\documentclass[twoside,10pt,openany]{book} \usepackage[a4paper,margin=1.5cm]{geometry} %\special{landscape} \usepackage{verbatim} \usepackage{auto-pst-pdf} \usepackage{dblfnote} % This (from ``yafoot'') caused problems, %perhaps because there are too many footnotes in columns made by the %parcolumns package---or by the multicol package, used in the introduction: more than 20 footnotes seems to be too much. But if the Introduction is broken into two chapters, the problem is solved. %\usepackage[english,all,portrait,draft]{draftcopy} doesn't seem to work with pdflatex % The following also has problems: \begin{comment} \usepackage[printwatermark=true, % for a "Draft" watermark allpages=true, fontfamily=pag, color=gray!12, %grayness=0.9, textmark=Draft, angle=55, fontsize=5cm, width=\paperwidth, fontseries=b, scale=0.8, xcoord=0, ycoord=0]{xwatermark} \end{comment} % So I try an alternative: the needed \usepackage{color} \usepackage{eso-pic} \definecolor{lightgray}{gray}{.25} \AddToShipoutPicture{% \AtTextCenter{% \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{% \rotatebox{45}{\textsf{\textbf{\color{lightgray}DRAFT}}}}} } } \usepackage[polutonikogreek,english]{babel} \usepackage[latin5]{inputenc} %\usepackage[LGR,T1]{fontenc} % adding LGR before T1 does not seem to %make a difference; adding it after changes all letters to Greek \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage{parskip} % did not have the desired effect. \usepackage{pstricks} \usepackage{multicol} \usepackage[neverdecrease]{paralist} \usepackage{hfoldsty} \usepackage{relsize} % Here \smaller scales by 1/1.2; \relscale{X} scales by X \renewenvironment{quote}{\begin{list}{} {\relscale{.90}\setlength{\leftmargin}{0.05\textwidth} \setlength{\rightmargin}{\leftmargin}} \item[]} {\end{list}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\lett}[1]{\textsf{#1}} % For Greek \newcommand\gr[1]{\foreignlanguage{polutonikogreek}{#1}} \newcommand{\strgt}{\textsc{straight}} \newcommand{\Strgt}{\textsc{Straight}} \newcommand{\rgt}{\textsc{right}} % The following is to make ``long lines'' that stretch a line onto a % second when the parallel lines are so. %\newcommand{\lli}{\hspace{0.1\textwidth}\mbox{}}% for making long % lines, to maintain parallelism %\newcommand{\lli}{\quad \mbox{} \quad \mbox{} \quad \mbox{}} %\newcommand{\lli}{\phantom{a a a a a a}} % \newcommand{\lli}{\\\mbox{}} \newcommand{\myqed}{---just what it was necessary to show.} \newcommand{\myqef}{---just what it was necessary to do.} \newcommand{\ozqed}{--- gösterilmesi gereken tam buydu.} \newcommand{\ozqef}{--- yapılması gereken tam buydu.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{verse} \newenvironment{myverse}{% \begin{verse}% }% {\end{verse}} \usepackage{parcolumns} % documentation under ``sauerj'' \newcommand{\parsen}[3]{% \colchunk{\begin{myverse}#1\end{myverse}}% \colchunk{\begin{myverse}\gr{#2}\end{myverse}}% \colchunk{\begin{myverse}#3\end{myverse}}% \colplacechunks% } \newenvironment{textpart}{ \begin{parcolumns}[rulebetween,distance=1em,sloppy]{3}% \setlength{\leftmargini}{0em}% } {\end{parcolumns}} \newcommand{\prop}[1][]{%\newpage% \section{#1}\setcounter{myfn}0\setcounter{footnote}0} % Proposition %\newenvironment{proposition}[1][]{ %\begin{textpart}[\prop[#1]]} %{\end{textpart}} \newenvironment{proposition}[1][]{\prop[#1] \begin{parcolumns}[rulebetween,distance=1em,sloppy]{3}% \setlength{\leftmargini}{0em}% } {\end{parcolumns}} \newcommand{\parancil}[2]{% for ancillary material \colchunk{#1}% \colchunk{#2}% \colplacechunks% } \newenvironment{ancillary}{% \setcounter{myfn}0\setcounter{footnote}0% \begin{parcolumns}[rulebetween,distance=3em,sloppy]{2}% } {\end{parcolumns}} %\usepackage{footnote} % This didn't work for me %\makesavenoteenv{parsen} %\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} \newcounter{myfn} \newcommand{\myfntext}[1]{\stepcounter{myfn}% \footnotetext[\value{myfn}]{#1}} \usepackage{url} %\special{!TeXDict begin /landplus90{true}store end} % This makes the % ps file right-side-up in landscape % mode \begin{document} \title{Book I of the Elements\qquad \gr{STOIQEIWN A}\qquad Öğelerin Birinci Kitab\i} \author{Euclid\qquad\gr{EUKLEIDOS}\qquad Öklid} \date{September 29, 2016\\ Recovered from \TeX\ files with \texttt{pdf} version dated May 30, 2012\\ Edited to agree with the version of September 27, 2011} \maketitle \begin{multicols}3 \tableofcontents \end{multicols} \listoftables \input{euclid-introduction} \input{euclid-introduction-tr3} \chapter{} \section*{`Definitions'} \begin{textpart} \parsen{ Boundaries\footnotemark } { <'Oroi } { Sınırlar } \myfntext{The usual translation is `definitions', but what follow are not really definitions in the modern sense.} \parsen{ {}[1] A point is\\ {}[that] whose part is nothing.\footnotemark } { Shme~i'on >estin,\\ o<~u m'eroc o>uj'en. } { Bir nokta,\\ par\c cas\i \ hiçbir şey oland\i r. } \myfntext{Presumably subject and predicate are inverted here, so the sense is that of `A point is that of which nothing is a part.'} \parsen{ {}[2] A line,\\ length without breadth. } { Gramm`h d`e\\ m~hkoc >aplat'ec. } { Bir \c cizgi,\\ ensiz uzunluktur. } \parsen{ {}[3] Of a line,\\ the extremities are points. } { Gramm~hc d`e\\ p'erata shme~ia. } { Bir \c cizginin\\ u\c clar\i ndakiler, noktalard\i r. } \parsen{ {}[4] A straight line is\\ whatever [line] evenly\\ with the points of itself\\ lies. } { E>uje~ia gramm'h >estin,\\ <'htic >ex >'isou\\ to~ic >ef> Epif'aneia d'e >estin,\\ <`o m~hkoc ka`i pl'atoc m'onon >'eqei. } { Bir y\" uzey,\\ sadece eni ve boyu oland\i r. } \parsen{ {}[6] Of a surface,\\ the boundaries are lines. } { >Epifane'iac d`e\\ p'erata gramma'i. } { Bir y\" uzeyin\\ u\c clar\i ndakiler, \c cizgilerdir. } \parsen{ {}[7] A plane surface is\\ what [surface] evenly\\ with the points of itself\\ lies. } { >Ep'ipedoc >epif'anei'a >estin,\\ <'htic >ex >'isou\\ ta~ic >ef> uje'iaic\\ ke~itai. } { Bir d\" uzlem,\\ \" uzerindeki do\u gruların noktalarıyla hizal\i \ uzanan bir y\" uzeydir. } \parsen{ {}[8] A plane angle is,\\ \dots\footnotemark\\ in a plane,\\ two lines taking hold of one another,\\ and not lying on a \strgt,\\ to one another\\ the inclination of the lines. } { >Ep'ipedoc d`e gwn'ia >est`in\\ en >epip'edw|\\ d'uo gramm~wn all'hlwn\\ ka`i m`h >ep> e>uje'iac keim'enwn\\ pr`oc >all'hlac\\ t~wn gramm~wn kl'isic. } { Bir d\" uzlem a\c c\i sı,\\ \mbox{}\\ bir d\"uzlemde\\ kesi\c sen ve ayn\i \ do\u gru \" uzerinde uzanmayan\\ iki \c cizginin birbirine g\" ore e\u gikli\u gidir. } \myfntext{There is no way to put `the' here to parallel the Greek.} \parsen{ {}[9] Whenever the lines containing the angle\\ be straight,\\ rectilineal is called the angle. } { <'Otan d`e auje~iai >~wsin,\\ e>uj'ugrammoc kale~itai uje~ia\\ {}>ep> e>uje~ian staje~isa\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic poi~h|,\\ {}>orj`h\\ 'iswn gwni~wn >esti,\\ ka`i\\ efesthku~ia e>uje~ia\\ k'ajetoc kale~itai,\\ {}>ef> <`hn >ef'esthken. } { Bir do\u gru\\ başka bir do\u grunun \" uzerine yerle\c sip\\ birbirine e\c sit bitişik a\c c\i lar olu\c sturdu\u gunda,\\ e\c sit a\c c\i lar\i n her birine dik a\c c\i,\\ ve di\u gerinin \" uzerinde duran do\u gruya da;\\ \" uzerinde durdu\u gu do\u gruya bir dik do\u gru denir. } \myfntext{This definition is quoted in Proposition 12.} \parsen{ {}[11] An obtuse angle is\\ that [which is] greater than a \rgt. } { >Amble~ia gwn'ia >est`in\\ orj~hc. } { Bir geni\c s a\c c\i,\\ b\" uy\" uk olandır bir dik a\c c\i dan. } \parsen{ {}[12] Acute,\\ that less than a \rgt. } { >Oxe~ia d`e\\ el'asswn >orj~hc. } { Bir dar a\c c\i,\\ k\" u\c c\" uk olandır bir dik a\c c\i dan. } \parsen{ {}[13] A boundary is\\ whis is a limit of something. } { <'Oroc >est'in, <'o tin'oc >esti p'erac. } { Bir \emph{s\i n\i r,}\\ bir \c seyin ucunda oland\i r. } \parsen{ {}[14] A figure is\\ what is contained by some boundary or boundaries.\footnotemark } { Sq~hm'a >esti\\ t`o 'h tinwn <'orwn perieq'omenon. } { Bir fig\" ur,\\ bir s\i n\i r taraf\i ndan veya s\i n\i rlarca i\c cerilendir. } \myfntext{In Greek what is repeated is not `boundary' but `some'.} \parsen{ {}[15] A circle is\\ a plane figure\\ contained by one line\\ {}[which is called the circumference]\\ to which,\\ from one point\\ of those lying inside of the figure\\ all \strgt s falling\\ {}[to the circumference of the circle]\\ are equal to one another. } { K'ukloc >est`i\\ sq~hma >ep'ipedon\\ af> ent`oc to~u sq'hmatoc keim'enwn\\ p~asai auje~iai\\ {}[pr`oc t`hn to~u k'uklou perif'ereian]\\ {}>'isai >all'hlaic e>is'in. } { Bir daire,\\ bir \c cizgice i\c cerilen \\ {}[bu çizgiye çember denir]\\ bir fig\" urd\"ur \" oyle ki\\ fig\" ur\" un i\c cerisindeki\\ noktalar\i n birinden \\ \c cizgi \" uzerine gelen\\ t\" um do\u grular,\\ birbirine e\c sittir; } \parsen{ {}[16] A\footnotemark\ center of the circle\\ the point is called. } { K'entron d`e to~u k'uklou\\ t`o shme~ion kale~itai. } { Ve o noktaya, dairenin merkezi denir. } \myfntext{None of the terms defined in this section is preceeded by a definite article. In particular, what is being defined here is not \emph{the} center of a circle, but \emph{a} center. However, it is easy to show that the center of a given circle is unique; also, in Proposition III.1, Euclid finds \emph{the} center of a given circle.