriyle ayn\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
Bir \"onerme form\"ul\"un\"un sonuna yeni simgeler eklenerek
yeni \"oner\-me form\"ul\"un\"un elde edilemeyece\u gini g\"ostermek yeter.
Asl\i nda her $L$ form\"ul\"u i\c cin
\begin{compactitem}
  \item
hem sonuna yeni simgeler eklenerek
\item
hem de  sonundan simgeler kald\i r\i larak
\end{compactitem}
yeni bir \"onerme form\"ul\"un\"un elde edilemeyece\u gini g\"osterece\u giz.
%Form\"uller ta\-n\i m\i n\i n sa\u glad\i\u g\i\ t\"umevar\i m y\"ontemini kullanaca\u g\i z.
\begin{asparaenum}
  \item
$L$ bir \"onerme de\u gi\c skeniyse, 
iddiam\i z do\u grudur.
\item
T\"umevar\i m hipotezi olarak
$L$'nin ya $F$ ya da $G$ form\"ul\"u oldu\u gu durumda
iddiam\i z\i n do\u gru oldu\u gunu varsayal\i m.
\c Simdi $L$, bir $(F*G)$ form\"ul\"u olsun.
M\"umk\"unse,
sonuna yeni simgeler eklenerek
veya sonundan simgeler kald\i r\i larak
yeni bir form\"ul \c c\i kar\i ls\i n.
Bu form\"ul $(H\dag K)$ bi\c ciminde olmal\i d\i r,
\c c\"unk\"u ayra\c c ile ba\c slar.
E\u ger $F$ ve $H$ birbiriyle ayn\i ysa,
o zaman
ya $G$, $K$'nin ba\c s\i ndan bir par\c cas\i d\i r,
ya da $K$, $G$'nin ba\c s\i ndan bir par\c cas\i d\i r.
Varsay\i m\i m\i za g\"ore bu m\"umk\"un de\u gildir.
Ayn\i\ \c sekilde
$F$ ve $H$ birbirinden farkl\i\ olamaz.
B\"oylece $L$ bir $(F*G)$ form\"ul\"u ise,
iddiam\i z do\u grudur.
\item
Benzer \c sekilde $L$ form\"ul\"un\"un bir $F$ form\"ul\"u oldu\u gu zamanda
iddiam\i z do\u gru ise,
$L$ form\"ul\"un\"un $\lnot F$ form\"ul\"u oldu\u gu zamanda da do\u grudur.
  \item
$L$ ya $0$ ya da $1$ ise, 
iddiam\i z do\u grudur.
\end{asparaenum}
B\"oylece her durumda iddiam\i z do\u grudur.
\end{proof}

\begin{exercise}\mbox{}
  \begin{compactenum}[(a)]
  \item
Her $(F*G)$ form\"ul\"u sadece
\begin{equation*}
F*G
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i rsa,
\Teoremin{thm:ur} yanl\i\c s oldu\u gunu g\"osterin.
  \item
Her $(F*G)$ form\"ul\"u
\begin{equation*}
(F*G
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i rsa,
teoremin hala do\u gru oldu\u gunu g\"osterin.
  \item
Her $(F*G)$ form\"ul\"u
\begin{equation*}
F*G)
\end{equation*}
olarak yaz\i l\i rsa,
teorem hala do\u gru mudur?
  \end{compactenum}
\end{exercise}

\begin{comment}

\Teorem{thm:ur} sayesinde
bir $(F*G)$ \"onerme
form\"ul\"un\"un $*$ ba\u glay\i c\i s\i,
form\"ul\"un \textbf{anaba\u glay\i c\i s\i}%%
\index{anaba\u glay\i c\i s\i}  
olarak tan\i mlanabilir.
Benzer \c sekilde
$\lnot F$ form\"ul\"un\"un anaba\u glay\i c\i s\i\
$\lnot$ simgesidir.
$0$ veya $1$, kendisinin anaba\u glay\i c\i s\i d\i r.
Ancak bir de\u gi\c skenin anaba\u glay\i c\i s\i\ yoktur.
B\"oylece her de\u gi\c sken olmayan form\"ul\"un 
sadece bir tane anaba\u glay\i c\i s\i\ vard\i r.  

\end{comment}

\section{Altform\"uller}

Bir \"oner\-me form\"ul\"un\"un
\textbf{altform\"ulleri}
(\eng{subformulas})
a\c sa\u g\i daki kurallara
uyar.
\begin{compactitem}
\item
Her \"onerme form\"ul\"u,
kendisinin altform\"ul\"ud\"ur.
\item 
$F$'nin veya $G$'nin altform\"ul\"u olan
her form\"ul,
$(F*G)$ form\"ul\"un\"un bir altform\"ul\"ud\"ur.
\item 
$F$ form\"ul\"un\"un her altform\"ul\"u,
$\lnot F$ form\"ul\"un\"un bir altform\"ul\"ud\"ur.
\end{compactitem}
\"Orne\u gin 
$\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor 1)\bigr)\liff0\Bigr)$
form\"ul\"un\"un altform\"ulleri,
\Sekilde{fig:alt-f}ki
%a\c sa\u g\i daki
tabloda s\i ralanm\i\c st\i r.
\begin{figure}
  \begin{equation*}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  \begin{array}{cc}
\text{altform\"ul}&\text{anaba\u glay\i c\i s\i}\\\hline
\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor 1)\bigr)\liff0\Bigr)&\liff\\
 \lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)        &\lnot\\
      \bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)        &\lto\\
       (P\land Q)                     &\land\\
        P                             &\text{(yok)}\\
               Q                      &\text{(yok)}\\
                     (R\land1)        &\land\\
                      R               &\text{(yok)}\\
                            1         &1\\
                                    0 &0
  \end{array}
  \end{equation*}

  \caption{Bir form\"ul\"un altform\"uller ve anaba\u glay\i c\i lar\i}%%
\label{fig:alt-f}
  
\end{figure}
\Teorem{thm:ur} sayesinde
verilen form\"ul\"un \emph{t\"um} altform\"ulleri
tablodad\i r.
Ayn\i\ \c sekilde bir $F$ form\"ul\"un\"un altform\"ulleri
\begin{equation*}
  \af F
\end{equation*}
k\"umesini olu\c sturursa,
o zaman her $P$ \"onerme de\u gi\c skeni i\c cin
\begin{equation*}
  \af P=\{P\},
\end{equation*}
ve ayr\i ca
\begin{align*}
\af{F*G}&=\{(F*G)\}\cup\af F\cup\af G,\\
\af{\lnot F}&=\{\lnot F\}\cup\af F,\\
\af e&=\{e\}.
\end{align*}
\"Onerme form\"ullerinin kendisinin tan\i m\i\ gibi
altform\"ullerin tan\i m\i\ \"ozyinelidir,
ama bu yeni tan\i m
\Teoreme{thm:ur} dayan\i r.

Bir form\"ul\"un altform\"ullerinin kendileri
veya anaba\u glay\i c\i lar\i,
\Sekil{fig:tree2} ve \numarada{fig:tree3}ki gibi
bir (ve tek bir) a\u gac\i n%%
\index{a\u ga\c c}
\textbf{d\"u\u g\"umleri}%%
\index{d\"u\u g\"um} 
olarak \c cizilebilir.
\begin{figure}
  \centering
\psset{levelsep=15mm}
\pstree{\Toval{$\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor 1)\bigr)\liff0\Bigr)$}}
       {\pstree{\Toval{$\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)$}}
               {\pstree{\Toval{$\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)$}}
                       {\pstree{\Toval{$(P\land Q)$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$Q$}}
                        \pstree{\Toval{$(R\lor1)$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$1$}}}}
        \Toval{$0$}}
\caption{D\"u\u g\"umleri form\"ul olan bir a\u ga\c c}\label{fig:tree2}
  
\end{figure}
\begin{figure}
  \centering
\psset{levelsep=8mm}
\pstree{\Toval{$\liff$}}
       {\pstree{\Toval{$\lnot$}}
               {\pstree{\Toval{$\lto$}}
                       {\pstree{\Toval{$\land$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$Q$}}
                        \pstree{\Toval{$\lor$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$1$}}}}
        \Toval{$0$}}
\caption{D\"u\u g\"umleri ba\u glay\i c\i\ 
veya de\u gi\c sken olan bir a\u ga\c c}\label{fig:tree3}
  
\end{figure}


\begin{theorem}
Bir form\"ulde, 
ne de\u gi\c sken ne ayra\c c olan her simge, 
bir ve sadece bir altform\"ul\"un anaba\u glay\i c\i s\i d\i r.  
\end{theorem}

\begin{proof}
T\"umevar\i m ve \Teoremi{thm:ur} kullanaca\u g\i z.
  \begin{asparaenum}
    \item
Bir de\u gi\c sken i\c cin iddiam\i z do\u grudur.
\item
\.Iddiam\i z $F$ ve $G$ i\c cin do\u gru olsun.
Bir $(F*G)$ form\"ul\"un\"un her altform\"ul\"u,
ya form\"ul\"un kendisidir,
ya $F$ altform\"ul\"un\"un altform\"ul\"ud\"ur,
ya da $G$ altform\"ul\"un\"un altform\"ul\"ud\"ur.
Tan\i ma g\"ore
$*$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n g\"ord\"u\u g\"um\"uz ge\c ci\c si,
form\"ul\"un kendisinin anaba\u glay\i c\i s\i d\i r.
\Teoremin{thm:ur} kan\i t\i\ sayesinde $*$'\i n bu ge\c ci\c si
ba\c ska altform\"ul\"un anaba\u glay\i c\i s\i\ olamaz.
Varsay\i m\i m\i za g\"ore,
bir $\dag$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n $F$ form\"ul\"undeki ge\c ci\c si,
$F$ form\"ul\"un\"un tek bir altform\"ul\"un\"un
anaba\u glay\i c\i s\i d\i r.
O zaman $\dag$'n\i n ge\c ci\c si,
$(F*G)$ form\"ul\"un\"un tek bir altform\"ul\"un\"un
anaba\u glay\i c\i s\i d\i r.
$G$ i\c cin ayn\i\ \c sey do\u grudur.
O zaman her $(F*G)$ form\"ul\"u i\c cin iddiam\i z do\u grudur.
\item
Benzer \c sekilde idd\i am\i z $F$ i\c cin do\u gru ise,
$\lnot F$ i\c cin de do\u grudur.
\item
\.Idd\i am\i z $0$ ve $1$ i\c cin do\u grudur.
  \end{asparaenum}
  %Form\"ullerin \"ozyinelemeli tan\i m\i na g\"ore,
  T\"umevar\i mdan
idd\i am\i z do\u grudur.
\end{proof}

\begin{sloppypar}
  Bundan sonra bir \textbf{do\u gruluk g\"ondermesi,}%%
  \index{do\u gru!---luk g\"ondermesi}
  \begin{compactitem}
  \item
    tan\i m k\"umesi
    \"onerme form\"ullerinden olu\c san k\"umesi olan,
  \item
    de\u ger k\"umesi $\{0,1\}$ olan,
  \item
    \Sekilde{fig:dgk}ki kurallara uyan
  \end{compactitem}
  bir $d$ fonksi\-yonudur.
  \begin{figure}
    \begin{equation*}
      \begin{array}{cc|cccc}
        d(F)&d(G)&d(F\land G)&d(F\lor G)&d(F\lto G)&d(F\liff G)\\\hline
        0&0&0&0&1&1\\
        1&0&0&1&0&0\\
        0&1&0&1&1&0\\
        1&1&1&1&1&1\\\hline
      \end{array}
    \end{equation*}
    \begin{align*}
      &  \begin{array}{c|c}
           d(F)&d(\lnot F)\\\hline
           0&1\\
           1&0\\\hline
         \end{array}&
      &\begin{array}{|c}
         d(1)\\\hline1\\\hline
       \end{array}&
      &\begin{array}{|c}
         d(0)\\\hline0\\\hline
       \end{array}
    \end{align*}
    \caption{Do\u gruluk g\"ondermesi kurallar\i}\label{fig:dgk}

  \end{figure}
  Her do\u gruluk g\"ondermesinin alt\i nda
  bir form\"ul\"un de\u geri,
  form\"ul\"un \textbf{do\u gruluk tablosunda}%%
  \index{do\u gru!---luk tablosu} g\"osteriliyor. 
  $F$ bir \"onerme form\"ul\"u 
  ve $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesiyse, 
  $d(F)$ de\u gerini hesaplamak i\c cin, 
  $F$ form\"ul\"un\"un her $G$ altform\"ul\"u i\c cin 
  $d(G)$ de\u gerini hesaplamal\i y\i z.  
  Bu $d(G)$ de\u geri,
  $F$ form\"ul\"un\"un do\u gruluk tablosunda,
  \begin{compactenum}[1)]
  \item 
    e\u ger $G$ bir de\u gi\c skense,
    $G$ alt\i nda, 
  \item
    e\u ger $G$ de\u
    gi\c sken de\u gilse,
    $G$ form\"ul\"un\"un anaba\u glay\i c\i s\i\ alt\i nda,
  \end{compactenum}
  g\"osterilebilir.
  Mesela $\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)\liff0\Bigr)$ 
  form\"ul\"u i\c cin,
  \Sekilde{fig:full}ki do\u gruluk tablosu \c c\i kar.
  \begin{figure}
    \centering
    $\begin{array}{*{10}c} 
      \Bigl(\lnot&\bigl(P&\land&Q)&\lto&(R&\land&1)\bigr)&\liff&0\Bigr)\\\hline
      0& 0&    0&0 &   1& 0&    0&1  &    1&0 \\
      0& 1&    0&0 &   1& 0&    0&1  &    1&0 \\
      0& 0&    0&1 &   1& 0&    0&1  &    1&0 \\
      1& 1&    1&1 &   0& 0&    0&1  &    0&0 \\
      0& 0&    0&0 &   1& 1&    1&1  &    1&0 \\
      0& 1&    0&0 &   1& 1&    1&1  &    1&0 \\
      0& 0&    0&1 &   1& 1&    1&1  &    1&0 \\
      0& 1&    1&1 &   1& 1&    1&1  &    1&0
    \end{array}$
    \caption[Do\u gruluk tablosu]{Altform\"ullerin de\u gerlerini g\"osteren do\u gruluk tablosu}%%%
    \label{fig:full}
  \end{figure}
  O zaman form\"ul\"un kendisinin do\u gruluk tablosu,
  \Sekilde{fig:reduced} g\"or\"un\"ur.
  \begin{figure}
    \begin{equation*}
      \begin{array}{ccc|c}
        P&Q&R&\Bigl(\lnot\bigl((P\land Q)\lto(R\lor1)\bigr)\liff0\Bigr)\\\hline
        0&0&0&1\\
        1&0&0&1\\
        0&1&0&1\\
        1&1&0&0\\
        0&0&1&1\\
        1&0&1&1\\
        0&1&1&1\\
        1&1&1&1
      \end{array}
    \end{equation*}
    \caption{Form\"ul\"un kendisinin do\u gruluk tablosu}\label{fig:reduced}
    
