\documentclass[%
 version=last,%
 a5paper,%
 10pt,%
 headings=small,%
 bibliography=totoc,%
%titlepage=false,%
 twoside,%
 open=any,%
 parskip=half,%  this option takes 2.5% more space than parskip
 draft=true,%
DIV=12,%
%headinclude=false,%
headinclude=true,%
 pagesize]%
 {scrbook}

%\makeindex
\usepackage{makeidx}
%\usepackage{showidx}
%  Run texindy -L turkish <filename>.idx on the file

%\usepackage[notcite,notref]{showkeys}

\usepackage{cclicenses}

%\usepackage[document]{ragged2e}

\usepackage{relsize}

% \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[english,greek,turkish]{babel}
%\usepackage{gfsneohellenic}
%\usepackage{relsize}
%\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{\relscale{0.9}\textneohellenic{#1}}}
\newcommand{\gr}[1]{\foreignlanguage{greek}{#1}}
\newcommand{\grm}[1]{\text{\gr{#1}}}

\usepackage[headsepline]{scrpage2}
\pagestyle{scrheadings}
\clearscrheadings
\rehead{\"Onermeler Mant\i\u g\i}
\lohead{\leftmark}
\ohead{\pagemark}

\usepackage{float}
\floatstyle{boxed} 
\restylefloat{figure}

\renewcommand{\captionformat}{. }

\setcounter{tocdepth}{1}

\usepackage{multicol}
\usepackage{rotating}

\usepackage{calc}
\newcounter{hours}\newcounter{minutes}
\newcommand\printtime{\setcounter{hours}{\time/60}%
                      \setcounter{minutes}{\time-\value{hours}*60}%
         \ifthenelse{\value{minutes}>9}%
                    {saat \thehours:\theminutes}%
                    {saat \thehours:0\theminutes}} 
                    % code adapted from the
                                % LaTeX Companion (2d ed), p. 871  

%\usepackage{dblfnote}

\usepackage{verbatim}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\usepackage{auto-pst-pdf}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% for Turkish endings on numerals  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{ifthen}
\newcounter{rfp}\newcounter{ones}\newcounter{tens}
\usepackage{refcount}

\newcommand{\sayfanumaraya}[1]{%
\setcounterpageref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6}%
   {ya}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=9}%
       {a}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
           {ye}%
           {\ifthenelse%
               {\value{ones}=0}%
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}
                   {ye}
                   {e}}
               {e}}}}}
\newcommand{\sayfaya}[1]{sayfa \sayfanumaraya{#1}}

\newcommand{\sayfanumarada}[1]{%
%\setcounter{rfp}{\number\numexpr\getpagerefnumber{#1}}%
\setcounterpageref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6\or\value{ones}=9}%
   {da}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=3\or\value{ones}=4\or\value{ones}=5}%
       {te}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=0}%
           {\ifthenelse%
               {\value{tens}=7}%
               {te}
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=4\or\value{tens}=6}%
                   {ta}
                   {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3\or\value{tens}=9}%
                       {da}%
                       {de}}}}%
           {de}}}}
\newcommand{\sayfada}[1]{sayfa \sayfanumarada{#1}}
\newcommand{\Sayfada}[1]{Sayfa \sayfanumarada{#1}}

\newcommand{\numaraya}[1]{%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6}%
   {ya}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=9}%
       {a}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
           {ye}%
           {\ifthenelse%
               {\value{ones}=0}%
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}
                   {ye}
                   {e}}
               {e}}}}}


\newcommand{\numarada}[1]{%
%\setcounter{rfp}{\number\numexpr\getpagerefnumber{#1}}%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
   {\value{ones}=6\or\value{ones}=9}%
   {da}%
   {\ifthenelse%
       {\value{ones}=3\or\value{ones}=4\or\value{ones}=5}%
       {te}%
       {\ifthenelse%
           {\value{ones}=0}%
           {\ifthenelse%
               {\value{tens}=7}%
               {te}
               {\ifthenelse%
                   {\value{tens}=4\or\value{tens}=6}%
                   {ta}
                   {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3\or\value{tens}=9}%
                       {da}%
                       {de}}}}%
           {de}}}}

\newcommand{\numarayi}[1]{%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
  {\value{ones}=1\or\value{ones}=5\or\value{ones}=8}%
  {i}%
  {\ifthenelse%
     {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
     {yi}%
     {\ifthenelse%
        {\value{ones}=3\or\value{ones}=4}%
        {\"u}%
        {\ifthenelse%
           {\value{ones}=6}%
           {y\i}%
           {\ifthenelse%
              {\value{ones}=9}%
              {u}%
              {\ifthenelse%
                 {\value{tens}=7\or\value{tens}=8}%
                 {i}%
                 {\ifthenelse%
                    {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}%
                    {yi}%
                    {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3}%
                       {u}%
                       {\ifthenelse%
                          {\value{tens}=4\or\value{tens}=6\or\value{tens}=9}%
                          {\i}
                          {\"u}}}}}}}}}}

\newcommand{\numaranin}[1]{%
\setcounterref{rfp}{#1}%
\setcounter{ones}{\value{rfp}-(\value{rfp}/10)*10}%
\setcounter{tens}{\value{rfp}/10-(\value{rfp}/100)*10}%
\arabic{rfp}'%
\ifthenelse%
  {\value{ones}=1\or\value{ones}=5\or\value{ones}=8}%
  {in}%
  {\ifthenelse%
     {\value{ones}=2\or\value{ones}=7}%
     {nin}%
     {\ifthenelse%
        {\value{ones}=3\or\value{ones}=4}%
        {\"un}%
        {\ifthenelse%
           {\value{ones}=6}%
           {n\i n}%
           {\ifthenelse%
              {\value{ones}=9}%
              {un}%
              {\ifthenelse%
                 {\value{tens}=7\or\value{tens}=8}%
                 {in}%
                 {\ifthenelse%
                    {\value{tens}=2\or\value{tens}=5}%
                    {nin}%
                    {\ifthenelse%
                       {\value{tens}=1\or\value{tens}=3}%
                       {un}%
                       {\ifthenelse%
                          {\value{tens}=4\or\value{tens}=6\or\value{tens}=9}%
                          {\i n}
                          {\"u}}}}}}}}}}

\newcommand{\Teorem}[1]{Teorem \ref{#1}}
\newcommand{\Teoreme}[1]{Teorem \numaraya{#1}}
\newcommand{\Teoremde}[1]{Teorem \numarada{#1}}
\newcommand{\Teoremi}[1]{Teorem \numarayi{#1}}
\newcommand{\Teoremin}[1]{Teorem \numaranin{#1}}

\newcommand{\Alistirma}[1]{Al\i\c st\i rma \ref{#1}}
\newcommand{\Alistirmaya}[1]{Al\i\c st\i rma \numaraya{#1}}
\newcommand{\Alistirmada}[1]{Al\i\c st\i rma \numarada{#1}}
\newcommand{\Alistirmayi}[1]{Al\i\c st\i rma \numarayi{#1}}
\newcommand{\Alistirmayin}[1]{Al\i\c st\i rma \numaranin{#1}}

\usepackage{chngcntr}
\counterwithout{figure}{chapter}
\newcommand{\Sekil}[1]{\c Sekil \ref{#1}}
\newcommand{\Sekle}[1]{\c Sekil \numaraya{#1}}
\newcommand{\Sekilde}[1]{\c Sekil \numarada{#1}}
\newcommand{\Sekli}[1]{\c Sekil \numarayi{#1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \usepackage{hfoldsty}

 \renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}

\usepackage[neverdecrease]{paralist}

\usepackage{pstricks,pst-node,pst-tree}

\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,url}
\allowdisplaybreaks
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{bm}

 %\renewcommand{\theequation}{\fnsymbol{equation}}
%\numberwithin{equation}{document}  % doesn't work; see LaTeX Companion  2d ed. p. 851

%\swapnumbers

\newtheorem{theorem}{Teorem}
\newtheorem{lemma}{Yard\i mci teorem}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercise}{Al\i\c st\i rma}
\newcommand{\cexercise}%
{\stepcounter{exercise}\textbf{Al\i\c st\i rma \theexercise.}}

\newcommand{\stnd}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\N}{\stnd N}
\newcommand{\Z}{\stnd Z}
\newcommand{\Q}{\stnd Q}
\newcommand{\Qp}{\stnd Q^+}
\newcommand{\B}{\stnd B}
\usepackage{upgreek}

%\newcommand{\liff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
%\newcommand{\lto}{\Rightarrow}
\newcommand{\lto}{\rightarrow}

\newcommand{\denktir}{\text{ denktir }}
\newcommand{\gerektirir}{\text{ gerektirir }}
\newcommand{\ile}{\text{ ile }}
\newcommand{\ve}{\text{ ve }}
\newcommand{\virgul}{,\ }

\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\bd}[1]{\mathscr D_{#1}}
\newcommand{\proves}[1][2]{\vdash_{#1}}
\renewcommand{\models}{\vDash}
\newcommand{\Forall}[1]{\forall#1\;}
\newcommand{\Exists}[1]{\exists#1\;}
\newcommand{\included}{\subseteq}
\newcommand{\includes}{\supseteq}

%\newcommand{\sv}[1]{#1}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\begin{document}

\title{\"Onermeler mant\i\u g\i}
 \author{David Pierce}
 \date{\today}
\publishers{Matematik B\"ol\"um\"u\\
Mimar Sinan G\"uzel Sanatlar \"Universitesi\\
\.Istanbul\\
\mbox{}\\
\url{http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/}\\
\url{dpierce@msgsu.edu.tr}}

\uppertitleback{\centering
Bu notlar\\
 Creative Commons Attribution--Gayriticari--Share-Alike\\
3.0 Unported Lisans\i\ ile lisansl\i d\i r.\\
Lisans\i n bir kopyas\i n\i\ g\"orebilmek i\c cin,\\
\url{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.tr}\\
adresini ziyaret edin.\\
% ya da a\c sa\u g\i daki adrese yaz\i n:\\
%Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900,\\
%Mountain View, California, 94041, USA.\\
\mbox{}\\
\cc \ccby David Austin Pierce \ccnc \ccsa\\
}

\lowertitleback{Bu yaz\i, b\"ol\"um\"um\"un
\"Oklid Geometrisine Giri\c s dersi i\c cin haz\i rlanm\i\c st\i r.
Yaz\i n\i n ana kaynaklar\i, 
Church'un \cite{MR18:631a},
Shoenfield'in \cite{MR1809685},
Burris'in \cite{Burris}, ve Nesin'in \cite{Nesin-OM}
kitaplar\i\ ve \foreignlanguage{english}{\emph{Foundations of
    Mathematical Practice}} (Eyl\"ul 2010) adl\i\ notlar\i md\i r.
Baz{\i} terimler, \cite{Demirtas,MTS}
 kaynaklar{\i}ndan al{\i}nm\i\c st{\i}r.}

 \maketitle

\tableofcontents

\listoffigures

\chapter{\"Onermeler}

 \textbf{\"Onerme,}\index{\"onerme} 
 \begin{inparaenum}[(1)]
   \item
 belli bir \emph{durumda}\index{durum}
\item
\emph{do\u gru} veya \emph{yanl{\i}\c s}\index{do\u gru}\index{yanl\i\c s} 
denebilen 
\item
\emph{c\"umledir.} 
 \end{inparaenum}
 \begin{itemize}
\item
\textbf{C\"umle} (veya \emph{t\"umce}), g\"unl\"uk dilden bilinir.
\c Ca\u gda\c s matematikte bazen bir c\"umle,
simgeler listesi olarak yaz\i l\i yor,
\"orne\u gin
\begin{equation*}
\Forall x\Exists yx*y=\mathrm e.
\end{equation*}
Bu \"ornek, ``Her say\i n\i n tersi var'' c\"umlesi i\c cin
sadece bir k\i saltmad\i r.
   \item
\textbf{Durum} matematikte \c co\u gunlukla bir \emph{yap{\i}d{\i}r.}
\"Orne\u gin \c carpma i\c s\-lemi ve \emph{bir} eleman\i\ ile 
do\u gal say\i lar,
$(\N,\times,1)$ olarak yaz\i labilen yap\i\ olu\c sturur.
\"Oklid geometrisinde bir durum, \Sekilde{fig:I.6}ki gibi
\emph{harf{}li diyagram} olabilir.
\begin{figure}
  \centering
  \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(1,2)
\uput[u](1,2){$A$}
\uput[d](0,0){$B$}
\uput[d](2,0){$C$}
  \end{pspicture}
  \caption{Bir \"u\c cgen}\label{fig:I.6}
  
\end{figure}
\item
\textbf{Do\u gru} ve \textbf{yanl\i\c s,}
\"orneklerden anlan\i r.
``Her say{\i}n{\i}n tersi var'' \"onermesi, 
\begin{itemize}
\item
$(\N,\times,1)$ yap{\i}s{\i}nda yanl{\i}\c s,
\item
$(\Qp,\times,1)$ yap{\i}s{\i}nda do\u gru,%%%%%
\footnote{$\Qp$,
s\i f\i rdan b\"uy\"uk olan kesirli say\i lar k\"umesidir,
yani $\Qp=\{x\colon x\in\Q\land x>0\}$.}
%%%%%%%%%%%%%% 
\item
$(\upomega,+,0)$ yap{\i}s{\i}nda yanl\i\c s,%%%%%
\footnote{$\upomega$, negatif olmayan tamsay\i lar k\"umesidir,
yani $\upomega=\{x\colon x\in\Z\land x\geq0\}$.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
$(\Z,+,0)$ yap{\i}s{\i}nda do\u grudur.
\end{itemize}
 \end{itemize}
Do\u gru ve yanl\i\c s,
\textbf{do\u gruluk de\u gerleridir.}\index{do\u gru!---luk de\u geri}
\emph{Do\u gru} do\u gruluk de\u gerini
\begin{equation*}
  1
\end{equation*}
olarak, 
\emph{yanl\i\c s} do\u gruluk de\u gerini de 
\begin{equation*}
  0
\end{equation*}
olarak
yazaca\u g\i z.%%%%%
\footnote{$1$ ve $0$ yerine $D$ ve $Y$,
ya da $\top$ ve $\bot$, i\c saretleri kullan\i labilir.}  
%%%%%%
Belli bir durumda, bir \"onerme do\u gru ise, o \"onermenin o durumdaki
do\u gruluk de\u geri $1$'dir; yanl\i\c s ise,
\"onermenin durumdaki do\u gruluk de\u geri $0$'d\i r.

Her durum bir \textbf{do\u gruluk g\"ondermesi}%
\index{do\u gru!---luk g\"ondermesi} 
belirtir.  
Bu g\"onderme 
her \"onermeyi o durumdaki do\u gruluk de\u gerine
g\"onderir.  Mesela $d_1$ do\u gruluk g\"ondermesi 
$(\N,\times,1)$ yap\i s\i ndan taraf\i ndan belirtilsin.  O zaman 
\begin{equation*}
d_1(\text{``Her say\i n\i n tersi var''})=0.
\end{equation*}
Ancak $d_2$ do\u gruluk g\"ondermesi
$(\Qp,\times,1)$ yap\i s\i ndan taraf\i ndan belirtilirse, o zaman 
\begin{equation*}
d_2(\text{``Her say\i n\i n tersi var''})=1.
\end{equation*}


\chapter{Bile\c ske \"onermeler}

Ba\u gla\c clarla verilmi\c s \"onermelerden \textbf{bile\c ske \"onerme}%%
\index{bile\c ske \"onerme}
yap{\i}labilir, 
ve onun do\u gruluk de\u geri 
verilmi\c s \"onermelerin de\u gerlerinden bulunabilir.  