} \parsen{ {}[17] A diameter of the circle is\\ some \strgt\\ drawn through the center\\ and bounded\\ to either parts\\ by the circumference of the circle,\\ which also bisects the circle. } { Di'ametroc d`e to~u k'uklou >est`in\\ e>uje~i'a tic\\ di`a to~u k'entrou >hgm'enh\\ ka`i peratoum'enh\\ >ef> esti\\ t`o perieq'omenon sq~hma\\ apolambanom'enhc a>ut~hc perifere'iac.\\ k'entron d`e to~u ut'o,\\ <`o ka`i to~u k'uklou >est'in. } { Bir yar\i daire,\\ bir \c cap\\ ve onun kesti\u gi bir \c cevrece\\ i\c cerilen fig\" urd\" ur, ve yar\i dairenin merkezi, o dairenin merkeziyle ayn\i d\i r. } \parsen{ {}[19] Rectilineal figures are\footnotemark\\ those contained by \strgt s,\\ triangles, by three,\\ quadrilaterals, by four,\\ polygons,\footnotemark\ by more than four\\ \strgt s contained. } { Sq'hmata e>uj'ugramm'a >esti\\ t`a ujei~wn perieq'omena,\\ tr'ipleura m`en t`a `h tess'arwn\\ e>ujei~wn perieq'omena. } { \emph{D\" uzkenar fig\" ur}ler,\\ do\u grularca i\c cerilenlerdir. \emph{\" U\c ckenar} fig\" urler \" u\c c, \emph{d\" ortkenar} fig\" urler d\" ort ve \emph{\c cokkenar} fig\" urler ise d\" ortten daha fazla do\u gruca i\c cerilenlerdir. } \myfntext{As in Turkish, so in Greek, a plural subject can take a singular verb, when the subject is of the neuter gender in Greek, or names inanimate objects in Turkish.} \myfntext{To maintain the parallelism of the Greek, we could (like Heath) use `trilateral', `quadrilateral', and `multilateral' instead of `triangle', `quadrilateral', and `polygon'. Today, triangles and quadrilaterals \emph{are} polygons. For Euclid, they are not: you never call a triangle a polygon, because you can give the more precise information that it is a triangle.} \parsen{ {}[20] There being trilateral figures,\\ an equilateral triangle is\\ that having three sides equal,\\ isosceles, having only two sides equal,\\ scalene, having three unequal sides. } { ~wn d`e triple'urwn sqhm'atwn\\ {}>is'opleuron m`en tr'igwn'on >esti\\ t`o t`ac tre~ic >'isac >'eqon pleur'ac,\\ {}>isoskel`ec d`e t`o t`ac d'uo m'onac >'isac >'eqon pleur'ac,\\ skalhn`on d`e t`o t`ac tre~ic >an'isouc >'eqon pleur'ac. } { \" U\c ckenar fig\" urlerden\\ bir e\c skenar \" u\c cgen,\\ \" u\c c kenar\i \ e\c sit olan,\\ ikizkenar, e\c sit iki kenar\i \ olan\\ \c ce\c sitkenar, \" u\c c kenar\i \ e\c sit olmayand\i r. } \parsen{ {}[21] Yet of trilateral figures,\\ a right-angled triangle is\\ that having a right angle,\\ obtuse-angled, having an obtuse angle,\\ acute-angled, having three acute angles. } { >'Eti d`e t~wn triple'urwn sqhm'atwn\\ {}>orjog'wnion m`en tr'igwn'on >esti\\ t`o >'eqon >orj`hn gwn'ian,\\ {}>amblug'wnion d`e t`o >'eqon >amble~ian gwn'ian,\\ {}>oxug'wnion d`e t`o t`ac tre~ic >oxe'iac >'eqon gwn'iac. } { Ayr\i ca, \" u\c ckenar fig\" urlerden,\\ bir dik \" u\c cgen,\\ bir dik a\c c\i s\i \ olan,\\ geni\c s a\c c\i l\i, bir geni\c s a\c c\i s\i \ olan,\\ dar a\c c\i l\i, \" u\c c a\c c\i s\i \ dar a\c c\i \ oland\i r. } \parsen{ {}[22] Of quadrilateral figures,\\ a square is\\ what is equilateral and right-angled,\\ an oblong,\\ right-angled, but not equilateral,\\ a rhombus,\\ equilateral,\\ but not right-angled,\\ rhomboid,\\ having opposite sides and angles equal,\\ which is neither equilateral nor right-angled;\\ and let quadrilaterals other than these be called trapezia. } { T`wn d`e tetraple'urwn sqhm'atwn\\ tetr'agwnon m'en >estin,\\ <`o >is'opleur'on t'e >esti ka`i >orjog'wnion,\\ orjog'wnion m'en, o>uk >is'opleuron d'e,\\ is'opleuron m'en,\\ o>uk >orjog'wnion d'e,\\ apenant'ion pleur'ac te ka`i gwn'iac >'isac >all'hlaic >'eqon,\\ <`o o>'ute >is'opleur'on >estin o>'ute >orjog'wnion;\\ t`a d`e par`a ta~uta tetr'apleura trap'ezia kale'isjw. } { D\" ortkenar fig\" urlerden\\ bir kare,\\ hem e\c sit kenar hem de dik-a\c c\i l\i \ olan,\\ bir dikd\" ortgen,\\ dik-aç\i l\i \ olan ama e\c sit kenar olmayan,\\ bir e\c skenar d\" ortgen,\\ eşit kenar olan ama dik-a\c c\i l\i \ olmayan,\\ bir paralelkenar\\ kar\c s\i l\i kl\i \ kenar ve a\c c\i lar\i \ e\c sit olan\\ ama eşit kenar ve dik-a\c c\i l\i \ olmayand\i r.\\ Ve bunlar\i n d\i\c s\i nda kalan d\" ortkenarlara yamuk denilsin. } \parsen{ {}[23] Parallels are\\ \strgt s, whichever,\\ being in the same plane,\\ and extended to infinity\\ to either parts,\\ to neither [parts] fall together with one another. } { Par'allhlo'i e>isin\\ e>uje~iai, a<'itinec\\ {}>en t~w| a>ut~w| >epip'edw| o>~usai\\ ka`i >ekball'omenai e>ic >'apeiron\\ {}>ef> ep`i mhd'etera sump'iptousin >all'hlaic. } { Paraleller,\\ ayn\i \ d\" uzlemde bulunan\\ ve her iki y\" onde de\\ s\i n\i rs\i zca uzat\i ld\i kla\-r\i nda\\ hi\c cbir noktada kesi\c smeyen\\ do\u grulard\i r. } \end{textpart} \newpage \section*{Postulates} \begin{textpart} \parsen{ Postulates } { A>it'hmata } {Postulatlar } \parsen{ Let it have been postulated\\ from any point\\ to any point\\ a straight line\\ to draw. } { >Hit'hsjw\\ {}>ap`o pant`oc shme'iou\\ {}>ep`i p~an shme~ion\\ e>uje~ian gramm`hn\\ {}>agage~in. } { Herhangi bir noktadan\\ herhangi bir noktaya\\ bir do\u gru\\ \c cizilmesi. } \parsen{ Also, a bounded \strgt\\ continuously\\ in a straight\\ to extend. } { Ka`i peperasm'enhn e>uje~ian\\ kat`a t`o suneq`ec\\ {}>ep> e>uje'iac\\ {}>ekbale~in. } { Sonlu bir do\u grunun kesiksiz şekilde sonlu uzatılması. } \parsen{ Also, to any center\\ and distance\\ a circle\\ to draw. } { Ka`i pant`i k'entrw|\\ ka`i diast'hmati\\ k'uklon\\ gr'afesjai. } {Her merkez ve uzunluk i\c cin bir daire \c cizilmesi. } \parsen{ Also, all right angles\\ equal to one another\\ to be. } { Ka`i p'asac t`ac >orj`ac gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic\\ e>~inai. } {B\" ut\" un dik a\c c\i lar\i n bir birine e\c sit oldu\u gu. } \parsen{ Also, if in two straight lines\\ falling\\ the interior angles to the same parts\\ less than two \rgt s make,\\ the two \strgt s, extended\\ to infinity,\\ fall together,\\ to which parts are\\ the less than two \rgt s. } { Ka`i >e`an e>ic d'uo e>uje'iac e>uje~ia\\ {}>emp'iptousa\\ t`ac >ent`oc ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh gwn'iac\\ d'uo >orj~wn >el'assonac poi~h|,\\ {}>ekballom'enac t`ac d'uo e>uje'iac\\ {}>ep> >'apeiron\\ sump'iptein,\\ {}>ef> <`a m'erh e>is`in\\ aorj~wn >el'assonec. } { \. Iki do\u gruyu kesen bir do\u grunun ayn\i \ tarafta olu\c sturdu\u gu i\c c a\c c\i lar iki dik a\c c\i dan k\" u\c c\" ukse, bu iki do\u grunun, s\i n\i rs\i zca uzat\i ld\i klar\i nda a\c c\i lar\i n iki dik a\c c\i dan k\" u\c c\" uk oldu\u gu tarafta kesi\c sece\u gi. } \end{textpart} \newpage \section*{Common Notions} \begin{textpart} \parsen{ Common notions } { Koina`i >'ennoiai } {Genel Kavramlar } \parsen{ Equals to the same\\ also to one another are equal. } { T`a t~w| a>ut~w| >'isa\\ ka`i >all'hloic >est`in >'isa. } {Ayn\i \ \c seye e\c sitler\\ birbirlerine de e\c sittir. } \parsen{ Also, if to equals\\ equals be added,\\ the wholes are equal. } { Ka`i >e`an >'isoic\\ {}>'isa prostej~h|,\\ t`a <'ola >est`in >'isa. } {E\u ger e\c sitlere\\ e\c sitler eklenirse,\\ elde edilenler de e\c sittir. } \parsen{ Also, if from equals\\ equals be taken away,\\ the remainders are equal. } { a`i >e`an >ap`o >'iswn\\ {}>'isa >afairej~h|,\\ t`a kataleip'omen'a >estin >'isa. } {E\u ger e\c sitlerden\\ e\c sitler \c c\i kart\i l\i rsa,\\ kalanlar e\c sittir. } \parsen{ Also things applying to one another\\ are equal to one another. } { Ka`i t`a >efarm'ozonta >ep> >all'hla\\ {}>'isa >all'hloic >est'in. } {Birbiriyle \c cak\i \c san \c seyler\\ birbirine e\c sittir. } \parsen{ Also, the whole\\ than the part is greater. } { Ka`i t`o <'olon\\ to~u m'erouc me~iz'on [>estin]. } {B\" ut\" un,\\ par\c cadan b\" uy\" ukt\" ur. } \end{textpart} \newpage \begin{proposition}%Proposition I.1 \parsen{ On\\ the\footnotemark\ given bounded \strgt\\ {}for\footnotemark\ an equilateral triangle\\ to be constructed. } { {}>Ep`i\\ t~hc doje'ishc e>uje'iac peperasm'enhc\\ tr'igwnon >is'opleuron\\ sust'hsasjai. } { Verilmiş sınırlanmış doğruya\\ eşkenar üçgen\\ inşa edilmesi. } \myfntext{\label{note:the}Heath's translation has the indefinite article `a' here, in accordance with modern mathematical practice. However, Euclid does use the Greek \emph{definite} article here, just as in the \emph{exposition} (see \S\ref{sect:analysis}). In particular, he uses the definite article as a \emph{generic} article, which `makes a single object the representative of the entire class' \cite[\P1123, p.~288]{Smyth}. English too has a generic use of the definite article, `to indicate the class or kind of objects, as in the well-known aphorism: \emph{\textbf{The} child is the father of the man}' \cite[p.~76]{Harman}. (However, the enormous \emph{Cambridge Grammar} does not discuss the generic article in the obvious place \cite[5.6.1, pp.~568--71]{CGEL}. By the way, the `well-known aphorism' is by Wordsworth; see \url{http://en.wikisource.org/wiki/Ode:_Intimations_of_Immortality_from_Recollections_of_Early_Childhood} [accessed July 27, 2011].) See note \ref{note:gen} to Proposition 9 below.