  \end{figure}
  Hesaplamalar\i n s\i ras\i, ad\i m ad\i m \Sekilde{fig:tt} g\"or\"un\"ur.
  \begin{figure}[p]
    \centering\relscale{0.7}
    $\begin{array}{rrclcrclcl}
      \Bigl(\lnot&\bigl((P&\land&Q)&\lto&(R&\land&1)\bigr)&\liff&0\Bigr)\\\hline
      %(\lnot&((P&\land&Q)&\lto&(R&\land&1))&\liff&0)\\\hline
      &  0&     &0 &    & 0&     &1  &     &0\\
      &  1&     &0 &    & 0&     &1  &     &0\\
      &  0&     &1 &    & 0&     &1  &     &0\\
      &  1&     &1 &    & 0&     &1  &     &0\\
      &  0&     &0 &    & 1&     &1  &     &0\\
      &  1&     &0 &    & 1&     &1  &     &0\\
      &  0&     &1 &    & 1&     &1  &     &0\\
      &  1&     &1 &    & 1&     &1  &     &0\\\hline
      &  0&    0&0 &    & 0&    0&1  &     &0\\
      &  1&    0&0 &    & 0&    0&1  &     &0\\
      &  0&    0&1 &    & 0&    0&1  &     &0\\
      &  1&    1&1 &    & 0&    0&1  &     &0\\
      &  0&    0&0 &    & 1&    1&1  &     &0\\
      &  1&    0&0 &    & 1&    1&1  &     &0\\
      &  0&    0&1 &    & 1&    1&1  &     &0\\
      &  1&    1&1 &    & 1&    1&1  &     &0\\\hline
      &  0&    0&0 &   1& 0&    0&1  &     &0\\
      &  1&    0&0 &   1& 0&    0&1  &     &0\\
      &  0&    0&1 &   1& 0&    0&1  &     &0\\
      &  1&    1&1 &   0& 0&    0&1  &     &0\\
      &  0&    0&0 &   1& 1&    1&1  &     &0\\
      &  1&    0&0 &   1& 1&    1&1  &     &0\\
      &  0&    0&1 &   1& 1&    1&1  &     &0\\
      &  1&    1&1 &   1& 1&    1&1  &     &0\\\hline
      0&  0&    0&0 &   1& 0&    0&1  &     &0\\
      0&  1&    0&0 &   1& 0&    0&1  &     &0\\
      0&  0&    0&1 &   1& 0&    0&1  &     &0\\
      1&  1&    1&1 &   0& 0&    0&1  &     &0\\
      0&  0&    0&0 &   1& 1&    1&1  &     &0\\
      0&  1&    0&0 &   1& 1&    1&1  &     &0\\
      0&  0&    0&1 &   1& 1&    1&1  &     &0\\
      0&  1&    1&1 &   1& 1&    1&1  &     &0\\\hline
      0&  0&    0&0 &   1& 0&    0&1  &    1&0\\
      0&  1&    0&0 &   1& 0&    0&1  &    1&0\\
      0&  0&    0&1 &   1& 0&    0&1  &    1&0\\
      1&  1&    1&1 &   0& 0&    0&1  &    0&0\\
      0&  0&    0&0 &   1& 1&    1&1  &    1&0\\
      0&  1&    0&0 &   1& 1&    1&1  &    1&0\\
      0&  0&    0&1 &   1& 1&    1&1  &    1&0\\
      0&  1&    1&1 &   1& 1&    1&1  &    1&0
    \end{array}$
    \caption{Do\u gruluk tablosu hesaplanmas\i}\label{fig:tt}
  \end{figure}
  Her form\"ul\"un do\u gruluk tablosunun var oldu\u gundan dolay\i,
  a\c sa\u g\i daki teorem do\u g\-rudur.
\end{sloppypar}

\begin{theorem}\label{thm:hat}
  Her $P$ \"onerme de\u gi\c skeni i\c cin
bir $e_P$ do\u gruluk de\u geri se\c cil\-mi\c s olsun.
O zaman bir ve tek bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin,
her $P$ i\c cin
\begin{equation*}
  d(P)=e_P.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  Buradaki $d$ do\u gruluk g\"ondermesi,
  \"ozyineleme ile tan\i mlan\i r.
  Asl\i nda \Sayfada{eqn:ddd}ki gibi
  \begin{gather*}
d(\lnot F)=1+d(F),\\
d(F\liff G)=1+d(F)+d(G),\\
d(F\lor G)
=d(F)+d(G)+d(F)\cdot d(G),\\
d(e)=e.
\end{gather*}
  \Teoremde{thm:ur}n dolay\i\
  b\"oyle bir tan\i m\i n yap\i lmas\i\
  m\"umk\"und\"ur.
\end{proof}

Son b\"ol\"umde dedi\u gimiz gibi, 
\"onerme form\"ullerinde baz\i\ ayra\c clar gerekmez ve kullan\i lmayabilir.
\"Orne\u gin d\i\c s ayra\c clar silinebilir.
Ba\c ska ayra\c clar\i n silinebilmesi i\c cin,
do\u gruluk de\u gerleri
a\c sa\u g\i daki s{\i}rada
hesaplans\i n:
\begin{compactenum}[1)]
\item
$0$ ve $1$,
\item 
$\lnot$,
\item 
$\land$ ve $\lor$,
\item 
$\lto$ ve $\liff$,
\item\label{sagdaki} 
bir ba\u glay\i c\i n\i n iki ge\c ci\c si varsa,
sa\u gdaki.
\end{compactenum}
\"Orne\u gin:
  \begin{compactenum}[a)]
\item
$F*G$ demek $(F*G)$ demektir,
\item
$\lnot F*G$ ve $\lnot(F*G)$ farkl\i d\i r,
    \item
$F\lto G\lor H$ demek $F\lto(G\lor H)$ demektir,
\item
$F\land G\lor H$ belirsiz (onun i\c cin yaz\i lmaz),
\item
$F\land G\land H$ demek $F\land(G\land H)$ demektir,
\item
$F\lto G\lto H$ demek $F\lto(G\lto H)$ demektir,
\item
$F\lto G\land H\lto K$ demek $F\lto ((G\land H)\lto K)$ demektir. 
  \end{compactenum}
 
\begin{exercise}
A\c sa\u g{\i}daki de\u gi\c skensiz form\"ulleri hesaplay{\i}n.
\begin{multicols}2
\begin{compactenum}[a)]
\item
$1\lto 1\lto 1$,
\item
$1\lto 0\lto 1$,
\item
$(0\lto 1)\liff 1$,
\item
$(0\liff 1)\liff0\liff 1$,
\item
$0\liff1\liff0\liff 1$,
\item
$\lnot\lnot\lnot 0$,
\item
$(1\lor 0)\land 0$,
\item
$1\lor (0\land 0)$.
\end{compactenum}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}
A\c sa\u g{\i}daki form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ yap{\i}n:
\begin{compactenum}[a)]
\renewcommand{\labelenumii}{(\theenumii)}
\item
$P\lto Q\lto P$,
\item
$P\land Q\land R$,
\item
$\lnot(P\liff\lnot(Q\liff R))$,
\item
$(P\lto Q\lor R)\lto\lnot P\lor Q$,
\item
 $(P\lto Q\lor\lnot R)\land(Q\lto P\land R)\lto P\lto R$,
\item
$\lnot(\lnot R\lto P\lto\lnot(R\lto Q))$.
\end{compactenum}
\end{exercise}

\part{Kan\i tlar}

\chapter{Denklik}

\.Iki \"onermenin do\u gruluk de\u geri her durumda ayn\i ysa, o
\"onermeler, mant\i ksal olarak birbirine \textbf{e\c sde\u ger}%%
\index{e\c sde\u ger}
veya
\textbf{denktir.}%%
\index{denk}\label{denktir}  

\.Iki \"onerme \emph{form\"ul\"un\"un} do\u gruluk
tablolar\i\ ayn\i ysa, 
o form\"uller de birbirine \textbf{e\c sde\u ger} veya \textbf{denktir.}  
Her form\"ul kendisine de denktir.

Zaten \sayfada{13} ba\c slayan \"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri
\"orne\u ginde denk\-likler kulland\i k.  
Mesela $P\lor Q\lto R$ \"onermesi 
$(P\lto R)\land(Q\lto R)$ \"onermesine denktir.
($P\lor Q\lto R$ ifadesinin $((P\lor Q)\lto R)$ 
demek oldu\u gunu hat\i rlay\i n.)  
Bu \"onermelerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ hesaplayal\i m:
\begin{align*}
&\begin{array}{ccccc}
P&\lor&Q&\lto&R\\\hline
0&   0&0&   1&0\\
1&   1&0&   0&0\\
0&   1&1&   0&0\\
1&   1&1&   0&0\\
0&   0&0&   1&1\\
1&   1&0&   1&1\\
0&   1&1&   1&1\\
1&   1&1&   1&1
\end{array}
&&
\begin{array}{ccccccccccc}
(&P&\lto&R&)&\land&(&Q&\lto&R&)\\\hline
 &0&   1&0& &    1& &0&   1&0&\\
 &1&   0&0& &    0& &0&   1&0&\\
 &0&   1&0& &    0& &1&   0&0&\\
 &1&   0&0& &    0& &1&   0&0&\\
 &0&   1&1& &    1& &0&   1&1&\\
 &1&   1&1& &    1& &0&   1&1&\\
 &0&   1&1& &    1& &1&   1&1&\\
 &1&   1&1& &    1& &1&   1&1&
\end{array}
\end{align*}
B\"oylece 
%\ref{fig:tt-5} numaral\i\ \c Sekildeki 
\Sekilde{fig:tt-5}ki 
%a\c sa\u g\i daki
tablolar\i\ elde ederiz.
\begin{figure}
\mbox{}\hfill
%\begin{align}\label{eqn:tt-5}
$\begin{array}{ccc|c}
P&Q&R&P\lor Q\lto R\\\hline
0&0&0&1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
1&1&0&0\\
0&0&1&1\\
1&0&1&1\\
0&1&1&1\\
1&1&1&1
\end{array}$
\hfill
$\begin{array}{ccc|c}
P&Q&R&(P\lto R)\land(Q\lto R)\\\hline
0&0&0&1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
1&1&0&0\\
0&0&1&1\\
1&0&1&1\\
0&1&1&1\\
1&1&1&1
\end{array}$
%\end{align}
\hfill\mbox{}
\caption%[$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$ form\"ullerin tablolar\i]
{%$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$
\.Iki form\"ul\"un do\u gruluk tablolar\i}\label{fig:tt-5}  
\end{figure}
Bu tablolar, birbiriyle ayn\i d\i r; onun i\c cin
\begin{equation*}
P\lor Q\lto R\denktir(P\lto R)\land(Q\lto R)
\end{equation*}
ifadesini yazaca\u g\i z.
Genelde, $F$ ve $G$ \"onerme form\"ulleri e\c sde\u ger ise,   
\begin{equation*}
F\sim G
\end{equation*}
ifadesini de
yazabiliriz.
\"Orne\u gin
\begin{equation*}
P\lor Q\lto R\sim(P\lto R)\land(Q\lto R).
\end{equation*}
Ancak, dikkatli olunmal\i: $F\sim G$ ifadesi \"onerme form\"ul\"u de\u gil; 
sadece \enquote{$F$ ve $G$ form\"ulleri, birbirine denktir} c\"umlesi i\c cin,
yani
\begin{equation*}
F\denktir G
\end{equation*}
 c\"umlesi i\c cin, bir k\i saltmad\i r.

Bir $F\lto G$ \"onerme, \textbf{ko\c sullu \"onermedir,}%%
\index{ko\c sullu \"onerme}
ve onun 
\begin{compactenum}[1)]
\item 
\textbf{tersi}%%
\index{ters} 
veya \textbf{evri\u gi,}%%
\index{evrik} 
$G\lto F$ c\"umlesidir,
\item
\textbf{kar\c s\i t tersi,}%%
\index{kar\c s\i t tersi} 
$\lnot G\lto\lnot F$ c\"umlesidir.
\end{compactenum}

\begin{theorem}
Bir ko\c sullu \"onerme,
  \begin{compactenum}[1)]
  \item 
tersine denk olmayabilir,
\item
kar\c s\i t tersine her zaman denktir.
  \end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \cexercise
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm:denk}
A\c sa\u g\i daki e\c sde\u gerliklerimiz vard\i r.
  \begin{compactenum}
\item
Her \"onerme, sadece $\lnot$ ve $\land$ ile yaz\i labilir:
  \begin{gather*}
  P\lor Q\denktir\lnot(\lnot P\land\lnot Q),\\
    P\lto Q\denktir \lnot P\lor Q,\\
P\liff Q\denktir(P\lto Q)\land (Q\lto P).
  \end{gather*}
  \item
Her \"onerme, sadece $\lnot$ ve $\lto$ ile yaz\i labilir:
\begin{equation*}
  P\land Q\denktir\lnot(P\lto\lnot Q).
  \end{equation*}
    \item
\c Cifte de\u gilleme%% 
\index{\c Cifte De\u gilleme}
kald\i r\i labilir:
\begin{equation*}
  \lnot\lnot P\denktir P.
\end{equation*}
\item
De Morgan\index{De Morgan}%%%%%
\footnote{Augustus De Morgan, 1806--71, B\"uy\"uk
  Britanyal\i\ matematik\c ci ve mant\i k\c
  c\i\ \cite{Struik,Struik-TR}.} kurallar\i:
\begin{align*}
  \lnot (P\lor Q)&  \denktir \lnot P\land \lnot Q,\\
  \lnot (P\land Q)&  \denktir \lnot P\lor \lnot Q.
\end{align*}
\item
$\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n 
de\u gi\c sme%%%
\index{De\u gi\c sme} 
\"ozelli\u gi:
\begin{gather*}
  P\land Q  \denktir Q\land P,\\
  P\lor Q  \denktir Q\lor P,
\end{gather*}
$\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n 
birle\c sme%%%
\index{Birle\c sme} 
\"ozelli\u gi:
\begin{gather*}
  (P\land Q)\land R  \denktir P\land (Q \land R),\\
  (P \lor Q)\lor R  \denktir P\lor (Q\lor R).
\end{gather*}
\item
$\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i\ birbiri \"uzerine da\u g\i l\i r:%%
\index{Da\u g\i lma}
\begin{align*}
 P&\land(Q\lor R)\denktir (P\land Q)\lor(P\land R),\\
 P&\lor(Q\land R)\denktir (P\lor Q)\land(P\lor R).
\end{align*}
\item
Fazlal\i klar:%%
\index{Fazlal\i k}
\begin{align*}
&
  \begin{gathered}
  P\land P  \denktir P,\\
P\land\lnot P  \denktir 0,\\
P\land 1  \denktir P,\\
   P\land 0  \denktir 0,
  \end{gathered}&&
  \begin{gathered}
  P\lor  P  \denktir P, \\
 P\lor \lnot P  \denktir 1,\\
P\lor  0  \denktir P,\\
   P\lor  1  \denktir 1.
  \end{gathered}
\end{align*}
\item
Yeni de\u gi\c sken:%%
\index{Yeni De\u gi\c sken}
\begin{align*}
  P&\denktir (P\land Q)\lor (P\land \lnot Q),\\
  P&\denktir (P\lor Q)\land (P\lor \lnot Q).
\end{align*}
\item
Yutma:\index{Yutma}
\begin{align*}
P\land(P\lor Q)& \denktir P,\\
P\lor(P\land Q)& \denktir P.
\end{align*}
  \end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