Mesela iki \"onermemiz olsun, 
ve onlara $P$ ve $Q$ diyelim.%%%%%
\footnote{$Q$ harf{}i, \emph{k\"u} veya \emph{ky\"u} gibi telaffuz edilebilir.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
O zaman ``$P$ ve $Q$'' \"onermesini olu\c sturabiliriz.  
Her durumda, bu yeni \"onerme do\u grudur ancak ve ancak 
$P$ do\u grudur ve $Q$ de do\u grudur.  
``$P$ ve $Q$'' \"onermesini $P\land Q$ olarak yazal\i m, 
ve $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun.  O zaman
\begin{center}
  $d(P\land Q)=1$ ancak ve ancak $d(P)=1$ ve $d(Q)=1$.
\end{center}
Genellikle $(d(P),d(Q))$ s\i ral\i\ ikilisi i\c cin 
d\"ort tane se\c cenek vard\i r.  
Her se\c cenekteki $P\land Q$ \"onermesinin de\u geri,
a\c sa\u g\i daki gibi bir
\textbf{do\u gruluk tablosunda}%%
\index{do\u gru!---luk tablosu}
g\"osterilir.
\begin{equation*}
  \begin{array}{cc|c}
    P&Q&P\land Q\\\hline
0&0&0\\
1&0&0\\
0&1&0\\
1&1&1
  \end{array}
\end{equation*}

Bir\c cok \"onemli matematiksel \"onerme 
``$P$ ise $Q$'' bi\c cimindedir.  
Bu bi\c cimi
$P\lto Q$ (veya $P\Rightarrow Q$) olarak yazar\i z.
Her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
\begin{center}
$d(P\lto Q)=1$ ancak ve ancak $d(P)=0$ veya $d(Q)=1$.
\end{center}
$P\lto Q$ \"onermesinin do\u gruluk tablosu a\c sa\u g\i daki gibidir:
\begin{equation*}
  \begin{array}{cc|c}
    P&Q&P\lto Q\\\hline
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&1\\
1&1&1
  \end{array}
\end{equation*}
\"Orne\u gin
\"Oklid'in 6.\ \"onermesine bakal\i m \cite{Oklid-2014-T}:
\begin{center}
E\u ger bir \"u\c cgenin iki a\c c\i s\i\ birbirine e\c sit ise,\\
e\c sit a\c c\i lar\i n g\"ord\"u\u g\"u kenarlar da e\c sittir.
\end{center}
\Sekilde{fig:I.6}ki $ABC$ \"u\c cgenini bir yap\i\ olarak d\"u\c s\"unebiliriz,
ve bu yap\i\ i\c cin, bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r.  
\c Simdi
\begin{itemize}
\item
 $P$, ``$B$ k\"o\c sesindeki a\c c\i\ 
$C$ k\"o\c sesindeki a\c c\i ya e\c sittir'' \"onermesi olsun;  
 \item
 $Q$, ``$AC$ kenar\i\ $AB$ kenar\i na e\c sittir'' \"onermesi olsun.  
 \end{itemize}
O zaman \"Oklid'in 6.\ \"onermesine g\"ore $d(P\lto Q)=1$, yani
\begin{center}
ya $d(P)=0$ ya da $d(Q)=1$.
\end{center}

\begin{exercise}
  Yukar\i daki $P$ ve $Q$ i\c cin, \"oyle bir yap\i\ bulun ki, bu
  yap\i da $d(P\lto Q)=0$ olsun. 
(\emph{\.Ipucu}:  $C$ k\"o\c sesindeki a\c c\i\
$ACB$ a\c c\i s\i\ olmayabilir,
\c c\"unk\"u yap\i\ bir \"u\c cgen olmayabilir.)
\end{exercise}

S\"ozc\"uklerde ve simgelerde kullanaca\u g\i m\i z 
t\"um bile\c ske \"onermeler \Sekilde{fig:connectives}dir.%%%%%%
\footnote{Ba\c ska kaynaklarda
$P\land Q$ yerine $P\mathrel{\&}Q$, 
$P\lto Q$ yerine $P\Rightarrow Q$ veya $P\supset Q$,
$P\liff Q$ yerine $P\Leftrightarrow Q$, ve
$\lnot P$ yerine $\mathord{\sim}P$ veya $P'$
  kullan\i l\i r.} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[t]
  \begin{align*}
&  \begin{gathered}
    \text{$P$ ve $Q$}\\
\text{$P$ veya $Q$}\\
\text{$P$ ise $Q$}\\
\text{$P$ ancak ve ancak $Q$}\\
\text{$P$ de\u gil}
  \end{gathered}
&&
  \begin{gathered}
    P\land Q\\
P\lor Q\\
P\lto Q\\
P\liff Q\\
\lnot P
  \end{gathered}
\end{align*}

  \caption{Ba\u glay\i c\i lar}\label{fig:connectives}
  
\end{figure}
Onlar\i n t\"um olas\i\ do\u gruluk de\u gerleri, 
%\ref{fig:ilk-tt} numaral\i\ \c Sekildeki 
\Sekilde{fig:ilk-tt}ki 
do\u gruluk tablolar\i nda g\"osterilmi\c stir.
\begin{figure}[t]
\centering
\mbox{}\hfill$\begin{array}{cc|cccc}
    P&Q&P\land Q&P\lor Q&P\lto Q&P\liff Q\\\hline
0&0&0&0&1&1\\
1&0&0&1&0&0\\
0&1&0&1&1&0\\
1&1&1&1&1&1
  \end{array}$
\hfill
  $\begin{array}{c|c}
    P&\lnot P\\\hline
0&1\\
1&0
  \end{array}$\hfill\mbox{}
  \caption{Temel do\u gruluk tablolar\i}\label{fig:ilk-tt}
\end{figure}
$\land$, $\lor$, $\lto$, $\liff$, ve $\lnot$ i\c saretlerine
\textbf{ba\u glay\i c\i}%%
\index{ba\u glay\i c\i}
deriz.
Hat\i rlamak i\c cin:
Latince \emph{VEL} ba\u glac\i\ ``veya'' demektir, 
onun i\c cin ``veya'' $\lor$ olarak yaz\i l\i r.  
\.Ingilizce \emph{AND} ba\u glac\i\ ``ve'' demektir, 
ve $\land$ i\c sareti \emph A gibidir.
Ayr\i ca k\"umeler kuram\i nda
\begin{center}
$x\in A\cup B$ demek $x\in A$ veya $x\in B$,\\
$x\in A\cap B$ demek $x\in A$ ve $x\in B$.
\end{center}

\"Oklid'in 13.\ \"onermesi\label{13} 
$P\lor Q$ bi\c cimindedir.  O
\"onerme a\c sa\u g\i daki gibidir: 
\begin{center}
E\u ger bir do\u gru
bir do\u grunun \"uzerine konulursa,\\
yapt\i\u g\i\ a\c c\i lar,
ya iki dik\\
ya da iki dik a\c c\i ya e\c sit
olacakt\i r.\\
\end{center}
\Sekilde{fig:I.13}
$ABC$ bir do\u gru olsun, ve $BD$ ba\c ska bir do\u gru olsun.  
\begin{figure}
  \centering
  \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3.5,2)
    \psline(-1,0)(3,0)
\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](1,1.5){$D$}
\uput[d](-1,0){$A$}
\uput[d](1,0){$B$}
\uput[d](3,0){$C$}
  \end{pspicture}
  \caption{Bir do\u grunun \"uzerine bir do\u gru}\label{fig:I.13}
  
\end{figure}
Bu durum i\c cin, bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r.
\c Simdi
\begin{itemize}
\item
$P$, ``$ABD$ ve $CBD$ a\c c\i lar\i\ diktir'' \"onermesi olsun, ve
\item
$Q$, ``$ABD$ ve $CBD$ a\c c\i lar\i\ iki dik a\c c\i ya e\c sittir'' 
\"onermesi olsun.
\end{itemize}
O zaman \"Oklid'in 13.\ \"onermeye g\"ore
\begin{center}
ya $d(P)=1$ ya da $d(Q)=1$.
\end{center}

Bir \"onermede birden fazla ba\u glay\i c\i\ bulunabilir.
Asl\i nda \"Oklid'in 13.\ \"onermesi b\"oyle d\"u\c s\"un\"ulebilir.  
\Sekilde{fig:I.13+}ki gibi $ABD$ ve $DBC$ biti\c sik a\c c\i lar olsun, 
\begin{figure}
  \centering
  \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3.5,2)
    \psline(-1,0)(1,0)(3,0.25)
\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](1,1.5){$D$}
\uput[d](-1,0){$A$}
\uput[d](1,0){$B$}
\uput[d](3,0.25){$C$}
  \end{pspicture}
  \caption{\.Iki biti\c sik a\c c\i}\label{fig:I.13+}
  
\end{figure}
ve $d$ bu durum i\c cin do\u gruluk g\"ondermesi olsun.
Ayr\i ca   
\begin{itemize}
\item
$P$ ve $Q$, yukar\i daki gibi olsun, 
\item
$F$, $P\lor Q$ \"onermesi olsun, ve 
\item
$R$, ``$AB$ ve $BC$ do\u grular\i\ bir do\u grudad\i r'' \"onermesi olsun.
\end{itemize}
O zaman \"Oklid'in 13.\ \"onermeye g\"ore $d(R\lto F)=1$.  
\"Ustelik 14.\ \"onermeye g\"ore $d(Q\lto R)=1$; 
ve dik a\c c\i n\i n tan\i m\i ndan ve d\"ord\"unc\"u postulattan
$d(P\lto R)=1$.  
Bu \c sekilde $d(F\lto R)=1$.  
Sonunda, t\"um bunlara g\"ore $d(R\liff F)=1$. 

Ba\c ska bir \"ornek i\c cin, \"Oklid'in 4.\ \"onermesine bakal\i m:
  \begin{center}
  E\u ger iki \"u\c cgenin iki kenar\i\ iki kenara e\c sit olursa,
 her biri birine,\\
ve a\c c\i\ a\c c\i ya e\c sit olursa,
yani e\c sit do\u grular taraf\i ndan i\c cerilen,\\
hem taban tabana e\c sit olacak,\\
hem \"u\c cgen \"u\c cgene e\c sit olacak,\\
hem de geriye kalan a\c c\i lar geriye kalan a\c c\i lara  e\c sit olacak,
her biri birine,\\
yani e\c sit kenarlar\i\ g\"orenler.
  \end{center}
Bu \"onerme, $F\lto G$ bi\c cimindedir, 
ama $F$ ve $G$ \"onermelerin kendisi, bile\c skedir.  
Asl\i nda \Sekli{fig:I.4} kullanarak
\begin{figure}
  \centering
  \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,2.5)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(0.5,2)
\uput[u](0.5,2){$A$}
\uput[d](0,0){$B$}
\uput[d](2,0){$C$}
    \pspolygon(4,0)(6,0)(4.5,2)
\uput[u](4.5,2){$D$}
\uput[d](4,0){$E$}
\uput[d](6,0){$F$}
  \end{pspicture}
  \caption{\.Iki \"u\c cgen}\label{fig:I.4}
  
\end{figure}
\begin{itemize}
\item
$P_1$, ``$AB$ kenar\i\ $DE$ kenar\i na e\c sittir'' \"onermesi olsun,
\item
$P_2$, ``$AC$ kenar\i\ $DF$ kenar\i na e\c sittir'' \"onermesi olsun,
\item
$P_3$, ``$BAC$ a\c c\i s\i\ $EDF$ a\c c\i s\i na e\c sittir'' \"onermesi olsun,
\item
$P_4$, ``$BC$ kenar\i\ $EF$ kenar\i na e\c sittir'' \"onermesi olsun,
\item
$P_5$, ``$ABC$ \"u\c cgeni $DEF$ \"u\c cgenine e\c sittir'' \"onermesi olsun,
\item
$P_6$, ``$ABC$ a\c c\i s\i\ $DEF$ a\c c\i s\i na e\c sittir'' \"onermesi olsun,
ve
\item
$P_7$, ``$ACB$ a\c c\i s\i\ $DFE$ a\c c\i s\i na e\c sittir'' \"onermesi olsun.
\end{itemize}
Ayr\i ca
\begin{itemize}
\item
$F$, $P_1\land P_2\land P_3$ \"onermesi olsun, ve
\item
$G$, $P_4\land P_5\land P_6\land P_7$ \"onermesi olsun.
\end{itemize}
$ABC$ ve $DEF$ \"u\c cgenleri i\c cin 
bir $d$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r, 
ve \"Oklid'in 4.\ \"onermeye g\"ore, $d(F\lto G)=1$ olur, yani
$d(F)=0$ veya $d(G)=1$.  
\"Ustelik $d(F)=1$ ancak ve ancak 
\begin{equation*}
d(P_1)=d(P_2)=d(P_3)=1;
\end{equation*}
ve $d(G)=1$ ancak ve ancak
\begin{equation*}
d(P_4)=d(P_5)=d(P_6)=d(P_7)=1.
\end{equation*}

Bile\c ske bir \"onermenin
ba\u glay\i c\i lar\i ndan sadece biri, \"onermenin 
\textbf{ana ba\u g\-lay\i c\i s\i d\i r.}%%
\index{ana ba\u glay\i c\i s\i}  
Tekrar \"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri \"orne\u gine bak\i n.  
Orada $R\lto F$ \"onermesinin ana ba\u glay\i c\i s\i, 
$\lto$ ba\u glay\i c\i s\i d\i r.  
O \"onermede $\lor$ ba\u glay\i c\i s\i\ bulunur, ama bu,
\"onermenin ana ba\u glay\i c\i s\i\ de\u gil, $F$ \"onermesinin ana
ba\u glay\i c\i s\i d\i r. 

$F$ \"onermesinin $P\lor Q$ oldu\u gu $R\lto F$ \"onermesi, 
\c su anda $R\lto P\lor Q$ olarak yaz\i lamaz, 
\c c\"unk\"u bu ifade, 
\"onermenin ana ba\u glay\i c\i s\i n\i\ g\"ostermez.  
\"Onermemiz
$R\lto(P\lor Q)$ gibi bir ifade olarak yaz\i labilir veya
\Sekilde{fig:tree}ki \emph{a\u ga\c c}%%
\index{a\u ga\c c}
olarak \c cizilebilir.
\begin{figure}
  \begin{equation*}
  \xymatrix{
&\lto\ar@{-}[dl]\ar@{-}[drr]&&&\\
R&&&\lor\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\\
&&P&&Q
}
\end{equation*}

  \caption{A\u ga\c c olarak bir \"onerme}\label{fig:tree}
  
\end{figure}

$P_1\land P_2\land P_3$ \"onermesinin ana ba\u glay\i c\i s\i\
bir $\land$ ba\u glay\i c\i s\i d\i r, ama hangisi?  
Bu \"onermede
$\land$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n iki \textbf{ge\c ci\c si}%%
\index{ge\c ci\c s} 
vard\i r.%%%%
\footnote{\emph{Ge\c ci\c s} terimini \cite{MTS} kitab\i ndan ald\i m; 
\.Ingilizcesi, \emph{occurrence.}}  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Hangisinin ana ba\u glay\i c\i\ oldu\u gu fark etmez.  (Neden?)  
Kesinlik i\c cin son ge\c ci\c s olsun diyelim.  
O zaman 
\begin{center}
$P_1\land P_2\land P_3$ demek $P_1\land(P_2\land P_3)$ demektir.  
\end{center}
Ayn\i\ \c sekilde 
\begin{center}
$P_4\land P_5\land P_6\land P_7$ demek 
$P_4\land (P_5\land (P_6\land P_7))$.
\end{center}
Ancak $P\lto Q\lto R$ \"onermesindeki $\lto$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n
hangi ge\c ci\c sinin \"onermenin ana ba\u glay\i c\i s\i\ oldu\u gu
\"onemlidir.  (Neden?)  
Tekrar son ge\c ci\c s olsun diyelim:
\begin{center}
$P\lto Q\lto R$ demek
$P\lto(Q\lto R)$ demek olsun. 
\end{center}

\chapter{\"Onerme form\"ulleri}

Ger\c cekten $P$, $Q$, ve $R$ gibi
Latin harf{}leri, ve $P_1$ ve $P_2$ gibi bile\c ske simgeler,
\"onerme de\u gil, \textbf{\"onerme de\u gi\c skenleridir.}  
A\c sa\u g\i daki tan\i ma g\"ore
\"onerme de\u gi\c skenlerinden
\textbf{\"onerme form\"ulleri} olu\c stururuz.
\begin{enumerate}
\item 
Her \"onerme de\u gi\c skeni, bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
\item
$F$ ve $G$ \"onerme form\"ulleriyse
  \begin{align*}
&(F\land G),&
&(F\lor G),&
&(F\lto G),&
&(F\liff G)
\end{align*}
ifadeleri de \"onerme form\"ulleridir.
\item
$F$, \"onerme form\"ul\"uyse, 
  \begin{equation*}
\lnot F
  \end{equation*}
ifadesi de bir \"onerme form\"ul\"ud\"ur.
\item
$1$ ve $0$ simgeleri, \"onerme form\"ulleridir.
\end{enumerate}
\"Orne\u gin $P$, $(P\land Q)$, $(R\lor 1)$, $((P\land
Q)\lto(R\lor1))$, 
$\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1))$,
ve $(\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1))\liff0)$
ifadeleri, 
\"onerme form\"ulleridir.  
Buradaki
$\land$, $\lor$, $\lto$, $\liff$, $\lnot$, $1$, ve $0$ simgeleri,
\textbf{ba\u glay\i c\i d\i r.}%%
\index{ba\u glay\i c\i}
\"Ustelik
\begin{compactitem}
  \item
$\land$, $\lor$, $\lto$, ve $\liff$ ba\u glay\i c\i lar\i na 
\textbf{iki konumlu,}\index{konum}
\item 
$\lnot$ ba\u glay\i c\i s\i na \textbf{bir konumlu,}
\item
$0$ ve $1$ ba\u glay\i c\i na \textbf{s{\i}f{\i}r konumlu} denebilir.
\end{compactitem}
$F$, $G$, $H$, $K$ ve $L$ Latin harf{}leri her zaman
\"onerme form\"ullerini g\"osterecek;
$*$ ve $\dag$ simgeleri, 
iki konumlu ba\u glay\i c\i lar\i n\i\ g\"osterecek.
$F$ gibi harf{}in kendisi form\"ul de\u gildir;
$*$ gibi simgenin kendisi ba\u glay\i c\i\ de\u gildir.