} \myfntext{The Greek form of the enunciation here is an infinitive clause, and the subject of such a clause is generally in the accusative case \cite[\P1972, p.~438]{Smyth}. In English, an infinitive clause with expressed subject (as here) is always preceded by `for' \cite[14.1.3, p.~1178]{CGEL}. Normally such a clause, in Greek or English, does not stand by itself as a complete sentence; here evidently it is expected to. Note that the Greek infinitive is thought to be originally a noun in the dative case \cite[\P1969, p.~438]{Smyth}; the English infinitive with `to' would seem to be formed similarly.} \parsen{ Let be\footnotemark\\ the given bounded {\strgt}\\ \gr{AB}. } { >'Estw\\ uje~ia peperasm'enh\\ uje~ia gramm`h uje~ia gramm'h}, `the straight line \gr{AB}'. In Proposition XIII.4, Euclid says, \gr{>'Estw e>uje~ia 'Estw e>uje~ia ep`i t~hc AB e>uje'iac\\ tr'igwnon >is'opleuron\\ sust'hsasjai. } { Şimdi gereklidir\\ \gr{AB} doğrusuna\\ eşkenar üçgenin\\ inşa edilmesi. } \myfntext{Slightly less literally, `It is necessary that on the \strgt{} \gr{AB}, an equilateral triangle be constructed.'} \parsen{ To center \gr A\\ at distance \gr{AB}\\ suppose a circle has been drawn,\\ {}[namely] \gr{BGD},\\ and moreover,\\ to center \gr B\\ at distance \gr{BA}\\ suppose a circle has been drawn,\\ {}[namely] \gr{AGE},\\ and from the point \gr G,\\ where the circles cut one another,\\ to the points \gr A and \gr B,\\ suppose there\footnotemark\ have been joined\\ the {\strgt}s \gr{GA} and \gr{GB}. } { K'entrw| m`en t~w| A\\ diast'hmati d`e t~w| AB\\ k'ukloc gegr'afjw\\ ap`o to~u G shme'iou,\\ kaj> <`o t'emnousin >all'hlouc oep'i t`a A, B shme~ia\\ {}>epeze'uqjwsan\\ e>uje~iai aepe`i t`o A shme~ion\\ k'entron >est`i to~u GDB k'uklou,\\ {}>'ish >est`in epe`i t`o B shme~ion\\ k'entron >est`i to~u GAE k'uklou,\\ {}>'ish >est`in ede'iqjh d`e ka`i 'ish;\\ 'ara t~wn GA, GB t~h| AB\\ {}>estin >'ish. \\ t`a d`e t~w| a>ut~w| >'isa\\ ka`i >all'hloic >est`in >'isa;\\ ka`i 'ara t~h| GB >estin >'ish;\\ a'ara a'isai >all'hlaic e>is'in.} } { \gr{A} noktası \gr{GDB} çemberinin merkezi olduğu için, \\ \gr{AG}, \gr{AB} doğrusuna eşittir.\\ Yine\\ \gr{B} noktası \gr{GAE} çemberinin merkezi olduğu için, \\ \gr{BG}, \gr{BA} doğrusuna eşittir.\\ Ve \gr{GA} doğrusunun, \gr{AB} doğrusuna eşit olduğu gösterilmişti.\\ O zaman \gr{GA}, \gr{GB} doğrularının her biri \gr{AB} doğrusuna eşittir.\\ Ama aynı şeye eşit olanlar\\ birbirine eşittir.\\ O zaman \gr{GA}, \gr{GB} doğrusuna eşittir.\\ O zaman o üç doğru, \gr{GA}, \gr{AB}, \gr{BG},\\ birbirine eşittir. } \parsen{ Equilateral therefore\\ is triangle \gr{ABG}.\\ Also, it has been constructed\\ on the given bounded {\strgt}\\ \gr{AB};\\ \myqef } { \gr{>Is'opleuron >'ara\\ {}>est`i t`o ABG tr'igwnon. \\ ka`i sun'estatai\\ {}>ep`i t~hc doje'ishc e>uje'iac peperasm'enhc\\ t~hc AB.\footnotemark \\ <'oper >'edei poi~hsai.} } { Eşkenardır dolayısıyla,\\ \gr{ABG} üçgeni \\ ve inşa edilmiştir\\ verilmiş sınırlanmış,\\ \gr{AB} doğrusuna;\\ \ozqef } \myfntext{Normally Heiberg puts a semicolon at this position. Perhaps he has a period here only because he has bracketed the following words (omitted here): `Therefore, on a given bounded \strgt, an equilateral triangle has been constructed.' According to Heiberg, these words are found, not in the manuscripts of Euclid, but in Proclus's commentary \cite[p.~210]{MR1200456} alone.} \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(3,2) \pscircle(1,1)1 \pscircle(2,1)1 \uput[l](1,1){\gr A} \uput[r](2,1){\gr B} \uput[u](1.5,1.866){\gr G} \uput[l](0,1){\gr D} \uput[r](3,1){\gr E} \pspolygon(1,1)(2,1)(1.5,1.866) \end{pspicture} \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.2 \parsen{ At the given point,\\ equal to the given \strgt,\\ for a \strgt\ to be placed. } { \gr{Pr`oc t~w| doj'enti shme'iw|\\ t~h| doje'ish| e>uje'ia| >'ishn\\ e>uje~ian j'esjai.} } { Verilmiş noktaya\\ verilmiş doğruya eşit olan\\ bir doğrunun konulması. } \parsen{ Let be\\ the given point \gr A, \\ and the given {\strgt}, \gr{BG}. } { >'Estw\\ t`o m`en doj`en shme~ion t`o A, \\ uje~ia uje'ia| t~h| BG >'ishn\\ e>uje~ian j'esjai. } { Gereklidir\\ \gr{A} noktasına,\\ \gr{BG} doğrusuna eşit olan\\ bir doğrunun konulması. } \parsen{ For, suppose there has been joined\\ from the point \gr A to the point \gr B\\ a \strgt, \gr{AB},\\ and there has been constructed on it\\ an equilateral triangle, \gr{DAB},\\ and suppose there have been extended\\ on a \strgt\footnotemark\ with \gr{DA} and \gr{DB}\\ the \strgt s \gr{AE} and \gr{BZ},\\ and to the center \gr B\\ at distance \gr{BG}\\ suppose a circle has been drawn,\\ \gr{GHJ},\\ and again to the center \gr D\\ at distance \gr{DH}\\ suppose a circle has been drawn,\\ \gr{HKL}.\\ } { >Epeze'uqjw g`ar\\ {}>ap`o to~u A shme'iou >ep'i t`o B shme~ion\\ e>uje~ia ep> a>ut~hc\\ tr'igwnon >is'opleuron t`o DAB, \\ ka`i >ekbebl'hsjwsan\\ {}>ep> e>uje'iac ta~ic DA, DB\\ e>uje~iai aep> e>uje'iac} will recur a number of times. The adjective, which is feminine here, appears to be a genitive singular, though it could be accusative plural.} \parsen{ Since then the point \gr B is the center\\ of \gr{GHJ},\\ \gr{BG} is equal to \gr{BH}.\\ Moreover,\\ since the point \gr D is the center\\ of the circle \gr{KHL},\\ equal is \gr{DL} to \gr{DH};\\ of these, the [part] \gr{DA} to \gr{DB}\\ is equal.\\ Therefore the remainder \gr{AL}\\ to the remainder \gr{BH}\\ is equal.\\ But \gr{BG} was shown equal to \gr{BH}.\\ Therefore either of \gr{AL} and \gr{BG} to \gr{BH}\\ is equal.\\ But equals to the same\\ also are equal to one another.\\ And therefore \gr{AL} is equal to \gr{BG}. } { >Epe`i o>~un t`o B shme~ion k'entron >est`i\\ to~u GHJ,\\ {}>'ish >est`in epe`i t`o D shme~ion k'entron >est`i\\ to~u HKL k'uklou,\\ {}>'ish >est`in 'ish >est'in.\\ loip`h >'ara estin >'ish.\\ {}>ede'iqjh d`e ka`i 'ish;\\ 'ara t~wn AL, BG t~h| BH\\ {}>estin >'ish. \\ t`a d`e t~w| a>ut~w| >'isa\\ ka`i >all'hloic >est`in >'isa; \\ ka`i 'ara t~h| BG >estin >'ish. } { \gr{B} noktası \gr{GHJ} çemberinin merkezi olduğu için,\\ \gr{BG}, \gr{BH} doğrusuna eşittir.\\ Yine,\\ \gr{D} noktası \gr{HKL} çemberinin merkezi olduğu için,\\ \gr{DL}, \gr{DH} doğrusuna eşittir,\\ ve (birincinin) \gr{DA} parçası,\\ (ikincinin) \gr{DB} parçasına eşittir.\\ Dolayısıyla \gr{AL} kalanı,\\ \gr{BH} kalanına\\ eşittir.\\ Ve \gr{BG} doğrusunun, \gr{BH} doğrusuna eşit olduğu gösterilmişti.\\ Dolayısıyla \gr{AL}, \gr{BG} doğrularının her biri \gr{BH} doğrusuna eşittir.\\ Ama aynı şeye eşit olanlar birbirine eşittir.\\ Ve dolayısıyla \gr{AL} da, \gr{BG} doğrusuna eşittir. } \parsen{ Therefore at the given point \gr A\\ equal to the given {\strgt} \gr{BG}\\ the {\strgt} \gr{AL} is laid down;\\ \myqef } { Pr`oc >'ara t~w| doj'enti shme'iw|\\ t~w| A t~h| doje'ish| e>uje'ia| t~h| BG >'ish\\ e>uje~ia ke~itai 'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla verilmiş \gr{A} noktasına\\ verilmiş \gr{BG} doğrusuna eşit olan\\ \gr{AL} doğrusu konulmuştur;\\ \ozqef } \begin{center} \begin{pspicture}(-3,-3.5)(3,3) \pscircle(0,0)3 \psline(-0.5,-0.866)(0.5,-0.866) \pscircle(0.5,-0.866)2 \psline(0.5,-0.866)(1.914,0.548) \psline(0,0)(2,-3.464) \psline(0,0)(-2,-3.464) \uput[l](-0.5,-0.866){\gr A} \uput[-5](0.5,-0.866){\gr B} \uput[ur](1.914,0.548){\gr G} \uput[u](0,0){\gr D} \uput[d](-2,-3.464){\gr E} \uput[d](2,-3.464){\gr Z} \uput[-15](1.5,-2.598){\gr H} \uput[u](-0.5,0.866){\gr J} \uput[u](-1.5,2.598){\gr K} \uput[195](-1.5,-2.598){\gr L} \end{pspicture} \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.3 \parsen{ Two unequal {\strgt}s being given,\\ from the greater,\\ equal to the less,\\ a \strgt\ to take away. } { D'uo dojeis~wn e>ujei~wn >an'iswn\\ {}>ap`o t~hc me'izonoc\\ t~h| >el'assoni >'ishn\\ e>uje~ian >afele~in. } { İki eşit olmayan doğru verilmiş ise, \\ daha büyükten\\ daha küçüğe eşit olan\\ bir doğru kesmek. } \parsen{ Let be\\ the two given unequal {\strgt}s\\ \gr{AB} and \gr G,\footnotemark\\ of which let the greater be \gr{AB}. } { >'Estwsan\\ auje~iai >'anisoi\\ a'estw ap`o t~hc me'izonoc t~hc AB\\ t~h| >el'assoni t~h| G >'ishn\\ e>uje~ian >afele~in. } { Gereklidir\\ daha büyük olan \gr{AB} doğrusundan\\ daha küçük olan \gr G doğrusuna eşit olan\\ bir doğru kesmek. } \parsen{ Let there be laid down\\ at the point \gr A,\\ equal to the line \gr G,\\ \gr{AD};\\ and to center \gr A\\ at distance \gr{AD}\\ suppose circle \gr{DEZ} has been drawn. } { Ke'isjw\\ pr`oc t~w| A shme'iw|\\ t~h| G e>uje'ia| >'ish\\ epe`i t`o A shme~ion\\ k'entron >est`i to~u DEZ k'uklou,\\ {}>'ish >est`in all`a ka`i estin >'ish.\\ 'ara t~wn AE, G\\ t~h| AD >estin >'ish;\\ <'wste ka`i estin >'ish. } { Ve \gr A noktası\\ \gr{DEZ} çemberinin merkezi olduğu için,\\ \gr{AE}, \gr{AD} doğrusuna eşittir. \\ Ama \gr G, \gr{AD} doğrusuna eşittir.\\ Dolayısıyla \gr{AE}, \gr G doğrularının her biri\\ \gr{AD} doğrusuna eşittir.