Bu teoremden, a\c sa\u g\i daki teoremi kullanarak, sonsuz say\i da 
denklikler elde edebiliriz.  
\"Orne\u gin $P\lto Q$ form\"ul\"u $\lnot P\lor Q$
form\"un\"une denk oldu\u gundan 
\begin{equation*}
  P\land Q\lto R\denktir\lnot(P\land Q)\lor R
\end{equation*}
denkli\u gini elde ederiz.

\begin{theorem}[De\u gi\c stirim]\label{thm:sub}\index{De\u gi\c stirim}
  $F$ ve $G$ birbirine denk olan form\"uller olsun,
$P$ bir \"onerme de\u gi\c skeni olsun,
ve $H$ bir \"onerme form\"ul\"u olsun.  
E\u ger $F$ form\"ul\"unde $P$ de\u gi\c skeninin ge\c cti\u gi her yere 
$H$ konulursa, 
$F'$ form\"ul\"u elde edilsin; 
benzer \c sekilde, $G$ form\"ul\"unden
  $G'$ elde edilsin.  O zaman
  \begin{equation*}
    F'\denktir G'.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  $F$ veya $G$ form\"ul\"un\"un de\u gi\c skenleri 
$P$, $Q_1$, $Q_2$, \dots, $Q_n$ olsun,
$d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun,
  ve
  \Teoremi{thm:hat} kullanarak
  $d^*$ \"oyle bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun ki
\begin{align*}
  d^*(P)&=d(H),&
d^*(Q_1)&=d(Q_1),&
%d^*(Q_2)&=d(Q_2),&
&\dots,&
d^*(Q_n)&=d(Q_n)
\end{align*}
olsun.
O zaman
(neden?)
\begin{align*}
  d(F')&=d^*(F),&d(G')&=d^*(G)
\end{align*}
dolay\i s\i yla
$d^*(F)=d^*(G)$ oldu\u gundan $d(F')=d(G')$.
\end{proof}

\begin{exercise}
  Son kan\i tta $d(F')=d^*(F)$ neden oldu\u gunu anlat\i n.
\end{exercise}

Teoremde 
$F'$ ve $G'$ form\"ulleri,
$F$ ve $G$ form\"ullerinde $P$ de\u gi\c skeninin 
$H$ form\"ul\"u ile \textbf{de\u gi\c stirim}
(\eng{replacement}) \cite[s.\ 46]{MTS} ile elde edilir.

\"Ustelik $\lnot(P\land Q)$ form\"ul\"u
$\lnot P\lor\lnot Q$ form\"ul\"une denk oldu\u gundan,
  sonraki teorem sayesinde,
\begin{equation*}
\lnot(P\land Q)\lor R\denktir(\lnot P\lor\lnot Q)\lor R  
\end{equation*}
denkli\u gini elde ederiz.

\begin{theorem}[Yerine Koyma]\label{thm:rep}\index{Yerine Koyma}
  $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"un bir altform\"ul\"u olsun,
  ve $F^*$ form\"ul\"u $F$ form\"ul\"une denk olsun.  
E\u ger $G$ form\"ul\"unde $F$ altform\"ul\"un\"un yerine $F^*$ konulursa,
  $G^*$ form\"ul\"u elde edilsin.  O zaman
  \begin{equation*}
    G\denktir G^*.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \cexercise
\end{proof}

Teoremde $G^*$ form\"ul\"u,
$G$ form\"ul\"undan \textbf{yerine koyma} (\eng{replacement})
\cite[s.\ 148]{MTS} elde edilir.
\c Simdi a\c sa\u g\i daki teorem ispatlanabilir:

\begin{theorem}
  $(P\lor Q)\land(R\lor S)$ form\"ul\"u,
  \begin{equation*}
    (P\land R)\lor(Q\land R)\lor(P\land
    S)\lor(Q\land S)
  \end{equation*}
form\"ul\"une denktir.
\end{theorem}

\begin{proof}
\Teoremde{thm:denk}ki kurallar\i\ kullanarak
a\c sa\u g\i daki denklikleri elde ederiz.
\begin{align*}
  &\phantom{{}\sim{}}(P\lor Q)\land(R\lor S)&&\\
  &\sim((P\lor Q)\land R)\lor((P\lor Q)\land S)&&\text{[Da\u g\i lma]}\\
  &\sim(R\land(P\lor Q))\lor(S\land(P\lor Q))&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
&\sim((R\land P)\lor(R\land Q))\lor((S\land P)\lor(S\land
  Q))&&\text{[Da\u g\i lma]}\\
&\sim(R\land P)\lor(R\land Q)\lor(S\land P)\lor(S\land
  Q)&&\text{[Birle\c sme]}\\
&\sim(P\land R)\lor(Q\land R)\lor(P\land S)\lor(Q\land
  S)&&\text{[De\u gi\c sme]}
\end{align*}
Her ad\i mda De\u gi\c stirim veya Yerine Koyma i\c slemlerini
(veya ikisini) kulland\i k.
\end{proof}

Benzer \c sekilde:

\begin{theorem}
  \begin{gather*}
    \lnot P\lor(P\land Q)\denktir\lnot P\lor Q,\\
    P\lor(\lnot P\land Q)\denktir P\lor Q,\\
    \lnot P\land(P\lor Q)\denktir\lnot P\land Q,\\
    P\land(\lnot P\lor Q)\denktir P\land Q.
  \end{gather*}
\end{theorem}

\begin{proof}
     A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz vard\i r.
    \begin{align*}
&\phantom{{}\sim{}}\lnot P\lor(P\land Q)&&\\
&\sim(\lnot P\lor P)\land(\lnot P\lor Q)&&\text{[Da\u g\i lma]}\\
&\sim 1\land(\lnot P\lor Q)&&\text{[Fazlal\i k]}\\
&\sim\lnot P\lor Q&&\text{[Fazlal\i k]}
    \end{align*}
Di\u ger denklikler, \cexercise
\end{proof}

\chapter{Gerektirme}

\Sayfada{denktir}ki tan\i ma g\"ore,
e\u ger her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=d(G)$ ise, 
o zaman $F$ ve $G$ birbirine denktir.  
Yani her $d$ i\c cin
\begin{compactitem}
\item
$d(F)=1$ ise $d(G)=1$,
\item
$d(G)=1$ ise $d(F)=1$
\end{compactitem}
durumunda $F\sim G$.
\c Simdi her $d$ i\c cin $d(F)=1$ ise $d(G)=1$ ol\-du\u gunu varsayal\i m.  
O zaman $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u \textbf{gerektirir} deriz.%%
\index{gerektirme}

Her form\"ul kendisini gerektirir.
A\c sik\^ar olmayan \"ornek olarak
\Sekilde{fig:PQR}ki
\begin{figure}
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc|c|c}
P&Q&R&P\lor Q\lto R&P\lto R\\\hline
0&0&0&1&1\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&1\\
1&1&0&0&0\\
0&0&1&1&1\\
1&0&1&1&1\\
0&1&1&1&1\\
1&1&1&1&1
\end{array}
\end{equation*}

  \caption{Gerektirmeyi g\"osteren bir do\u gruluk tablosu}\label{fig:PQR}
  
\end{figure}
 do\u gruluk tablosundan
  \begin{equation*}
P\lor Q\lto R\gerektirir P\lto R.
  \end{equation*}
  Bu do\u grudur \c c\"unk\"u
tablodaki her sat\i rda, 
ya $P\lor Q\lto R$ form\"ul\"un\"un de\u geri $0$, 
ya da $P\lto R$ form\"ul\"un\"un de\u geri $1$.  
Tabii ki ikisi de olabilir.

Genelde, $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirirse,\label{models}
\begin{equation*}
  F\models G
\end{equation*}
ifadesini yazabiliriz.  
Bu ifade, \enquote{$F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir} c\"umlesi i\c cin,
yani
\begin{equation*}
F\gerektirir G
\end{equation*}
c\"umlesi i\c cin, bir k\i saltmad\i r.
\"Orne\u gin
\begin{equation*}
  P\lor Q\lto R\models P\lto R.
\end{equation*}

\begin{theorem}
A\c sa\u g\i daki gerektirmelerimiz vard\i r.
  \begin{description}
    \item[Basitle\c stirme:]\index{Basitle\c stirme}
      \begin{align*}
	P\land Q&\gerektirir P,&
	P\land Q&\gerektirir Q.
      \end{align*}
\item[Ekleme:]\index{Ekleme}
  \begin{align*}
    	P&\gerektirir P\lor Q,&
	Q&\gerektirir P\lor Q.
  \end{align*}
\end{description}
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

\.Iki form\"ul de bir form\"ul\"u gerektirebilir.
$F$ ve $G$ form\"ulleri $H$ form\"ul\"un\"u gerektirir, 
ancak ve ancak her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
ya $d(F)=0$, ya $d(G)=0$, ya da $d(H)=1$.  Mesela
\Sekilde{fig:PQR2}ki do\u gruluk tablosundan 
\begin{equation*}
P\lto Q\ile Q\lto R\gerektirir P\lto R.
\end{equation*}
\begin{figure}
  \begin{equation*}
\begin{array}{ccc|cc|c}
P&Q&R&P\lto Q&Q\lto R&P\lto R\\\hline
0&0&0&      1&1&1\\
1&0&0&      0&1&0\\
0&1&0&      1&0&1\\
1&1&0&      1&0&0\\
0&0&1&      1&1&1\\
1&0&1&      0&1&1\\
0&1&1&      1&1&1\\
1&1&1&      1&1&1
\end{array}
\end{equation*}

  \caption{Gerektirmeyi g\"osteren bir do\u gruluk tablosu daha}\label{fig:PQR2}
  
\end{figure}
Asl\i nda sadece 1., 5., 7., ve 8.\ sat\i rlarda 
hem $P\lto Q$ ve $Q\lto R$ do\u grudur, 
ve o sat\i rlarda $P\lto R$ de do\u grudur.  
%Ancak $P\lto R$ ve $P\lto Q$, $Q\lto R$ form\"ul\"un\"u gerektirmez. 

\begin{theorem}\label{thm:bag-etc}
A\c sa\u g\i daki gerektirmelerimiz vard\i r.
\begin{description}
\item[Ba\u glama:]\index{Ba\u glama}
  \begin{equation*}
	P\ile Q\gerektirir P\land Q.
  \end{equation*}
\item[Ay\i rma:]\index{Ay\i rma}
  \begin{gather*}
    	P\ile P\lto Q\gerektirir Q,\\
	\lnot Q\ile P\lto Q\gerektirir\lnot P,\\
	P\lor Q\ile \lnot P\gerektirir Q,\\
	P\lor Q\ile\lnot Q\gerektirir P.
  \end{gather*}
  \item[Hipotetik Tas\i m:]\index{Hipotetik Tas\i m}
  \begin{equation*}
	P\lto Q\ile Q\lto R\gerektirir P\lto R.
  \end{equation*}
\end{description}
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise\ (Hipotetik Tas\i m gerektirmesini
\Sekilde{fig:PQR2} ispatlad\i k.)  
\end{proof}

\.Ikiden fazla form\"ul, bir form\"ul gerektirebilir. 
$\Gamma$ (\emph{Gamma}), bir \"onerme form\"ul\"u \emph{k\"umesi}
olsun, ve $F$, bir \"onerme form\"ul\"u olsun.  
E\u ger her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
\begin{compactenum}[1)]
\item
ya $\Gamma$ k\"umesinde bir $G$ i\c cin $d(G)=0$,
\item
ya da $d(F)=1$
\end{compactenum}
sa\u glan\i yorsa,
o zaman $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u \textbf{gerektirir.}%%
\index{gerektirme}
Yani $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirir ancak ve ancak
$\Gamma\cup\{F\}$ k\"umesindeki b\"ut\"un form\"ullerin do\u gruluk
tablosunun her sat\i r\i nda,
\begin{compactenum}[1)]
\item 
ya $\Gamma$ k\"umesindeki bir form\"ul yanl\i\c st\i r,
\item
ya da $F$ form\"ul\"u do\u grudur.
\end{compactenum}

\begin{theorem}[Olumlu Dilemma]\index{Olumlu Dilemma}
A\c sa\u g\i daki gerektirmemiz vard\i r.
  \begin{equation*}
	P\lto Q\virgul R\lto S\ve P\lor R\gerektirir Q\lor S.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Bu gerektirme, 
\Sekilde{fig:tt4}ki 
do\u gruluk tablosundan
g\"or\"unebilir.
\begin{figure}[ht]
%\begin{equation*}
\centering
$\begin{array}{cccc|ccc|c}
P&Q&R&S&P\lto Q&R\lto S&P\lor R&Q\lor S\\\hline
0&0&0&0&1&1&0&0\\
1&0&0&0&0&1&1&0\\
0&1&0&0&1&1&0&1\\
1&1&0&0&1&1&1&1\\
0&0&1&0&1&0&1&0\\
1&0&1&0&0&0&1&0\\
0&1&1&0&1&0&1&1\\
1&1&1&0&1&0&1&1\\
0&0&0&1&1&1&0&1\\
1&0&0&1&0&1&1&1\\
0&1&0&1&1&1&0&1\\
1&1&0&1&1&1&1&1\\
0&0&1&1&1&1&1&1\\
1&0&1&1&0&1&1&1\\
0&1&1&1&1&1&1&1\\
1&1&1&1&1&1&1&1
\end{array}$
%\end{equation*}
\caption{Olumlu Dilemma i\c cin do\u gruluk tablosu}\label{fig:tt4}
\end{figure}
As\-l\i nda sadece 4., 12., 13., 15., ve 16.\ sat\i rlarda, 
hem $P\lto Q$ hem $R\lto S$ hem de $P\lor R$ do\u gru, 
ve o sat\i rlarda $Q\lor S$ de do\u gru. 
\end{proof}

\begin{exercise}\label{exer:ger}
$P\lor Q\lor R$, $P\lto Q$, ve $Q\lto R$ gerektirir $R$ oldu\u gunu
  g\"osterin. 
\end{exercise}