$F$ ve $G$ form\"ul olarak
ve $*$ iki konumlu ba\u glay\i c\i\ olarak anlan\i rsa,
o zaman tan\i ma g\"ore
  \begin{compactenum}[(1)]
  \item
\"onerme de\u gi\c skenleri,
\item
$(F*G)$,
\item
$\lnot F$,
\item
$0$ ve $1$,
  \end{compactenum}
\"onerme form\"ulleridir.
Bu \"onerme form\"ulleri tan\i m\i\ \textbf{\"ozyinelemelidir.}%%%
\index{\"ozyineleme}%%%%%
\footnote{\cite{MTS} kitab\i nda
\emph{yinelgendir}; \.Ingilizcesi \emph{recursive.}} 
%%%%%%%%%%
Bu nedenle \"onerme form\"ulleri hakk\i nda teoremler,
\textbf{t\"umevar\i m}%%
\index{t\"umevar\i m} 
y\"ontemiyle kan\i tlanabilir.
A\c sa\u g\i daki teorem bir \"ornektir.

\begin{theorem}\label{th:ur}
E\u ger
bir $(F*G)$ form\"ul\"u,
bir $(H\mathbin{\dag}K)$ form\"ul\"u ile
ayn\i\ ise, 
o zaman $F$ ve $H$ form\"ulleri de birbiriyle ayn\i d\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
Bir \"onerme form\"ul\"un\"un sonuna yeni simgeler eklenerek
yeni \"oner\-me form\"ul\"un\"un elde edilemeyece\u gini g\"ostermek yeter.
Asl\i nda her $L$ form\"ul\"u i\c cin
\begin{compactitem}
  \item
hem sonuna yeni simgeler eklenerek
\item
hem de  sonundan simgeler kald\i r\i larak
\end{compactitem}
yeni \"onerme form\"ul\"un\"un elde edilemeyece\u gini g\"osterece\u giz.
Form\"uller ta\-n\i m\i n\i n sa\u glad\i\u g\i\ 
t\"umevar\i m y\"ontemini kullanaca\u g\i z.
\begin{asparaenum}
  \item
$L$ bir \"onerme de\u gi\c skeniyse, 
iddiam\i z do\u grudur.
\item
$L$ ya $F$ ya da $G$ form\"ul\"u ise,
iddiam\i z\i n do\u gru oldu\u gunu varsayal\i m.
\c Simdi $L$, bir $(F*G)$ form\"ul\"u olsun.%%%%%
\footnote{``Bir $(F*G)$ form\"ul\"u'' \c c\"unk\"u $(F*G)$ demek
$(F\land G)$ veya $(F\lor G)$ veya $(F\lto G)$ veya $(F\liff G)$.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
M\"umk\"unse,
sonuna yeni simgeler eklenerek
veya sonundan simgeler kald\i r\i larak
yeni bir form\"ul \c c\i kar.
Bu form\"ul $(H\dag K)$ bi\c ciminde olmal\i d\i r (neden?).
E\u ger $F$ ve $H$ birbiriyle ayn\i ysa,
o zaman
ya $G$, $K$ form\"ul\"un\"un ba\c s\i ndan bir par\c cas\i d\i r,
ya da $K$, $G$ form\"ul\"un\"un ba\c s\i ndan bir par\c cas\i d\i r.
Varsay\i m\i m\i za g\"ore bu m\"umk\"un de\u gildir.
Ayn\i\ \c sekilde
$F$ ve $H$ birbirinden farkl\i\ olamaz.
B\"oylece $L$, bir $(F*G)$ form\"ul\"u ise,
iddiam\i z do\u grudur.
\item
Benzer \c sekilde $L$ form\"ul\"un\"un bir $F$ form\"ul\"u oldu\u gu zamanda
iddiam\i z do\u gru ise,
$L$ form\"ul\"un\"un $\lnot F$ form\"ul\"u oldu\u gu zamanda da do\u grudur.
  \item
$L$ ya $0$ ya da $1$ ise, 
iddiam\i z do\u grudur.
\end{asparaenum}
B\"oylece her durumda iddiam\i z do\u grudur.
\end{proof}

\begin{exercise}\mbox{}
  \begin{enumerate}
  \item
E\u ger her $(F*G)$ form\"ul\"u sadece $F*G$ olarak yaz\i l\i rsa,
teoremin yanl\i\c s oldu\u gunu g\"osterin.
  \item
E\u ger her $(F*G)$ form\"ul\"u $(F*G$ olarak yaz\i l\i rsa,
teoremin hala do\u gru oldu\u gunu g\"osterin.
  \item
E\u ger her $(F*G)$ form\"ul\"u $F*G)$ olarak yaz\i l\i rsa,
teorem hala do\u gru mudur?
  \end{enumerate}
\end{exercise}

Teorem sayesinde
bir $(F*G)$ \"onerme
form\"ul\"un\"un $*$ ba\u glay\i c\i s\i,
form\"ul\"un \textbf{ana ba\u glay\i c\i s\i}%%
\index{ana ba\u glay\i c\i s\i}  
olarak tan\i mlanabilir.
Benzer \c sekilde
$\lnot F$ form\"ul\"un\"un ana ba\u glay\i c\i s\i\
$\lnot$ simgesidir.
$0$ veya $1$, kendisinin ana ba\u glay\i c\i s\i d\i r.
Ancak bir de\u gi\c skenin ana ba\u glay\i c\i s\i\ yoktur.
B\"oylece her de\u gi\c sken olmayan form\"ul\"un 
sadece bir tane ana ba\u glay\i c\i s\i\ vard\i r.  

Teorem sayesinde de a\c sa\u g\i daki
\textbf{\"ozyinelemeli tan\i m\i}%%%
\index{\"ozyineleme}
yapabiliriz.
Bir \"oner\-me form\"ul\"un\"un
\textbf{alt form\"ullerini}
tan\i ml\i yoruz.
Her \"onerme form\"ul\"u,
kendisinin alt form\"ul\"ud\"ur.
Ayr\i ca
\begin{itemize}
\item 
$F$ veya $G$ form\"ul\"un\"un her alt form\"ul\"u,
her $(F*G)$ form\"ul\"un\"un bir alt form\"ul\"ud\"ur.
\item 
$F$ form\"ul\"un\"un her alt form\"ul\"u
$\lnot F$ form\"ul\"un\"un bir alt form\"ul\"ud\"ur.
\end{itemize}

\"Orne\u gin 
$(\lnot((P\land Q)\lto(R\lor 1))\liff0)$
form\"ul\"un\"un alt form\"ulleri,
\Sekilde{fig:alt-f}ki
%a\c sa\u g\i daki
tabloda s\i ralanm\i\c st\i r.
\begin{figure}
  \begin{equation*}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  \begin{array}{cc}
\text{alt form\"ul}&\text{ana ba\u glay\i c\i s\i}\\\hline
(\lnot((P\land Q)\lto(R\lor 1))\liff0)&\liff\\
 \lnot((P\land Q)\lto(R\lor1))        &\lnot\\
      ((P\land Q)\lto(R\lor1))        &\lto\\
       (P\land Q)                     &\land\\
        P                             &\text{(yok)}\\
               Q                      &\text{(yok)}\\
                     (R\land1)        &\land\\
                      R               &\text{(yok)}\\
                            1         &1\\
                                    0 &0
  \end{array}
  \end{equation*}

  \caption{Bir form\"ul\"un alt form\"uller ve ana ba\u glay\i c\i lar\i}%%
\label{fig:alt-f}
  
\end{figure}
Ayn\i\ form\"ul\"un alt form\"ulleri,
veya alt form\"ullerin ana ba\u glay\i c\i lar\i,
\Sekil{fig:tree2} ve \numarada{fig:tree3}ki gibi
bir (ve tek bir) a\u gac\i n%%
\index{a\u ga\c c}
\emph{d\"u\u g\"umleri}%%
\index{d\"u\u g\"um} 
olarak \c cizilebilir.
\begin{figure}
  \centering
\psset{levelsep=10mm}
\pstree{\Toval{$(\lnot((P\land Q)\lto(R\lor 1))\liff0)$}}
       {\pstree{\Toval{$\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1))$}}
               {\pstree{\Toval{$((P\land Q)\lto(R\lor1))$}}
                       {\pstree{\Toval{$(P\land Q)$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$Q$}}
                        \pstree{\Toval{$(R\lor1)$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$1$}}}}
        \Toval{$0$}}
\caption{D\"u\u g\"umleri form\"ul olan bir a\u ga\c c}\label{fig:tree2}
  
\end{figure}
\begin{figure}
  \centering
\psset{levelsep=8mm}
\pstree{\Toval{$\liff$}}
       {\pstree{\Toval{$\lnot$}}
               {\pstree{\Toval{$\lto$}}
                       {\pstree{\Toval{$\land$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$Q$}}
                        \pstree{\Toval{$\lor$}}
                               {\Toval{$R$}\Toval{$1$}}}}
        \Toval{$0$}}
\caption{D\"u\u g\"umleri ba\u glay\i c\i\ 
veya de\u gi\c sken olan bir a\u ga\c c}\label{fig:tree3}
  
\end{figure}


\begin{theorem}
Bir form\"ulde, 
her de\u gi\c sken veya ayra\c c olmayan simge, 
bir ve sadece bir alt form\"ul\"un ana ba\u glay\i c\i s\i d\i r.  
\end{theorem}

\begin{proof}
  T\"umevar\i m\i\ kullanaca\u g\i z.
  \begin{asparaenum}
    \item
Bir de\u gi\c sken i\c cin iddiam\i z do\u grudur.
\item
\.Iddiam\i z $F$ ve $G$ i\c cin do\u gru olsun.
Bir $(F*G)$ form\"ul\"un\"un her alt form\"ul\"u,
ya form\"ul\"un kendisidir,
ya $F$ alt form\"ul\"un\"un alt form\"ul\"ud\"ur,
ya da $G$ alt form\"ul\"un\"un alt form\"ul\"ud\"ur.
Tan\i ma g\"ore,
g\"ord\"u\u g\"um\"uz $*$ ba\u glay\i c\i s\i n\i n ge\c ci\c si,
form\"ul\"un kendisinin ana ba\u glay\i c\i s\i d\i r.
Dedi\u gimize g\"ore bu $*$ ge\c ci\c si
ba\c ska alt form\"ul\"un ana ba\u glay\i c\i s\i\ olamaz.
Varsay\i m\i m\i za g\"ore,
bir ba\u glay\i c\i n\i n $F$ form\"ul\"unde ge\c ci\c si,
$F$ form\"ul\"un\"un tek bir alt form\"ul\"un\"un
ana ba\u glay\i c\i s\i d\i r.
O zaman $(F*G)$ form\"ul\"un\"un tek bir alt form\"ul\"un\"un
ana ba\u glay\i c\i s\i d\i r.
$G$ i\c cin ayn\i\ \c sey do\u grudur.
O zaman her $(F*G)$ form\"ul\"u i\c cin iddiam\i z do\u grudur.
\item
Benzer \c sekilde idd\i am\i z $F$ i\c cin do\u gru ise,
$\lnot F$ i\c cin de do\u grudur.
\item
\.Idd\i am\i z $0$ ve $1$ i\c cin do\u grudur.
  \end{asparaenum}
Form\"ullerin \"ozyinelemeli tan\i m\i na g\"ore,
idd\i am\i z do\u grudur.
\end{proof}

Bundan sonra \textbf{do\u gruluk g\"ondermesi,}%%
\index{do\u gru!---luk g\"ondermesi} 
t\"um \"onerme
form\"ulleri k\"umesinden $\{0,1\}$ k\"umesine
%(\sayfada{fig:ilk-tt}ki) 
%\Sekilde{fig:ilk-tt}ki gibi
\Sekilde{fig:dgk}ki kurallara g\"ore tan\i mlanm\i\c s
 bir fonksi\-yon anlam\i na gelecektir.
 \begin{figure}
    \begin{equation*}
  \begin{array}{cc|cccc}
d(F)&d(G)&d((F\land G))&d((F\lor G))&d((F\lto G))&d((F\liff G))\\\hline
0&0&0&0&1&1\\
1&0&0&1&0&0\\
0&1&0&1&1&0\\
1&1&1&1&1&1\\\hline
  \end{array}
\end{equation*}
\begin{align*}
&  \begin{array}{c|c}
    d(F)&d(\lnot F)\\\hline
0&1\\
1&0\\\hline
  \end{array}&
&\begin{array}{|c}
    d(1)\\\hline1\\\hline
 \end{array}&
&\begin{array}{|c}
 d(0)\\\hline0\\\hline
 \end{array}
\end{align*}
   \caption{Do\u gruluk g\"ondermesi kurallar\i}\label{fig:dgk}

 \end{figure}
Her do\u gruluk g\"ondermesinin alt\i nda,
bir form\"ul\"un de\u geri
form\"ul\"un \textbf{do\u gruluk tablosunda}%%
\index{do\u gru!---luk tablosu} g\"osteriliyor. 
$F$ bir \"onerme form\"ul\"u 
ve $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesiyse, 
$d(F)$ de\u gerini hesaplamak i\c cin, 
$F$ form\"ul\"un\"un her $G$ alt form\"ul\"u i\c cin 
$d(G)$ de\u gerini hesaplamal\i y\i z.  
Bu $d(G)$ de\u geri,
$F$ form\"ul\"un\"un do\u gruluk tablosunda,
\begin{compactenum}[1)]
\item 
e\u ger $G$ bir de\u gi\c skense,
$G$ alt\i nda, 
\item
 e\u ger $G$ de\u
  gi\c sken de\u gilse,
 $G$ form\"ul\"un\"un ana ba\u glay\i c\i s\i\ alt\i nda,
\end{compactenum}
g\"osterilebilir.
Mesela $(\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1))\liff0)$ 
form\"ul\"u i\c cin,
\Sekilde{fig:full}ki do\u gruluk tablosu \c c\i kar.
\begin{figure}
\centering
$\begin{array}{cccccccccccccccccc} 
 (&\lnot&(&(&P&\land&Q&)&\lto&(&R&\land&1&)&)&\liff&0&)\\\hline
  &    0& & &0&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &1&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &0&    0&1& &   1& &0&    0&1& & &    1&0&\\
  &    1& & &1&    1&1& &   0& &0&    0&1& & &    0&0&\\
  &    0& & &0&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &1&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &0&    0&1& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &1&    1&1& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&
  \end{array}$
\caption{Alt form\"ullerin de\u gerlerini g\"osteren do\u gruluk tablosu}%%%
\label{fig:full}
\end{figure}
O zaman form\"ul\"un kendisinin do\u gruluk tablosu,
\Sekilde{fig:reduced} g\"or\"un\"ur.
\begin{figure}
\begin{equation*}
  \begin{array}{ccc|c}
P&Q&R&(\lnot((P\land Q)\lto(R\lor1)\liff0)\\\hline
0&0&0&1\\
1&0&0&1\\
0&1&0&1\\
1&1&0&0\\
0&0&1&1\\
1&0&1&1\\
0&1&1&1\\
1&1&1&1
  \end{array}
\end{equation*}
  \caption{Form\"ul\"un kendisinin do\u gruluk tablosu}\label{fig:reduced}
  
\end{figure}
Hesaplamalar\i n s\i ras\i, \Sekilde{fig:tt} g\"or\"un\"ur.
\begin{figure}[p]
\centering\smaller
$\begin{array}{cccccccccccccccccc} 
 (&\lnot&(&(&P&\land&Q&)&\lto&(&R&\land&1&)&)&\liff&0&)\\\hline
  &     & & &0&     &0& &    & &0&     &1& & &     &0&\\
  &     & & &1&     &0& &    & &0&     &1& & &     &0&\\
  &     & & &0&     &1& &    & &0&     &1& & &     &0&\\
  &     & & &1&     &1& &    & &0&     &1& & &     &0&\\
  &     & & &0&     &0& &    & &1&     &1& & &     &0&\\
  &     & & &1&     &0& &    & &1&     &1& & &     &0&\\
  &     & & &0&     &1& &    & &1&     &1& & &     &0&\\
  &     & & &1&     &1& &    & &1&     &1& & &     &0&\\\hline
  &     & & &0&    0&0& &    & &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    0&0& &    & &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &0&    0&1& &    & &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    1&1& &    & &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &0&    0&0& &    & &1&    1&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    0&0& &    & &1&    1&1& & &     &0&\\
  &     & & &0&    0&1& &    & &1&    1&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    1&1& &    & &1&    1&1& & &     &0&\\\hline
  &     & & &0&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &0&    0&1& &   1& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    1&1& &   0& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &     & & &0&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\
  &     & & &0&    0&1& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\
  &     & & &1&    1&1& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\\hline
  &    0& & &0&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &    0& & &1&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &    0& & &0&    0&1& &   1& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &    1& & &1&    1&1& &   0& &0&    0&1& & &     &0&\\
  &    0& & &0&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\
  &    0& & &1&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\
  &    0& & &0&    0&1& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\
  &    0& & &1&    1&1& &   1& &1&    1&1& & &     &0&\\\hline
  &    0& & &0&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &1&    0&0& &   1& &0&    0&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &0&    0&1& &   1& &0&    0&1& & &    1&0&\\
  &    1& & &1&    1&1& &   0& &0&    0&1& & &    0&0&\\
  &    0& & &0&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &1&    0&0& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &0&    0&1& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&\\
  &    0& & &1&    1&1& &   1& &1&    1&1& & &    1&0&
  \end{array}$
\caption{Do\u gruluk tablosu hesaplanmas\i}\label{fig:tt}
\end{figure}
Her form\"ul\"un do\u gruluk tablosu oldu\u gundan dolay\i,
a\c sa\u g\i daki teorem do\u g\-rudur.

\begin{theorem}
  Her $P$ \"onerme de\u gi\c skeni i\c cin
bir $d(P)$ do\u gruluk de\u geri se\c cil\-mi\c s olsun.
O zaman \"oyle bir $\widehat d$ do\u gruluk g\"ondermesi vard\i r ki
her $P$ i\c cin $\widehat d(P)=d(P)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
  Buradaki $\widehat d$ do\u gruluk g\"ondermesi,
\"ozyineleme ile tan\i mlan\i r.
\Teoremde{th:ur}n dolay\i\ bu m\"umk\"und\"ur.
\end{proof}

Son b\"ol\"umde dedi\u gimiz gibi, 
\"onerme form\"ullerinde baz\i\ ayra\c clar gerekmez ve kullan\i lmayabilir.  
O zaman do\u gruluk de\u gerleri
a\c sa\u g\i daki s{\i}rada
hesaplan{\i}r. 
\begin{compactenum}[1)]
\item
$0$ ve $1$,
\item 
$\lnot$,
\item 
$\land$ ve $\lor$,
\item 
$\lto$ ve $\liff$,
\item 
bir ba\u glay\i c\i n\i n iki ge\c ci\c si varsa,
sa\u gdaki.
\end{compactenum}
\"Orne\u gin:
  \begin{compactenum}[a)]
\item
$F*G$ demek $(F*G)$,
\item
$\lnot F*G$ ve $\lnot(F*G)$ farkl\i d\i r,
    \item
$F\lto G\lor H$ demek $F\lto(G\lor H)$,
\item
$F\land G\lor H$ belirsiz (onun i\c cin yaz\i lmaz),
\item
$F\land G\land H$ demek $F\land(G\land H)$,
\item
$F\lto G\lto H$ demek $F\lto(G\lto H)$,
\item
$F\lto G\land H\lto K$ demek $F\lto ((G\land H)\lto K)$. 
  \end{compactenum}
 
\begin{exercise}
A\c sa\u g{\i}daki de\u gi\c skensiz form\"ulleri hesaplay{\i}n.
\begin{multicols}2
\begin{compactenum}[a)]
\item
$1\lto 1\lto 1$,
\item
$1\lto 0\lto 1$,
\item
$(0\lto 1)\liff 1$,
\item
$(0\liff 1)\liff0\liff 1$,
\item
$0\liff1\liff0\liff 1$,
\item
$\lnot\lnot\lnot 0$,
\item
$(1\lor 0)\land 0$,
\item
$1\lor (0\land 0)$.
\end{compactenum}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}
A\c sa\u g{\i}daki form\"ullerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ yap{\i}n:
\begin{compactenum}[a)]
\renewcommand{\labelenumii}{(\theenumii)}
\item
$P\lto Q\lto P$,
\item
$P\land Q\land R$,
\item
$\lnot(P\liff\lnot(Q\liff R))$,
\item
$(P\lto Q\lor R)\lto\lnot P\lor Q$,
\item
 $(P\lto Q\lor\lnot R)\land(Q\lto P\land R)\lto P\lto R$,
\item
$\lnot(\lnot R\lto P\lto\lnot(R\lto Q))$.
\end{compactenum}
\end{exercise}

\chapter{Denklik}

\.Iki \"onermenin do\u gruluk de\u geri her durumda ayn\i ysa, o
\"onermeler, mant\i ksal olarak birbirine \textbf{e\c sde\u ger}%%
\index{e\c sde\u ger}
veya
\textbf{denktir.}%%
\index{denk}\label{denktir}  

\.Iki \"onerme \emph{form\"ul\"un\"un} do\u gruluk
tablolar\i\ ayn\i ysa, 
o form\"uller de birbirine \textbf{e\c sde\u ger} veya \textbf{denktir.}  
Her form\"ul kendisine de denktir.

