\documentclass[a4paper,12pt]{article}

%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[OT2,T1]{fontenc}

\usepackage[greek,turkish]{babel}



\usepackage{hfoldsty}
\usepackage{typearea}
\usepackage[neverdecrease]{paralist}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\newcommand{\lto}{\Rightarrow}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{soru}{Soru}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{cozum}{\c C\"oz\"um\"u}

\pagestyle{myheadings}
 \markboth{Mat 113 S\i nav, 20 Ocak 2012}{Mat 113 S\i nav, 20 Ocak 2012}   

\newcommand{\scoresep}{1ex}   % used for extra space in score tables
\newcommand{\ttsep}{0ex}   % used for extra space in truth tables

%\usepackage[headings]{fullpage}

\usepackage{pstricks}

\begin{document}

\thispagestyle{empty} 
\title{MSGS\"U, MAT 113, S\i nav \emph{\c c\"oz\"umleri}}
\date{20 Ocak 2012, Saat 12:00}
\author{\"Ozer \"Ozt\"urk, David Pierce}
\maketitle
\begin{soru}
  Yunan alfabesini s\i ras\i nda yaz\i n:
\end{soru}

\begin{cozum}
\foreignlanguage{greek}{A B G D E Z H J I K L M N X O P R S T U F Q Y W}
\end{cozum}

\begin{soru}
  $P\lto(Q\lto R)\sim(P\land Q)\lto R$ denkli\u gini bir do\u gruluk
  tablosuyla g\"osterin.
\end{soru}

\begin{cozum}
\begin{equation*}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{array}{*5{c|}|*4{c|}c}
  P&\lto&(Q&\lto&R)&(P&\land&Q)&\lto&R\\\hline
0&1&0&1&0&0&0&0&1&0\\
1&1&0&1&0&1&0&0&1&0\\
0&1&1&0&0&0&0&1&1&0\\
1&0&1&0&0&1&1&1&0&0\\
0&1&0&1&1&0&0&0&1&1\\
1&1&0&1&1&1&0&0&1&1\\
0&1&1&1&1&0&0&1&1&1\\
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1
\end{array}
\end{equation*}
\end{cozum}

\begin{soru}
Verilmi\c s e\c skenar \"u\c cgene e\c sit olan
bir dikd\"ortgen in\c sa edin.  (Bu, \"Oklid'in I.42.\ \"onermesinin
\"ozel bir durumudur.  Bu \"onerme d\i\c s\i ndaki \"onermeleri
kullanabilirsiniz.)
\end{soru}

\begin{cozum}
  Verilmi\c s e\c skenar \"u\c cgen $ABC$ olsun.

$BC$ do\u grusu $D$ noktas\i nda ikiye kesilmi\c s olsun [I.10].

$AD$ birle\c stirilmi\c s olsun.

$A$ noktas\i ndan $DC$ do\u grusuna paralel $AE$ do\u
  grusu \c cizilmi\c s olsun [I.31].  

$AE$ do\u grusu, $DC$ do\u grusuna e\c sit olsun [I.3].  

$EC$ birle\c stirilmi\c s olsun.

O zaman $ADCE$, bir parallelkenard\i r [I.33].

Ayr\i ca $AC$ k\"o\c segeni, $ADCE$ paralelkenar\i n\i\ ikiye b\"oler
[I.34].

Ancak $AD$ do\u grusu da, $ABC$ \"u\c cgenini ikiye b\"oler [I.38].

O zaman $ADC$ \"u\c cgeni, hem $ABC$ \"u\c cgeninin hem de $ADGE$
paralelkenar\i n\i n yar\i s\i d\i r.

Onun i\c cin $ABC$ \"u\c cgenine $ADCE$ paralelkenar\i\ e\c sittir.

Ayr\i ca, $AB=AC$, ve $BD=CD$, ve $AD$, ortakt\i r;

o y\"uzden $ADB$ a\c c\i s\i, $ADC$ a\c c\i s\i na e\c sittir [I.8].

\"Ozellikle, $ADB$ ve $ADC$ a\c c\i lar\i, diktir.

O zaman $DCE$ a\c c\i s\i\ da dik, [I.29],

ve $DAE$ ve $AEC$ a\c c\i lar\i\ da diktir [I.34].