Bir \"onerme form\"ul\"u, bo\c s k\"ume taraf\i ndan gerektirilebilir.
Bu durumda, o form\"ule 
\textbf{(do\u grusal) ge\c cerli form\"ul}\index{ge\c cerli form\"ul}
veya 
\textbf{mant\i ksal do\u gru form\"ul}\index{mant\i ksal do\u gru form\"ul}
veya
\textbf{totoloji}\index{totoloji} 
denir.%%%%%
\footnote{Ali Nesin~\cite{Nesin-OM}, 
\"oyle form\"ullere \emph{hepdo\u gru} ad\i n\i\ verir.}   
%%%%%%%%%%%%%%%%%
O zaman $F$ bir totoloji, ancak ve ancak
her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=1$.  
Mesela,
\begin{align*}
&P\lor\lnot P,&&1
\end{align*}
form\"ulleri, totolojidirler.  A\c sa\u g\i daki teoremden
dolay\i\ yukar\i daki teoremleri kullanarak yeni totolojiler elde
edebiliriz.

\begin{theorem}
A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz vard\i r.
\begin{compactenum}
\item
$F$ ve $G$ form\"ulleri birbirine denktir, ancak ve ancak
\begin{equation*}
F\liff G
\end{equation*}
  form\"ul\"u bir totolojidir. 
\item
$F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir, ancak ve ancak
\begin{equation*}
F\lto
  G
\end{equation*}
 form\"ul\"u bir totolojidir. 
\item
$F$ ile $G$ form\"ulleri $H$ form\"ul\"un\"u gerektir, ancak ve ancak
\begin{equation*}
F\land G\lto H
\end{equation*}
form\"ul\"u bir totolojidir. 
\item
$F$, $G$, ve $H$ form\"ulleri, $K$ form\"ul\"un\"u gerektir, ancak ve
  ancak
  \begin{equation*}
F\land G\land H\lto K
\end{equation*}
form\"ul\"u bir totolojidir. 
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
$F\sim G$, ancak ve ancak 
her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=d(G)$, 
yani $d(F\liff G)=1$.  
Di\u ger b\"ol\"umler, \cexercise
\end{proof}

Sonraki teoremi g\"ormek yararl\i\ olabilir.

\begin{theorem}\label{thm:subset}
$\Gamma$, $\Delta$ (\emph{Delta}) k\"umesinin her eleman\i n\i\ i\c cersin.
Yani $\Gamma$, $\Delta$ k\"umesini kapsas\i n 
($\Delta\included\Gamma$ olsun).
\begin{quote}\centering
$\Delta\gerektirir F$ ise, o zaman $\Gamma\gerektirir F$.
\end{quote}
\end{theorem}

\begin{proof}
Gerektirme tan\i m\i ndan gelir.
\end{proof}

Bu teorem, sonraki teoremin \"ozel durumudur.

\begin{theorem}\label{thm:gerek-comp}
$\Gamma$, $\Delta$ k\"umesindeki her form\"ul\"u gerektirsin.
\begin{quote}\centering
$\Delta\gerektirir F$ ise, o zaman $\Gamma\gerektirir F$.
\end{quote}
\end{theorem}

\begin{proof}
Gerektirme tan\i m\i ndan gelir.
\end{proof}

\Sayfada{thm:sub}ki \Teorem{thm:sub} (De\u gi\c stirim Teoremi)
gibi bir teoremimiz vard\i r.

\begin{theorem}[De\u gi\c stirim]\label{thm:sub-2}
$\Gamma$ form\"uller k\"umesi $G$ form\"ul\"un\"u gerektirsin,
$P$ bir \"onerme de\u gi\c skeni olsun,
ve $H$ bir \"onerme form\"ul\"u olsun.  
E\u ger 
$\Gamma$ k\"umesinin her eleman\i nda
$P$ de\u gi\c skeninin ge\c cti\u gi
her yere $H$ konulursa, 
$\Gamma'$ form\"uller k\"umesi elde edilsin; 
benzer \c sekilde
$G$ form\"ul\"unden
$G'$ form\"ul\"u elde edilsin.
O zaman
  \begin{equation*}
    \Gamma'\gerektirir G'.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \cexercise
\end{proof}

Bu teorem dolay\i s\i yla
\begin{align*}
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P\models\lnot Q\lor R,&&&
\text{[Ay\i rma (\Teorem{thm:bag-etc})]}\\
Q\models\lnot\lnot Q,&&&
\text{[\c Cifte De\u gilleme (\Teorem{thm:denk})]}\\
\lnot Q\lor R,\ \lnot\lnot Q\models R.&&&\text{[Ay\i rma]}
\end{align*}
O zaman 
\Teoremde{thm:subset}n dolay\i
\begin{gather*}
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models\lnot Q\lor R,\\
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models\lnot\lnot Q,
\end{gather*}
ve \Teoremde{thm:gerek-comp}n dolay\i
\begin{equation*}
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models R. 
\end{equation*}
Bu gerektirmeyi, do\u gruluk tablolar\i\ kullanmadan ispatlad\i k.
Gerektir\-meyi kan\i tlamak i\c cin, sadece
\begin{align}\label{eqn:bk}
&P\lor\lnot Q\lor R,&
&\lnot P,&
&\lnot Q\lor R,&
&Q,&
&\lnot\lnot Q,&
&R
\end{align}
  form\"ulleri yazd\i k.
Bu form\"uller listesi, \emph{bi\c cimsel bir kan\i tt\i r.}
B\"oyle kan\i tlar
sonraki b\"ol\"um\"un konusudur.

\chapter{Bi\c cimsel Kan\i tlar}

E\u ger $\Gamma$,
\begin{multline*}
  \{\lnot(S\land T),\ (R\land Q)\lor(T\land Q),\ P\lor(S\land\lnot T),\\
  \lnot T\lor(Q\land(S\lor R)),\ \lnot R\lor T\}
\end{multline*}
form\"uller k\"umesi ise,
o zaman 
\begin{equation}\label{eqn:Gamma}
\Gamma\gerektirir P\land Q\land R\land\lnot S\land T.
\end{equation}
Bunu do\u gruluk tablosu y\"ontemiyle g\"ostermek s\i k\i c\i\ olurdu.
\emph{Bi\c cimsel kan\i t} y\"ontemi, bu durumda hem daha k\i sa, hem
daha ilgin\c ctir.  

\textbf{Bi\c cimsel kan\i t,}%
\index{bi\c cim!---sel kan\i t}\index{kan\i t}\label{kanit}
sadece bir form\"uller listesidir.
\c Simdi
\begin{equation*}
F_1,\dots,F_n,
\end{equation*}
b\"oyle bir liste olsun.
%bi\c cimsel bir kan\i t olsun.
Bu bi\c cimsel kan\i t\i n \textbf{sonucu,}\index{sonu\c c} 
$F_n$ form\"ul\"ud\"ur.
\c Simdi $1\leq k\leq n$ varsay\i ls\i n.  
E\u ger $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi 
$F_k$ form\"ul\"un\"u \emph{gerektirmezse,} 
o zaman $F_k$, bi\c cimsel kan\i t\i n \textbf{hipotezlerinden}%%
\index{hipotez} 
biridir.
E\u ger $k=1$ ise, 
o zaman $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi bo\c stur:
b\"oylece $F_1$ ya totoloji, ya hipotezdir.
Tan\i m\i m\i za g\"ore, bi\c cimsel bir kan\i t\i n sonucu
bir hipotez de olabilir.

Tekrar \sayfada{eqn:bk}ki \eqref{eqn:bk} %numaral\i\ \c Sekildeki 
listesine bakal\i m.
Bu bi\c cimsel kan\i t\i n hipotezleri, $P\lor\lnot Q\lor R$, $\lnot
P$, ve $Q$ form\"ulleridir.
$\lnot Q\lor R$, hipotez de\u gildir, 
\c c\"unk\"u onu
\"onceki form\"uller gerektirir; 
ayn\i\ nedenle, $R$ de hipotez de\u gildir.

\begin{theorem}\label{thm:kanit}
$\Gamma$ bir \"onerme form\"ulleri k\"umesi olsun.
E\u ger bir $F_1,\dots,F_n$ bi\c cimsel kan\i t\i n hipotezleri $\Gamma$
k\"umesinden geliyorsa, o zaman 
\begin{equation*}
\Gamma\gerektirir F_n.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  $1\leq k\leq n$ olmak \"uzere
  her $k$ i\c cin $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi
  $F_m$ form\"ul\"u gerektirmezse,
  varsay\i ma g\"ore $F_m$, $\Gamma$ k\"umesindedir.
  \c Simdi \Teorem{thm:subset} dolay\i s\i yla
  her $k$ i\c cin
  \begin{equation*}
    \Gamma\cup\{F_1,\dots,F_{k-1}\}\models F_k,
  \end{equation*}
  yani
\begin{gather*}
\Gamma\gerektirir F_1,\\
\Gamma\cup\{F_1\}\gerektirir F_2,\\
\Gamma\cup\{F_1,F_2\}\gerektirir F_3,\\
	\makebox[4.5cm]{\dotfill},\\
\Gamma\cup\{F_1,\dots,F_{n-1}\}\gerektirir F_n.
\end{gather*}
O zaman
\Teoremin{thm:gerek-comp} yard\i m\i yla
\begin{gather*}
\Gamma\gerektirir F_2,\\
\Gamma\gerektirir F_3,\\
	\makebox[2.35cm]{\dotfill},\\
\Gamma\gerektirir F_n.\qedhere
\end{gather*}
\end{proof}

Teoremdeki bi\c cimsel kan\i t
\begin{compactitem}
\item 
$\Gamma$ k\"umesinden $F_n$ form\"ul\"un\"u
\textbf{kan\i tlar;}\index{kan\i tlama} 
\item
\textbf{$F_n$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden} gelen
bi\c cimsel bir kan\i t\i d\i r.
\end{compactitem}

Son teoremin tersine g\"ore $\Gamma$ bir $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse,
o zaman $F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen
bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.
Teoremin tersi do\u gru mudur?
\begin{compactenum}
  \item
$\Gamma$ \emph{sonlu} ise,\label{sonlu}
teoremin tersi kolayca \c c\i kar.
Asl\i nda $\Gamma=\{F_1,\dots,F_{n-1}\}$ ve $\Gamma\models F$ ise, 
o zaman $F_1,\dots,F_{n-1},F$ listesi, 
$F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen
bi\c cimsel bir kan\i t\i d\i r.  
\item
$\Gamma$ k\"umesinin \emph{sonsuz} oldu\u gu durum i\c cin 
  B\"ol\"um \numaraya{tikizlik}
  %numaral\i\ b\"ol\"ume
  bak\i n.
\end{compactenum}
Sonlu durumda, $\Gamma$ k\"umesinin $F$
form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gini bir ki\c siye \emph{g\"ostermek}
istersek, sadece $F_1,\dots,F_{n-1},F$ listesini yazmak yeterli olmayabilir;
daha fazla form\"uller yazmam\i z gerekebilir.
\"Orne\u gin
\sayfada{exer:ger}ki
\Alistirmayi{exer:ger}
yapt\i ysak, a\c sa\u g\i 
daki listenin, $R$ form\"ul\"un\"un $P\lor Q\lor R$, $P\lto Q$, $Q\lto R$
hipotezlerinden bir bi\c cimsel kan\i t\i\ oldu\u gunu biliyoruz:
\begin{align*}
  &P\lor Q\lor R,&
&P\lto Q,&
&Q\lto R,&
&R.
\end{align*}
Ancak o al\i\c st\i rmay\i\ yapmad\i ysak,
a\c sa\u g\i daki gibi
daha fazla ad\i m gerekir:
\begin{gather*}
  P\lto Q,\\
\lnot P\lor Q,\\
\lnot P\lor Q\lor R,\\
Q\lto R,\\
\lnot Q\lor R,\\
(\lnot P\lor Q\lor R)\land(\lnot Q\lor R),\\
((\lnot P\lor Q)\land\lnot Q))\lor R,\\
(\lnot P\land\lnot Q)\lor R,\\
\lnot(P\lor Q)\lor R,\\
P\lor Q\lor R,\\
(\lnot(P\lor Q)\lor R)\land(P\lor Q\lor R),\\
(\lnot(P\lor Q)\lor P\lor Q)\land R,\\
1\land R,\\
R.
\end{gather*}
\Sekilde{fig:3al-ile}ki gibi
ad\i mlar\i n nedenlerini ekleyebiliriz.

\begin{exercise}
Yukar\i daki~\eqref{eqn:Gamma} gerektirmesinin,
\begin{gather*}
    (R\land Q)\lor(T\land Q),\\
(R\lor T)\land Q,\\
Q,\\
R\lor T,\\
\lnot R\lor T,\\
(R\lor T)\land(\lnot R\lor T),\\
(R\land\lnot R)\lor T,\\
1\lor T,\\
T,\\
\lnot(S\land T),\\
\lnot S\lor\lnot T,\\
\lnot\lnot T,\\
\lnot S%\lnot S\land T
,\\
P\lor(S\land\lnot T),\\
\lnot S\lor\lnot\lnot T,\\
\lnot(S\land\lnot T),\\
P,\\
\lnot T\lor(Q\land(S\lor R)),\\
Q\land(S\lor R),\\
S\lor R,\\
R,\\
R\land\lnot S,\\
R\land\lnot S\land T,\\
Q\land R\land\lnot S\land T,\\
P\land Q\land R\land\lnot S\land T
  \end{gather*}
bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.  
Her sat\i r\i n nedenini verin.
\end{exercise}