Zaten \sayfada{13} ba\c slayan \"Oklid'in 13.\ ve 14.\ \"onermeleri
\"orne\u ginde denk\-likler kulland\i k.  
Mesela $P\lor Q\lto R$ \"onermesi 
$(P\lto R)\land(Q\lto R)$ \"onermesine denktir
($P\lor Q\lto R$ ifadesinin $((P\lor Q)\lto R)$ 
demek oldu\u gunu hat\i rlay\i n).  
Bu \"onermelerin do\u gruluk tablolar\i n\i\ hesaplayal\i m:
\begin{align*}
&\begin{array}{ccccc}
P&\lor&Q&\lto&R\\\hline
0&   0&0&   1&0\\
1&   1&0&   0&0\\
0&   1&1&   0&0\\
1&   1&1&   0&0\\
0&   0&0&   1&1\\
1&   1&0&   1&1\\
0&   1&1&   1&1\\
1&   1&1&   1&1
\end{array}
&&
\begin{array}{ccccccccccc}
(&P&\lto&R&)&\land&(&Q&\lto&R&)\\\hline
 &0&   1&0& &    1& &0&   1&0&\\
 &1&   0&0& &    0& &0&   1&0&\\
 &0&   1&0& &    0& &1&   0&0&\\
 &1&   0&0& &    0& &1&   0&0&\\
 &0&   1&1& &    1& &0&   1&1&\\
 &1&   1&1& &    1& &0&   1&1&\\
 &0&   1&1& &    1& &1&   1&1&\\
 &1&   1&1& &    1& &1&   1&1&
\end{array}
\end{align*}
B\"oylece 
%\ref{fig:tt-5} numaral\i\ \c Sekildeki 
\Sekilde{fig:tt-5}ki 
%a\c sa\u g\i daki
tablolar\i\ elde ederiz.
\begin{figure}[t]
\mbox{}\hfill
%\begin{align}\label{eqn:tt-5}
$\begin{array}{ccc|c}
P&Q&R&P\lor Q\lto R\\\hline
0&0&0&1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
1&1&0&0\\
0&0&1&1\\
1&0&1&1\\
0&1&1&1\\
1&1&1&1
\end{array}$
\hfill
$\begin{array}{ccc|c}
P&Q&R&(P\lto R)\land(Q\lto R)\\\hline
0&0&0&1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
1&1&0&0\\
0&0&1&1\\
1&0&1&1\\
0&1&1&1\\
1&1&1&1
\end{array}$
%\end{align}
\hfill\mbox{}
\caption%[$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$ form\"ullerin tablolar\i]
{%$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$
\.Iki form\"ul\"un do\u gruluk tablolar\i}\label{fig:tt-5}  
\end{figure}
Bu tablolar, birbiriyle ayn\i d\i r; onun i\c cin
\begin{equation*}
P\lor Q\lto R\denktir(P\lto R)\land(Q\lto R)
\end{equation*}
ifadesini yazar\i z.
Genelde, $F$ ve $G$ \"onerme form\"ulleri e\c sde\u ger ise,   
\begin{equation*}
F\sim G
\end{equation*}
ifadesini 
yazabiliriz.
\"Orne\u gin
\begin{equation*}
P\lor Q\lto R\sim(P\lto R)\land(Q\lto R).
\end{equation*}
Ancak, dikkatli olunmal\i: $F\sim G$ ifadesi \"onerme form\"ul\"u de\u gil; 
sadece ``$F$ ve $G$ form\"ulleri, birbirine denktir'' c\"umlesi i\c cin,
yani
\begin{equation*}
F\denktir G
\end{equation*}
 c\"umlesi i\c cin, bir k\i saltmad\i r.

Bir $F\lto G$ \"onerme, \textbf{ko\c sullu \"onermedir,}%%
\index{ko\c sullu \"onerme}
ve onun 
\begin{enumerate}[1)]
\item 
\textbf{tersi}%%
\index{ters} 
veya \textbf{evri\u gi,}%%
\index{evrik} 
$G\lto F$ c\"umlesidir,
\item
\textbf{kar\c s\i t tersi,}%%
\index{kar\c s\i t tersi} 
$\lnot G\lto\lnot F$ c\"umlesidir.
\end{enumerate}

\begin{theorem}
Bir ko\c sullu \"onerme,
  \begin{enumerate}[1)]
  \item 
tersine denk olmayabilir,
\item
kar\c s\i t tersine her zaman denktir.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \cexercise
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm:denk}
A\c sa\u g\i daki e\c sde\u gerliklerimiz vard\i r.
  \begin{compactenum}
\item
Her \"onerme, sadece $\lnot$ ve $\land$ ile yaz\i labilir:
  \begin{gather*}
  P\lor Q\denktir\lnot(\lnot P\land\lnot Q),\\
    P\lto Q\denktir \lnot P\lor Q,\\
P\liff Q\denktir(P\lto Q)\land (Q\lto P).
  \end{gather*}
  \item
Her \"onerme, sadece $\lnot$ ve $\lto$ ile yaz\i labilir:
\begin{equation*}
  P\land Q\denktir\lnot(P\lto\lnot Q).
  \end{equation*}
    \item
\c Cifte de\u gilleme%% 
\index{\c Cifte De\u gilleme}
kald\i r\i labilir:
\begin{equation*}
  \lnot\lnot P\denktir P.
\end{equation*}
\item
De Morgan\index{De Morgan}%%%%%
\footnote{Augustus De Morgan, 1806--71, B\"uy\"uk
  Britanyal\i\ matematik\c ci ve mant\i k\c
  c\i\ \cite{Struik,Struik-TR}.} kurallar\i:
\begin{align*}
  \lnot (P\lor Q)&  \denktir \lnot P\land \lnot Q,\\
  \lnot (P\land Q)&  \denktir \lnot P\lor \lnot Q.
\end{align*}
\item
$\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n 
de\u gi\c sme%%%
\index{De\u gi\c sme} 
ve birle\c sme%%%
\index{Birle\c sme} 
\"ozellikleri:
\begin{align*}
  P&\land Q  \denktir Q\land P,&
  (P&\land Q)\land R  \denktir P\land (Q \land R),\\
  P&\lor Q  \denktir Q\lor P,&
  (P& \lor Q)\lor R  \denktir P\lor (Q\lor R).
\end{align*}
\item
$\land$ ve $\lor$ ba\u glay\i c\i lar\i\ birbiri \"uzerine da\u g\i l\i r:%%
\index{Da\u g\i lma}
\begin{align*}
 P&\land(Q\lor R)\denktir (P\land Q)\lor(P\land R),\\
 P&\lor(Q\land R)\denktir (P\lor Q)\land(P\lor R).
\end{align*}
\item
Fazlal\i klar:%%
\index{Fazlal\i k}
\begin{align*}
&
  \begin{gathered}
  P\land P  \denktir P,\\
P\land\lnot P  \denktir 0,\\
P\land 1  \denktir P,\\
   P\land 0  \denktir 0,
  \end{gathered}&&
  \begin{gathered}
  P\lor  P  \denktir P, \\
 P\lor \lnot P  \denktir 1,\\
P\lor  0  \denktir P,\\
   P\lor  1  \denktir 1.
  \end{gathered}
\end{align*}
\item
Yeni de\u gi\c sken:%%
\index{Yeni De\u gi\c sken}
\begin{align*}
  P&\denktir (P\land Q)\lor (P\land \lnot Q),\\
  P&\denktir (P\lor Q)\land (P\lor \lnot Q).
\end{align*}
\item
Yutma:\index{Yutma}
\begin{align*}
P\land(P\lor Q)& \denktir P,\\
P\lor(P\land Q)& \denktir P.
\end{align*}
  \end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

Bu teoremden, a\c sa\u g\i daki teoremi kullanarak, sonsuz say\i da 
denklikler elde edebiliriz.  
\"Orne\u gin $P\lto Q$ form\"ul\"u $\lnot P\lor Q$
form\"un\"une denk oldu\u gundan 
\begin{equation*}
  P\land Q\lto R\denktir\lnot(P\land Q)\lor R
\end{equation*}
denkli\u gini elde ederiz.

\begin{theorem}[De\u gi\c stirim]\label{th:sub}\index{De\u gi\c stirim}
  $F$ ve $G$ birbirine denk olan form\"uller olsun,
$P$ bir \"onerme de\u gi\c skeni olsun,
ve $H$ bir \"onerme form\"ul\"u olsun.  
E\u ger $F$ form\"ul\"unde $P$ de\u gi\c skeninin ge\c cti\u gi her yere 
$H$ konulursa, 
$F'$ form\"ul\"u elde edilsin; 
benzer \c sekilde, $G$ form\"ul\"unden
  $G'$ elde edilsin.  O zaman
  \begin{equation*}
    F'\denktir G'.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  $F$ veya $G$ form\"ul\"un\"un de\u gi\c skenleri 
$P$, $Q_1$, $Q_2$, \dots, $Q_n$ olsun,
$d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun,
ve $d^*$ \"oyle bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun ki
\begin{align*}
  d^*(P)&=d(H),&
d^*(Q_1)&=d(Q_1),&
%d^*(Q_2)&=d(Q_2),&
&\dots,&
d^*(Q_n)&=d(Q_n)
\end{align*}
olsun.
O zaman $d(F')=d^*(F)$ (neden?),
ve ayn\i\ \c sekilde $d(G')=d^*(G)$.
O zaman $d^*(F)=d^*(G)$ oldu\u gundan $d(F')=d(G')$.
\end{proof}

\begin{exercise}
  Son kan\i tta  $d(F')=d^*(F)$ e\c sitli\u gini g\"osterin.
\end{exercise}

Teoremde 
$F'$ ve $G'$ form\"ulleri,
$F$ ve $G$ form\"ullerinde $P$ de\u gi\c skeninin 
$H$ form\"ul\"u ile \textbf{de\u gi\c stirimiyle} elde edilir.

\"Ustelik $\lnot(P\land Q)$ form\"ul\"u
$\lnot P\lor\lnot Q$ form\"ul\"une denk oldu\u gundan,
  sonraki teorem sayesinde,
\begin{equation*}
\lnot(P\land Q)\lor R\denktir(\lnot P\lor\lnot Q)\lor R  
\end{equation*}
denkli\u gini elde ederiz.

\begin{theorem}[Yerine Koyma]\label{th:rep}\index{Yerine Koyma}
  $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"un bir alt form\"ul\"u olsun,
  ve $F^*$ form\"ul $F$ form\"ul\"une denk olsun.  
E\u ger $G$ form\"ul\"unde $F$ alt form\"ul\"un\"un yerine $F^*$ konulursa,
  $G^*$ form\"ul\"u elde edilsin.  O zaman
  \begin{equation*}
    G\denktir G^*.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \cexercise
\end{proof}

Teoremde $G^*$ form\"ul\"u,
$G$ form\"ul\"undan \textbf{yerine koymakla} elde edilir.
\c Simdi a\c sa\u g\i daki teorem ispatlanabilir:

\begin{theorem}
\begin{math}
  (P\lor Q)\land(R\lor S)\denktir(P\land R)\lor(Q\land R)\lor(P\land
  S)\lor(Q\land S).  
\end{math}
\end{theorem}

\begin{proof}
A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz vard\i r.
\begin{align*}
  &\phantom{{}\sim{}}(P\lor Q)\land(R\lor S)&&\\
  &\sim((P\lor Q)\land R)\lor((P\lor Q)\land S)&&\text{[Da\u g\i lma]}\\
  &\sim(R\land(P\lor Q))\lor(S\land(P\lor Q))&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
&\sim((R\land P)\lor(R\land Q))\lor((S\land P)\lor(S\land
  Q))&&\text{[Da\u g\i lma]}\\
&\sim(R\land P)\lor(R\land Q)\lor(S\land P)\lor(S\land
  Q)&&\text{[Birle\c sme]}\\
&\sim(P\land R)\lor(Q\land R)\lor(P\land S)\lor(Q\land
  S)&&\text{[De\u gi\c sme]}
\end{align*}
Bu ispat\i n
her ad\i m\i nda, 
De\u gi\c stirim
veya Yerine Koyma i\c slemlerini
(veya ikisini)
kulland\i k. 
\end{proof}

Benzer \c sekilde:

\begin{theorem}
%  A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz var:
  \begin{align*}
    \lnot P\lor(P\land Q)&\denktir\lnot P\lor Q,&
    \lnot P\land(P\lor Q)&\denktir\lnot P\land Q,\\
    P\lor(\lnot P\land Q)&\denktir P\lor Q,&
    P\land(\lnot P\lor Q)&\denktir P\land Q.
  \end{align*}
\end{theorem}

\begin{proof}
     A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz vard\i r.
    \begin{align*}
&\phantom{{}\sim{}}\lnot P\lor(P\land Q)&&\\
&\sim(\lnot P\lor P)\land(\lnot P\lor Q)&&\text{[Da\u g\i lma]}\\
&\sim 1\land(\lnot P\lor Q)&&\text{[Fazlal\i k]}\\
&\sim\lnot P\lor Q&&\text{[Fazlal\i k]}
    \end{align*}
Di\u ger denklikler, \cexercise
\end{proof}

\chapter{Gerektirme}

\Sayfada{denktir}ki tan\i ma g\"ore,
e\u ger her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=d(G)$ ise, 
o zaman $F$ ve $G$ birbirine denktir.  
Yani her $d$ i\c cin
\begin{itemize}
\item
$d(F)=1$ ise $d(G)=1$,
\item
$d(G)=1$ ise $d(F)=1$
\end{itemize}
durumunda $F\denktir G$.
\c Simdi her $d$ i\c cin $d(F)=1$ ise $d(G)=1$ ol\-du\u gunu varsayal\i m.  
O zaman $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u \textbf{gerektirir} deriz.%%
\index{gerektirme}

Her form\"ul kendisini gerektirir.
A\c sik\^ar olmayan \"ornek olarak
\Sekilde{fig:PQR}ki do\u gruluk tablosundan
  \begin{equation*}
P\lor Q\lto R\gerektirir P\lto R.
\end{equation*}
\begin{figure}
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc|c|c}
P&Q&R&P\lor Q\lto R&P\lto R\\\hline
0&0&0&1&1\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&1\\
1&1&0&0&0\\
0&0&1&1&1\\
1&0&1&1&1\\
0&1&1&1&1\\
1&1&1&1&1
\end{array}
\end{equation*}

  \caption{Gerektirmeyi g\"osteren bir do\u gruluk tablosu}\label{fig:PQR}
  
\end{figure}
Tablodaki her sat\i rda, 
ya $P\lor Q\lto R$ form\"ul\"un\"un de\u geri $0$, 
ya da $P\lto R$ form\"ul\"un\"un de\u geri $1$.  
Tabii ki ikisi de olabilir.
Genelde, $F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirirse,\label{models}
\begin{equation*}
  F\models G
\end{equation*}
ifadesini yazabiliriz.  
Bu ifade, ``$F$ form\"ul\"u $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir'' c\"umlesi i\c cin,
yani
\begin{equation*}
F\gerektirir G
\end{equation*}
c\"umlesi i\c cin, bir k\i saltmad\i r.
\"Orne\u gin
\begin{equation*}
  P\lor Q\lto R\models P\lto R.
\end{equation*}

\begin{theorem}
A\c sa\u g\i daki gerektirmelerimiz vard\i r.
  \begin{description}
    \item[Basitle\c stirme:]\index{Basitle\c stirme}
      \begin{align*}
	P\land Q&\gerektirir P,&
	P\land Q&\gerektirir Q.
      \end{align*}
\item[Ekleme:]\index{Ekleme}
  \begin{align*}
    	P&\gerektirir P\lor Q,&
	Q&\gerektirir P\lor Q.
  \end{align*}
\end{description}
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