\\ Sonuç olarak,\\ \gr{AE}, \gr G doğrusuna eşittir. } \parsen{ Therefore, two unequal \strgt s being given, \gr{AB} and \gr G,\\ from the greater, \gr{AB},\\ an equal to the less, \gr G,\\ has been taken away, [namely] \gr{AE};\\ \myqef } { D'uo >'ara dojeis~wn e>ujei~wn >an'iswn t~wn AB, G\\ {}>ap`o t~hc me'izonoc t~hc AB\\ t~h| >el'assoni t~h| G >'ish\\ {}>af'h|rhtai 'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla iki eşit olmayan \gr{AB}, \gr G doğrusu verilmiş ise,\\ daha büyük olan \gr{AB} doğrusundan\\ daha küçük olan \gr G doğrusuna eşit olan\\ \gr{AE} doğrusu kesilmişti;\\ \myqef } \begin{center} \begin{pspicture}(-2,-2)(5.5,2) \psline(-1.414,1.414)(0,0)(3,0) \psline(3.5,1)(5.5,1) \pscircle(0,0)2 \uput[d](0,0){\gr A} \uput[d](3,0){\gr B} \uput[u](4.5,1){\gr G} \uput[ul](-1.414,1.414){\gr D} \uput[ur](2,0){\gr E} \end{pspicture} \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.4 \parsen{ If two triangles\\ two sides\\ to two sides\\ have equal,\footnotemark\\ either [side] to either,% \footnotemark\\ and angle to angle have equal,\\ ---that which is by the equal {\strgt}s% \footnotemark\\ contained,\\ also% \footnotemark\ base to base\\ they will have equal,\\ and the triangle to the triangle\\ will be equal,\\ and the remaining angles\\ to the remaining angles\\ will be equal,\\ either to either,\\ ---those that the equal sides subtend. } { >E`an d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ {}[ta~ic] dus`i pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'ishn >'eqh| \\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn, \\ ka`i t`hn b'asin t`h| b'asei\\ {}>'ishn <'exei,\\ ka`i t`o tr'igwnon t~w| trig'wnw|\\ {}>'ison >'estai, \\ ka`i a'isai >'esontai\\ <`ac a'isai pleura`i 'Estw\\ d'uo tr'igwna t`a ABG, DEZ\\ t`ac d'uo pleur`ac t`ac AB, AG\\ ta~ic dus`i pleura~ic ta~ic DE, DZ\\ {}>'isac >'eqonta\\ 'ishn. } { Verilmiş olsun,\\ \gr{ABG} ve \gr{DEZ} (adlarında) iki üçgen,\\ iki kenarı \gr{AB}, \gr{AG}\\ \gr{DE}, \gr{DZ} iki kenarına\\ eşit olan\\ her biri birine,\\ (şöyle ki) \gr{AB}, \gr{DE} kenarına ve \gr{AG}, \gr{DZ} kenarına,\\ ve \gr{BAG} (tarafından içerilen) açısı\\ \gr{EDZ} açısına\\ eşit olan. } \parsen{ I say that\\ the base \gr{BG} is equal to the base \gr{EZ}, \\ and triangle \gr{ABG}\\ will be equal to triangle \gr{DEZ},\\ and the remaining angles\\ to the remaining angles\\ will be equal,\\ either to either,\\ those that equal sides subtend, \\ {}[namely] \gr{ABG} to \gr{DEZ},\\ and \gr{AGB} to \gr{DZE}. } {l'egw, <'oti\\ ka`i b'asic 'ish >est'in, \\ ka`i t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| DEZ trig'wnw| >'ison >'estai, \\ ka`i a'isai >'esontai\\ <`ac a'isai pleura`i Efarmozom'enou g`ar\\ to~u ABG trig'wnou\\ {}>ep`i t`o DEZ tr'igwnon \\ ka`i tijem'enou\\ to~u m`en A shme'iou >ep`i t`o D shme~ion\\ t~hc d`e AB e>uje'iac >ep`i t`hn DE,\\ {}>efarm'osei ka`i t`o B shme~ion >ep`i t`o E\\ di`a t`o >'ishn e>~inai t`hn AB t~h| DE;\\ {}>efarmos'ashc d`h t~hc AB >ep`i t`hn DE\\ {}>efarm'osei ka`i uje~ia >ep`i t`hn DZ \\ di`a t`o >'ishn e>~inai\\ t`hn ep`i t`o Z shme~ion\\ {}>efarm'osei\\ di`a t`o >'ishn p'alin e>~inai t`hn AG t~h| DZ.\\ {}>all`a m`hn ka`i t`o B >ep`i t`o E >efhrm'okei; \\ <'wste b'asic ep`i b'asin t`hn EZ\\ {}>efarm'osei. \\ e>i g`ar\\ to~u m`en B >ep`i t`o E >efarm'osantoc \\ to~u d`e G >ep`i t`o Z \\ ep`i t`hn EZ o>uk >efarm'osei, \\ d'uo e>uje~iai qwr'ion peri'exousin;\\ <'oper >est`in >ad'unaton.\\ {}>efarm'osei >'ara\\ ep`i t`hn EZ\\ ka`i >'ish a>ut~h| >'estai;\\ <'wste ka`i <'olon t`o ABG tr'igwnon\\ {}>ep`i <'olon t`o DEZ tr'igwnon\\ {}>efarm'osei\\ ka`i >'ison a>ut~w| >'estai,\\ ka`i aep`i t`ac loip`ac gwn'iac\\ {}>efarm'osousi\\ ka`i >'isai a>uta~ic >'esontai,\\ E`an >'ara d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ {}[ta~ic] d'uo pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'ishn >'eqh|\\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn,\\ ka`i t`hn b'asin t`h| b'asei\\ {}>'ishn <'exei,\\ ka`i t`o tr'igwnon t~w| trig'wnw|\\ {}>'ison >'estai,\\ ka`i a'isai >'esontai\\ <`ac a'isai pleura`i 'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, eğer,\\ iki üçgenin, varsa iki kenarı eşit olan iki kenara, \\ her bir (kenar) birine,\\ ve varsa açıya eşit açısı,\\% (yani) eşit doğrularca içerilen,\\ hem tabana eşit tabanları olacak,\\ hem üçgen eşit olacak üçgene,\\ hem de geriye kalan açılar eşit olacak geriye kalan açıların,\\ her biri birine,\\% (yani) eşit kenarları görenler;\\ \ozqed } \begin{center} \begin{pspicture}(0,-0.5)(7,2.5) \pspolygon(0,0)(3,0)(2.5,2.5) \pspolygon(4,0)(7,0)(6.5,2.5) \uput[u](2.5,2.5){\gr A} \uput[d](0,0){\gr B} \uput[d](3,0){\gr G} \uput[u](6.5,2.5){\gr D} \uput[d](4,0){\gr E} \uput[d](7,0){\gr Z} \pscurve(4,0)(5.5,-0.15)(7,0) \end{pspicture} \end{center} %\epsfysize=1.35in %\centerline{\epsffile{Book01/fig04g.eps}} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.5 \parsen{ In\footnotemark\ isosceles triangles,\\ the angles at the base\\ are equal to one another,\\ and,\\ the equal \strgt s being extended,\\ the angles under the base\\ will be equal to one another. } {T~wn >isoskel~wn trig'wnwn\\ a'isai >all'hlaic e>is'in,\\ ka`i\\ prosekblhjeis~wn t~wn >'iswn e>ujei~wn\\ a'isai >all'hlaic >'esontai. } { İkizkenar üçgenlerde,\\ tabandaki açılar,\\ birbirine eşittir,\\ ve,\\ eşit doğrular uzatıldığında,\\ tabanın altında kalan açılar,\\ birbirine eşit olacaklar.\\ } \myfntext{More literally, `of'.} \parsen{ Let there be\\ an isosceles triangle, \gr{ABG}\\ having equal\\ side \gr{AB} to side \gr{AG},\\ and suppose have been extended\\ on a \strgt\ with \gr{AB} and \gr{AG}\\ the {\strgt}s \gr{BD} and \gr{GE}. } { >'Estw\\ tr'igwnon >isoskel`ec t`o ABG\\ {}>'ishn >'eqon\\ t`hn AB pleur`an t~h| AG pleur~a|,\\ ka`i prosekbebl'hsjwsan\\ {}>ep> e>uje'iac ta~ic AB, AG\\ e>uje~iai a'ish >est'in,\\ il'hfjw g`ar\\ {}>ep`i t~hc BD tuq`on shme~ion t`o Z,\\ ka`i >afh|r'hsjw\\ {}>ap`o t~hc me'izonoc t~hc AE\\ t~h| >el'assoni t~h| AZ\\ {}>'ish epeze'uqjwsan\\ auje~iai. } { Çünkü, kabul edelim ki, seçilmiş olsun,\\ rastgele bir \gr Z noktası \gr{BD} üzerinnde,\\ ve \gr{AH}, büyük olan \gr{AE} doğrusundan küçük olan \gr{AZ} doğrusunun kesilmişi olsun,\\ ve \gr{ZG} ile \gr{HB} birleştirilmiş olsun. } \parsen{ Since then \gr{AZ} is equal to \gr{AH},\\ and \gr{AB} to \gr{AG},\\ so the two \gr{AZ} and \gr{AG}\\ to the two \gr{HA}, \gr{AB},\\ will be equal,\\ either to either;\\ and they bound a common angle,\\ {}[namely] \gr{ZAH};\\ therefore the base \gr{ZG} to the base \gr{HB}\\ is equal,\\ and triangle \gr{AZG} to triangle \gr{AHB}\\ will be equal,\\ and the remaining angles\\ to the remaining angles\\ will be equal,\\ either to either,\\ those that the equal sides subtend,\\ \gr{AGZ} to \gr{ABH},\\ and \gr{AZG} to \gr{AHB}.\\ And since \gr{AZ} as a whole\\ to \gr{AH} as a whole\\ is equal,\\ of which the [part] \gr{AB} to \gr{AG} is equal,\\ therefore the remainder \gr{BZ}\\ to the remainder \gr{GH}\\ is equal.\\ And \gr{ZG} was shown equal to \gr{HB}.\\ Then the two \gr{BZ} and \gr{ZG}\\ to the two \gr{GH} and \gr{HB}\\ are equal,\\ either to either,\\ and angle \gr{BZG}\\ to angle \gr{GHB}\\ {}[is] equal,\\ and the common base of them is \gr{BG};\\ and therefore triangle \gr{BZG}\\ to triangle \gr{GHB}\\ will be equal,\\ and the remaining angles\\ to the remaining angles\\ will be equal,\\ either to either,\\ which the equal sides subtend.\\ Equal therefore is\\ \gr{ZBG} to \gr{HGB},\\ and \gr{BGZ} to \gr{GBH}.\\ Since then angle \gr{ABH} as a whole\\ to angle \gr{AGZ} as a whole\\ was shown equal,\\ of which the [part] \gr{GBH} to \gr{BGZ}\\ is equal,\\ therefore the remainder \gr{ABG}\\ to the remainder \gr{AGB}\\ is equal;\\ and they are at the base\\ of the triangle \gr{ABG}.\\ And was shown also\\ \gr{ZBG} equal to \gr{HGB};\\ and they are under the base. } { >Epe`i o>~un >'ish >est`in 'isai e>is`in\\ 'ara 'ish >est'in,\\ ka`i t`o AZG tr'igwnon t~w| AHB trig'wnw|\\ {}>'ison >'estai,\\ ka`i a'isai >'esontai\\ <`ac a'isai pleura`i epe`i <'olh estin >'ish,\\ <~wn estin >'ish,\\ loip`h >'ara estin >'ish.\\ {}>ede'iqjh d`e ka`i 'ish;\\ d'uo d`h a'isai e>is`in\\ 'ish,\\ ka`i b'asic a>ut~wn koin`h 'ara tr'igwnon\\ t~w| GHB trig'wnw|\\ {}>'ison >'estai,\\ ka`i a'isai >'esontai\\ <`ac a'isai pleura`i 'ish >'ara >est`in\\ epe`i o>~un <'olh ede'iqjh >'ish,\\ <~wn 'ish,\\ loip`h >'ara estin >'ish;\\ ka'i e>isi pr`oc t~h| b'asei\\ to~u ABG trig'wnou.\\ {}>ede'iqjh d`e ka`i\\ 'ish;\\ ka'i e>isin isoskel~wn trig'wnwn\\ a'isai >all'hlaic e>is'in,\\ ka`i\\ prosekblhjeis~wn t~wn >'iswn e>ujei~wn\\ a'isai >all'hlaic >'esontai;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar birbirine eşittir,\\ ve, eşit doğrular uzatıldığında,\\ tabanın altında kalan açılar birbirine eşit olacaklar.\\ \ozqed } \begin{figure}[h] \centering \begin{pspicture}(0,-3)(8,3.5) \pspolygon(0,0)(2,0)(1,3) \uput[u](1,3){\gr A} \uput[l](0,0){\gr B} \uput[r](2,0){\gr G} \psline(0,0)(-1,-3) \uput[l](-1,-3){\gr D} \psline(0,0)(2.5,-1.5) \uput[r](2.5,-1.5){\gr H} \psline(2,0)(3,-3) \uput[r](3,-3){\gr E} \psline(2,0)(-0.5,-1.5) \uput[l](-0.5,-1.5){\gr Z} \end{pspicture} \end{figure} %\epsfysize=1.35in %\centerline{\epsffile{Book01/fig04g.eps}} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.6 \parsen{ If in a triangle\\ two angles be equal to one another,\\ also the sides that subtend the equal angles\\ will be equal to one another. } {>E`an trig'wnou\\ a'isai >all'hlaic >~wsin,\\ ka`i a'isac gwn'iac 'isai >all'hlaic >'esontai.