Yani, $ADCE$ paralelkenar, bir dikd\"ortgendir.
\begin{center}
  \begin{pspicture}(-1,-0.5)(1,2.23)
\pspolygon(-1,0)(1,0)(0,1.73)
    \psline(0,0)(0,1.73)(1,1.73)(1,0)
\uput[u](0,1.73){$A$}
\uput[d](-1,0){$B$}
\uput[d](1,0){$C$}
\uput[d](0,0){$D$}
\uput[u](1,1.73){$E$}
  \end{pspicture}
\end{center}
\end{cozum}

\begin{soru}
  $P\lto R\models(P\land Q)\lto R$ gerektirmesini bi\c cimsel kan\i
  tla g\"osterin.
\end{soru}

\begin{cozum}
  $\begin{gathered}[t]
    P\lto R\\
\lnot P\lor R\\
\lnot Q\lor(\lnot P\lor R)\\
(\lnot Q\lor\lnot P)\lor R\\
(\lnot P\lor\lnot Q)\lor R\\
\lnot(P\land Q)\lor R\\
(P\land Q)\lto R
  \end{gathered}$
\end{cozum}

\begin{soru}
A\c sa\u g\i daki problemleri \c c\"oz\"un.  (Bu, \"Oklid'in
III.17.\ \"onermesidir.  
  Bu \"onerme d\i\c s\i ndaki \"onermeleri
kullanabilirsiniz.) 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item 
Verilmi\c s \c cemberdeki verilmi\c s noktadan de\u gen do\u gruyu \c
cizmek.
\item
Verilmi\c s  daire d\i\c s\i ndaki verilmi\c s noktadan de\u gen
do\u gruyu \c 
cizmek.
  \end{enumerate}
\end{soru}
\begin{cozum}
\"Oklid'in III.16.\ \"onermesine g\" ore \c capa dik a\c c\i larda \c cizilen do\u gru daireye de\u ger.
 \begin{enumerate}[a)]
  \item Verilmi\c s $ABC$ \c cemberdeki  verilmi\c s nokta $A$ olsun.

        Verilmi\c s dairenin merkezi $D$ olsun [III.1].

        $AD$ birle\c stirilmi\c s olsun [P.1].

	$AD$ do\u grusu $A$ taraf\i ndan bir $E$ noktas\i na kadar uzat\i lmi\c s olsun [P.2].
        
        $A$ noktas\i nda $ED$ do\u grusuna dik bir $AF$ do\u grusu \c cizilmi\c s olsun [I.11].

        $AF$ do\u grusu $ABC$ \c cemberinin $AD$ yar\i \c cap\i na dik oldu\u gundan $ABC$ \c cemberine de\u ger [III.16].

  \item Verilmi\c s $ABC$  dairesinin d\i \c s\i ndaki nokta $D$ olsun.
         
        $ABC$ dairesinin merkezi $E$ olsun [III.1].
        
        $ED$ birle\c stirilmi\c s olsun [P.2].
        
        $ED$ do\u grusunun $ABC$ \c cemberini kesti\u gi nokta $F$ olsun.

        $E$ merkezli $DE$ yar\i\c capl\i \ $DGH$ \c cemberi \c cizilmi\c s olsun [P.3].

	$F$ noktas\i ndan $DGH$ \c cemberinin d\i \c s\i ndaki bir $I$ noktas\i na $DE$ do\u grusuna dik bir do\u gru \c cizilmi\c s olsun. [I.11].

        $FI$ do\u grusunun $DGH$ \c cemberini kesti\u gi  nokta $K$ olsun.
         
        $KE$ birle\c stirilmi\c s olsun.

        $KE$ do\u grusunun $ABC$ \c cemberini kesti\u gi  nokta $L$ olsun.
  
	$LD$ birle\c stirilmi\c s olsun.

	$ED$ ve $EK$ do\u grular\i \ $DGH$ \c cemberinin yar\i \c cap\i \ olduklar\i ndan e\c sittirler.

        $EF$ ve $EL$ do\u grular\i \ $ABC$ \c cemberinin yar\i \c cap\i \ olduklar\i ndan e\c sittirler.

        $DEL$ ve $KEF$ \" u\c cgenlerininde $EF=EL$, $ED=EK$ ve $E$ a\c c\i lar\i \ ortak oldu\u gundan bu iki \" u\c cgen e\c sittir [I.4].
        Dolay\i s\i yla $EFK$ a\c c\i s\i \ $ELD$ a\c c\i s\i na esitir. 

        $EFK$ bir dik a\c c\i \ oldu\u gundan $ELD$ de bir dik a\c c\i d\i r.

        $DL$ do\u grusu $ABC$ dairesinin $EL$ yar\i \c cap\i na dik oldu\u gu i\c cin $DL$ do\u grusu $ABC$ dairesine de\u ger [III.16].
        
        

        

  \end{enumerate}

\end{cozum}


\end{document}