\.Iki form\"ul de bir form\"ul\"u gerektirebilir.
$F$ ve $G$ form\"ulleri $H$ form\"ul\"un\"u gerektirir, 
ancak ve ancak her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
ya $d(F)=0$, ya $d(G)=0$, ya da $d(H)=1$.  Mesela
\Sekilde{fig:PQR2}ki do\u gruluk tablosundan 
\begin{equation*}
P\lto Q\ile Q\lto R\gerektirir P\lto R.
\end{equation*}
\begin{figure}
  \begin{equation*}
\begin{array}{ccc|cc|c}
P&Q&R&P\lto Q&Q\lto R&P\lto R\\\hline
0&0&0&      1&1&1\\
1&0&0&      0&1&0\\
0&1&0&      1&0&1\\
1&1&0&      1&0&0\\
0&0&1&      1&1&1\\
1&0&1&      0&1&1\\
0&1&1&      1&1&1\\
1&1&1&      1&1&1
\end{array}
\end{equation*}

  \caption{Gerektirmeyi g\"osteren bir do\u gruluk tablosu daha}\label{fig:PQR2}
  
\end{figure}
Asl\i nda sadece 1., 5., 7., ve 8.\ sat\i rlarda 
hem $P\lto Q$ ve $Q\lto R$ do\u gru, 
ve o sat\i rlarda $P\lto R$ de do\u grudur.  
Ancak $P\lto R$ ve $P\lto Q$, $Q\lto R$ form\"ul\"un\"u gerektirmez. 

\begin{theorem}\label{th:bag-etc}
A\c sa\u g\i daki gerektirmelerimiz vard\i r.
\begin{description}
\item[Ba\u glama:]\index{Ba\u glama}
  \begin{equation*}
	P\ile Q\gerektirir P\land Q.
  \end{equation*}
\item[Ay\i rma:]\index{Ay\i rma}
  \begin{align*}
	P\ile P\lto Q&\gerektirir Q,&
	P\lor Q\ile \lnot P&\gerektirir Q,\\
	\lnot Q\ile P\lto Q&\gerektirir\lnot P,&
	P\lor Q\ile\lnot Q&\gerektirir P.
  \end{align*}
  \item[Hipotetik Tas\i m:]\index{Hipotetik Tas\i m}
  \begin{equation*}
	P\lto Q\ile Q\lto R\gerektirir P\lto R.
  \end{equation*}
\end{description}
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise\ (Hipotetik Tas\i m gerektirmesini
\Sekilde{fig:PQR2} ispatlad\i k.)  
\end{proof}

\.Ikiden fazla form\"ul, bir form\"ul gerektirebilir. 
$\Gamma$ (\emph{Gamma}), bir \"onerme form\"ul\"u \emph{k\"umesi}
olsun, ve $F$, bir \"onerme form\"ul\"u olsun.  
E\u ger her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin
\begin{compactenum}[1)]
\item
ya $\Gamma$ k\"umesindeki bir $G$ i\c cin $d(G)=0$,
\item
ya da $d(F)=1$
\end{compactenum}
sa\u glan\i yorsa,
o zaman $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u \textbf{gerektirir.}%%
\index{gerektirme}
Yani $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirir ancak ve ancak
$\Gamma\cup\{F\}$ k\"umesindeki b\"ut\"un form\"ullerin do\u gruluk
tablosunun her sat\i r\i nda,
\begin{compactenum}[1)]
\item 
ya $\Gamma$ k\"umesindeki bir form\"ul yanl\i\c st\i r,
\item
ya da $F$ form\"ul\"u do\u grudur.
\end{compactenum}

\begin{theorem}[Olumlu Dilemma]\index{Olumlu Dilemma}%\label{thm:olumlu}
A\c sa\u g\i daki gerektirmemiz vard\i r.
  \begin{equation*}
	P\lto Q\virgul R\lto S\ve P\lor R\gerektirir Q\lor S.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Bu gerektirme, 
\Sekilde{fig:tt4}ki 
do\u gruluk tablosundan
g\"or\"unebilir.
\begin{figure}[t]
%\begin{equation*}
\centering
$\begin{array}{cccc|ccc|c}
P&Q&R&S&P\lto Q&R\lto S&P\lor R&Q\lor S\\\hline
0&0&0&0&1&1&0&0\\
1&0&0&0&0&1&1&0\\
0&1&0&0&1&1&0&1\\
1&1&0&0&1&1&1&1\\
0&0&1&0&1&0&1&0\\
1&0&1&0&0&0&1&0\\
0&1&1&0&1&0&1&1\\
1&1&1&0&1&0&1&1\\
0&0&0&1&1&1&0&1\\
1&0&0&1&0&1&1&1\\
0&1&0&1&1&1&0&1\\
1&1&0&1&1&1&1&1\\
0&0&1&1&1&1&1&1\\
1&0&1&1&0&1&1&1\\
0&1&1&1&1&1&1&1\\
1&1&1&1&1&1&1&1
\end{array}$
%\end{equation*}
\caption{Olumlu Dilemma i\c cin do\u gruluk tablosu}\label{fig:tt4}
\end{figure}
As\-l\i nda sadece 4., 12., 13., 15., ve 16.\ sat\i rlarda, 
hem $P\lto Q$ hem $R\lto S$ hem de $P\lor R$ do\u gru, 
ve o sat\i rlarda $Q\lor S$ de do\u gru. 
\end{proof}

\begin{exercise}\label{exer:ger}
$P\lor Q\lor R$, $P\lto Q$, ve $Q\lto R$ gerektirir $R$ oldu\u gunu
  g\"osterin. 
\end{exercise}

Bir \"onerme form\"ul\"u, bo\c s k\"ume taraf\i ndan gerektirilebilir.
Bu durumda, o form\"ule 
\textbf{(do\u grusal) ge\c cerli form\"ul}\index{ge\c cerli form\"ul}
veya 
\textbf{mant\i ksal do\u gru form\"ul}\index{mant\i ksal do\u gru form\"ul}
veya
\textbf{totoloji}\index{totoloji} 
denir.%%%%%
\footnote{Ali Nesin~\cite{Nesin-OM}, 
\"oyle form\"ullere \emph{hepdo\u gru} ad\i n\i\ verir.}   
%%%%%%%%%%%%%%%%%
O zaman $F$ bir totoloji, ancak ve ancak
her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=1$.  
Mesela,
\begin{align*}
&P\lor\lnot P,&&1
\end{align*}
form\"ulleri, totolojidirler.  A\c sa\u g\i daki teoremden
dolay\i\ yukar\i daki teoremleri kullanarak yeni totolojiler elde
edebiliriz.

\begin{theorem}
A\c sa\u g\i daki denkliklerimiz vard\i r.
\begin{compactenum}
\item
$F$ ve $G$ form\"ulleri birbirine denktir, ancak ve ancak
\begin{equation*}
F\liff G
\end{equation*}
  form\"ul\"u bir totolojidir. 
\item
$F$ form\"ul\"u, $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir, ancak ve ancak
\begin{equation*}
F\lto
  G
\end{equation*}
 form\"ul\"u bir totolojidir. 
\item
$F$ ile $G$ form\"ulleri, $H$ form\"ul\"un\"u gerektir, ancak ve ancak
\begin{equation*}
F\land G\lto H
\end{equation*}
form\"ul\"u bir totolojidir. 
\item
$F$, $G$, ve $H$ form\"ulleri, $K$ form\"ul\"un\"u gerektir, ancak ve
  ancak
  \begin{equation*}
F\land G\land H\lto K
\end{equation*}
form\"ul\"u bir totolojidir. 
\end{compactenum}
\end{theorem}

\begin{proof}
$F$ denktir $G$, ancak ve ancak 
her $d$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin $d(F)=d(G)$, 
yani $d(F\liff G)=1$.  
Di\u ger b\"ol\"umler, \cexercise
\end{proof}

Sonraki teoremi g\"ormek yararl\i\ olabilir.

\begin{theorem}\label{th:subset}
$\Gamma$, $\Delta$ (\emph{Delta}) k\"umesinin her eleman\i n\i\ i\c cersin.
Yani $\Gamma$, $\Delta$ k\"umesini kapsas\i n 
($\Delta\included\Gamma$ olsun).
\begin{quote}\centering
$\Delta\gerektirir F$ ise, o zaman $\Gamma\gerektirir F$.
\end{quote}
\end{theorem}

\begin{proof}
Gerektirme tan\i m\i ndan gelir.
\end{proof}

Bu teorem, sonraki teoremin \"ozel durumudur.

\begin{theorem}\label{th:gerek-comp}
$\Gamma$, $\Delta$ k\"umesindeki her form\"ul\"u gerektirsin.
\begin{quote}\centering
$\Delta\gerektirir F$ ise, o zaman $\Gamma\gerektirir F$.
\end{quote}
\end{theorem}

\begin{proof}
Gerektirme tan\i m\i ndan gelir.
\end{proof}

\Sayfada{th:sub}ki De\u gi\c stirim Teoremi gibi bir teoremimiz vard\i r.

\begin{theorem}[De\u gi\c stirim]\label{th:sub-2}
$\Gamma$ form\"uller k\"umesi $G$ form\"ul\"un\"u gerektirsin,
$P$ bir \"onerme de\u gi\c skeni olsun,
ve $H$ bir \"onerme form\"ul\"u olsun.  
E\u ger 
$\Gamma$ k\"umesinin her eleman\i nda
$P$ de\u gi\c skeninin ge\c cti\u gi
her yere $H$ konulursa, 
$\Gamma'$ form\"uller k\"umesi elde edilsin; 
benzer \c sekilde
$G$ form\"ul\"unden
$G'$ form\"ul\"u elde edilsin.
O zaman
  \begin{equation*}
    \Gamma'\gerektirir G'.
  \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
  \cexercise
\end{proof}

Bu teorem dolay\i s\i yla
\begin{align*}
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P\models\lnot Q\lor R,&&&
\text{[Ay\i rma (\Teorem{th:bag-etc})]}\\
Q\models\lnot\lnot Q,&&&
\text{[\c Cifte De\u gilleme (\Teorem{thm:denk})]}\\
\lnot Q\lor R,\ \lnot\lnot Q\models R.&&&\text{[Ay\i rma]}
\end{align*}
O zaman 
\Teoremde{th:subset}n dolay\i
\begin{gather*}
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models\lnot Q\lor R,\\
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models\lnot\lnot Q,
\end{gather*}
ve \Teoremde{th:gerek-comp}n dolay\i
\begin{equation*}
  P\lor\lnot Q\lor R,\ \lnot P,\ Q\models R. 
\end{equation*}
Bu gerektirmeyi, do\u gruluk tablolar\i\ kullanmadan ispatlad\i k.
Gerektir\-meyi kan\i tlamak i\c cin, sadece
\begin{align}\label{eqn:bk}
&P\lor\lnot Q\lor R,&
&\lnot P,&
&\lnot Q\lor R,&
&Q,&
&\lnot\lnot Q,&
&R
\end{align}
  form\"ulleri yazd\i k.
Bu form\"uller listesi, \emph{bi\c cimsel bir kan\i tt\i r.}
B\"oyle kan\i tlar
sonraki b\"ol\"um\"un konusudur.

\chapter{Bi\c cimsel kan\i t}

E\u ger $\Gamma
=\{\lnot(S\land T),\ (R\land Q)\lor(T\land Q),\ P\lor(S\land\lnot T),
 \lnot T\lor(Q\land(S\lor R)),\ \lnot R\lor T\}$, o zaman 
\begin{equation}\label{eqn:Gamma}
\Gamma\gerektirir P\land Q\land R\land\lnot S\land T;
\end{equation}
ama bunu do\u gruluk tablosu y\"ontemiyle g\"ostermek s\i k\i c\i\ olurdu.
\emph{Bi\c cimsel kan\i t} y\"ontemi, bu durumda hem daha k\i sa, hem
daha ilgin\c ctir.  

\textbf{Bi\c cimsel kan\i t,}%
\index{bi\c cim!---sel kan\i t}\index{kan\i t}\label{kanit}
sadece bir form\"uller listesidir.
\c Simdi
\begin{equation*}
F_1,\dots,F_n,
\end{equation*}
b\"oyle bir liste olsun.
%bi\c cimsel bir kan\i t olsun.
Bu bi\c cimsel kan\i t\i n \textbf{sonucu,}\index{sonu\c c} 
$F_n$ form\"ul\"ud\"ur.
\c Simdi $1\leq k\leq n$ varsay\i ls\i n.  
E\u ger $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi 
$F_k$ form\"ul\"un\"u \emph{gerektirmezse,} 
o zaman $F_k$, bi\c cimsel kan\i t\i n \textbf{hipotezlerinden}%%
\index{hipotez} 
biridir.
E\u ger $k=1$ ise, 
o zaman $\{F_1,\dots,F_{k-1}\}$ k\"umesi bo\c stur:
b\"oylece $F_1$ ya totoloji, ya hipotezdir.
Genelde,
tan\i m\i m\i za g\"ore, bi\c cimsel kan\i t\i n sonucu
bir hipotez de olabilir.

Tekrar \sayfada{eqn:bk}ki \eqref{eqn:bk} %numaral\i\ \c Sekildeki 
listesine bakal\i m.
Bu bi\c cimsel kan\i t\i n hipotezleri, $P\lor\lnot Q\lor R$, $\lnot
P$, ve $Q$ form\"ulleridir.
$\lnot Q\lor R$, hipotez de\u gildir, 
\c c\"unk\"u onu
\"onceki form\"uller gerektirir; 
ayn\i\ nedenle, $R$ de hipotez de\u gildir.

\begin{theorem}\label{th:kanit}
$\Gamma$ bir \"onerme form\"ulleri k\"umesi olsun.
E\u ger $F_1,\dots,F_n$ bi\c cimsel kan\i t\i n hipotezleri $\Gamma$
k\"umesinden geliyorsa, o zaman 
\begin{equation*}
\Gamma\gerektirir F_n.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
\Teorem{th:subset} dolay\i s\i yla
\begin{gather*}
\Gamma\gerektirir F_1,\\
\Gamma\cup\{F_1\}\gerektirir F_2,\\
\Gamma\cup\{F_1,F_2\}\gerektirir F_3,\\
	\makebox[4.5cm]{\dotfill},\\
\Gamma\cup\{F_1,\dots,F_{n-1}\}\gerektirir F_n.
\end{gather*}
O zaman
\Teoremin{th:gerek-comp} yard\i m\i yla
\begin{gather*}
\Gamma\gerektirir F_2,\\
\Gamma\gerektirir F_3,\\
	\makebox[2.35cm]{\dotfill},\\
\Gamma\gerektirir F_n.\qedhere
\end{gather*}
\end{proof}

Teoremdeki bi\c cimsel kan\i t
\begin{itemize}
\item 
$\Gamma$ k\"umesinden $F_n$ form\"ul\"un\"u
\textbf{kan\i tlar;}\index{kan\i tlama} 
\item
\textbf{$F_n$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden} gelen
bi\c cimsel bir kan\i t\i d\i r.
\end{itemize}

Son teoremin tersine g\"ore $\Gamma$ bir $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse,
o zaman $F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen
bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.
Teoremin tersi do\u gru mudur?
\begin{asparaenum}
  \item
$\Gamma$ \emph{sonlu} ise,\label{sonlu}
ters kolayca \c c\i kar.
Asl\i nda $\Gamma=\{F_1,\dots,F_{n-1}\}$ ve $\Gamma\models F$ ise, 
o zaman $F_1,\dots,F_{n-1},F$ listesi, 
$F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen bi\c cimsel kan\i t\i d\i r.  
\item
$\Gamma$ k\"umesinin \emph{sonsuz} oldu\u gu durum i\c cin 
B\"ol\"um \numaraya{tikizlik} bak\i n.
\end{asparaenum}
Sonlu durumda, $\Gamma$ k\"umesinin $F$
form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gini bir ki\c siye \emph{g\"ostermek}
istersek, sadece $F_1,\dots,F_{n-1},F$ listesini yazmak yeterli olmayabilir;
daha fazla form\"uller yazmam\i z gerekebilir.