} { Eğer bir üçgende\\ birbirine eşit iki açısı varsa,\\ eşit açıların gördüğü kenarlar da\\ birbirine eşit olacaklar.} \parsen{ Let there be\\ a triangle, \gr{ABG},\\ having equal\\ angle \gr{ABG}\\ to angle \gr{AGB}.\\ } { >'Estw\\ tr'igwnon t`o ABG\\ {}>'ishn >'eqon\\ t`hn estin >'ish. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{AB} kenarı da \gr{AG} kenarına \\ eşittir. } \parsen{ For if unequal is \gr{AB} to \gr{AG},\\ one of them is greater.\\ Suppose \gr{AB} be greater,\\ and there has been taken away\\ from the greater, \gr{AB},\\ to the less, \gr{AG},\\ an equal, \gr{DB},\\ and there has been joined \gr{DG}. } { E>i g`ar >'anis'oc >estin ut~wn me'izwn >est'in.\\ {}>'estw me'izwn afh|r'hsjw\\ {}>ap`o t~hc me'izonoc t~hc AB\\ t~h| >el'attoni t~h| AG\\ {}>'ish epeze'uqjw Epe`i o>~un >'ish >est`in 'isai e>is`in\\ estin >'ish;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in,\\ ka`i t`o DBG tr'igwnon t~w| AGB trig'wnw|\\ {}>'ison >'estai,\\ t`o >'elasson t~w| me'izoni;\\ <'oper >'atopon;\\ o>uk >'ara >'anis'oc >estin 'ish >'ara. } { O zaman \gr{DB} eşittir \gr{AG} kenarına,\\ ve \gr{BG} ortaktır,\\ böylece \gr{DB}, \gr{BG} ikilisi eşittirler \gr{AG}, \gr{BG} ikilisinin,\\ her biri birine,\\ ve \gr{DBG} açısı eşittir \gr{AGB} açısına;\\ dolayısıyla \gr{DG} tabanı eşittir \gr{AB} tabanına,\\ ve \gr{DBG} üçgeni eşit olacak \gr{AGB} üçgenine,\\ daha küçük daha büyüğe;\\ ki bu saçmadır.\\ dolayısıyla \gr{AB} değildir eşit değil \gr{AG} kenarına;\\ dolayısıyla eşittir. } \parsen{ If therefore in a triangle\\ two angles be equal to one another,\\ also the sides that subtend the equal angles\\ will be equal to one another;\\ \myqed } {>E`an trig'wnou\\ a'isai >all'hlaic >~wsin,\\ ka`i a'isac gwn'iac 'isai >all'hlaic >'esontai;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla eğer bir üçgenin birbirine eşit iki açısı varsa,\\ eşit açıların gördüğü kenarlar eşittir;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-2.031875)(4.3690624,2.031875) \psline[linewidth=0.05cm](0.2940625,-1.811875)(3.8940625,-1.811875) \psline[linewidth=0.05cm](2.2740624,1.608125)(0.3140625,-1.811875) \psline[linewidth=0.05cm](3.8740625,-1.791875)(2.2540624,1.608125) \psline[linewidth=0.05cm](3.8940625,-1.811875)(1.5940624,0.388125) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.440625,1.853125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.886875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.195156,-1.846875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.4340625,0.533125){\gr D} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.7 \parsen{ On the same \strgt,\\ to the same two \strgt s,\\ two other \strgt s,\\ {}[which are] equal,\\ either to either,\\ will not be constructed\\ to one and another point,\footnotemark\\ to the same parts,\footnotemark\\ having the same extremities\\ as\footnotemark\ the original lines.} { >Ep`i t~hc a>ut~hc e>uje'iac\\ d'uo ta~ic a>uta~ic e>uje'iaic\\ {}>'allai d'uo e>uje~iai\\ {}>'isai\\ u sustaj'hsontai\\ pr`oc >'allw| ka`i >'allw| shme'iw|\\ {}>ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ t`a a>ut`a p'erata >'eqousai\\ ta~ic >ex >arq~hc e>uje'iaic. } { Aynı doğru üzerinde,\\ verilmiş iki doğruya,\\ iki başka doğru,\\ her biri birine,\\ inşa edilmeyecek\\ bir ve başka bir noktaya\\ aynı tarafta \\ aynı uçları olan\\ başlangıçtaki doğrularla.} \myfntext{Literally `another and another point'; more clearly in English, `to different points'.} \myfntext{In English as apparently in Greek, \emph{parts} can mean `region'---in this case, more precisely, `side'.} \myfntext{\label{note:F}According to Fowler (\cite[\textbf{as 8,} p.~34]{MEU} and \cite[\textbf{as 9,} p.~38]{MEU2}), `\emph{As} is never to be regarded as a preposition'. This is unfortunate, since it means that the two constructions `Equal to \emph X' and `Same as \emph X' are not grammatically parallel. (We have `equal to him', but `same as he'.) The constructions are parallel in Greek: \gr{>'isoc} + \textsc{dative} and \gr{a>ut'oc} + \textsc{dative}.} \parsen{ For if possible,\\ on the same {\strgt} \gr{AB}\\ to two given {\strgt}s \gr{AG}, \gr{GB},\\ two other {\strgt}s \gr{AD}, \gr{DB},\\ equal\\ either to either\\ suppose have been constructed\footnotemark\\ to one and another point\\ \gr G and \gr D,\\ to the same parts,\\ having the same extremities,\\ so that \gr{GA} is\footnotemark\ equal to \gr{DA},\\ having the same extremity as it, \gr A,\\ and \gr{GB} to \gr{DB},\\ having the same extremity as it, \gr B,\\ and suppose there has been joined\\ \gr{GD}. } { E>i g`ar dunat'on,\\ {}>ep`i t~hc a>ut~hc e>uje'iac t~hc AB\\ d'uo ta~ic a>uta~ic e>uje'iaic ta~ic AG, GB\\ {}>'allai d'uo e>uje~iai a'isai\\ 'allw| ka`i >'allw| shme'iw|\\ t~w| te G ka`i D\\ {}>ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ t`a a>ut`a p'erata >'eqousai,\\ <'wste >'ishn e>~inai t`hn m`en GA t~h| DA\\ t`o a>ut`o p'erac >'eqousan a>ut~h| t`o A,\\ t`hn d`e GB t~h| DB\\ t`o a>ut`o p'erac >'eqousan a>ut~h| t`o B,\\ ka`i >epeze'uqjw\\ Epe`i o>~un >'ish >est`in 'ish >est`i\\ ka`i gwn'ia 'ara\\ 'ara\\ est'i t~hc epe`i >'ish >est`in 'ish >est`i ka`i\\ gwn'ia ede'iqjh d`e a>ut~hc ka`i\\ poll~w| me'izwn;\\ <'oper >est`in >ad'unaton. } { Çünkü \gr{AG} eşittir \gr{AD} doğrusuna,\\ böylece \gr{AGD} eşittir \gr{ADG} açısına ;\\ dolayısıyla \gr{ADG} büyüktür \gr{DGB} açısından;\\ dolayısıyla \gr{GDB} çok daha büyüktür \gr{DGB} açısından.\\ Üstelik \gr{GB} eşit olduğu için \gr{DB} doğrusuna,\\ \gr{GDB} açısı eşittir \gr{DGB} açısına.\\ Ama ondan çok daha büyük olduğu gösterilmişti;\\ ki bu saçmadır. } \myfntext{Fowler (\cite[\textbf{than 6,} p.~629]{MEU} and \cite[textbf{than 6,} p.~619]{MEU2}) does grant the possibility of construing `than' as a preposition, though he disapproves. Then English cannot exactly mirror the Greek \gr{me'izwn} + \textsc{genitive.} Turkish does mirror it with \emph{-den b\"uy\"uk}. See note~\ref{note:F} above.} \myfntext{Here one must refer to the diagram.} \parsen{ Not, therefore,\\ on the same {\strgt},\\ to the same two {\strgt}s,\\ two other {\strgt}s\\ {}[which are] equal,\\ either to either,\\ will be constructed\\ to one and another point\\ to the same parts\\ having the same extremities\\ as the original lines;\\ \myqed } { O>uk >'ara\\ {}>ep`i t~hc a>ut~hc e>uje'iac\\ d'uo ta~ic a>uta~ic e>uje'iaic\\ {}>'allai d'uo e>uje~iai\\ {}>'isai\\ 'allw| ka`i >'allw| shme'iw|\\ {}>ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ t`a a>ut`a p'erata >'eqousai\\ ta~ic >ex >arq~hc e>uje'iaic;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Şöyle olmaz, dolayısıyla; aynı doğru üzerinde,\\ verilmiş iki doğruya,\\ iki başka doğru, eşit,\\ her biri birine,\\ inşa edilecek\\ başka bir noktaya\\ aynı tarafta \\ aynı uçları olan\\ başlangıçtaki doğrularla.\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.311875)(3.9775,1.311875) \psline[linewidth=0.05cm](0.2771875,-1.051875)(3.6771874,-1.051875) \psline[linewidth=0.05cm](0.2971875,-1.051875)(2.0771875,0.948125) \psline[linewidth=0.05cm](3.6371875,-1.051875)(3.6571875,-1.031875) \psline[linewidth=0.05cm](3.6571875,-1.031875)(3.0571876,0.788125) \psline[linewidth=0.05cm](3.0571876,0.768125)(2.0571876,0.948125) \psline[linewidth=0.05cm](0.3171875,-1.031875)(3.0771875,0.748125) \psline[linewidth=0.05cm](3.6571875,-1.031875)(2.0571876,0.948125) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,-1.086875){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.824375,-1.166875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.2371874,0.933125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.8582813,1.133125){\gr G} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \newpage \begin{proposition}%Proposition I.8 \parsen{ If two triangles\\ two sides\\ to two sides\\ have equal,\\ either to either,\\ and have also base equal to base,\\ also angle to angle\\ they will have equal,\\ {}[namely] that by the equal \strgt s\\ subtended. } { >E`an d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ {}[ta~ic] d'uo pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'eqh| d`e ka`i t`hn b'asin t~h| b'asei >'ishn,\\ ka`i t`hn gwn'ian t~h| gwn'ia|\\ {}>'ishn <'exei\\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn. } { Eğer iki üçgenin, varsa iki kenarı eşit olan iki kenara, \\ her bir (kenar) birine,\\ ve varsa tabana eşit tabanı,\\% ayrıca olacak açıya eşit açıları,\\ (yani) eşit kenarları görenler. } \parsen{ Let there be\\ two triangles, \gr{ABG} and \gr{DEZ},\\ the two sides \gr{AB} and \gr{AG}\\ to the two sides \gr{DE} and \gr{DZ}\\ having equal,\\ either to either,\\ \gr{AB} to \gr{DE},\\ and \gr{AG} to \gr{DZ};\\ and let them have\\ base \gr{BG} equal to base \gr{EZ}. } { >'Estw\\ d'uo tr'igwna t`a ABG, DEZ\\ t`ac d'uo pleur`ac t`ac AB, AG\\ ta~ic d'uo pleura~ic ta~ic DE, DZ\\ {}>'isac >'eqonta\\ eq'etw d`e\\ ka`i b'asin t`hn BG b'asei t~h| EZ >'ishn; } { Verilmiş olsun\\ iki üçgen, \gr{ABG} ve \gr{DEZ},\\ iki kenarı \gr{AB}, \gr{AG} eşit olan \gr{DE}, \gr{DZ} iki kenarının\\ her biri birine,\\ \gr{AB}, \gr{DE} kenarına,\\ ve \gr{AG}, \gr{DZ} kenarına;\\ ve onların\\ \gr{BG} tabanı eşit olsun \gr{EZ} tabanına. } \parsen{ I say that\\ also angle \gr{BAG}\\ to angle \gr{EDZ}\\ is equal. } { l'egw, <'oti\\ ka`i gwn'ia estin >'ish. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{BAG} açısı da\\ eşittir \gr{EDZ} açısına. } \parsen{ For, there being applied\\ triangle \gr{ABG}\\ to triangle \gr{DEZ},\\ and there being placed\\ the point \gr B on the point \gr E,\\ and the \strgt{} \gr{BG} on \gr{EZ},\\ also the point \gr G will apply to \gr Z,\\ by the equality of \gr{BG} to \gr{EZ}.\\ Then, \gr{BG} applying to \gr{EZ},\\ also will apply\\ \gr{BA} and \gr{GA} to \gr{ED} and \gr{DZ}.\\ For if base \gr{BG} to the base \gr{EZ}\\ apply,\\ and sides \gr{BA}, \gr{AG} to \gr{ED}, \gr{DZ}\\ do not apply,\\ but deviate,\\ as \gr{EH}, \gr{HZ},\\ there will be constructed\\ on the same \strgt,\\ to two given \strgt s,\\ two other \strgt s equal,\\ either to either,\\ to one and another point\\ to the same parts\\ having the same extremities.\\ But they are not constructed;\\ therefore it is not [the case] that,\\ there being applied\\ the base \gr{BG} to the base \gr{EZ},\\ there do not apply\\ sides \gr{BA}, \gr{AG} to \gr{ED}, \gr{DZ}.\\ Therefore they apply.\\ So angle \gr{BAG}\\ to angle \gr{EDZ}\\ will apply\\ and will be equal to it. } { >Efarmozom'enou g`ar\\ to~u ABG trig'wnou\\ {}>ep`i t`o DEZ tr'igwnon\\ ka`i tijem'enou\\ to~u m`en B shme'iou >ep`i t`o E shme~ion\\ t~hc d`e BG e>uje'iac >ep`i t`hn EZ\\ {}>efarm'osei ka`i t`o G shme~ion >ep`i t`o Z\\ di`a t`o >'ishn e>~inai t`hn BG t~h| EZ;\\ {}>efarmos'ashc d`h t~hc BG >ep`i t`hn EZ\\ {}>efarm'osousi ka`i\\ aep`i t`ac ED, DZ.\\ e>i g`ar b'asic m`en ep`i b'asin t`hn EZ\\ {}>efarm'osei,\\ aep`i t`ac ED, DZ\\ o>uk >efarm'osousin\\ {}>all`a parall'axousin\\ ep`i t~hc a>ut~hc e>uje'iac\\ d'uo ta~ic a>uta~ic e>uje'iaic\\ {}>'allai d'uo e>uje~iai >'isai\\ 'allw| ka`i >'allw| shme'iw|\\ {}>ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ t`a a>ut`a p'erata >'eqousai.\\ o>u sun'istantai d'e;\\ o>uk >'ara\\ {}>efarmozom'enhc\\ t~hc BG b'asewc >ep`i t`hn EZ b'asin\\ o>uk >efarm'osousi\\ ka`i aep`i t`ac ED, DZ.\\ {}>efarm'osousin >'ara;\\ <'wste ka`i gwn'ia ep`i gwn'ian t`hn efarm'osei\\ ka`i >'ish a>ut~h| >'estai. } { Çünkü, üstüne koyulursa\\ \gr{ABG} üçgeni \gr{DEZ} üçgeninin,\\ ve yerleştirilirse\\ \gr B noktası \gr E noktasına,\\ ve \gr{BG} on \gr{EZ} doğrusuna,\\ \gr G noktası da yerleşecek \gr Z noktasına,\\ sayesinde eşitliğinin \gr{BG} doğrusunun \gr{EZ} doğrusuna.\\ O zaman, \gr{BG} yerleştirilince \gr{EZ} doğrusuna,\\ \gr{BA} ve \gr{GA} doğruları da yerleşecekler \gr{ED} ve \gr{DZ} doğrularına.\\ Çünkü eğer \gr{BG} yerleşirse \gr{EZ} tabanına,\\ ve \gr{BA}, \gr{AG} kenarları yerleşmezse \gr{ED}, \gr{DZ} kenarlarına,\\ ama kayarsa,\\ \gr{EH} ve\gr{HZ} olarak \\ inşa edilmiş olacak\\ aynı doğru üzerinde,\\ verilmiş iki doğruya,\\ iki başka doğru eşit,\\ her biri birine,\\ başka bir noktaya\\ aynı tarafta \\ aynı uçları olan.\\ Ama inşa edilmediler;\\ dolayısıyla (durum) şöyle değil;,\\ \gr{BG} tabanı yerleştirilince \gr{EZ} tabanına,\\ \gr{BA}, \gr{AG} kenarları yerleşmez \gr{ED}, \gr{DZ} kenarlarına.\\ Dolayısıyla yerleşirler.\\ Böylece \gr{BAG} açısı yerleşecek \gr{EDZ} açısına\\ ve ona eşit olacak. } \parsen{ If, therefore, two triangles\\ two sides\\ to two sides\\ have equal,\\ either to either,\\ and have also base equal to base,\\ also angle to angle\\ they will have equal,\\ {}[namely] that by the equal \strgt s\\ subtended;\\ \myqed } { >E`an d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ {}[ta~ic] d'uo pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'eqh| d`e ka`i t`hn b'asin t~h| b'asei >'ishn,\\ ka`i t`hn gwn'ian t~h| gwn'ia|\\ {}>'ishn <'exei\\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, iki üçgenin, \\ varsa iki kenarı\\ eşit olan\\ iki kenara,\\ her bir (kenar) birine,\\ ve varsa tabana eşit tabanı,\\ ayrıca olacak açıya eşit açıları,\\ (yani) eşit kenarları görenler;\\ \ozqed } \begin{center} { \begin{pspicture}(0,-2.061875)(6.339375,2.061875) \psline[linewidth=0.05cm](0.2940625,-1.741875)(2.6540625,-0.421875) \psline[linewidth=0.05cm](2.6540625,-0.441875)(1.0740625,1.698125) \psline[linewidth=0.05cm](1.0740625,1.698125)(0.3140625,-1.721875) \psline[linewidth=0.05cm](3.6940625,-1.721875)(6.0540624,-0.401875) \psline[linewidth=0.05cm](6.0540624,-0.421875)(4.4740624,1.718125) \psline[linewidth=0.05cm](4.4740624,1.718125)(3.7140625,-1.701875) \psline[linewidth=0.05cm](3.7140625,-1.701875)(5.1140623,1.678125) \psline[linewidth=0.05cm](6.0540624,-0.401875)(5.1140623,1.658125) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.240625,1.883125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.796875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.7751563,-0.276875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.2740626,1.803125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.5760937,-1.916875){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.2567186,1.863125){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.20375,-0.556875){\gr Z} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.9 \parsen{ The\footnotemark\ given rectilineal angle\\ to cut in two.\footnotemark } { T`hn doje~isan gwn'ian e>uj'ugrammon\\ d'iqa teme~in. } { Verilen düzkenar açıyı\\ ikiye kesmek. } \myfntext{\label{note:gen}Here the generic article (see note~\ref{note:the} to Proposition 1 above) is particularly appropriate. Suppose we take a straight line with a point $A$ on it and draw a circle with center $A$ cutting the line at $B$ and $C$. Then the straight line $BC$ has been bisected at $A$. In particular, \emph{a} line has been bisected. But this does not mean we have solved the problem of the present proposition. In modern mathematical English, the proposition could indeed be `To bisect a rectilineal angle'; but then `a' must be understood as `an arbitrary' or `a given'. Of course, Euclid does supply this qualification in any case.} \myfntext{For `cut in two' we could say `bisect'; but in at least one place, in Proposition 12, \gr{d'iqa teme~in} will be separated.} \parsen{ Let be\\ the given rectilineal angle\\ \gr{BAG}. } { >'Estw\\ uj'ugrammoc\\ ut`hn d'iqa teme~in. } { Şimdi gereklidir\\ onun ikiye kesilmesi. } \parsen{ Suppose there has been chosen\\ on \gr{AB} at random a point \gr D,\\ and there has been taken from \gr{AG}\\ \gr{AE}, equal to \gr{AD},\\ and \gr{DE} has been joined,\\ and there has been constructed on \gr{DE}\\ an equilateral triangle, \gr{DEZ},\\ and \gr{AZ} has been joined. } { E>il'hfjw\\ {}>ep`i t~hc AB tuq`on shme~ion t`o D,\\ ka`i >afh|r'hsjw >ap`o t~hc AG\\ t~h| AD >'ish epeze'uqjw ep`i t~hc DE\\ tr'igwnon >is'opleuron t`o DEZ,\\ ka`i >epeze'uqjw uje'iac.\\ {}>Epe`i g`ar >'ish >est`in 'isai e>is`in\\ 'ish >est'in;\\ gwn'ia >'ara 'ish >est'in. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{BAG} açısı ikiye kesilmiş oldu\\ \gr{AZ} doğrusu tarafından.\\ Çünkü, olduğundan, \gr{AD} eşit \gr{AE} kenarına,\\ ve \gr{AZ} ortak,\\ \gr{DA}, \gr{AZ} ikilisi eşittirler \gr{EA}, \gr{AZ} ikilisinin\\ her biri birine ,\\ ve \gr{DZ} tabanı eşittir \gr{EZ} tabanına;\\ dolayısıyla \gr{DAZ} açısı \gr{EAZ} eşittir. } \parsen{ Therefore the given rectilineal angle\\ \gr{BAG}\\ has been cut in two\\ by the \strgt{} \gr{AZ};\\ \myqef } { 'ara doje~isa gwn'ia e>uj'ugrammoc\\ uje'iac;\\ <'oper >'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla verilen düzkenar açı \gr{BAG}\\ kesilmiş oldu ikiye\\ \gr{AZ} doğrusunca;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.911875)(2.8290625,1.911875) \psline[linewidth=0.05cm](1.4740624,1.608125)(0.2740625,-1.611875) \psline[linewidth=0.05cm](1.4740624,1.588125)(2.4740624,-1.591875) \psline[linewidth=0.05cm](0.7340625,-0.411875)(2.0940626,-0.411875) \psline[linewidth=0.05cm](0.7340625,-0.431875)(1.3940625,-1.611875) \psline[linewidth=0.05cm](1.3940625,-1.611875)(2.0940626,-0.431875) \psline[linewidth=0.05cm](1.4740624,1.588125)(1.3940625,-1.631875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.666875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.640625,1.733125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.6551561,-1.706875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.5540625,-0.366875){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.2960937,-0.306875){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.56375,-1.766875){\gr Z} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.10 \parsen{ The given bounded \strgt\\ to cut in two. } { T`hn doje~isan e>uje~ian peperasm'enhn\\ d'iqa teme~in. } { Verilen sınırlı doğruyu\\ ikiye kesmek.\\ } \parsen{ Let be\\ the given bounded straight line \gr{AB}.\\ } { >'Estw\\ uje~ia peperasm'enh uje~ian peperasm'enhn d'iqa teme~in. } { Gereklidir\\ kesmek, verilmiş \gr{AB} sınırlı doğrusunu, ikiye.\\ } \parsen{ Suppose there has been constructed\\ on it\\ an equilateral triangle, \gr{ABG},\\ and suppose has been cut in two\\ the angle \gr{AGB} by the \strgt{} \gr{GD}. } { Sunest'atw >ep> a>ut~hc\\ tr'igwnon >is'opleuron t`o ABG,\\ ka`i tetm'hsjw\\ uje'ia|; } { Kabul edelim ki üzerinde inşa edilmiş olsun\\ bir eşkenar üçgen, \gr{ABG},\\ ve \gr{AGB} açısı kesilmiş olsun ikiye\\ \gr{GD} doğrusunca.