G\"ord\"u\u g\"um\"uz
%\Sekil{fig:3al-ile} ve \numarada{fig:kan}ki
bi\c cimsel kan\i tlarda,
hipotez olmayan her sat\i r,
bildi\u gi\-miz kurallara g\"ore
\"onceki sat\i rlar taraf\i ndan gerektirilir.
Bi\c cimsel kan\i tlarda kullan\i labilen kurallar kesinle\c stirilirse,
\emph{bi\c cimsel bir dizge}\index{dizge}\index{bi\c cim!---sel dizge} 
elde edilir.
%B\"ol\"um \numarada{dizge},
\"U\c c bi\c cimsel dizgesini
\ref{dizge} numaral\i\ b\"ol\"umde inceleyece\u giz.
\c Simdilik t\"um bildi\u gimiz kurallar\i\ kullan\i yoruz.

\begin{exercise}
  A\c sa\u g\i daki totolojiler ve gerektirmeler i\c cin bi\c cimsel kan\i
  tlar yaz\i n.
  \begin{compactenum}
  \item 
$P\lto P\lto P$ bir totolojidir.
\item
$P\lto Q\lto P$ bir totolojidir.
\item
$P\lor(P\lto Q)$ bir totolojidir.
\item
$(P\lto Q)\lor\lnot Q$ bir totolojidir.
\item
$P\lto Q\land R\gerektirir P\lto Q$.
\item
$P\land\lnot P\gerektirir Q$.
\item
$P\land(Q\lor R)\gerektirir P\liff(\lnot Q\lor P)$.
\item
$P\lto Q\ile P\lto\lnot Q\gerektirir\lnot P$.
\item
$P\lto R\ile Q\lto R\gerektirir P\lor Q\lto R$.
\item
$P\lto R\ile Q\lto S\gerektirir P\lor Q\lto R\lor S$.
\item
$P\liff Q\ile P\lto R\gerektirir Q\lto R$.
  \end{compactenum}
\end{exercise}

\begin{figure}
  \centering
  \begin{sideways}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
$\begin{array}{rcl}
\text{1.}&  P\lto Q&\text{Hipotez}\\
\text{2.}&\lnot P\lor Q&\text{1.\ sat\i ra denk}\\
\text{3.}&\lnot P\lor Q\lor R&\text{2.\ sat\i rdan Eklemeyle}\\
\text{4.}&Q\lto R&\text{Hipotez}\\
\text{5.}&\lnot Q\lor R&\text{4.\ sat\i ra denk}\\
\text{6.}&(\lnot P\lor Q\lor R)\land(\lnot Q\lor R)&\text{3.\ ve 5.\ sat\i rdan Ba\u glamayla}\\
\text{7.}&((\lnot P\lor Q)\land\lnot Q))\lor R&\text{6. sat\i rdan Da\u g\i lmayla}\\
\text{8.}&(\lnot P\land\lnot Q)\lor R&\text{7.\ sat\i ra denk}\\
\text{9.}&\lnot(P\lor Q)\lor R&\text{8.\ sat\i rdan De Morgan Kural\i yla}\\
\text{10.}&P\lor Q\lor R&\text{Hipotez}\\
\text{11.}&(\lnot(P\lor Q)\lor R)\land(P\lor Q\lor R)&\text{9.\ ve 10.\ sat\i rdan Ba\u glamayla}\\
\text{12.}&(\lnot(P\lor Q)\lor P\lor Q)\land R&\text{11.\ sat\i rdan Da\u g\i lmayla}\\
\text{13.}&1\land R&\text{12.\ sat\i rdan Fazlal\i kla}\\
\text{14.}&R&\text{13.\ sat\i rdan Fazlal\i kla}
\end{array}$
  \end{sideways}

  \caption{A\c c\i klamal\i\ bi\c cimsel kan\i t}\label{fig:3al-ile}
\end{figure}

\chapter{\"Oklid'in \"Onermeleri}

  \"Oklid'in \"onermelerinin g\"ostermeleri, 
  daha bi\c cimsel olarak yaz\i labilir.  
  \"Or\-ne\u gin 5.\ \"onermeye bakal\i m.
  Likyal\i\ Proklus'a g\"ore \cite[s.\ 159]{MR1200456}, \"Oklid'in her
  \"onermesinin 6 tane par\c cas\i\ olabilir:  
  \begin{compactenum}[(1)]
  \item
    bildirme,
  \item
    a\c c\i klama,
  \item
    belirtme,
  \item
    d\"uzenleme,
  \item
    g\"osterme, ve
  \item
    bitirme.
  \end{compactenum}
  A\c c\i klamada hipotezler bulunur; 
  belirtmede sonu\c clar bulunur.  
  \c Co\u gunlukla bir \"onermenin bir sonucu vard\i r; 
  ama 5.\ \"onermenin iki sonucu vard\i r.  
  D\"uzenleme ve g\"osterme,
  sonu\c clar\i n hipotezlerinden bi\c cimsel kan\i t olarak yaz\i labilir.
  G\"ostermenin hipotezleri, d\"uzenlemeden de gelebilir. 
  O zaman par\c calar\i yla \"Oklid'in 5.\ \"onermesi a\c sa\u g\i daki gibi
  yaz\i labilir.
\begin{description}
\item[Bildirme:]\mbox{}
  \begin{compactitem}
    \item
Bir ikizkenar \"u\c cgenin taban\i ndaki a\c c\i lar birbirine e\c sittir.
\item
E\c sit do\u grular uzat\i ld\i\u g\i nda
taban\i n alt\i nda kalan a\c c\i lar birbirine e\c sit olacaklard\i r.
  \end{compactitem}
\item[A\c c\i klama:]\mbox{}
  \begin{compactitem}
\item
\Sekilde{fig:I.5}ki \gr{ABG} \"u\c cgeninde $\grm{AB}=\grm{AG}$.
\item
\gr{AB}, \gr D noktas\i na uzat\i lm\i\c s.
\item
\gr{AG}, \gr E noktas\i na uzat\i lm\i\c s.
  \end{compactitem}
\begin{figure}[ht]
  \centering
\begin{center}
  \begin{pspicture}(6.6,3.3)
%    \psgrid
    \psset{PointName=none,PointSymbol=none}
    \pstGeonode(0.5,0.4)A(4,0.4)B
    \pstRotation[RotAngle=28]AB[G]
    \pstHomO[HomCoef=1.6]A{B,G}[D,E]
    \pstHomO[HomCoef=1.3]A{B,G}[Z,H]
    \ncline AD\ncline AE\ncline ZG\ncline GB\ncline BH
\uput[l](A){\grm A}
\uput[d](B){\grm B}
\uput[104](G){\grm G}
\uput[4](D){\grm D}
\uput[4](E){\grm E}
\uput[d](Z){\grm Z}
\uput[104](H){\grm H}
  \end{pspicture}
\end{center}
\caption{\"Oklid'in 5.\ \"onermesinin \c sekli}\label{fig:I.5}
\end{figure}
\item[Belirtme:]
\mbox{}
\begin{compactenum}
\item
$\angle\;\grm{ABG}=\angle\;\grm{AGB}$.
\item
$\angle\;\grm{GBD}=\angle\;\grm{BGE}$.
\end{compactenum}
\item[D\"uzenleme:]\mbox{}
\begin{compactenum}
\item
\grm Z noktas\i, \grm{BD} do\u grusundad\i r.
\item
\grm H noktas\i, \grm{GE}'dad\i r, ve $\grm{AH}=\grm{AZ}$.
\hfill[\"Onerme 3]
\end{compactenum}
\item[G\"osterme:]\mbox{}
\begin{compactenum}
\item
$\grm{AZ}=\grm{AH}$\hfill[d\"uzenlemedeki 2.\ sat\i rdan]
\item
$\grm{AB}=\grm{AG}$\hfill[hipotez]
\item
$\grm{ZG}=\grm{HB}$\hfill[1.\ ve 2.\ sat\i rdan \"Onerme 4 ile]
\item
$\triangle\;\grm{AZG}=\triangle\;\grm{AHB}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan \"On.\ 4 ile]
\item
$\angle\;\grm{AGZ}=\angle\;\grm{ABH}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan \"On.\ 4 ile]
\item
$\angle\;\grm{AZG}=\angle\;\grm{AHB}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan \"On.\ 4 ile]
\item
$\grm{BZ}=\grm{GH}$\hfill[1.\ ve 2.\ sat\i rdan Ortak Kavram 3 ile]
\item
$\triangle\;\grm{BZG}=\triangle\;\grm{GHB}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan \"On.\ 4 ile]
\item
$\angle\;\grm{ZBG}=\angle\;\grm{HGB}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan \"On.\ 4 ile]
\item
$\angle\;\grm{BGZ}=\angle\;\grm{GBH}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan \"On.\ 4 ile]
\item
$\angle\;\grm{ABG}=\angle\;\grm{AGB}$\hfill[5.\ ve 10.\ sat\i rdan O.K. 3 ile]
\end{compactenum}
\item[Bitirme:]\mbox{}
  \begin{compactitem}
    \item
Bir ikizkenar \"u\c cgenin taban\i ndaki a\c c\i lar birbirine e\c sittir.
\item
E\c sit do\u grular uzat\i ld\i\u g\i nda
taban\i n alt\i nda kalan a\c c\i lar birbirine e\c sit olacaklar.
  \end{compactitem}
G\"osterilmesi gereken tam buydu.
\end{description}
Burada, belirtmedeki 1.\ sonu\c c, g\"ostermenin 11.\ sat\i r\i d\i r,
ve 2.\ sonu\c c, g\"osterinin 9.\ sat\i r\i d\i r, ama
$\angle\;\grm{ZBG}=\angle\;\grm{GBD}$ ve $\angle\;\grm{HGB}=\angle\;\grm{BGE}$
e\c sitliklerini tan\i mam\i z gerekir.  \"Oklid, g\"osterinin 4.\ ve
8.\ sat\i r\i n\i\ verir, ama kullanmaz. 

\begin{exercise}
Bi\c cimsel olarak \"Oklid'in her \"onermesini yaz\i n.
\end{exercise}

\part{Kuram}

\chapter{T\i k\i zl\i k}\label{tikizlik}

\Sayfada{sonlu} g\"osterdi\u gimiz gibi, 
her \emph{sonlu} $\Gamma$ \"onermeler k\"umesi i\c cin, 
e\u ger $\Gamma$ bir $F$ form\"ul\"un\"u gerektiriyorsa, 
o zaman $F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen
bir bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.  
Sonluluk ko\c sulunun kald\i r\i labildi\u gini g\"osterece\u giz; 
bu ger\c ce\u ge \textbf{t\i k\i zl\i k} denir.\index{t\i k\i zl\i k}   

E\u ger bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi
ve bir $\Delta$ form\"uller k\"umesi i\c cin
$\Delta$'n\i n her $G$ eleman\i\ i\c cin $d(G)=1$ ise, 
o zaman $d$'ye $\Delta$'n\i n bir \textbf{modeli}%%
\index{model} 
denir.

\begin{theorem}\label{thm:yok}
$\Gamma\gerektirir F$ ancak ve ancak 
$\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin modeli yoktur.
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

E\u ger $\Delta$'n\i n her sonlu altk\"umesinin modeli varsa,
$\Delta$'ya \textbf{tutarl\i} denir.

\begin{lemma}\label{lem:tutarli}
  E\u ger $\Gamma$ tutarl\i\ ise,
  o zaman her $F$ form\"ul\"u i\c cin,
  ya $\Gamma\cup\{F\}$ ya da $\Gamma\cup\{\lnot F\}$ tutarl\i d\i r.
\end{lemma}

\begin{proof}
  %$\Gamma$ tutarl\i\ olsun ama
  $\Gamma\cup\{F\}$ tutarl\i\ olmas\i n.
  $\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin tutarl\i\ oldu\u gunu
  g\"osterece\u giz.
  E\u ger $\Theta$ (\emph{Theta}),
  $\Gamma$'n\i n sonlu bir alt\"umesi ise,
  $\Theta\cup\{\lnot F\}$'nin bir modeli bulmak yeter.

  $\Gamma\cup\{F\}$ tutarl\i\ olmad\i\u g\i ndan
  $\Gamma$'n\i n sonlu bir $\Delta$ altk\"umesi i\c cin
  $\Delta\cup\{F\}$'nin modeli yoktur.
  
  $\Delta\cup\Theta$ birle\c simi,
  $\Gamma$'n\i n sonlu bir altk\"umesidir.
  $\Gamma$ tutarl\i\ oldu\u gundan
  $\Delta\cup\Theta$'n\i n bir $d$ modeli vard\i r.
  Bu model, $\Delta$'n\i n modelidir,
  dolay\i s\i yla $\Delta$'n\i n her $G$ eleman\i\ i\c cin
  $d(G)=1$.
  Ama $\Delta\cup\{F\}$'nin modeli olmad\i\u g\i ndan
  $d(F)=0$.
  Bu durumda $d(\lnot F)=1$,
  dolay\i s\i yla $d$,
  $\Theta\cup\{\lnot F\}$'nin modelidir.
  
  B\"oylece
  $\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin her sonlu altk\"umesinin
   modeli vard\i r.
\end{proof}

\begin{theorem}[T\i k\i zl\i k]\label{thm:tkz}
  Elemanlar\i\ \"onerme form\"ul\"u olan
  her tutarl\i\ k\"umesinin modeli vard\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\Delta$ tutarl\i\ olsun.
  $\Delta$'n\i n bir $d^*$ modelini in\c sa edece\u giz.
  