\"Orne\u gin
\sayfada{exer:ger}ki
\Alistirmayi{exer:ger}
yapt\i ysak, a\c sa\u g\i 
daki listenin, $R$ form\"ul\"un\"un $P\lor Q\lor R$, $P\lto Q$, $Q\lto R$
hipotezlerinden bir bi\c cimsel kan\i t\i\ oldu\u gunu biliyoruz:
\begin{align*}
  &P\lor Q\lor R,&
&P\lto Q,&
&Q\lto R,&
&R.
\end{align*}
Ancak o al\i\c st\i rmay\i\ yapmad\i ysak, 
\Sekilde{fig:3al}ki gibi daha fazla ad\i m gerekir.
\begin{figure}[t]
\centering
$\begin{gathered}
  P\lto Q\\
\lnot P\lor Q\\
\lnot P\lor Q\lor R\\
Q\lto R\\
\lnot Q\lor R\\
(\lnot P\lor Q\lor R)\land(\lnot Q\lor R)\\
((\lnot P\lor Q)\land\lnot Q))\lor R\\
(\lnot P\land\lnot Q)\lor R\\
\lnot(P\lor Q)\lor R\\
P\lor Q\lor R\\
(\lnot(P\lor Q)\lor R)\land(P\lor Q\lor R)\\
(\lnot(P\lor Q)\lor P\lor Q)\land R\\
1\land R\\
R
\end{gathered}$
\caption{Bi\c cimsel bir kan\i t}\label{fig:3al}
\end{figure}
\Sekilde{fig:3al-ile}ki gibi
ad\i mlar\i n nedenlerini ekleyebiliriz.
\begin{figure}[t]
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
$\begin{array}{rcl}
\text{1.}&  P\lto Q&\text{Hipotez}\\
\text{2.}&\lnot P\lor Q&\text{1.\ sat\i rdan}\\
         &             &\qquad\text{$P\lto Q\sim\lnot P\lor Q$ ile}\\
\text{3.}&\lnot P\lor Q\lor R&\text{2.\ sat\i rdan Eklemeyle}\\
\text{4.}&Q\lto R&\text{Hipotez}\\
\text{5.}&\lnot Q\lor R&\text{4.\ sat\i rdan}\\
         &             &\qquad\text{$P\lto Q\sim\lnot P\lor Q$ ile}\\
\text{6.}&(\lnot P\lor Q\lor R)\land(\lnot Q\lor R)&\text{3.\ ve 5.\ sat\i rdan Ba\u glamayla}\\
\text{7.}&((\lnot P\lor Q)\land\lnot Q))\lor R&\text{6. sat\i rdan Da\u g\i lmayla}\\
\text{8.}&(\lnot P\land\lnot Q)\lor R&\text{7.\ sat\i rdan}\\
      &                           &\qquad \text{$\lnot P\land(P\lor Q)\sim
\lnot P\land Q$ ile}\\
\text{9.}&\lnot(P\lor Q)\lor R&\text{8.\ sat\i rdan}\\
      &                           &\qquad \text{De Morgan Kural\i yla}\\
\text{10.}&P\lor Q\lor R&\text{Hipotez}\\
\text{11.}&(\lnot(P\lor Q)\lor R)\land(P\lor Q\lor R)&\text{9.\ ve 10.\ sat\i rdan Ba\u glamayla}\\
\text{12.}&(\lnot(P\lor Q)\lor P\lor Q)\land R&\text{11.\ sat\i rdan Da\u g\i lmayla}\\
\text{13.}&1\land R&\text{12.\ sat\i rdan Fazlal\i kla}\\
\text{14.}&R&\text{13.\ sat\i rdan Fazlal\i kla}
\end{array}$
\caption{A\c c\i klamal\i\ bi\c cimsel kan\i t}\label{fig:3al-ile}
\end{figure}

\begin{figure}[p]
\centering
  $\begin{gathered}
    (R\land Q)\lor(T\land Q)\\
(R\lor T)\land Q\\
Q\\
R\lor T\\
\lnot R\lor T\\
(R\lor T)\land(\lnot R\lor T)\\
(R\land\lnot R)\lor T\\
1\lor T\\
T\\
\lnot(S\land T)\\
\lnot S\lor\lnot T\\
\lnot\lnot T\\
\lnot S%\lnot S\land T
\\
P\lor(S\land\lnot T)\\
\lnot S\lor\lnot\lnot T\\
\lnot(S\land\lnot T)\\
P\\
\lnot T\lor(Q\land(S\lor R))\\
Q\land(S\lor R)\\
S\lor R\\
R\\
R\land\lnot S\\
R\land\lnot S\land T\\
Q\land R\land\lnot S\land T\\
P\land Q\land R\land\lnot S\land T
  \end{gathered}$
  \caption{Bi\c cimsel bir kan\i t}\label{fig:kan}
 \end{figure}

\begin{exercise}
Yukar\i daki~\eqref{eqn:Gamma} gerektirmesinin,
\Sekilde{fig:kan}
bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.  
Her sat\i r\i n nedenini verin.
\end{exercise}

\Sekil{fig:3al} ve \numarada{fig:kan}ki bi\c cimsel kan\i tlarda,
hipotez olmayan her sat\i r,
bildi\u gi\-miz kurallara g\"ore
\"onceki sat\i rlar taraf\i ndan gerektirilir.
Bi\c cimsel kan\i tlarda kullan\i labilen kurallar kesinle\c stirilirse,
\emph{bi\c cimsel bir dizge}\index{dizge}\index{bi\c cim!---sel dizge} 
elde edilir.
B\"ol\"um \numarada{dizge}, \"u\c c bi\c cimsel dizgesini inceleyece\u giz.
\c Simdilik t\"um bildi\u gimiz kurallar\i\ kullan\i yoruz.

\begin{exercise}
  A\c sa\u g\i daki totolojiler ve gerektirmeler i\c cin bi\c cimsel kan\i
  tlar yaz\i n.
  \begin{enumerate}
  \item 
$P\lto P\lto P$ bir totolojidir.
\item
$P\lto Q\lto P$ bir totolojidir.
\item
$P\lor(P\lto Q)$ bir totolojidir.
\item
$(P\lto Q)\lor\lnot Q$ bir totolojidir.
\item
$P\lto Q\land R\gerektirir P\lto Q$.
\item
$P\land\lnot P\gerektirir Q$.
\item
$P\land(Q\lor R)\gerektirir P\liff(\lnot Q\lor P)$.
\item
$P\lto Q\ile P\lto\lnot Q\gerektirir\lnot P$.
\item
$P\lto R\ile Q\lto R\gerektirir P\lor Q\lto R$.
\item
$P\lto R\ile Q\lto S\gerektirir P\lor Q\lto R\lor S$.
\item
$P\liff Q\ile P\lto R\gerektirir Q\lto R$.
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\chapter{\"Oklid'in \"onermeleri}

\"Oklid'in \"onermelerinin g\"ostermeleri, 
daha bi\c cimsel olarak yaz\i labilir.  
\"Or\-ne\u gin 5.\ \"onermeye bakal\i m.
Likyal\i\ Proklus'a g\"ore \cite[sayfa 159]{MR1200456}, \"Oklid'in her
\"onermesinin 6 tane par\c cas\i\ var:  
\begin{inparaenum}[(1)]
\item
bildirme,
\item
a\c c\i klama,
\item
belirtme,
\item
d\"uzenleme,
\item
g\"osterme, ve
\item
bitirme.
\end{inparaenum}
A\c c\i klamada hipotezler bulunur; 
belirtmede sonu\c clar bulunur.  
\c Co\u gunlukla bir \"onermenin bir sonucu vard\i r; 
ama 5.\ \"onermenin iki sonucu vard\i r.  
D\"uzenleme ve g\"osterme,
sonu\c clar\i n hipotezlerinden bi\c cimsel kan\i t olarak yaz\i labilir.
G\"ostermenin hipotezleri, d\"uzenlemeden de gelebilir. 
O zaman par\c calar\i yla \"Oklid'in 5.\ \"onermesi a\c sa\u g\i daki gibi
yaz\i labilir.
\begin{description}
\item[Bildirme:]\mbox{}
  \begin{compactitem}
    \item
Bir ikizkenar \"u\c cgenin taban\i ndaki a\c c\i lar birbirine e\c sittir.
\item
E\c sit do\u grular uzat\i ld\i\u g\i nda
taban\i n alt\i nda kalan a\c c\i lar birbirine e\c sit olacaklard\i r.
  \end{compactitem}
\item[A\c c\i klama:]\mbox{}
  \begin{compactitem}
\item
\Sekilde{fig:I.5}ki \gr{ABG} \"u\c cgeninde $\grm{AB}=\grm{AG}$.
\item
\gr{AB}, \gr D noktas\i na uzat\i lm\i\c s.
\item
\gr{AG}, \gr E noktas\i na uzat\i lm\i\c s.
  \end{compactitem}
\item[Belirtme:]
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
$\angle\;\grm{ABG}=\angle\;\grm{AGB}$.
\item
$\angle\;\grm{GBD}=\angle\;\grm{BGE}$.
\end{enumerate}
\item[D\"uzenleme:]\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
\grm Z noktas\i, \grm{BD} do\u grusundad\i r.
\item
\grm H noktas\i, \grm{GE} do\u grusundad\i r, ve $\grm{AH}=\grm{AZ}$.
\hfill[3. \"onerme]
\end{enumerate}
\item[G\"osterme:]\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
$\grm{AZ}=\grm{AH}$\hfill[d\"uzenlemedeki 2.\ sat\i rdan]
\item
$\grm{AB}=\grm{AG}$\hfill[hipotez]
\item
$\grm{ZG}=\grm{HB}$\hfill[1.\ ve 2.\ sat\i rdan 4.\ \"onermeyle]
\item
$\triangle\;\grm{AZG}=\triangle\;\grm{AHB}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan 4.\ \"onermeyle]
\item
$\angle\;\grm{AGZ}=\angle\;\grm{ABH}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan 4.\ \"onermeyle]
\item
$\angle\;\grm{AZG}=\angle\;\grm{AHB}$\hfill[1.\ ve 2. sat\i rdan 4.\ \"onermeyle]
\item
$\grm{BZ}=\grm{GH}$\hfill[1.\ ve 2.\ sat\i rdan genel kavram 3 ile]
\item
$\triangle\;\grm{BZG}=\triangle\;\grm{GHB}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan 4.\ \"onermeyle]
\item
$\angle\;\grm{ZBG}=\angle\;\grm{HGB}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan 4.\ \"onermeyle]
\item
$\angle\;\grm{BGZ}=\angle\;\grm{GBH}$\hfill[3., 6., ve 7.\ sat\i rdan 4.\ \"onermeyle]
\item
$\angle\;\grm{ABG}=\angle\;\grm{AGB}$\hfill[5.\ ve 10.\ sat\i rdan ortak kavram 3 ile]
\end{enumerate}
\item[Bitirme:]\mbox{}
  \begin{compactitem}
    \item
Bir ikizkenar \"u\c cgenin taban\i ndaki a\c c\i lar birbirine e\c sittir.
\item
E\c sit do\u grular uzat\i ld\i\u g\i nda
taban\i n alt\i nda kalan a\c c\i lar birbirine e\c sit olacaklar.
  \end{compactitem}
G\"osterilmesi gereken tam buydu.
\end{description}
\begin{figure}
  \centering
\begin{center}
  \begin{pspicture}(-2,-6.5)(2,1)
    \psline(-2,-6)(0,0)(2,-6)
    \psline(1.67,-5)(-1,-3)
    \psline         (-1,-3)(1,-3)
    \psline                (1,-3)(-1.67,-5)
\uput[u](0,0){\grm A}
\uput[l](-1,-3){\grm B}
\uput[r](1,-3){\grm G}
\uput[l](-2,-6){\grm D}
\uput[r](2,-6){\grm E}
\uput[l](-1.67,-5){\grm Z}
\uput[r](1.67,-5){\grm H}
  \end{pspicture}
\end{center}
\caption{\"Oklid'in 5.\ \"onermesinin \c sekli}\label{fig:I.5}
\end{figure}
Burada, belirtmedeki 1.\ sonu\c c, g\"ostermenin 11.\ sat\i r\i d\i r,
ve 2.\ sonu\c c, g\"osterinin 9.\ sat\i r\i d\i r, ama
$\angle\;\grm{ZBG}=\angle\;\grm{GBD}$ ve $\angle\;\grm{HGB}=\angle\;\grm{BGE}$
e\c sitliklerini tan\i mam\i z gerekir.  \"Oklid, g\"osterinin 4.\ ve
8.\ sat\i r\i n\i\ verir, ama kullanmaz. 

\begin{exercise}
Bi\c cimsel olarak \"Oklid'in her \"onermesini yaz\i n.
\end{exercise}

\chapter{T\i k\i zl\i k}\label{tikizlik}

\Sayfada{sonlu} g\"osterdi\u gimiz gibi, 
her \emph{sonlu} $\Gamma$ \"onermeler k\"umesi i\c cin, 
$\Gamma$ bir $F$ form\"ul\"un\"u gerektiriyorsa, 
o zaman $F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen
bir bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.  
Sonluluk ko\c sulunun kald\i r\i labildi\u gini g\"osterece\u giz; 
bu ger\c ce\u ge \textbf{t\i k\i zl\i k} denir.\index{t\i k\i zl\i k}   

\c Simdi $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi
ve $\Delta$ bir form\"uller k\"umesi olsun.
$\Delta$ k\"umesindeki her $G$ i\c cin $d(G)=1$ ise, 
o zaman $d$ g\"ondermesine $\Delta$ k\"umesi\-nin bir \textbf{modeli}%%
\index{model} 
denir.

\begin{theorem}\label{th:yok}
$\Gamma\gerektirir F$ ancak ve ancak 
$\Gamma\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin modeli yoktur.
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

\begin{theorem}[T\i k\i zl\i k]\label{th:tkz}
$\Gamma$ \"onerme form\"ulleri k\"umesi 
$F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse, o zaman 
$\Gamma$ k\"umesinin sonlu bir alt k\"umesi
$F$ form\"ul\"un\"u gerektirir.
%$F$ form\"ul\"un\"un $\Gamma$ k\"umesinden gelen 
%bir bi\c cimsel kan\i t\i\ vard\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
Kar\c s\i t tersini ispatlayaca\u g\i z.  
$\Gamma$ k\"umesinin her sonlu $\{G_1,\dots,G_n\}$ alt k\"umesi
$F$ form\"ul\"un\"u gerektirmesin.
O zaman her durumda,
\Teoreme{th:yok} g\"ore 
$\{G_1,\dots,G_n,\lnot F\}$ k\"umesinin modeli vard\i r.
$\Gamma\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin bir modelini bulaca\u g\i z.
O zaman
$\Gamma$,
$F$ form\"ul\"un\"u gerektirmeyecektir.

T\"um \"onerme de\u gi\c skenlerinin, $\{P_1,P_2,P_3,\dots\}$ k\"umesini olu\c sturdu\u gunu varsayabiliriz. 
Her $n$ i\c cin $\Gamma_n$, 
$\Gamma$ k\"umesinde olan ve 
de\u gi\c skenleri sadece $\{P_1,\dots,P_n\}$ k\"umesinden olan 
form\"uller k\"umesi olsun.  
$\Gamma_n$ sonsuz olabilir; 
ama $\Gamma_n$ k\"umesindeki form\"ullerin 
do\u gruluk tablolar\i n\i n k\"umesi sonludur (neden?).  
Onun i\c cin varsay\i m\i m\i za g\"ore 
$\Gamma_n\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin modeli vard\i r.  
O k\"umenin t\"um modellerinin k\"umesi $M_n$ olsun.
E\u ger $n\leq p$ ise, o zaman $M_n$, $M_p$ k\"umesini kapsar,
yani $M_p\included M_n$.
B\"oylece
\begin{equation*}
  M_1\includes M_2\includes M_3\includes\cdots
\end{equation*}
Bir $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesi i\c cin, her $n$ i\c cin, 
$d^*$ g\"ondermesinin $M_n$ k\"ume\-sinin 
bir eleman\i\ 
oldu\u gunu 
(yani $d^*\in\bigcap_nM_n$)
g\"osterece\u giz.
Asl\i nda $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesinin
\emph{\"ozyinelemeli tan\i m\i}\index{\"ozyineleme}
olacakt\i r.
\begin{asparaenum}
  \item
\"Once $d^*(P_1)$ tan\i mlanacakt\i r.
\begin{itemize}
  \item
E\u ger bir $n$ i\c cin
$M_n$ k\"umesindeki her $d$ i\c cin $d(P_1)=0$ ise, 
o zaman $d^*(P_1)=0$ olsun.  
\item
E\u ger her $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki bir $d$ i\c cin $d(P_1)=1$ ise, 
o zaman $d^*(P_1)=1$ olsun.  
\end{itemize}
B\"oylece $d^*(P_1)$ tan\i mlanm\i\c st\i r.
Her durumda, her $n$ i\c cin,
$M_n$ k\"umesinin 
$d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan 
bir $d$ eleman\i\ vard\i r.
\item
\c Simdi $d^*(P_2)$ tan\i mlanacakt\i r.
\begin{itemize}
  \item
E\u ger bir $n$ i\c cin 
$M_n$ k\"umesindeki $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan 
her $d$ i\c cin $d(P_2)=0$ ise, 
o zaman $d^*(P_2)=0$ olsun.  
\item
E\u ger her $n$ i\c cin
$M_n$ k\"umesindeki $d(P_1)=d^*(P_1)$ e\c sitli\u gini sa\u glayan 
bir $d$ i\c cin $d(P_2)=1$ ise,
o zaman $d^*(P_2)=1$ olsun.  
\end{itemize}
B\"oylece $d^*(P_1)$ tan\i mlanm\i\c st\i r.
Her durumda, her $n$ i\c cin,
$M_n$ k\"umesinin $d(P_1)=d^*(P_1)$ ve $d(P_2)=d^*(P_2)$ 
e\c sitliklerini sa\u glayan $d$ eleman\i\ vard\i r.
\item[$k$.]
Ayn\i\ \c sekilde devam ediyoruz.  
Bir $k$ i\c cin, $d^*(P_1)$, \dots, $d^*(P_k)$ 
de\u gerlerini se\c cti\u gimizi varsay\i yoruz, ve her $n$ i\c cin,
$M_n$ k\"umesinin
\begin{align}\label{eqn:d}
d(P_1)&=d^*(P_1),&
d(P_2)&=d^*(P_2),&
&\dots,& d(P_k)&=d^*(P_k)
\end{align} 
e\c sitliklerini sa\u glayan $d$ eleman\i n\i n oldu\u gunu varsay\i yoruz.
\begin{itemize}
\item 
E\u ger bir $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki 
\eqref{eqn:d} 
%$d(P_1)=d^*(P_1)$, \dots, $d(P_k)=d^*(P_k)$
e\c sitliklerini sa\u gla\-yan her $d$ i\c cin $d(P_{k+1})=0$ ise, 
o zaman $d^*(P_{k+1})=0$ olsun.  
\item
E\u ger her $n$ i\c cin $M_n$ k\"umesindeki 
\eqref{eqn:d} e\c sitliklerini sa\u glayan bir $d$ i\c cin $d(P_{k+1})=1$ ise, 
o zaman $d^*(P_{k+1})=1$ olsun.  
\end{itemize}
B\"oylece $d^*(P_{k+1})$ tan\i mlanm\i\c st\i r.
Her durumda, her $n$ i\c cin,
$M_n$ k\"umesinin \eqref{eqn:d}
e\c sitliklerini sa\u glayan bir $d$ eleman\i\ vard\i r.
\end{asparaenum}
B\"oylece \"ozyinelemeyle $d^*$ do\u gruluk g\"ondermesi tan\i mlanm\i\c st\i r.
Her $n$ i\c cin $d^*$, $\Gamma_n\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin bir modelidir; 
o zaman $d^*$, $\Gamma\cup\{\lnot F\}$ k\"umesinin modelidir.  
Bu \c sekilde $\Gamma$, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirmez.
\end{proof}

\chapter{Bi\c cimsel dizgeler}\label{dizge}

\Sayfada{kanit}ki tan\i ma g\"ore
bi\c cimsel bir kan\i tta, her sat\i r
\begin{compactenum}[1)]
\item
ya bir totoloji,
\item
ya \"onceki sat\i rlar\i n gerektirdi\u gi bir form\"ul,
\item
ya da bir hipotezdir.
\end{compactenum}
Bir form\"ul totolojiyse, 
bunu do\u gruluk tablosuyla g\"osterebiliriz.  
Bir form\"ul ba\c ska form\"uller taraf\i ndan gerektiriliyorsa, 
bunu da do\u gruluk tablolar\i yla g\"osterebiliriz.  
Ancak, do\u gruluk tablolar\i n\i\ kullanmadan, 
bi\c cimsel bir kan\i t\i n hipotezlerini ve hipotez olmayan sat\i rlar\i n\i\ 
ay\i rt edebilmek isteriz.  
Bunu yapmak i\c cin bi\c cimsel bir y\"onteme, 
\emph{bi\c cimsel dizge} denir.
Kesinlik i\c cin,
\textbf{bi\c cimsel dizge,}%%
\index{dizge}\index{bi\c cim!---sel dizge}
\begin{compactenum}[1)]
\item
baz\i\ bilinen totolojilerden ve
\item
baz\i\ bilinen gerektirmelerden
\end{compactenum}
olu\c sur.  
Bu bilinen totolojilere dizgenin \textbf{aksiyomlar\i}%%
\index{aksiyom} 
denir; 
bu bilinen gerektirmelere dizgenin \textbf{\c c\i kar\i m kurallar\i}%%
\index{\c c\i kar\i m kural\i} 
denir.