\\ } \parsen{ I say that\\ the \strgt{} \gr{AB} has been cut in two\\ at the point \gr D.\\ For, because \gr{AG} is equal to \gr{AB},\\ and \gr{GD} is common,\\ the two, \gr{AG} and \gr{GD},\\ to the two, \gr{BG}, \gr{BD},\\ are equal,\\ either to either,\\ and angle \gr{AGD}\\ to angle \gr{BGD}\\ is equal;\\ therefore the base \gr{AD} to the base \gr{BD}\\ is equal. } {l'egw, <'oti\\ uje~ia d'iqa t'etmhtai\\ kat`a t`o D shme~ion.\\ {}>Epe`i g`ar >'ish >est`in 'isai e>is`in\\ 'ish >est'in;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{AB} doğrusu ikiye kesilmiş oldu\\ \gr D noktasında. Çünkü, \gr{AG} eşit olduğundan \gr{AB} kenarına,\\ ve \gr{GD} ortak,\\ \gr{AG} ve \gr{GD} ikilisi, eşittirler \gr{BG}, \gr{BD} ikilisinin,\\ her biri birine,\\ ve \gr{AGD} açısı eşittir \gr{BGD} açısına;\\ dolayısıyla \gr{AD} tabanı, \gr{BD} tabanına,\\ eşittir. } \parsen{ Therefore the given bounded\qquad \strgt,\\ \gr{AB},\\ has been cut in two at \gr D;\\ \myqef } { 'ara doje~isa e>uje~ia peperasm'enh\\ 'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla verilmiş sınırlı \gr{AB} doğrusu \gr D noktasında ikiye kesilmiş oldu;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.991875)(5.2575,1.991875) \psline[linewidth=0.05cm](0.3171875,-1.591875)(4.9171877,-1.591875) \psline[linewidth=0.05cm](0.3171875,-1.591875)(2.7371874,1.808125) \psline[linewidth=0.05cm](2.7371874,1.788125)(4.8971877,-1.591875) \psline[linewidth=0.05cm](2.7371874,1.788125)(2.7371874,-1.571875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,-1.706875){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.104375,-1.686875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.9782813,1.813125){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.8171875,-1.846875){\gr D} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.11 \parsen{ To the given \strgt\\ from the given point on it\\ at right angles\\ to draw\footnotemark\ a straight line.\footnotemark } { T~h| doje'ish| e>uje'ia|\\ {}>ap`o to~u pr`oc a>ut~h| doj'entoc shme'iou\\ pr`oc >orj`ac gwn'iac\\ e>uje~ian gramm`hn >agage~in. } { Verilen bir doğruya \\ üzerinde verilen bir noktada\\ dik açılarda\\ bir doğru çizmek.} \myfntext{This is the first time among the propositions that Euclid writes out \emph{straight line} (\gr{e>uje~ia gramm`h}) and not just \emph{straight} (\gr{e>uje~ia}).} \myfntext{Literally `lead, conduct'.} \parsen{ Let be\\ the given \strgt\ \gr{AB},\\ and the given point on it, \gr G. } { >'Estw\\ uje~ia ep> a>ut~hc t`o G; } { Verilmiş olsun\\ bir doğru, \gr{AB},\\ ve üzerinde bir nokta, \gr G.\\ } \parsen{ It is necessary then\\ from the point \gr G\\ to the \strgt{} \gr{AB}\\ at right angles\\ to draw a straight line. } { de~i d`h\\ {}>ap`o to~u G shme'iou\\ t~h| AB e>uje'ia|\\ pr`oc >orj`ac gwn'iac\\ e>uje~ian gramm`hn >agage~in. } { Gereklidir\\ \gr G noktasında\\ \gr{AB} doğrusuna\\ dik açılarda\\ bir doğru.\\ } \parsen{ Suppose there has been chosen\\ on \gr{AG} at random a point \gr D,\\ and there has been laid down\\ an equal to \gr{GD}, [namely] \gr{GE},\\ and there has been constructed\\ on \gr{DE}\\ an equilateral triangle, \gr{ZDE},\\ and there has been joined \gr{ZG}. } { E>il'hfjw\\ {}>ep`i t~hc AG tuq`on shme~ion t`o D,\\ ka`i ke'isjw\\ t~h| GD >'ish ep`i t~hc DE tr'igwnon >is'opleuron\\ t`o ZDE,\\ ka`i >epeze'uqjw uje'ia| t~h| AB\\ {}>ap`o to~u pr`oc a>ut~h| doj'entoc shme'iou to~u G\\ pr`oc >orj`ac gwn'iac\\ e>uje~ia gramm`h >~hktai Epe`i g`ar >'ish >est`in 'isai e>is`in\\ 'ish >est'in;\\ gwn'ia >'ara 'ish >est'in;\\ ka'i e>isin >efex~hc.\\ <'otan d`e e>uje~ia\\ {}>ep> e>uje~ian staje~isa\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic\\ poi~h|,\\ {}>orj`h 'iswn gwni~wn >estin;\\ {}>orj`h >'ara >est`in 'ara doje'ish| e>uje'ia| t~h| AB\\ {}>ap`o to~u pr`oc a>ut~h| doj'entoc shme'iou\\ to~u G\\ pr`oc >orj`ac gwn'iac\\ e>uje~ia gramm`h >~hktai 'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla, verilen \gr{AB} doğrusuna,\\ üzerinde verilmiş \gr G noktasında,\\ dik açılarda,\\ bir \gr{GZ} doğrusu çizilmişoldu;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.961875)(5.2575,1.961875) \psline[linewidth=0.05cm](0.3171875,-1.5765625)(4.9171877,-1.5765625) \psline[linewidth=0.05cm](1.3371875,-1.5565625)(2.7371874,1.8234375) \psline[linewidth=0.05cm](2.7371874,1.8034375)(4.0971875,-1.5565625) \psline[linewidth=0.05cm](2.7371874,1.8034375)(2.7371874,-1.5565625) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,-1.6915625){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.104375,-1.6715626){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.7782812,-1.8115625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.1971875,-1.8115625){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.159219,-1.8115625){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.0398438,1.7884375){\gr Z} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.12 \parsen{ To the given unbounded \strgt,\\ from the given point,\\ which is not on it,\\ to draw a perpendicular straight line. } { >Ep`i t`hn doje~isan e>uje~ian >'apeiron\\ {}>ap`o to~u doj'entoc shme'iou,\\ <`o m'h >estin >ep> a>ut~hc,\\ k'ajeton e>uje~ian gramm`hn >agage~in. } { Verilen sınırlanmamış doğruya,\\ verilen bir noktadan,\\ üzerinde olmayan,\\ bir dik doğru çizmek.\\ } \parsen{ Let be\\ the given unbounded \strgt\ \gr{AB},\\ and the given point,\\ which is not on it,\\ \gr G. } { >'Estw\\ uje~ia >'apeiroc estin >ep> a>ut~hc,\\ t`o G;\\ } { Verilmiş olsun\\ bir sınırlanmamış doğru, \gr{AB},\\ ve bir nokta,\\ üzerinde olmayan, \gr G.\\ } \parsen{ It is necessary then\\ to the given unbounded \strgt,\\ \gr{AB}\\ from the given point \gr G,\\ which is not on it,\\ to draw a perpendicular straight line. } { de~i d`h\\ {}>ep`i t`hn doje~isan e>uje~ian >'apeiron\\ t`hn AB\\ {}>ap`o to~u doj'entoc shme'iou to~u G,\\ <`o m'h >estin >ep> a>ut~hc,\\ k'ajeton e>uje~ian gramm`hn >agage~in. } { Gereklidir\\ verilmiş \gr{AB} sınırlanmamış doğrusuna\\ verilmiş \gr G noktasından,\\ üzerinde olmayan,\\ bir dik doğru çizmek.\\ } \parsen{ For suppose there has been chosen\\ on the other parts\\ of the \strgt{} \gr{AB}\\ at random a point \gr D,\\ and to the center \gr G,\\ at the distance \gr{GD},\\ a circle has been drawn, \gr{EZH},\\ and has been cut\\ the \strgt{} \gr{EH}\\ in two at \gr J,\\ and there have been joined\\ the \strgt s \gr{GH}, \gr{GJ}, and \gr{GE}. } { E>il'hfjw g`ar\\ {}>ep`i t`a <'etera m'erh\\ t~hc AB e>uje'iac\\ tuq`on shme~ion t`o D,\\ ka`i k'entrw| m`en t~w| G\\ diast'hmati d`e t~w| GD\\ k'ukloc gegr'afjw uje~ia\\ d'iqa kat`a t`o J,\\ ka`i >epeze'uqjwsan\\ auje~iai; } { Çünkü kabul edelim ki seçilmiş olsun\\ \gr{AB} doğrusunun diğer tarafında\\ rastgele bir \gr D noktası,\\ ve \gr G merkezinde,\\ \gr{GD} uzaklığında,\\ bir çember çizilmiş olsun, \gr{EZH},\\ ve \gr{EH} doğrusu \gr J noktasında ikiye kesilmiş olsun,\\ ve birleştirilmiş olsun\\ \gr{GH}, \gr{GJ}, ve \gr{GE} doğruları.\\ } \parsen{ I say that\\ to the given unbounded \strgt\\ \gr{AB},\\ from the given point \gr G,\\ which is not on it,\\ has been drawn a perpendicular, \gr{GJ}.\\ For, because \gr{HJ} is equal to \gr{JE},\\ and \gr{JG} is common,\\ the two, \gr{HJ} and \gr{JG},\\ to the two, \gr{EJ} and \gr{JG}, are equal,\\ either to either;\\ and the base \gr{GH} to the base \gr{GE}\\ is equal;\\ therefore angle \gr{GJH}\\ to angle \gr{EJG}\\ is equal;\\ and they are adjacent.\\ Whenever a \strgt,\\ standing on a \strgt,\\ the adjacent angles\\ equal to one another make,\\ right\\ either of the equal angles is,\\ and\\ the \strgt{} that has been stood\\ is called perpendicular\\ to that on which it has been stood. } { l'egw, <'oti\\ {}>ep`i t`hn doje~isan e>uje~ian >'apeiron\\ t`hn AB\\ {}>ap`o to~u doj'entoc shme'iou to~u G,\\ <`o m'h >estin >ep> a>ut~hc,\\ k'ajetoc >~hktai Epe`i g`ar >'ish >est`in 'isai eestin >'ish;\\ gwn'ia >'ara estin >'ish.\\ ka'i e>isin >efex~hc.\\ <'otan d`e e>uje~ia\\ {}>ep> e>uje~ian staje~isa\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic poi~h|,\\ {}>orj`h\\ 'iswn gwni~wn >estin,\\ ka`i\\ efesthku~ia e>uje~ia\\ k'ajetoc kale~itai\\ {}>ef> <`hn >ef'esthken. } { İddia ediyorum ki\\ verilen sınırlanmamış \gr{AB} doğrusuna,\\ verilen \gr G noktasından,\\ üzerinde olmayan,\\ çizilmiş oldu dik \gr{GJ} doğrusu.\\ Çünkü, \gr{HJ} eşit olduğundan \gr{JE} doğrusuna,\\ ve \gr{JG} ortak,\\ \gr{HJ} ve \gr{JG} ikilisi,\\ eşittirler \gr{EJ} ve \gr{JG} ikilisinin,\\ her biri birine;\\ ve \gr{GH} tabanı eşittir \gr{GE} tabanına;\\ dolayısıyla \gr{GJH} açısı eşittir \gr{EJG} açısına.\\ Ve onlar bitişiktirler.\\ Ne zaman bir doğru,\\ bir doğru üzerinde dikildiğinde,\\ bitişik açıları birbirine eşit yaparsa,\\ açıların her biri eşittir,\\ ve dikiltilen doğru\\ üzerinde dikildiği doğruya diktir denir.