  \"Onerme de\u gi\c skenleri
  $\{P_1,P_2,P_3,\dots\}$ k\"umesini olu\c stursun.
  \Teoreme{thm:hat} g\"ore
  $d^*(P_k)$ de\u gerlerini belirleyerek $d^*$
  g\"ondermesinin kendisini
  tan\i mlayaca\u g\i z.
  \"Ozyineleme ile her $k$ i\c cin bir $F_k$ form\"ul\"un\"u
  tan\i mlayaca\u g\i z, ve bu form\"ul ya $P_k$ ya da $\lnot P_k$
  olacak.  Her durumda $d^*(F_k)=1$ olacak.
  \begin{compactdesc}
  \item[Ad\i m 1.]
    E\u ger $\Delta\cup\{P_1\}$ tutarl\i\ ise,
    o zaman $F_1$, $P_1$ olsun.
    Di\u ger durumda
    Lemma \numaraya{lem:tutarli} g\"ore
    $\Delta\cup\{\lnot P_1\}$ tutarl\i d\i r.
    Bu durumda
    $F_1$, $\lnot P_1$ olsun.
    Her durumda $\Delta\cup\{F_1\}$ tutarl\i d\i r.
  \item[Ad\i m 2.]
    E\u ger $\Delta\cup\{F_1,P_2\}$ tutarl\i\ ise,
    o zaman $F_2$, $P_2$ olsun.
    Di\u ger durumda
    $\Delta\cup\{F_1,\lnot P_2\}$ tutarl\i d\i r.
    Bu durumda $F_2$, $\lnot P_2$ olsun.
    Her durumda $\Delta\cup\{F_1,F_2\}$ tutarl\i d\i r.
    \item[\lips]\dotfill
  \item[Ad\i m \emph k.]
    E\u ger $\Delta\cup\{F_1,\dots,F_{k-1},P_k\}$
    tutarl\i\ ise, o zaman $F_k$, $P_k$ olsun.
    Di\u ger durumda $F_k$, $\lnot P_k$ olsun.
  \item[\lips]\dotfill
  \end{compactdesc}
  T\"umevar\i mdan ve Lemma \numarada{lem:tutarli}n her $k$ i\c cin
  $\Delta\cup\{F_1,\dots,F_k\}$ tutarl\i d\i r.
  \c Simdi
  \begin{equation*}
    \left.
    \begin{array}{ll}
      \text{e\u ger $F_k$, $P_k$ ise}&1\\
      \text{e\u ger $F_k$, $\lnot P_k$ ise}&0
    \end{array}
    \right\}=d^*(P_k)
  \end{equation*}
  olsun.  O zaman her durumda
  \begin{equation*}
    d^*(F_k)=1.
  \end{equation*}
  E\u ger $G\in\Delta$ ise,
  o zaman bir $n$ i\c cin,
  $G$'n\i n her $P_k$ de\u gi\c skeni i\c cin,
  $1\leq k\leq n$.
  $\Delta\cup\{F_1,\dots,F_n\}$ tutarl\i\ oldu\u gundan
  bir $d$ modeli vard\i r.
  E\u ger $1\leq k\leq n$ ise, o zaman
  \begin{equation*}
    d(F_k)=1=d^*(F_k).
  \end{equation*}
  Bu durumda $d(P_k)=d^*(P_k)$, dolay\i s\i yla
  \Teorem{thm:hat} sayesinde $d(G)=d^*(G)$.
  B\"oylece $d^*$, $\Delta$'n\i n modelidir.
\end{proof}

E\u ger $\Gamma\models F$ ise,
o zaman \Teoreme{thm:yok} g\"ore
$\Gamma\cup\{\lnot F\}$'nin modeli yoktur,
dolay\i s\i yla \Teorem{thm:tkz} sayesinde
$\Gamma$'n\i n sonlu bir $\Delta$ altk\"umesi i\c cin
$\Delta\cup\{\lnot F\}$'nin modeli yoktur,
ve sonu\c c olarak $\Delta\models F$.  

Topoloji bilenler i\c cin \Teorem{thm:tkz},
\emph{Tihonov Teoremi}'nin bir durumudur.

\begin{comment}
  
  \begin{theorem}[T\i k\i zl\i k]
    $\Gamma$ \"onerme form\"ulleri k\"umesi 
    $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse, o zaman 
    $\Gamma$ k\"umesinin sonlu bir altk\"umesi
    $F$ form\"ul\"un\"u gerektirir.
    %$F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen 
    %bir bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    Kar\c s\i t tersini ispatlayaca\u g\i z.  
    $\Gamma$ k\"umesinin her sonlu $\{G_1,\dots,G_n\}$ altk\"umesi
    $F$ form\"ul\"un\"u gerektirmesin.
    O zaman her durumda,
    \Teoreme{thm:yok} g\"ore 
    $\{G_1,\dots,G_n,\lnot F\}$ k\"umesinin modeli vard\i r.
    $\Gamma\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin bir modelini bulaca\u g\i z.
    O zaman
    $\Gamma$,
    $F$ form\"ul\"un\"u gerektirmeyecektir.

    T\"um \"onerme de\u gi\c skenlerinin, $\{P_1,P_2,P_3,\dots\}$ k\"umesini olu\c sturdu\u gunu varsayabiliriz. 
    Her $n$ i\c cin $\Gamma_n$, 
    $\Gamma$ k\"umesinde olan ve 
    de\u gi\c skenleri sadece $\{P_1,\dots,P_n\}$ k\"umesinden olan 
    form\"uller k\"umesi olsun.  
    $\Gamma_n$ sonsuz olabilir; 
    ama $\Gamma_n$ k\"umesindeki form\"ullerin 
    do\u gruluk tablolar\i n\i n k\"umesi sonludur (neden?).  
    Onun i\c cin varsay\i m\i m\i za g\"ore 
    $\Gamma_n\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin modeli vard\i r.  
    O k\"umenin t\"um modellerinin k\"umesi $M_n$ olsun.
    E\u ger $n\leq p$ ise, o zaman $M_n$, $M_p$ k\"umesini kapsar,
    yani $M_p\included M_n$.
    B\"oylece
    \begin{equation*}
      M_1\includes M_2\includes M_3\includes\cdots
    \end{equation*}
    Bir $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin, her $n$ i\c cin, 
    $d^*$ g\"ondermesinin $M_n$ k\"ume\-sinin 
    bir eleman\i\ 
    oldu\u gunu 
    (yani $d^*\in\bigcap_nM_n$)
    g\"osterece\u giz.
    Asl\i nda $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesinin
    \emph{\"ozyinelemeli tan\i m\i}\index{\"ozyineleme}
    olacakt\i r.
    \begin{asparadesc}
    \item[Ad\i m 1.]
      \"Once $d^*(P_1)$ tan\i mlanacakt\i r.
      \begin{compactitem}
      \item
        E\u ger bir $n$ i\c cin
        $M_n$ k\"umesindeki her $d$ i\c cin $d(P_1)=0$ ise, 
        o zaman $d^*(P_1)=0$ olsun.  
      \item
        E\u ger her $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki bir $d$ i\c cin $d(P_1)=1$ ise, 
        o zaman $d^*(P_1)=1$ olsun.  
      \end{compactitem}
      B\"oylece $d^*(P_1)$ tan\i mlanm\i\c st\i r.
      Her durumda, her $n$ i\c cin,
      $M_n$ k\"umesinin 
      $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan 
      bir $d$ eleman\i\ vard\i r.
    \item[Ad\i m 2.]
      \c Simdi $d^*(P_2)$ tan\i mlanacakt\i r.
      \begin{compactitem}
      \item
        E\u ger bir $n$ i\c cin 
        $M_n$ k\"umesindeki $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan 
        her $d$ i\c cin $d(P_2)=0$ ise, 
        o zaman $d^*(P_2)=0$ olsun.  
      \item
        E\u ger her $n$ i\c cin
        $M_n$ k\"umesindeki $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan 
        bir $d$ i\c cin $d(P_2)=1$ ise,
        o zaman $d^*(P_2)=1$ olsun.  
      \end{compactitem}
      B\"oylece $d^*(P_1)$ tan\i mlanm\i\c st\i r.
      Her durumda, her $n$ i\c cin,
      $M_n$ k\"umesinin $d(P_1)=d^*(P_1)$ ve $d(P_2)=d^*(P_2)$ 
      e\c sitliklerini sa\u glayan $d$ eleman\i\ vard\i r.
    \item[Ad\i m \emph k.]
      Ayn\i\ \c sekilde devam ediyoruz.  
      Bir $k$ i\c cin, $d^*(P_1)$, \dots, $d^*(P_k)$ 
      de\u gerlerini se\c cti\u gimizi varsay\i yoruz, ve her $n$ i\c cin,
      $M_n$ k\"umesinin
      \begin{align}\label{eqn:d}
        d(P_1)&=d^*(P_1),&
        %d(P_2)&=d^*(P_2),&
        &\dots,& d(P_k)&=d^*(P_k)
      \end{align} 
      e\c sitliklerini sa\u glayan $d$ eleman\i n\i n oldu\u gunu varsay\i yoruz.
      \begin{compactitem}
      \item 
        E\u ger bir $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki 
        \eqref{eqn:d} 
        %$d(P_1)=d^*(P_1)$, \dots, $d(P_k)=d^*(P_k)$
        e\c sitliklerini sa\u gla\-yan her $d$ i\c cin $d(P_{k+1})=0$ ise, 
        o zaman $d^*(P_{k+1})=0$ olsun.  
      \item
        E\u ger her $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki 
        \eqref{eqn:d} e\c sitliklerini sa\u glayan bir $d$ i\c cin $d(P_{k+1})=1$ ise, 
        o zaman $d^*(P_{k+1})=1$ olsun.  
      \end{compactitem}
      B\"oylece $d^*(P_{k+1})$ tan\i mlanm\i\c st\i r.
      Her durumda, her $n$ i\c cin,
      $M_n$ k\"umesinin \eqref{eqn:d}
      e\c sitliklerini sa\u glayan bir $d$ eleman\i\ vard\i r.
    \end{asparadesc}

    B\"oylece \"ozyinelemeyle $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesi tan\i mlanm\i\c st\i r.
    Her $n$ i\c cin $d^*$, $\Gamma_n\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin bir modelidir; 
    o zaman $d^*$, $\Gamma\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin modelidir.  
    Bu \c sekilde $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirmez.
  \end{proof}
\end{comment}

\chapter{Taml\i k}\label{dizge}

\Sayfada{kanit}ki tan\i ma g\"ore
bi\c cimsel bir kan\i tta, her sat\i r
\begin{compactenum}[1)]
\item
ya bir totoloji,
\item
ya da \"onceki sat\i rlar\i n gerektirdi\u gi bir form\"ul,
\item
ya da bir hipotezdir.
\end{compactenum}
E\u ger bir form\"ul bir totolojiyse, 
bunu do\u gruluk tablosuyla g\"osterebiliriz.  
E\u ger bir form\"ul
ba\c ska form\"uller taraf\i ndan gerektiriliyorsa, 
bunu da do\u gruluk tablolar\i yla g\"osterebiliriz.  
\c Simdi do\u gruluk tablolar\i n\i\ kullanmadan, 
bi\c cimsel bir kan\i t\i n hipotezlerini
ve hipotez olmayan sat\i rlar\i n\i\ 
ay\i rt edebilmek isteriz.  

Bunu yapmak i\c cin
\emph{aksiyomlar\i} ve \emph{\c c\i kar\i m kurallar\i n\i}
meydana koyaca\u g\i z.
Bir \textbf{aksiyom,}\index{aksiyom}
se\c ckin bir totolojidir.
Bir \textbf{\c c\i kar\i m kural\i,}%%
\index{\c c\i kar\i m kural\i} 
se\c ckin bir gerektirmedir.
Aksiyomlar ve \c c\i kar\i m kurallar\i,
bir
\textbf{bi\c cimsel dizgeyi,}%%
\index{dizge}\index{bi\c cim!---sel dizge}
olu\c sturur.

E\u ger
\begin{compactitem}
  \item
    $\bd{}$ bi\c cimsel bir dizge,
    \item
      $\Gamma$ bir form\"uller k\"umesi, ve
      \item
bi\c cimsel bir kan\i t\i n her sat\i r\i
\begin{compactenum}[1)]
\item
ya $\bd{}$'nin bir aksiyomu,
\item
  ya da $\bd{}$'nin bir \c c\i kar\i m kural\i na g\"ore
  \"onceki sat\i rlar\i n
gerektirdi\u gi bir form\"ul,
\item
ya da $\Gamma$'n\i n bir eleman\i
\end{compactenum}
\end{compactitem}
ise,
o zaman $\Gamma$,
bi\c cimsel kan\i t\i n sonucunu gerektirir,
ve ayr\i ca bu gerektirme,
$\bd{}$ dizgesinin \textbf{(bi\c cimsel) bir teoremdir.}%
\index{teorem}\index{bi\c cim!---sel teorem}  

E\u ger her gerektirme $\bd{}$ dizgesinin bir teoremi ise, 
bu dizgeye \textbf{tam} denir.
\"U\c c bi\c cimsel dizgeyi tan\i mlay\i p
taml\i\u g\i n\i\ kan\i tlayaca\u g\i z.

\section{$\bd0$ bi\c cimsel dizgesi}

Asl\i nda bir form\"ul\"u sonlu say\i da form\"ullerin
gerektirip gerektirmedi\u gini \"o\u grenmek i\c cin,
do\u gruluk tablosu y\"onteminin kendisi
bi\c cimsel bir y\"ontemdir.
O zaman en kapsaml\i\ bi\c cimsel dizgede
\begin{compactenum}[1)]
  \item
her totoloji bir aksiyomdur,
\item
sonlu say\i da form\"ullerden gelen
her gerektirme bir \c c\i kar\i m kural\i d\i r.
\end{compactenum}
Bu dizge $\bd0$ olsun.
O zaman \Teorem{thm:tkz} sayesinde $\bd0$ tamd\i r.

\section{$\bd1$ bi\c cimsel dizgesi}

$\bd1$ bi\c cimsel dizgesinin aksiyomlar\i\ iki \c sekildedir.
\begin{compactenum}
\item
$1$, bir aksiyomdur.
\item
Her $\lnot F\lor F$ form\"ul\"u, bir aksiyomdur.
\end{compactenum}
\c C\i kar\i m kurallar\i\ \"u\c c \c sekildedir.
\begin{description}
\item[Ekleme.]\index{Ekleme} 
  Her $F$ form\"ul\"unden,
  her $G$ form\"ul\"u i\c cin,
  $G\lor F$ \c c\i kar.
\item[Ba\u glama.]\index{Ba\u glama} 
Herhangi $F$ ve $G$ form\"ullerinden $F\land G$ \c c\i kar.
\item[Yerine Koyma.]\index{Yerine Koyma}
  Her $K$ form\"ul\"unden \"oyle bir $K^*$ form\"ul\"u \c c\i kar ki
  \Teoremde{thm:denk}n \c c\i kan bir $F\sim G$ denkli\u gi i\c cin,
  bundan \Teorem{thm:sub}
  sayesinde \c c\i kan bir $F'\sim G'$ denkli\u gi i\c cin,
  $F'$, $K$'n\i n bir altform\"ul\"ud\"ur,
  ve $K$'da $F'$ altform\"ul\"un\"un yerine
  (\Teoremde{thm:rep}ki gibi)
  $G'$ konularak $K^*$ \c c\i kar.
\end{description}
$\bd1$ dizgesinin taml\i\u g\i n\i\ g\"ostermek i\c cin,
her form\"ul\"un denk \textbf{ti\-kel-evetlemeli normal bi\c cimi}
(\eng{disjunctive normal form})
oldu\u gunu g\"ozlemleyece\u giz.
Bu bi\c cim,
baz\i\ \emph{t\"umel}-evetlemelerin tikel evetlemesidir.
Bu t\"umel-evetlemeler,
baz\i\ \emph{harf{}ilerin} t\"u\-mel-evetlemeleridir.
Bir \textbf{harf\/i}\index{harf\/i}
(\eng{literal} \cite[s.\ 101]{Burris}),
ya bir \"onerme de\u gi\c skeni
ya da de\u gillemesidir.
Ti\-kel-evetlemeli normal bi\c ciminin
her t\"umel-evetlemesinde,
ayn\i\ de\u gi\c skenler ge\c cer.