$D$ bi\c cimsel bir dizge,
$\Gamma$ bir form\"uller k\"umesi, 
ve $K$ bi\c cimsel bir kan\i t olsun.
E\u ger $K$ kan\i t\i n her sat\i r\i,
\begin{compactenum}[1)]
\item
ya $D$ dizgesinin bir aksiyomu,
\item
ya $D$ dizgesinin bir \c c\i kar\i m kural\i na g\"ore \"onceki sat\i rlar\i n
gerektirdi\u gi bir form\"ul,
\item
ya da $\Gamma$ k\"umesinin bir eleman\i\ ise,
\end{compactenum}
o zaman $\Gamma$, $K$ kan\i t\i n sonucunu gerektirir, ve ayr\i ca,
bu gerektirme, $D$ dizgesinin \textbf{(bi\c cimsel) bir teoremdir.}%
\index{teorem}\index{bi\c cim!---sel teorem}  
Her gerektirme $D$ dizgesinin bir teoremi ise, 
bu dizgeye \textbf{tam} denir.
\.Iki bi\c cimsel dizgeyi tan\i mlay\i p
taml\i\u g\i n\i\ kan\i tlayaca\u g\i z.

\section{$\bd0$ bi\c cimsel dizgesi}

Asl\i nda bir form\"ul\"u sonlu say\i da form\"ullerin
gerektirip gerektirmedi\u gini \"o\u grenmek i\c cin,
do\u gruluk tablosu y\"onteminin kendisi
bi\c cimsel bir y\"ontemdir.
O zaman en kapsaml\i\ bi\c cimsel dizgede
\begin{compactenum}[1)]
  \item
her totoloji bir aksiyomdur,
\item
sonlu say\i da form\"ullerden gelen
her gerektirme bir \c c\i kar\i m kural\i d\i r.
\end{compactenum}
Bu dizge $\bd0$ olsun.
O zaman T\i k\i zl\i k Teoremine g\"ore $\bd0$ tamd\i r.

\section{$\bd1$ bi\c cimsel dizgesi}

\c Simdi $\bd1$ adl\i\ bi\c cimsel dizgesini tan\i mlayaca\u g\i z.
Dizgenin aksiyomlar\i\ iki \c sekilde:
\begin{itemize}
\item
$1$ form\"ul\"u,
\item
her $\lnot F\lor F$ form\"ul\"u.
\end{itemize}
\c C\i kar\i m kurallar\i\ \"u\c c \c sekilde:
\begin{description}
\item[Ekleme:]\index{Ekleme} 
T\"um $F$ ve $G$ form\"ulleri i\c cin, $F$ form\"ul\"unden $G\lor F$ \c c\i kar.
\item[Ba\u glama:]\index{Ba\u glama} 
$F$ ile $G$ form\"ullerinden $F\land G$ \c c\i kar.
\item[Yerine Koyma:]\index{Yerine Koyma}  
$F\sim G$, 
\sayfada{thm:denk}ki \Teoremde{thm:denk}n bir denklik olsun.  
Bu denklikten, \sayfada{th:sub}ki De\u gi\c stirim Teoremine g\"ore,
$F'\sim G'$ denkli\u gi sa\u glans\i n.  
Bir $K$ form\"ul\"un\"un $F'$ alt form\"ul\"u olsun.
Bu alt form\"ul\"un yerine $G'$ konularak
$K^*$ form\"ul\"u (\sayfada{th:rep}ki Yerine Koyma Teoremindeki gibi) 
elde ediliyorsa, o zaman $K$ form\"un\"unden $K^*$ \c c\i kar.
\end{description}
$\bd1$ dizgesinin tam oldu\u gunu g\"osterece\u giz.  
Bunu yapmak i\c cin, ilk olarak, 
her form\"ul\"un \emph{tikel-evetlemeli normal bi\c cimi} 
oldu\u gunu g\"ozlemleyece\u giz. 

Tikel-evetlemeli normal bi\c cim, \"orneklerden en iyi anla\c s\i l\i r.  
$P\lor Q\lto R$ ve $(P\lto R)\land(Q\lto R)$ form\"ullerinin do\u gruluk
 tablolar\i, birbiriyle ayn\i d\i r, ve bu ortak tablo, 
\sayfada{fig:tt-5}ki \Sekilde{fig:tt-5}dir.
Dolay\i s\i yla bu
form\"ullerin tikel-evetlemeli normal bi\c cimleri birbiriyle ayn\i
d\i r ve a\c sa\u g\i daki gibi yaz\i l\i r: 
\begin{multline*}%\label{eqn:dnf}
(\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R)\lor(\lnot P\land\lnot Q\land R)\lor(P\land\lnot Q\land R)\\
{}\lor(\lnot P\land Q\land R)\lor(P\land Q\land R).
\end{multline*}
Bu \"onermeyi anlamak i\c cin, \Sekli{fig:dnf} d\"u\c s\"un\"un.
\begin{figure}[t]
\newcommand{\fnot}{\phantom{\lnot}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\centering
$
\begin{array}{c|*8c}
P                              &0&1&0&1&0&1&0&1\\
Q                              &0&0&1&1&0&0&1&1\\
R                              &0&0&0&0&1&1&1&1\\\hline
P\lor Q\lto R                  &1&0&0&0&1&1&1&1\\\hline
\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R&1&0&0&0&0&0&0&0\\
\lnot P\land\lnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&1&0&0&0\\
\fnot P\land\lnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&1&0&0\\
\lnot P\land\fnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&0&1&0\\
\fnot P\land\fnot Q\land\fnot R&0&0&0&0&0&0&0&1
\end{array}$
\caption[Tikel-evetlemeli normal bi\c
  cim i\c cin do\u gruluk tablolar\i]{$P\lor Q\lto R$
  form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi i\c cin do\u
  gruluk tablolar\i} 
\label{fig:dnf}
\end{figure} 

\c Simdi $F$ rastgele \"onerme form\"ul\"u olsun, 
ve onun \"onerme de\u gi\c skenleri $P_1$, \dots, $P_n$ olsun.  
\"Ustelik $d$ bir do\u gruluk g\"ondermesi olsun.  
O zaman 
\begin{equation*}
(d(P_1),\dots,d(P_n))
\end{equation*}
listesi i\c cin, $2^n$ tane se\c cenek var.  
Bir $m$ i\c cin, $m$ ve sadece $m$ tane se\c cenek i\c cin, $d(F)=1$.  
O se\c cenekler,
\begin{align*}
&(e_1^1,\dots,e_n^1),&&\dots,&&(e_1^m,\dots,e_n^m)
\end{align*}
olsun.
\"Orne\u gin $P_1\lor P_2\lto P_3$ i\c cin se\c cenekler 
$(0,0,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ listeleridir;
bunlar \Sekilde{fig:dnf}n okunabilir.
Genelde
\begin{align*}
1&\leq j\leq n,&1&\leq i\leq m
\end{align*}
ise,
bir $P_j^i$ form\"ul\"un\"un a\c sa\u g\i daki tan\i m\i\ olsun.
  \begin{compactitem}
  \item
$e_j^i=0$ ise $P_j^i$, $\lnot P_j$ form\"ul\"ud\"ur. 
\item
$e_j^i=1$ ise $P_j^i$, $P_j$ form\"ul\"ud\"ur.  
\end{compactitem}
Ondan sonra $F^i$ form\"ul\"u
\begin{equation*}
P_1^i\land\dotsb\land P_n^i
\end{equation*}
form\"ul\"u olsun.
B\"oyle bir form\"ule
\textbf{t\"umel-evetleme}\index{t\"umel-evetleme} 
denir.  
\c Simdi
\begin{equation*}
F^1\lor\dotsb\lor F^m
\end{equation*}
form\"ul\"u tan\i mlanm\i\c st\i r.
B\"oyle bir form\"ule
\textbf{tikel-evetleme}\index{tikel-evetleme} 
denir.  
Asl\i nda
$F^1\lor\dotsb\lor F^m$ form\"ul\"u,
$F$ form\"ul\"un\"un \textbf{tikel-evetlemeli normal bi\c cimi\-dir.}%%
\index{normal bi\c cimi}\index{bi\c cim!normal ---}
Yani, $F$ form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi,
\begin{equation*}
(P_1^1\land\dotsb\land P_n^1)\lor\dotsb\lor(P_1^m\land\dotsb\land P_n^m)
\end{equation*}
form\"ul\"ud\"ur.
Bu form\"ul\"un $F$ form\"ul\"une denk oldu\u gu g\"or\"unebilir.  
\.Iki \"ozel durum vard\i r:
\begin{description}
  \item[$\bm{m=0}$] ise $F$ form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi 
$0$ form\"ul\"ud\"ur.
\item[$\bm{n=0}$] ise, ya $F\denktir 0$ ya da $F\denktir1$.  
S\i ras\i yla $F$ form\"ul\"un\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi, 
ya $0$ ya da $1$'dir.  
\end{description}

\c Simdi a\c sa\u g\i daki al\i\c st\i rma kolayl\i kla \c c\"oz\"ulebilir.
  
\begin{exercise}
Rastgele bir do\u gruluk tablosu i\c cin, 
do\u gruluk tablosu o olan bir form\"ul\"u yaz\i n.
\end{exercise}

\begin{theorem}
Bir $\{F_1,\dots,F_n\}$ form\"uller k\"umesi
bir $G$ form\"ul\"un\"u gerektirir 
ancak ve ancak $G\lor(F_1\land\dots\land F_n)$ form\"ul\"u 
$G$ form\"ul\"une denktir.
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

\begin{theorem}
$\bd1$ bi\c cimsel dizgesi tamd\i r.
\end{theorem}

\begin{proof}
Sadece Yerine Koyma kural\i n\i\ kullanarak 
her $F$ form\"ul\"un\"u
tikel-evetlemeli normal $F'$ bi\c cimine getirebiliriz.  
T\"um ad\i mlar\i m\i z, tersine \c cevrilebilir.
Bu \c sekilde
\begin{compactitem}
  \item
$F'$ form\"ul\"un\"un $F$ form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gi ve
\item
$F$ form\"ul\"un\"un $F'$ form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gi, 
\end{compactitem}
$\bd1$ dizgesinin bir teoremidir.  
Ayr\i ca $F$ bir totolojiyse,
tekrar sadece Yerine Koyma kural\i n\i\ kullanarak 
$F$ form\"ul\"un\"un normal $F'$ bi\c ciminin 
$1$'e denk oldu\u gunu g\"osterebiliriz,
ve ad\i mlar\i m\i z tersine \c cevrilebilir.
Bu \c sekilde her totolojinin bir totoloji oldu\u gu,
$\bd1$ dizgesinin bir teoremidir.  

\c Simdi $\Gamma$ k\"umesi, $F$ form\"ul\"un\"u gerektirsin.
T\i k\i zl\i k Teoremine g\"ore 
$\Gamma$
k\"umesinin sonlu bir $\{G_1,\dots,G_n\}$ altk\"umesi de $F$ form\"ul\"un\"u
gerektirir.  Ba\u glama ve Ekleme kurallar\i\ sayesinde, 
bu $\{G_1,\dots,G_n\}$
k\"umesinin
\begin{equation*}
F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)
\end{equation*}
form\"ul\"un\"u
gerektirdi\u gi, $\bd1$ dizgesinin bir teoremdir.  \"Onceki teoreme
g\"ore, $F$ ve $F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)$ form\"ulleri,
birbirine denktir; dolay\i s\i yla, bu form\"ullerin
ayn\i\ tikel-evetlemeli normal $F'$ bi\c cimi vard\i r.
G\"osterdi\u gimiz gibi
$F\lor(G_1\land\dotsb\land G_n)$ form\"ul\"un\"un $F'$ form\"ul\"un\"u
gerektirdi\u gi, ve $F'$ form\"ul\"un\"un $F$ form\"ul\"un\"u
gerektirdi\u gi, $\bd1$ dizgesinin teoremidir.  O zaman 
$\Gamma$ k\"umesinin $F$ form\"ul\"un\"u gerektirdi\u gi, $\bd1$
dizgesinin teoremidir. 
\end{proof}

\section{$\bd2$ bi\c cimsel dizgesi}

Bu a\c samada yeni simgeler yararl\i\ olacak.  
\Sayfada{models}ki gibi,
e\u ger $\Gamma$ form\"uller k\"umesi $F$ form\"ul\"un\"u gerektirirse,
\begin{equation*}
\Gamma\models F
\end{equation*}
ifadesini yazaca\u g\i z.  
Bu $\models$ simgesine \textbf{turnike}\index{turnike} 
denir.
T\i k\i zl\i k Teoremine g\"ore $\Gamma\models F$ ise, o zaman
$\Gamma$ k\"umesinin sonlu bir $\Gamma_0$ altk\"umesi i\c cin
$\Gamma_0\models F$ olur. 
E\u ger bir $\Gamma\models F$ gerektirmesi, $\bd{}$ bi\c cimsel dizgesinin
bir teoremiyse,  
\begin{equation*}
\Gamma\proves[\bd{}]F
\end{equation*}
ifadesini yazaca\u g\i z.  
Bu $\proves[]$ simgesi de, bir turnikedir.  \.Istersek
\begin{compactitem}
  \item
$\models$ simgesine \textbf{yorumsal}\index{yorumsal} 
turnike,
\item
$\proves[]$ simgesine \textbf{dizimsel}\index{dizimsel} 
turnike 
\end{compactitem}
diyebiliriz.  Ancak adlar \"onemli de\u gil. 
\Sayfada{th:kanit}ki \Teoreme{th:kanit} g\"ore
\begin{center}
her $\Gamma$ ve $F$ i\c cin, $\Gamma\proves[\bd{}]F$ ise $\Gamma\models F$.  
\end{center}
Ayr\i ca $\bd{}$ dizgesi tamd\i r ancak ve ancak
\begin{center}
her $\Gamma$ ve $F$ i\c cin, $\Gamma\models F$ ise $\Gamma\proves[\bd{}]F$.  
\end{center}

Tam bi\c cimsel bir dizge, $\bd1$ dizgesinden daha basit olabilir.
\.Ilk olarak, bir form\"ul\"un tikel-evetlemeli normal bi\c cimi, 
sadece $\lor$, $\land$, $\lnot$, $0$, ve $1$ 
ba\u glay\i c\i\-lar\i n\i\ kullan\i r.  Ayr\i ca
\begin{align*}
0&\sim\lnot 1,&
1&\sim\lnot P_1\lor P_1,&
F\land G&\sim\lnot(\lnot F\land\lnot G).
\end{align*}
\"Oyleyse her form\"ul, sadece $\lor$ ile $\lnot$ ba\u glay\i c\i lar\i n\i n kullan\i ld\i\u g\i\ bir form\"ule denktir.
$\bd2$ adl\i\ bi\c cimsel dizge,\footnote{Bu dizgeyi Shoenfield'den
  \cite{MR1809685} ald\i m, ama ilk kayna\u g\i\ Russell ile
  Whitehead'dir \cite{PM}.} sadece bu ba\u glay\i c\i
lar\i\ kullanacak. 
\c Simdi $\Gamma\proves[\bd2]F$ ifadesinin yerine
\begin{equation*}
\Gamma\proves F
\end{equation*}
ifadesini yazal\i m.
$\bd2$ dizgesinin her aksiyomu $\lnot F\lor F$ bi\c cimindedir:
\begin{equation*}
\proves\lnot F\lor F.
\end{equation*}
$\bd2$ dizgesinin \c c\i kar\i m kurallar\i, a\c sa\u g\i daki \c
sekillerdedir.  
\begin{compactdesc}
\item[Ekleme:]\index{Ekleme} 
T\"um $F$ ve $G$ form\"ulleri i\c cin, $F$ form\"ul\"unden $G\lor F$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\proves G\lor F.
\end{equation*}
\item[Daralma:]\index{Daralma} 
$F\lor F$ form\"ul\"unden $F$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\lor F\proves F.
\end{equation*}
\item[Birle\c sme:]\index{Birle\c sme} 
$F\lor(G\lor H)$ form\"ul\"unden $(F\lor G)\lor H$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\lor(G\lor H)\proves(F\lor G)\lor H.
\end{equation*}
\item[Kesme:]\index{Kesme} 
$F\lor G$ ve $\lnot F\lor H$ form\"ullerinden $G\lor H$ \c c\i kar:
\begin{equation*}
F\lor G\virgul\lnot F\lor H\proves G\lor H.
\end{equation*}
\end{compactdesc}

\begin{theorem}[De\u gi\c sme]\index{De\u gi\c sme}
$\Gamma\proves F\lor G$ ise $\Gamma\proves G\lor F$.
\end{theorem}

\begin{proof}
E\u ger $\Gamma\proves F\lor G$ ise, o zaman $\proves\lnot F\lor F$
sayesinde Kesme kural\i yla $\Gamma\proves G\lor F$. 
\end{proof}

