\documentclass[% version=last,% a5paper, 10pt,% %12pt,% headings=small,% twoside,% reqno,% parskip=half,% draft=true,% DIV=classic,% %DIV=12,% headinclude=false,% pagesize]%{scrreprt} {scrartcl} \usepackage[notref,notcite]{showkeys} \usepackage{scrpage2} \pagestyle{scrheadings} %\ohead{\pagemark} \ohead{} %\ihead{\headmark} \ifoot{\headmark} %\ofoot{} \usepackage[polutonikogreek,english,turkish]{babel} %\usepackage{auto-pst-pdf} %\usepackage{pstricks} \usepackage{epic,eepic} \usepackage{multicol,verbatim} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath,amsthm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % For Greek \newcommand{\gr}[1]{\selectlanguage{polutonikogreek}#1\selectlanguage{english}} \title{ALIŞTIRMALAR} \author{Mat 113, MSGSÜ\\ Bakkalo\u glu, G\"unayd\i n, Öztürk, ve Pierce} \date{\today} \usepackage{hfoldsty} \usepackage{typearea} %\usepackage{parskip} \usepackage[neverdecrease]{paralist} \theoremstyle{definition} \newtheorem{problem}{Alıştırma} \newtheorem*{solution}{Çözüm} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Not} \renewcommand{\arraystretch}{2} \renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.} \begin{document} \maketitle \begin{problem} Verilmiş sınırlanmış doğruda eşkenar olmayan bir ikizkenar üçgen inşa edin. Eğer mümkünse bunu Öklid'in önermelerini kullanmadan yapın. \end{problem} \begin{problem} Hiç bir postulat kullanmadan ikizkenarın tabanındaki açıların birbirine eşit olduğunu ispatlayın. \end{problem} \begin{problem} Üç açısı eşit olan bir üçgenin eşkenar olacağını ispatlayın. \end{problem} \begin{problem} Bir dörtgende, iki bitişik kenar birbirine eşittir, ve iki kalan bitişik kenar birbirine eşittir. Eşit olmayan kenarlar tarafından yapılmış açıların eşit olduğunu ispatlayın. \end{problem} \begin{problem} Cetvel kullanmadan 2.\ önermeyi çözün. \end{problem} \begin{problem} Eğer bir üçgenin tabanının altındaki dış açılar eşitse üçgen ikizkenardır. \end{problem} \begin{problem} Yedinci önermede, Öklid sadece bir durumun olanaksızlığını ispatlar. Öteki durumların olanaksızlığını ispatlayın. \end{problem} \begin{problem} `Yerle\c stirmeyi' kullanmadan sekizinci önermeyi ispatlayın. \end{problem} \begin{problem} Herhangi bir ikizkenar üçgende tabana inen kenarortay diktir. \end{problem} \begin{comment} \begin{problem} Merkeziyle birlikte verilen bir çemberin üzerinde verilen bir noktada, çembere bir teğet çizmek. \end{problem} \end{comment} \begin{problem} Bir doğruya dışındaki bir noktadan indirilen dikme, o noktayı doğru üzerindeki noktalara birleştiren diğer doğrulardan küçüktür. \end{problem} \begin{problem} Bir kenar uzatlamadan 17. önermeyı ispatlayın. (Bir köşeden karşı kenara bir doğru çizerek Proklos bunu ispatladı.) \end{problem} \begin{problem} Tüm üçgenlerin ikizkenar olduğunu aşağıdaki gibi ispatlamanın nesi hatalı? \begin{compactenum} \item Bir $ABC$ üçgeni verilmiş olsun. \item $BC$, $D$ noktasında ikiye kesilmiş olsun. \item $DE$, dik açılarla $BC$ kenarından çizilmiş olsun. \item Ve $AE$ doğrusu $BAC$ açısını ikiye kessin. \item $BE$ ve $CE$ doğruları çizilmiş olsun. \item $BE=CE$. \item $AB$ doğrusuna dik $EF$ doğrusu çizilmiş olsun. \item $AC$ doğrusuna dik $EG$ doğrusu çizilmiş olsun. \item $AF=AG$ ve $EF=EG$. \item $BF=CG$. \item $AF+FB=AG+GC$. \item $AF+FB=AB$ ve $AG+GC=AC$. \item $AB=AC$; böylece, $ABC$ ikizkenardır. \end{compactenum} \mbox{}\hfill \setlength{\unitlength}{1.5cm} \begin{picture}(2,0)(-1,-0.5) \put(-1,0){\line(1,0)2} \put(-1,0){\line(1,2){1}} \put(1,0){\line(-1,2){1}} \put(0,0){\line(0,1){2}} \put(-1,0){\line(2,1){1.6}} \put(1,0){\line(-2,1){1.6}} \put(0,2.05){\makebox(0,0)[b]{$A$}} \put(1,0){\makebox(0,0)[tl]{$C$}} \put(-1,0){\makebox(0,0)[tr]{$B$}} \put(0,-0.05){\makebox(0,0)[t]{$D$}} \put(0,0.6){$E$} \put(0.6,0.8){\makebox(0,0)[bl]{$G$}} \put(-0.6,0.8){\makebox(0,0)[br]{$F$}} \end{picture} \end{problem} \begin{problem} Aşağıdaki önermenin nesi hatalı? %\begin{enumerate}[1. {\em %adım:}]\addtolength{\itemsep}{-0.6\baselineskip} \begin{compactenum} \item Bir üçgende tabandaki bir dış açının açıortayı ile tabandaki karşıt iç açının açıortayı kesişirse oluşturdukları açılar dik değildir. \item Bir $ABC$ üçgeni verilmiş olsun. \item $BC$ kenarı bir $D$ noktasına kadar uzatılmış olsun. \item $ABC$ açısının açıortayı $BE$ ve $ACD$ açısının açıortayı $CF$, $G$ noktasında kesişsinler. \begin{center} \setlength{\unitlength}{.25cm} \begin{picture}(15,9)(0,-1) \linethickness{5pt} \drawline(1,0)(14,0) \drawline(1,0)(6,6) \drawline(6,6)(9,0) \drawline(1,0)(14.5,5.9) \drawline(9,0)(13.8,7.2) \put(5.9,6.4){\makebox(0,0){$A$}} \put(0.5,-0.5){\makebox(0,0){$B$}} \put(9.4,-0.5){\makebox(0,0){$C$}} \put(13.4,-0.5){\makebox(0,0){$D$}} \put(14.7,5.5){\makebox(0,0){$E$}} \put(14,7.6){\makebox(0,0){$F$}} \put(12,5.4){\makebox(0,0){$G$}} \end{picture} \end{center} %\vspace{.6cm} \item İddia ediyorum ki $BGC$, $EGF$, $CGE$ ve $BGF$ açılarının hiçbiri dik değildir. \item $ACD$ açısı $ABC$ üçgeninin bir dış açısı olduğundan iç ve karşıt $BAC$ açısından büyüktür. \item $ABC$ bir üçgen olduğundan $ABC$ ve $BAC$ açıları iki dik açıdan küçüktür. \item 7.\ adıma göre $ABC$ ve $BAC$ açıları iki dik açıdan küçük olduğundan, $BAC$ açısı da iki dik açıdan küçüktür. \item $CF$, $ACD$ açısının açıortayı olduğu için $ACF$ ve $FCD$ açıları birbirine eşittir. \item $CF$, $ACD$ açısının açıortayı olduğu için $ACF$ ve $FCD$ açıları birlikte $ACD$ açısına eşittir. \item 6. ve 10. adımlara göre $ACF$ ve $FCD$ açıları birlikte $BAC$ açısından büyüktür. \item 8. ve 11. adımlara göre $ACF$ ve $FCD$ açıları birlikte iki dik açıdan küçüktür. \item 9. ve 12. adımlara göre $FCD$ açısı bir dik açıdan küçüktür. \item $GCD$ açısı $BCG$ üçgeninin bir dış açısı olduğu için $BCG$ üçgeninin iç ve karşıt $CGB$ açısından büyüktür. \item 13. ve 14. adımlara göre $CGB$ açısı bir dik açıdan küçüktür. Dolayısıyla dik değildir. \item $CGB$ ve $BGF$ açıları aynı doğruda olduklarından ve 15. adımdan $BGF$ açısı bir dik açıdan büyüktür. Dolayısıyla dik değildir. \item $FGE$ ve $CGB$ açıları ters açı oldukları için birbirine eşittir. Dolayısıyla 15. adımdan $FGE$ dik değildir. \item $EGC$ ve $BGF$ açıları ters açı oldukları için birbirine eşittir. Dolayısıyla 16. adımdan $EGC$ dik değildir. \end{compactenum} \end{problem} \begin{problem} Aşağıdaki kelimelerin ve adların Türkçe çevirilerini yazın: \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item \gr{JEWRHMA}, \item \gr{PROBLHMA}, \item \gr{>ANALUSIS}, \item \gr{SUNJESIS}, \item \gr{POLUGWNON}, \item \gr{TRIGWNON}, \item \gr{>AFRODITH}, \item \gr{JALHS}, \item \gr{PUJAGORAS}, \item \gr{PLATWN}, \item \gr{EUKLEIDHS}, \item \gr{>ARQIMHDHS}. \end{enumerate} \end{multicols} \end{problem} \end{document}