\"Orne\u gin
$P\lor Q\lto R$
form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi
a\c sa\u g\i daki gibidir:
\begin{multline*}%\label{eqn:dnf}
(\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R)\lor(\lnot P\land\lnot Q\land R)\lor(P\land\lnot Q\land R)\\
{}\lor(\lnot P\land Q\land R)\lor(P\land Q\land R).
\end{multline*}
Bunu anlamak i\c cin, \Sekle{fig:dnf} bak\i n.
\begin{figure}
\newcommand{\fnot}{\phantom{\lnot}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\centering
$
\begin{array}{c|*8c}
P                              &0&1&0&1&0&1&0&1\\
Q                              &0&0&1&1&0&0&1&1\\
R                              &0&0&0&0&1&1&1&1\\\hline
P\lor Q\lto R                  &1&0&0&0&1&1&1&1\\\hline
\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R&1&0&0&0&0&0&0&0\\
\lnot P\land\lnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&1&0&0&0\\
\fnot P\land\lnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&1&0&0\\
\lnot P\land\fnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&0&1&0\\
\fnot P\land\fnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&0&0&1
\end{array}$
\caption[Normal bi\c
  cim i\c cin do\u gruluk tablolar\i]{$P\lor Q\lto R$
  form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi i\c cin do\u
  gruluk tablolar\i} 
\label{fig:dnf}
\end{figure}
\Sekilde{fig:tt-5}ki gibi
$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$
form\"ullerinin do\u gruluk tablolar\i\
birbiriyle ayn\i\ oldu\u gundan
form\"ullerin tikel-evetlemeli normal bi\c cimleri
birbiriyle ayn\i d\i r.

\c Simdi $F$ rastgele bir \"onerme form\"ul\"u olsun, 
ve onun \"onerme de\u gi\c skenleri $P_1$, \dots, $P_n$ olsun.  
\"Ustelik $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun.  
O zaman 
\begin{equation*}
(d(P_1),\dots,d(P_n))
\end{equation*}
listesi i\c cin, $2^n$ tane se\c cenek var.  
Bir $m$ i\c cin, $m$ ve sadece $m$ tane se\c cenek i\c cin, $d(F)=1$.  
O se\c cenekler,
\begin{align*}
&(e_1^1,\dots,e_n^1),&&\dots,&&(e_1^m,\dots,e_n^m)
\end{align*}
olsun.
\"Orne\u gin $P_1\lor P_2\lto P_3$ i\c cin se\c cenekler 
$(0,0,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ listeleridir;
bunlar \Sekilde{fig:dnf}n okunabilir.
Genelde
\begin{equation*}
  \left.
  \begin{array}{ll}
    \text{e\u ger $e_j^i=0$ ise}&\lnot P_j,\\
    \text{e\u ger $e_j^i=1$ ise}&P_j,
  \end{array}
\right\}\text{$P_j^i$ olsun.}
\end{equation*}
Ondan sonra $F^i$ form\"ul\"u,
\begin{equation*}
P_1^i\land\dotsb\land P_n^i
\end{equation*}
t\"umel-evetlemesi olsun.
O zaman
\begin{equation*}
F^1\lor\dotsb\lor F^m
\end{equation*}
tikel-evetlemesi,
$F$'nin
\textbf{tikel-evetlemeli normal bi\c cimi\-dir.}%%
\index{normal bi\c cimi}\index{bi\c cim!normal ---}
B\"oylece $F$ form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi,
\begin{equation*}
(P_1^1\land\dotsb\land P_n^1)\lor\dotsb\lor(P_1^m\land\dotsb\land P_n^m)
\end{equation*}
form\"ul\"ud\"ur.
Bu form\"ul\"un $F$ form\"ul\"une denk oldu\u gu g\"or\"unebilir.  
\.Iki \"ozel durum vard\i r:
\begin{description}
\item[$\bm{m=0}$] ise
  $F$'nin tikel-evetlemeli normal bi\c cimi 
$0$ form\"ul\"ud\"ur.
\item[$\bm{n=0}$] ise, ya $F\sim 0$ ya da $F\sim 1$.  
S\i ras\i yla $F$'nin tikel-evetlemeli normal bi\c cimi, 
ya $0$ ya da $1$'dir.  
\end{description}

\c Simdi a\c sa\u g\i daki al\i\c st\i rma kolayl\i kla \c c\"oz\"ulebilir.
  
\begin{exercise}
Rastgele bir do\u gruluk tablosu i\c cin, 
do\u gruluk tablosu o olan bir form\"ul\"u yaz\i n.
\end{exercise}

\begin{lemma}\label{lem:FG}
Bir $\{F_1,\dots,F_n\}$ form\"uller k\"umesi
bir $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir 
ancak ve ancak $G\lor(F_1\land\dots\land F_n)$ form\"ul\"u 
$G$ form\"ul\"une denktir.
\end{lemma}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

\begin{theorem}
$\bd1$ bi\c cimsel dizgesi tamd\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
Sadece Yerine Koyma kural\i n\i\ kullanarak 
her $F$ form\"ul\"un\"u
tikel-evetlemeli normal $F'$ bi\c cimine getirebiliriz.  
T\"um ad\i mlar\i m\i z, tersine \c cevrilebilir.
Bu \c sekilde
\begin{compactitem}
  \item
$F'$ form\"ul\"un\"un $F$'yi gerektirdi\u gi ve
\item
$F$'nin $F'$ form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gi, 
\end{compactitem}
$\bd1$ dizgesinin bir teoremidir.  
Ayr\i ca $F$ bir totolojiyse,
tekrar sadece Yerine Koyma kural\i n\i\ kullanarak 
$F$ form\"ul\"un\"un normal $F'$ bi\c ciminin 
$1$'e denk oldu\u gunu g\"osterebiliriz,
ve ad\i mlar\i m\i z tersine \c cevrilebilir.
Bu \c sekilde her totolojinin bir totoloji oldu\u gu,
$\bd1$ dizgesinin bir teoremidir.  

\c Simdi $\Gamma$ k\"umesi, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirsin.
T\i k\i zl\i k Teoremine g\"ore 
$\Gamma$
k\"umesinin sonlu bir $\{G_1,\dots,G_n\}$ altk\"umesi de $F$ form\"ul\"un\"u
gerektirir.  Ba\u glama ve Ekleme kurallar\i\ sayesinde, 
bu $\{G_1,\dots,G_n\}$
k\"umesinin
\begin{equation*}
F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)
\end{equation*}
form\"ul\"un\"u
gerektirdi\u gi, $\bd1$ dizgesinin bir teoremidir.
Lemma \numaraya{lem:FG} g\"ore
$F$ ve $F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)$ form\"ulleri,
birbirine denktir; dolay\i s\i yla, bu form\"ullerin
ayn\i\ tikel-evetlemeli normal $F'$ bi\c cimi vard\i r.
G\"osterdi\u gimiz gibi
$F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)$ form\"ul\"un\"un $F'$ form\"ul\"un\"u
gerektirdi\u gi, ve $F'$ form\"ul\"un\"un $F$'yi
gerektirdi\u gi, $\bd1$ dizgesinin teoremidir.  O zaman 
$\Gamma$ k\"umesinin $F$'yi gerektirdi\u gi, $\bd1$
dizgesinin teoremidir. 
\end{proof}

\section{$\bd2$ bi\c cimsel dizgesi}

Bu a\c samada yeni bir simge yararl\i\ olacak.  
\Sayfada{models}ki gibi,
e\u ger $\Gamma$ form\"uller k\"umesi $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse,
\begin{equation*}
\Gamma\models F
\end{equation*}
ifadesini yazaca\u g\i z.  
Bu $\models$ simgesine \textbf{turnike}
[\eng{turnstile}]\index{turnike} 
denir.
\Teoreme{thm:tkz} g\"ore $\Gamma\models F$ ise, o zaman
$\Gamma$ k\"umesinin sonlu bir $\Gamma_0$ altk\"umesi i\c cin
$\Gamma_0\models F$. 
E\u ger bir $\Gamma\models F$ gerektirmesi,
$\bd{}$ bi\c cimsel dizgesinin
bir teoremiyse,  
\begin{equation*}
\Gamma\proves[\bd{}]F
\end{equation*}
ifadesini yazaca\u g\i z.  
Bu $\proves[]$ simgesi de, bir turnikedir.  \.Istersek
\begin{compactitem}
  \item
    $\models$ simgesine \textbf{yorumsal}
    [\eng{semantic}]\index{yorumsal} 
turnike,
\item
  $\proves[]$ simgesine \textbf{dizimsel}
  [\eng{syntactic}]\index{dizimsel} 
turnike,
\end{compactitem}
diyebiliriz.  Ancak adlar \"onemli de\u gil. 
\Sayfada{thm:kanit}ki \Teoreme{thm:kanit} g\"ore
\begin{center}
  %her $\Gamma$ ve $F$ i\c cin,
  $\Gamma\proves[\bd{}]F$ ise $\Gamma\models F$.  
\end{center}
Ayr\i ca $\bd{}$ dizgesi tamd\i r ancak ve ancak
\begin{center}
  %her $\Gamma$ ve $F$ i\c cin,
  $\Gamma\models F$ ise $\Gamma\proves[\bd{}]F$.  
\end{center}

Tam bi\c cimsel bir dizge, $\bd1$ dizgesinden daha basit olabilir.
\.Ilk olarak, bir form\"ul\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi, 
sadece $\lor$, $\land$, $\lnot$, $0$, ve $1$ 
ba\u glay\i c\i\-lar\i n\i\ kullan\i r.  Ayr\i ca
\begin{align*}
0&\sim\lnot 1,&
1&\sim\lnot P_1\lor P_1,&
F\land G&\sim\lnot(\lnot F\land\lnot G).
\end{align*}
\"Oyleyse her form\"ul, sadece $\lor$ ile $\lnot$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n kullan\i ld\i\u g\i\ bir form\"ule denktir.
$\bd2$ adl\i\ bi\c cimsel dizge,\footnote{Bu dizgeyi Shoenfield'den
  \cite{MR1809685} ald\i m, ama ilk kayna\u g\i\ Russell ile
  Whitehead'dir \cite{PM}.} sadece bu ba\u glay\i c\i
lar\i\ kullanacak. 
\c Simdi $\Gamma\proves[\bd2]F$ ifadesinin yerine
\begin{equation*}
\Gamma\proves F
\end{equation*}
ifadesini yazal\i m.
$\bd2$ dizgesinin her aksiyomu $\lnot F\lor F$ bi\c cimindedir:
\begin{equation*}
\proves\lnot F\lor F.
\end{equation*}
$\bd2$ dizgesinin \c c\i kar\i m kurallar\i, a\c sa\u g\i daki \c
sekillerdedir.  
\begin{compactdesc}
\item[Ekleme.]\index{Ekleme} 
T\"um $F$ ve $G$ form\"ulleri i\c cin, $F$ form\"ul\"unden $G\lor F$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\proves G\lor F.
\end{equation*}
\item[Daralma.]\index{Daralma} 
$F\lor F$ form\"ul\"unden $F$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\lor F\proves F.
\end{equation*}
\item[Birle\c sme.]\index{Birle\c sme} 
$F\lor(G\lor H)$ form\"ul\"unden $(F\lor G)\lor H$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\lor(G\lor H)\proves(F\lor G)\lor H.
\end{equation*}
\item[Kesme.]\index{Kesme} 
$F\lor G$ ve $\lnot F\lor H$ form\"ullerinden $G\lor H$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\lor G\virgul\lnot F\lor H\proves G\lor H.
\end{equation*}
\end{compactdesc}

\begin{lemma}[De\u gi\c sme]\label{lem:degisme}\index{De\u gi\c sme}
$\Gamma\proves F\lor G$ ise $\Gamma\proves G\lor F$.
\end{lemma}

\begin{proof}
E\u ger $\Gamma\proves F\lor G$ ise, o zaman $\proves\lnot F\lor F$
sayesinde Kesme kural\i yla $\Gamma\proves G\lor F$. 
\end{proof}

Sayfa \numarada{sagdaki}n
$F\lor G\lor H$'nin $F\lor(G\lor H)$ dedi\u gini hat\i rlay\i n,
onun i\c cin
\begin{center}
$F_1\lor\dotsb\lor F_n$ demek $F_1\lor(F_2\lor\cdots(F_{n-1}\lor F_n)\cdots)$.
\end{center}

\begin{lemma}[Genelle\c stirilmi\c s 
Ekleme, Daralma \&\ De\u gi\c sme]%%
\index{Ekleme}\index{Daralma}\index{De\u gi\c sme}\label{lem:gen} 
%Rastgele 
Bir $n$ i\c cin
$F_1$, \dots, $F_n$, form\"uller olsun.
Bir $m$ i\c cin, her $i$ i\c cin, 
$1\leq i\leq m$ ise $1\leq k_i\leq n$ ko\c sulunu sa\u glayan $k_i$ se\c cilsin.
O zaman
\begin{center}
$\Gamma\proves F_{k_1}\lor\dotsb\lor F_{k_m}$ ise
$\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$.
\end{center}
\end{lemma}