$F\lor G\lor H$ demek $F\lor(G\lor H)$ oldu\u gunu hat\i rlay\i n, onun i\c cin
\begin{center}
$F_1\lor\dotsb\lor F_n$ demek $F_1\lor(F_2\lor\cdots(F_{n-1}\lor F_n)\cdots)$.
\end{center}

\begin{theorem}[Genelle\c stirilmi\c s 
Ekleme, Daralma \&\ De\u gi\c sme]%%
\index{Ekleme}\index{Daralma}\index{De\u gi\c sme}\label{th:gen} 
%Rastgele 
Bir $n$ i\c cin
$F_1$, \dots, $F_n$, form\"uller olsun.
Bir $m$ i\c cin, her $i$ i\c cin, 
$1\leq i\leq m$ ise $1\leq k_i\leq n$ ko\c sulunu sa\u glayan $k_i$ se\c cilsin.
O zaman
\begin{center}
$\Gamma\proves F_{k_1}\lor\dotsb\lor F_{k_m}$ ise
$\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$.
\end{center}
\end{theorem}

\begin{proof}
Kan\i t\i m\i z, $m$ \"uzerine t\"umevar\i m y\"ontemini kullanacakt\i r.
Asl\i nda \"u\c c durum vard\i r.
\begin{asparaitem}
\item
\textbf{$\bm{m=1}$ durumu.}  
$1\leq k\leq m$ ve $\Gamma\proves F_k$ varsay\i yoruz.  O zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves(F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_k,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_{k-1}\lor F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Ekleme]}\\
&\makebox[5cm]{\dotfill}&&\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_k\lor F_{k+1}\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Ekleme]}
\end{align*}
yani $\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$.
\item
\textbf{$\bm{m=2}$ durumu.}  $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq n$ ve 
\begin{equation*}
\Gamma\proves F_i\lor F_j
\end{equation*}
varsay\i yoruz.  
E\u ger $i=j$ ise, o zaman Daralmayla $\Gamma\proves F_i$, 
ve $m=1$ durumundan $\Gamma\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n$.  
E\u ger $j<i$ ise, o zaman De\u gi\c smeyle $\Gamma\proves F_j\lor F_i$.  
Dolay\i s\i yla $i<j$ varsay\i labilir.  O halde $n\geq2$.
\c Simdi $n$ \"uzerine t\"umevar\i m\i\ kullanaca\u g\i z.
\begin{compactenum}
  \item
E\u ger $n=2$ ise, ispatlanacak hi\c cbir \c sey yoktur.  
\item
\c Simdi $k\geq2$ olsun, 
ve $n=k$ durumunda (ve $m=2$ durumunda) 
teoremin ispatland\i\u g\i n\i\ varsayal\i m.  
O zaman $n=k+1$ durumunda ispatlayaca\u g\i z.
\begin{compactitem}
\item
E\u ger $i=1$ ve $j=2$ ise, o zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1\lor F_2,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves((F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1)\lor F_2,&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_2\lor(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
\Gamma&\proves(F_2\lor F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[De\u gi\c sme]}
\end{align*}
\item
E\u ger $i=1$ ve $j>2$ ise, o zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves F_1\lor F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1},&&\text{[$n=k$ durumu]}\\
\Gamma&\proves(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_2\lor(F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves ((F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1)\lor F_2,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
\Gamma&\proves (F_3\lor\dotsb\lor F_{k+1})\lor F_1\lor F_2,&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[De\u gi\c sme]}
\end{align*}
\item
E\u ger $i>1$ ise, o zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves F_2\lor\dotsb\lor F_{k+1},&&\text{[$n=k$ durumu]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_{k+1}.&&\text{[Ekleme]}
\end{align*}
\end{compactitem}
\end{compactenum}
B\"oylece, t\"umevar\i m ile, $m=2$ durumunda teorem ispatlanm\i\c st\i r.
\item
\textbf{$\bm{m>2}$ durumu.}
$\ell\geq2$ olsun, ve $m=\ell$ durumunda teoremin ispatland\i\u g\i n\i\ varsayal\i m.
$m=\ell+1$ durumunda ispatlayaca\u g\i z.  O zaman
\begin{equation*}
\Gamma\proves F_{k_1}\lor\dotsb\lor F_{k_{\ell+1}}
\end{equation*}
varsay\i yoruz.  Bu durumda,
\begin{align*}
\Gamma&\proves(F_{k_1}\lor F_{k_2})\lor\dotsb\lor F_{k_{\ell+1}},&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves(F_{k_1}\lor F_{k_2})\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=\ell$ durumu]}\\
\Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1}\lor F_{k_2},&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1})\lor F_{k_2},&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1})\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=2$ durumu]}\\
\Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1},&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_{k_1},&&\text{[Birle\c sme]}\\
\Gamma&\proves((F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n)&&\\
&\qquad\qquad\lor(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[$m=2$ durumu]}\\
\Gamma&\proves(F_1\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Daralma]}\\
\Gamma&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[Daralma]}
\end{align*}
\end{asparaitem}
T\"umevar\i mdan t\"um durumda teorem kan\i tlanm\i\c st\i r.
\end{proof}

E\u ger $P$ herhangi bir \"onerme de\u gi\c skeni ise,  
o zaman hem $P$ hem $\lnot P$ form\"ul\"une \textbf{harf{}i}\index{harf{}i} 
denir. 

\begin{theorem}\label{th:eb}
$n$, bir say\i\ olsun, ve
her $k$ i\c cin, $1\leq k\leq n$ ise, $F_k$ bir harf{}i olsun.  E\u ger
\begin{equation*}
\models F_1\lor\dotsb\lor F_n
\end{equation*}
ise, o zaman 
 $1\leq i\leq n$ ile $1\leq j\leq n$ ko\c sullar\i n\i\ sa\u glayan
bir $i$ ve $j$ i\c cin $F_i$ form\"ul\"u 
$\lnot F_j$ form\"ul\"uyle ayn\i d\i r. 
\end{theorem}

\begin{proof}
\cexercise
\end{proof}

\begin{theorem}\label{th:2}
Her $n$ i\c cin, $n\geq2$
ve $\models F_1\lor\dotsb\lor F_n$ ise, o zaman
\begin{equation*}
\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
$n\geq2$ ve $\models F_1\lor\dotsb\lor F_n$ varsay\i l\i yor.  
En basit durumda, her $F_k$ bir harf{}idir.  
Bu durumda, \Teoreme{th:eb} g\"ore, 
bir $i$ ve $j$ i\c cin, $F_i$ ve $\lnot F_j$
birbiriyle ayn\i d\i r.
O zaman
\begin{align*}
&\proves F_i\lor F_j,&&\text{[aksiyom]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[\Teorem{th:gen}]}
\end{align*}
\c Simdi, bir $k$ i\c cin, $F_k$ form\"ul\"u harf{}i olmas\i n.  
\Teorem{th:gen} sayesinde, $k=1$ varsayabiliriz.
\"U\c c tane durum var.  Her bir durumda, daha basit durumlar\i n
ispatland\i\u g\i n\i\ varsayabiliriz. 
\begin{asparadesc}
\item[$\bm{F_1}$ bir $\bm{\lnot\lnot G}$ form\"ul\"uyse,] 
o zaman
$\models G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$,
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[daha basit durum]}\\
&\proves F_1\lor\lnot G,&&\text{[aksiyom]}\\
&\proves\lnot G\lor F_1,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
&\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[Kesme]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[De\u gi\c sme]}
\end{align*}
\item[$\bm{F_1}$ bir $\bm{\lnot(G\lor H)}$ form\"ul\"uyse,]
o zaman
$\models\lnot G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$ 
ve $\models\lnot H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$,
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves\lnot G\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[daha basit durum]}\\
&\proves F_1\lor G\lor H,&&\text{[aksiyom]}\\
&\proves G\lor H\lor F_1,&&\text{[\Teorem{th:gen}]}\\
&\proves(H\lor F_1)\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Kesme]}\\
&\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor H\lor F_1,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
&\proves H\lor(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[\Teorem{th:gen}]}\\
&\proves\lnot H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[daha basit durum]}\\
&\proves((F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1)\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[Kesme]}\\
&\proves(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor(F_2\lor\dotsb\lor F_n)\lor F_1,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[\Teorem{th:gen}]}
\end{align*}
\item[$\bm{F_1}$ bir $\bm{G\lor H}$ form\"ul\"uyse,]
o zaman 
$\models G\lor H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n$, 
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves G\lor H\lor F_2\lor\dotsb\lor F_n,&&\text{[daha basit durum]}\\
&\proves F_2\lor\dotsb\lor F_n\lor F_1,&&\text{[\Teorem{th:gen}]}\\
&\proves F_1\lor\dotsb\lor F_n.&&\text{[\Teorem{th:gen}]}\qedhere
\end{align*}
\end{asparadesc}
\end{proof}

\begin{theorem}[Totoloji]
$\models F$ ise $\proves F$.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\models F$ ise, o zaman
\begin{equation*}
\models F\lor F,
\end{equation*}
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
&\proves F\lor F,&&\text{[Teorem~\ref{th:2}]}\\
&\proves F.&&\text{[Daralma]}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{theorem}[Ay\i rma]
$\Gamma\proves F$ ile $\Gamma\proves\lnot F\lor G$ ise $\Gamma\proves G$.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\Gamma\proves F$ ile $\Gamma\proves\lnot F\lor G$ varsayal\i m.  O zaman
\begin{align*}
\Gamma&\proves G\lor F,&&\text{[Ekleme]}\\
\Gamma&\proves F\lor G,&&\text{[De\u gi\c sme]}\\
\Gamma&\proves G\lor G,&&\text{[Kesme]}\\	
\Gamma&\proves G.&&\text{[Daralma]}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}


\begin{theorem}[$\bd2$ dizgesinin taml\i\u g\i]
$\Gamma\models F$ ise $\Gamma\proves F$.
\end{theorem}

\begin{proof}
$\Gamma\models F$ varsayal\i m.  T\i k\i zl\i k Teoremi sayesinde $\Gamma$
  k\"umesinin bir $\{G_1\dots,G_n\}$ alt k\"umesi i\c cin
  $\{G_1\dots,G_n\}\models F$.  O zaman 
\begin{equation*}
\models\lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,
\end{equation*}
dolay\i s\i yla
\begin{align*}
    &\proves \lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\text{[Totoloji Teoremi]}\\
\Gamma&\proves \lnot G_1\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\\
\Gamma&\proves G_1,&&\\
\Gamma&\proves\lnot G_2\lor\dotsb\lor\lnot G_n\lor F,&&\text{[Ay\i rma]}\\
&\makebox[3.6cm]{\dotfill},&&\\
\Gamma&\proves F.&&\qedhere
\end{align*}
\end{proof}



%\bibliographystyle{plain}
%\bibliography{../references}
%\bibliography{../../references}
%\bibliography{../Dropbox/Public/references}

\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{Burris}
Stanley~N. Burris.
\newblock {\em Logic for Mathematics and Computer Science}.
\newblock Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 1998.

\bibitem{MR18:631a}
Alonzo Church.
\newblock {\em Introduction to mathematical logic. {V}ol. {I}}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, N.~J., 1956.

\bibitem{Demirtas}
Abdurrahman Demirta{\c s}.
\newblock {\em Matematik S{\"o}zl{\"u}{\u g}{\"u}}.
\newblock Bilim Teknik K{\"u}lt{\"u}r Yay{\i}nlar{\i}, Ankara, 1986.

\bibitem{MTS}
Teo Gr{\"u}nberg ve Adnan Onart.
\newblock {\em Mant{\i}k Terimleri S{\"o}zl{\"u}{\u g}{\"u}}.
\newblock T{\"u}rk Dil Kurumu Yay{\i}nlar{\i}, Ankara, 1976.

\bibitem{Nesin-OM}
Ali Nesin.
\newblock {\em {\"O}nermeler Mant{\i}{\u g}{\i}}.
\newblock Bilgi {\"U}niversitesi Yay{\i}nlar{\i}, Ekim 2001.

\bibitem{Oklid-2014-T}
{\"O}klid.
\newblock {\em {\"O}{\u g}elerin 13 Kitab{\i}ndan Birinci Kitap}.
\newblock Matematik B{\"o}l{\"u}m{\"u}, Mimar Sinan G{\"u}zel Sanatlar
  {\"U}niversitesi, {\.I}stanbul, 4.\ bas\i m, Eyl{\"u}l 2014.
\newblock {\"O}klid'in Yunanca metni ve {\"O}zer {\"O}zt{\"u}rk \&\ David
  Pierce'in {\c c}evirdi{\u g}i T{\"u}rk{\c c}esi.

\bibitem{MR1200456}
Proclus.
\newblock {\em A Commentary on the First Book of {E}uclid's \emph{{E}lements}}.
\newblock Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ,
  1992.
\newblock Translated from the Greek and with an introduction and notes by Glenn
  R. Morrow. Reprint of the 1970 edition. With a foreword by Ian Mueller.

\bibitem{MR1809685}
Joseph~R. Shoenfield.
\newblock {\em Mathematical logic}.
\newblock Association for Symbolic Logic, Urbana, IL, 2001.
\newblock reprint of the 1973 second printing.

\bibitem{Struik}
Dirk~J. Struik.
\newblock {\em A Concise History of Modern Mathematics}.
\newblock Dover, New York, fourth revised edition, 1987.

\bibitem{Struik-TR}
Dirk~J. Struik.
\newblock {\em K{\i}sa Matematik Tarihi}.
\newblock Sarmal Yay\i nevi, {\.I}stanbul, 1996.
\newblock T{\"u}rk{\c c}esi: Y{\i}ld{\i}z Silier.

\bibitem{PM}
Alfred~North Whitehead and Bertrand Russell.
\newblock {\em Principia Mathematica}, volume~I.
\newblock University Press, Cambridge, 1910.

\end{thebibliography}

%\printindex

\begin{theindex}
  \providecommand*\lettergroupDefault[1]{}
  \providecommand*\lettergroup[1]{%
      \par\textbf{#1}\par
      \nopagebreak
  }

  \lettergroup{A}
  \item a\u ga\c c, 13, 17
  \item aksiyom, 49
  \item ana ba\u glay\i c\i s\i, 13, 17
  \item Ay\i rma, 31

  \indexspace

  \lettergroup{B}
  \item Ba\u glama, 31, 50
  \item ba\u glay\i c\i, 9, 15
  \item Basitle\c stirme, 30
  \item bi\c cim
    \subitem normal ---, 52
    \subitem ---sel dizge, 39, 49
    \subitem ---sel kan\i t, 37
    \subitem ---sel teorem, 49
  \item bile\c ske \"onerme, 8
  \item Birle\c sme, 26, 55

  \indexspace

  \lettergroup{�}
  \item \c Cifte De\u gilleme, 26
  \item \c c\i kar\i m kural\i, 49

  \indexspace

  \lettergroup{D}
  \item Da\u g\i lma, 26
  \item Daralma, 54, 55
  \item De Morgan, 26
  \item De\u gi\c sme, 26, 55
  \item De\u gi\c stirim, 27
  \item denk, 24
  \item dizge, 39, 49
  \item dizimsel, 54
  \item do\u gru, 6
    \subitem ---luk de\u geri, 7
    \subitem ---luk g\"ondermesi, 7, 19
    \subitem ---luk tablosu, 8, 19
  \item durum, 6
  \item d\"u\u g\"um, 17

  \indexspace

  \lettergroup{E}
  \item Ekleme, 31, 50, 54, 55
  \item e\c sde\u ger, 24
  \item evrik, 25

  \indexspace

  \lettergroup{F}
  \item Fazlal\i k, 26

  \indexspace

  \lettergroup{G}
  \item ge\c cerli form\"ul, 33
  \item ge\c ci\c s, 13
  \item gerektirme, 30, 32

  \indexspace

  \lettergroup{H}
  \item harf{}i, 57
  \item Hipotetik Tas\i m, 32
  \item hipotez, 37

  \indexspace

  \lettergroup{K}
  \item kan\i t, 37
  \item kan\i tlama, 38
  \item kar\c s\i t tersi, 25
  \item Kesme, 55
  \item konum, 15
  \item ko\c sullu \"onerme, 25

  \indexspace

  \lettergroup{M}
  \item mant\i ksal do\u gru form\"ul, 33
  \item model, 46

  \indexspace

  \lettergroup{N}
  \item normal bi\c cimi, 52

  \indexspace

  \lettergroup{O}
  \item Olumlu Dilemma, 33

  \indexspace

  \lettergroup{�}
  \item \"onerme, 6
  \item \"ozyineleme, 16, 17, 47

  \indexspace

  \lettergroup{S}
  \item sonu\c c, 37

  \indexspace

  \lettergroup{T}
  \item teorem, 49
  \item ters, 25
  \item tikel-evetleme, 52
  \item t\i k\i zl\i k, 46
  \item totoloji, 34
  \item turnike, 53
  \item t\"umel-evetleme, 52
  \item t\"umevar\i m, 16

  \indexspace

  \lettergroup{Y}
  \item yanl\i\c s, 6
  \item Yeni De\u gi\c sken, 26
  \item Yerine Koyma, 28, 50
  \item yorumsal, 54
  \item Yutma, 27

\end{theindex}


\end{document}