\begin{proof}
Kan\i t\i m\i z, $m$ \"uzerine t\"umevar\i m y\"ontemini kullanacakt\i r.
Asl\i nda \"u\c c durum vard\i r.
\begin{asparaitem}
\item
\textbf{$\bm{m=1}$ durumu.}  
$1\leq k\leq m$ ve $\Gamma\proves F_k$ varsay\i yoruz.  O zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves(F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_k,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
\Gamma&\proves F_{k-1}\lor F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Ekleme]}\\
&\makebox[5cm]{\dotfill}&&\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Ekleme]}
\end{align*}
yani $\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$.
\item
\textbf{$\bm{m=2}$ durumu.}  $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq n$ ve 
\begin{equation*}
\Gamma\proves F_i\lor F_j
\end{equation*}
varsay\i yoruz.  
E\u ger $i=j$ ise, o zaman Daralmayla $\Gamma\proves F_i$, 
ve $m=1$ durumundan $\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$.  
E\u ger $j<i$ ise, o zaman De\u gi\c smeyle $\Gamma\proves F_j\lor F_i$.  
Dolay\i s\i yla $i<j$ varsay\i labilir.  O halde $n\geq2$.
\c Simdi $n$ \"uzerine t\"umevar\i m\i\ kullanaca\u g\i z.
\begin{compactenum}
  \item
E\u ger $n=2$ ise, ispatlanacak hi\c cbir \c sey yoktur.  
\item
\c Simdi $k\geq2$ olsun, 
ve $n=k$ durumunda (ve $m=2$ durumunda) 
teoremin ispatland\i\u g\i n\i\ varsayal\i m.  
O zaman $n=k+1$ durumunda ispatlayaca\u g\i z.
\begin{compactitem}
\item
E\u ger $i=1$ ve $j=2$ ise, o zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1\lor F_2,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves((F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1)\lor F_2,&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_2\lor(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
\Gamma&\proves(F_2\lor F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}
\end{align*}
\item
E\u ger $i=1$ ve $j>2$ ise, o zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves F_1\lor F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1},&&\text{[$n=k$ durumu]}\\
\Gamma&\proves(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
\Gamma&\proves F_2\lor(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves ((F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1)\lor F_2,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
\Gamma&\proves (F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1\lor F_2,&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}
\end{align*}
\item
E\u ger $i>1$ ise, o zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves F_2\lor\dotsb\lor F_{k+1},&&\text{[$n=k$ durumu]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[Ekleme]}
\end{align*}
\end{compactitem}
\end{compactenum}
B\"oylece, t\"umevar\i m ile, $m=2$ durumunda teorem ispatlanm\i\c st\i r.
\item
\textbf{$\bm{m>2}$ durumu.}
$\ell\geq2$ olsun, ve $m=\ell$ durumunda teoremin ispatland\i\u g\i n\i\ varsayal\i m.
$m=\ell+1$ durumunda ispatlayaca\u g\i z.  O zaman
\begin{equation*}
\Gamma\proves F_{k_1}\lor\dotsb\lor F_{k_{\ell+1}}
\end{equation*}
varsay\i yoruz.  Bu durumda,
\begin{align*}
\Gamma&\proves(F_{k_1}\lor F_{k_2})\lor\dotsb\lor F_{k_{\ell+1}},&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves(F_{k_1}\lor F_{k_2})\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=\ell$ d.]}\\
\Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1}\lor F_{k_2},&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1})\lor F_{k_2},&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1})\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=2$ d.]}\\
\Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1},&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1},&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n)&&\\
&\qquad\lor(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=2$ d.]}\\
\Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Daralma]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Daralma]}
\end{align*}
\end{asparaitem}
T\"umevar\i mdan t\"um durumda teorem kan\i tlanm\i\c st\i r.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lem:eb}
$n$ bir say\i\ olsun, ve
  her $k$ i\c cin,
  $1\leq k\leq n$ ise $F_k$ bir harf{}i olsun.  E\u ger
\begin{equation*}
\models F_1\lor\dotsb\lor F_n
\end{equation*}
ise, o zaman 
baz\i\ $i$ ve $j$ i\c cin $F_i$, 
$\lnot F_j$ form\"ul\"uyle ayn\i d\i r. 
\end{lemma}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lem:2}
  $1$'den b\"uy\"uk olan her $n$ i\c cin,
  e\u ger $\models F_1\lor\dotsb\lor F_n$ ise, o zaman
\begin{equation*}
\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{proof}
  $n\geq2$ ve $\models F_1\lor\dotsb\lor F_n$ varsay\i l\i yor.
  T\"umevar\i m kullanaca\u g\i z.
  \begin{asparaenum}
    \item\sloppy
En basit durumda, her $F_k$ bir harf\/idir.  
Bu durumda, Lemma \numaraya{lem:eb} g\"ore, 
bir $i$ ve $j$ i\c cin, $F_i$ ve $\lnot F_j$
birbiriyle ayn\i d\i r.
O zaman
\begin{align*}
&\proves F_i\lor F_j,&&\text{[aksiyom]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}
\end{align*}
\item
\c Simdi, bir $k$ i\c cin, $F_k$ form\"ul\"u harf\/i olmas\i n.  
Lemma \ref{lem:gen} sayesinde, $k=1$ varsayabiliriz.
\"U\c c tane durum var.  Her bir durumda,
t\"umevar\i m hipotezi olarak,
daha basit durumlar\i n
ispatland\i\u g\i n\i\ varsay\i yoruz. 
\begin{asparadesc}
\item[$\bm{F_1}$, $\bm{\lnot\lnot G}$ bi\c ciminde ise,]
o zaman
$\models G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$,
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\
&\proves F_1\lor\lnot G,&&\text{[aksiyom]}\\
&\proves\lnot G\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
&\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[Kesme]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}
\end{align*}
\item[$\bm{F_1}$, $\bm{\lnot(G\lor H)}$ bi\c ciminde ise,]
o zaman
$\models\lnot G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$ 
ve $\models\lnot H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$,
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves\lnot G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\
&\proves F_1\lor G\lor H,&&\text{[aksiyom]}\\
&\proves G\lor H\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\\
&\proves(H\lor F_1)\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Kesme]}\\
&\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor H\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
&\proves H\lor(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\\
&\proves\lnot H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\
&\proves((F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1)\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Kesme]}\\
&\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}
\end{align*}
\item[$\bm{F_1}$, $\bm{G\lor H}$ bi\c ciminde ise,]
o zaman 
$\models G\lor H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$, 
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves G\lor H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[hipotez]}\\
&\proves F_2\lor\dotsb\lor F_n\lor F_1,&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Lemma \ref{lem:gen}]}\qedhere
\end{align*}
\end{asparadesc}
  \end{asparaenum}
\end{proof}

\begin{lemma}[Totoloji]\label{lem:totoloji}
$\models F$ ise $\proves F$.
\end{lemma}

\begin{proof}
$\models F$ ise, o zaman
\begin{equation*}
\models F\lor F,
\end{equation*}
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves F\lor F,&&\text{[Lemma \ref{lem:2}]}\\
&\proves F.&&\text{[Daralma]}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}[Ay\i rma]\label{lem:ayirma}
$\Gamma\proves F$ ile $\Gamma\proves\lnot F\lor G$ ise $\Gamma\proves G$.
\end{lemma}

\begin{proof}
$\Gamma\proves F$ ile $\Gamma\proves\lnot F\lor G$ varsayal\i m.  O zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves G\lor F,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves F\lor G,&&\text{[Lemma \ref{lem:degisme}]}\\
\Gamma&\proves G\lor G,&&\text{[Kesme]}\\	
\Gamma&\proves G.&&\text{[Daralma]}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}


\begin{theorem}[$\bd2$ dizgesinin taml\i\u g\i]
$\Gamma\models F$ ise $\Gamma\proves F$.
\end{theorem}

\begin{proof}
  $\Gamma\models F$ varsayal\i m.
  \Teorem{thm:tkz} sayesinde $\Gamma$
  k\"umesinin bir $\{G_1\dots,G_n\}$ altk\"umesi i\c cin
  $\{G_1\dots,G_n\}\models F$.  O zaman 
\begin{equation*}
\models\lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,
\end{equation*}
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
    &\proves \lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\text{[Lemma \ref{lem:totoloji}]}\\
\Gamma&\proves \lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\\
\Gamma&\proves G_1,&&\\
\Gamma&\proves\lnot G_2\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\text{[Lemma \ref{lem:ayirma}]}\\
&\makebox[4cm]{\dotfill},&&\\
\Gamma&\proves F.&&\qedhere
\end{align*}
\end{proof}



%\bibliographystyle{plain}
%\bibliography{../../../references}
%\bibliography{../../../Public/references}

\def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
  \def\rasp{\leavevmode\raise.45ex\hbox{$\rhook$}} \def\cprime{$'$}
  \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{Burris}
Stanley~N. Burris.
\newblock {\em Logic for Mathematics and Computer Science}.
\newblock Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 1998.

\bibitem{MR18:631a}
Alonzo Church.
\newblock {\em Introduction to mathematical logic. {V}ol. {I}}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, N.~J., 1956.

\bibitem{Cucen}
A.~Kadir {\c C}{\"u}{\c c}en.
\newblock {\em Mant{\i}k}.
\newblock Sentez, Ankara, 2013.
\newblock G\"ozden ge\c cirilmi\c s 8.\ bask\i.

\bibitem{Demirtas}
Abdurrahman Demirta{\c s}.
\newblock {\em Matematik S{\"o}zl{\"u}{\u g}{\"u}}.
\newblock Bilim Teknik K{\"u}lt{\"u}r Yay{\i}nlar{\i}, Ankara, 1986.

\bibitem{MTS}
Teo Gr{\"u}nberg and Adnan Onart.
\newblock {\em Mant{\i}k Terimleri S{\"o}zl{\"u}{\u g}{\"u}}.
\newblock T{\"u}rk Dil Kurumu Yay{\i}nlar{\i}, Ankara, 1976.

\bibitem{Nesin-OM}
Ali Nesin.
\newblock {\em {\"O}nermeler Mant{\i}{\u g}{\i}}.
\newblock Bilgi {\"U}niversitesi Yay{\i}nlar{\i}, Ekim 2001.

\bibitem{MR1683176}
Reviel Netz.
\newblock {\em The Shaping of Deduction in {G}reek Mathematics}, volume~51 of
  {\em Ideas in Context}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
\newblock A study in cognitive history.

\bibitem{Oklid-2014-T}
{\"O}klid.
\newblock {\em {\"O}{\u g}elerin 13 Kitab{\i}ndan Birinci Kitap}.
\newblock Matematik B{\"o}l{\"u}m{\"u}, Mimar Sinan G{\"u}zel Sanatlar
  {\"U}niversitesi, {\.I}stanbul, 4 edition, Eyl{\"u}l 2014.
\newblock {\"O}klid'in Yunanca metni ve {\"O}zer {\"O}zt{\"u}rk \&\ David
  Pierce'in {\c c}evirdi{\u g}i T{\"u}rk{\c c}esi.

\bibitem{MR1200456}
Proclus.
\newblock {\em A Commentary on the First Book of {E}uclid's \emph{{E}lements}}.
\newblock Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ,
  1992.
\newblock Translated from the Greek and with an introduction and notes by Glenn
  R. Morrow. Reprint of the 1970 edition. With a foreword by Ian Mueller.

\bibitem{MR1809685}
Joseph~R. Shoenfield.
\newblock {\em Mathematical logic}.
\newblock Association for Symbolic Logic, Urbana, IL, 2001.
\newblock reprint of the 1973 second printing.

\bibitem{Struik}
Dirk~J. Struik.
\newblock {\em A Concise History of Modern Mathematics}.
\newblock Dover, New York, fourth revised edition, 1987.

\bibitem{Struik-TR}
Dirk~J. Struik.
\newblock {\em K{\i}sa Matematik Tarihi}.
\newblock Sarmal Yay\i nevi, {\.I}stanbul, 1996.
\newblock T{\"u}rk{\c c}esi: Y{\i}ld{\i}z Silier.

\bibitem{PM}
Alfred~North Whitehead and Bertrand Russell.
\newblock {\em Principia Mathematica}, volume~I.
\newblock University Press, Cambridge, 1910.
\newblock Reprinted by Merchant Books, 2009.

\end{thebibliography}


%\printindex

\begin{theindex}
  \providecommand*\lettergroupDefault[1]{}
  \providecommand*\lettergroup[1]{%
      \par\textbf{#1}\par
      \nopagebreak
  }

  \lettergroup{A}
  \item a\u ga\c c, 13, 17
  \item aksiyom, 49
  \item anaba\u glay\i c\i s\i, 13, 17
  \item Ay\i rma, 31

  \indexspace

  \lettergroup{B}
  \item Ba\u glama, 31, 50
  \item ba\u glay\i c\i, 9, 15
  \item Basitle\c stirme, 30
  \item bi\c cim
    \subitem normal ---, 52
    \subitem ---sel dizge, 39, 49
    \subitem ---sel kan\i t, 37
    \subitem ---sel teorem, 49
  \item bile\c ske \"onerme, 8
  \item Birle\c sme, 26, 55

  \indexspace

  \lettergroup{�}
  \item \c Cifte De\u gilleme, 26
  \item \c c\i kar\i m kural\i, 49

  \indexspace

  \lettergroup{D}
  \item Da\u g\i lma, 26
  \item Daralma, 54, 55
  \item De Morgan, 26
  \item De\u gi\c sme, 26, 55
  \item De\u gi\c stirim, 27
  \item denk, 24
  \item dizge, 39, 49
  \item dizimsel, 54
  \item do\u gru, 6
    \subitem ---luk de\u geri, 7
    \subitem ---luk g\"ondermesi, 7, 19
    \subitem ---luk tablosu, 8, 19
  \item durum, 6
  \item d\"u\u g\"um, 17

  \indexspace

  \lettergroup{E}
  \item Ekleme, 31, 50, 54, 55
  \item e\c sde\u ger, 24
  \item evrik, 25

  \indexspace

  \lettergroup{F}
  \item Fazlal\i k, 26

  \indexspace

  \lettergroup{G}
  \item ge\c cerli form\"ul, 33
  \item ge\c ci\c s, 13
  \item gerektirme, 30, 32

  \indexspace

  \lettergroup{H}
  \item harf\/i, 57
  \item Hipotetik Tas\i m, 32
  \item hipotez, 37

  \indexspace

  \lettergroup{K}
  \item kan\i t, 37
  \item kan\i tlama, 38
  \item kar\c s\i t tersi, 25
  \item Kesme, 55
  \item konum, 15
  \item ko\c sullu \"onerme, 25

  \indexspace

  \lettergroup{M}
  \item mant\i ksal do\u gru form\"ul, 33
  \item model, 46

  \indexspace

  \lettergroup{N}
  \item normal bi\c cimi, 52

  \indexspace

  \lettergroup{O}
  \item Olumlu Dilemma, 33

  \indexspace

  \lettergroup{�}
  \item \"onerme, 6
  \item \"ozyineleme, 16, 17, 47

  \indexspace

  \lettergroup{S}
  \item sonu\c c, 37

  \indexspace

  \lettergroup{T}
  \item teorem, 49
  \item ters, 25
  \item tikel-evetleme, 52
  \item t\i k\i zl\i k, 46
  \item totoloji, 34
  \item turnike, 53
  \item t\"umel-evetleme, 52
  \item t\"umevar\i m, 16

  \indexspace

  \lettergroup{Y}
  \item yanl\i\c s, 6
  \item Yeni De\u gi\c sken, 26
  \item Yerine Koyma, 28, 50
  \item yorumsal, 54
  \item Yutma, 27

\end{theindex}


\end{document}