\\ } \parsen{ Therefore, to the given unbounded \strgt\ \gr{AB},\\ from the given point \gr G,\\ which is not on it,\\ a perpendicular \gr{GJ} has been drawn;\\ \myqef } { >Ep`i t`hn doje~isan >'ara e>uje~ian >'apeiron t`hn AB\\ {}>ap`o to~u doj'entoc shme'iou to~u G,\\ <`o m'h >estin >ep> a>ut~hc,\\ k'ajetoc ~>hktai 'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla, verilen \gr{AB} sınırlandırılmamış doğruya,\\ verilen \gr G noktasından,\\ üzerinde olmayan,\\ bir dik, \gr{GJ}, çizilmiş oldu;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.9492188)(5.4203124,1.9892187) \pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer](2.51,-0.15921874){1.79} \pstriangle[linewidth=0.04,dimen=outer](2.49,-0.94921875)(3.14,0.8) \psline[linewidth=0.04cm](3.94,-0.92921877)(5.34,-0.94921875) \psline[linewidth=0.04cm](1.04,-0.92921877)(0.0,-0.92921877) \psline[linewidth=0.04cm](2.48,-0.18921874)(2.48,-0.9292187) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.1465625,-1.1442188){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.2671876,-1.1842188){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.6010938,-0.00421875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.86,-1.6842188){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.282031,-1.2242187){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.9826562,1.8157812){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.783125,-1.1642188){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.4653125,-1.2242187){\gr J} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.13 \parsen{ If a \strgt,\\ stood on a \strgt,\\ make angles,\\ either two \rgt s\\ or equal to two \rgt s\\ it will make [them]. } { >E`an e>uje~ia\\ {}>ep> e>uje~ian staje~isa\\ gwn'iac poi~h|,\\ {}>'htoi d'uo >orj`ac\\ {}>`h dus`in >orja~ic >'isac\\ poi'hsei. } { Eğer bir doğru,\\ dikiltilirse bir doğrunun üzerine,\\ yaptığı açılar,\\ ya iki dik\\ ya da iki dik açıya eşit \\ olacak.\\ } \parsen{ For, some \strgt{}, \gr{AB},\\ stood on the \strgt{} \gr{GD},\\ ---suppose it makes\footnotemark\ angles\\ \gr{GBA} and \gr{ABD}. } { E>uje~ia g'ar tic ep> e>uje~ian t`hn GD staje~isa\\ gwn'iac poie'itw\\ t`ac 'htoi d'uo >orja'i e>isin\\ {}>`h dus`in >orja~ic >'isai. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{GBA} ve \gr{ABD} açıları\\ ya iki dik açıdır\\ ya da iki dik açıya eşittir(ler).\\ } \parsen{ If equal is\\ \gr{GBA} to \gr{ABD},\\ they are two \rgt s. } { E>i m`en o>~un >'ish >est`in\\ orja'i e>isin. } { Eğer \gr{GBA} eşitse \gr{ABD} açısına,\\ iki dik açıdırlar.\\ } \parsen{ If not,\\ suppose there has been drawn,\\ from the point \gr B,\\ to the [\strgt] \gr{GD},\\ at right angles,\\ \gr{BE}. } { e>i d`e o>'u,\\ {}>'hqjw\\ {}>ap`o to~u B shme'iou\\ t~h| GD [e>uje'ia|]\\ pr`oc >orj`ac\\ 'ara orja'i e>isin;\\ ka`i >epe`i 'ish >est'in,\\ koin`h proske'isjw 'ara 'isai e>is'in.\\ p'alin,\\ {}>epe`i 'ish >est'in,\\ koin`h proske'isjw 'ara 'isai e>is'in.\\ {}>ede'iqjhsan d`e ka`i auta~ic >'isai;\\ t`a d`e t~w| a>ut~w| >'isa\\ ka`i >all'hloic >est`in >'isa;\\ ka`i a'ara\\ ta~ic 'isai e>is'in;\\ {}>all`a aorja'i e>isin;\\ ka`i a'ara\\ dus`in >orja~ic >'isai e>is'in. } { Dolayısıyla \gr{GBE} ve \gr{EBD} iki diktir;\\ ve olduğundan \gr{GBE}\\ eşit \gr{GBA} ve \gr{ABE} ikilisine,\\ \gr{EBD} her birine eklenmiş olsun.\\ Dolayısıyla \gr{GBE} ve \gr{EBD}\\ eşittirler, \gr{GBA}, \gr{ABE} ve \gr{EBD} üçlüsüne.\\ Dahası,\\ olduğundan \gr{DBA}\\ eşit, \gr{DBE} ve \gr{EBA} ikilisine,\\ \gr{ABG} her birine eklenmiş olsun;\\ dolayısıyla \gr{DBA} ve \gr{ABG}\\ eşittirler, \gr{DBE}, \gr{EBA} ve \gr{ABG} üçlüsüne.\\ Ve \gr{GBE} ve \gr{EBD} açılarının gösterilmişti\\ eşitliği aynı üçlüye.\\ Ve aynı şeye eşit olanlar birbirine eşittir;\\ ve, dolayısıyla, \gr{GBE} ve \gr{EBD}\\ eşittirle \gr{DBA} ve \gr{ABG} açılarına;\\ ama \gr{GBE} ve\gr{EBD} iki diktir;\\ ve dolayısıyla \gr{DBA} ve \gr{ABG}\\ iki dike eşittirler.\\ } \parsen{ If, therefore, a \strgt,\\ stood on a \strgt,\\ make angles,\\ either two \rgt s\\ or equal to two \rgt s\\ it will make;\\ \myqed } { >E`an >'ara e>uje~ia\\ {}>ep> e>uje~ian staje~isa\\ gwn'iac poi~h|,\\ {}>'htoi d'uo >orj`ac\\ {}>`h dus`in >orja~ic >'isac\\ poi'hsei [them];\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, bir doğru,\\ dikiltilirse bir doğrunun üzerine,\\ yaptığı açılar,\\ ya iki dik\\ ya da iki dik açıya eşit \\ olacak.\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.291875)(5.02875,1.291875) \psline[linewidth=0.04cm](0.01375,-0.8865625)(4.83375,-0.8865625) \psline[linewidth=0.04cm](2.21375,-0.8865625)(2.21375,0.9134375) \psline[linewidth=0.04cm](2.21375,-0.8665625)(3.13375,0.7734375) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.3603125,0.7584375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.0809374,-1.1015625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.8548436,-1.1415625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.1557813,1.1184375){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.11375,-1.1215625){\gr D} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.14 \parsen{ If to some \strgt,\\ and at the same point,\\ two \strgt s,\\ not lying to the same parts,\\ the adjacent angles\\ to two \rgt s\\ make equal,\\ on a \strgt\\ will be with one another\\ the \strgt s. } { >E`an pr'oc tini e>uje'ia|\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw|\\ d'uo e>uje~iai\\ m`h >ep`i t`a a>ut`a m'erh ke'imenai\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ dus`in >orja~ic >'isac\\ poi~wsin,\\ {}>ep> e>uje'iac\\ {}>'esontai >all'hlaic\\ auje~iai. } { Eğer bir doğruya,\\ ve aynı noktasında,\\ iki doğru,\\ aynı tarafında kalmayan,\\ yaparsa \\ iki dik açıya eşit\\ bitişik açılar,\\ bir doğruda\\ kalacaklar ikisi birlikte,\\ doğruların. } \parsen{ For, to some \strgt, \gr{AB},\\ and at the same point, \gr B,\\ two \strgt s \gr{BG} and \gr{BD},\\ not lying to the same parts,\\ the adjacent angles\\ \gr{ABG} and \gr{ABD}\\ equal to two \rgt s\\ ---suppose they make. } { Pr`oc g'ar tini e>uje'ia| t~h| AB\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| B\\ d'uo e>uje~iai aep`i t`a a>ut`a m'erh ke'imenai\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ t`ac orja~ic >'isac\\ poie'itwsan; } {Bir \gr{AB} doğrusuna,\\ ve bir \gr B noktasında,\\ aynı tarafında kalmayan,\\ iki \gr{BG} ve \gr{BD} doğrularının,\\ \gr{ABG} ve \gr{ABD}\\ bitişik açılarının iki dik açı\\ ---olduğu kabul edilsin. } \parsen{ I say that\\ on a \strgt\\ with \gr{GB} is \gr{BD}. } { l'egw, <'oti\\ {}>ep> e>uje'iac\\ {}>est`i t~h| GB i g`ar m'h >esti\\ t~h| BG >ep> e>uje'iac\\ 'estw\\ t~h| GB >ep> e>uje'iac\\ Epe`i o>~un e>uje~ia ep> e>uje~ian t`hn GBE >ef'esthken,\\ a'ara orja~ic >'isai e>is'in;\\ e>is`i d`e ka`i aorja~ic >'isai;\\ a'ara 'isai e>is'in.\\ koin`h\\ {}>afh|r'hsjw\\ 'ara estin >'ish,\\ el'asswn t~h| me'izoni;\\ <'oper >est`in >ad'unaton.\\ o>uk >'ara\\ {}>ep> e>uje'iac >est`in ud`e >'allh tic pl`hn t~hc BD;\\ {}>ep> e>uje'iac >'ara\\ {}>est`in E`an >'ara pr'oc tini e>uje'ia|\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw|\\ d'uo e>uje~iai\\ m`h >ep`i a>ut`a m'erh ke'imenai\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ dus`in >orja~ic >'isac\\ poi~wsin,\\ {}>ep> e>uje'iac\\ {}>'esontai >all'hlaic\\ auje~iai;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, bir doğruya,\\ ve aynı noktasında,\\ iki doğru,\\ aynı tarafında kalmayan,\\ yaparsa \\ iki dik açıya eşit\\ bitişik açılar,\\ bir doğruda\\ kalacaklar ikisi birlikte,\\ doğruların.\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.351875)(4.373125,1.351875) \psline[linewidth=0.04cm](0.046875,-0.9865625)(4.266875,-1.0065625) \psline[linewidth=0.04cm](2.066875,-0.9865625)(0.866875,0.5934375) \psline[linewidth=0.04cm](2.066875,-0.9665625)(3.846875,0.9934375) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.6934375,0.7384375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.0140624,-1.2015625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.0940625,-1.2015625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.206875,-1.2015625){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.9489062,1.1784375){\gr E} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.15 \parsen{ If two \strgt s cut one another,\\ the vertical\footnotemark\ angles\\ they make equal to one another. } { >E`an d'uo e>uje~iai t'emnwsin >all'hlac,\\ t`ac kat`a koruf`hn gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic poio~usin. } { Eğer iki doğru keserse birbirini,\\ dikey açılar\\ oluşturlar eşit bir birine. } \myfntext{The Greek is \gr{kat`a koruf`hn}, which might be translated as `at a head', just as, in the conclusion of I.10, \gr{AB} has been cut in two `at \gr D', \gr{kat`a t`o D}. But \gr{koruf'h} and the Latin \emph{vertex} can both mean \emph{crown of the head,} and in anatomical use, the English \emph{vertical} refers to this crown. Apollonius uses \gr{koruf'h} for the vertex of a cone~\cite[pp.~286--7]{MR13:419b}.} \parsen{ For, let the \strgt s \gr{AB} and \gr{GD}\\ cut one another\\ at the point \gr E. } { D'uo g`ar e>uje~iai aall'hlac\\ kat`a t`o E shme~ion; } { Çünkü, \gr{AB} ve \gr{GD} doğruları \\ kessinler bir birlerini\\ \gr E noktasında. } \parsen{ I say that\\ equal are\\ angle \gr{AEG} to \gr{DEB},\\ and \gr{GEB} to \gr{AED}. } { l'egw, <'oti\\ {}>'ish >est`in\\ Epe`i g`ar e>uje~ia ep> e>uje~ian t`hn GD >ef'esthke\\ gwn'iac poio~usa t`ac 'ara orja~ic >'isai e>is'in.\\ p'alin,\\ {}>epe`i e>uje~ia ep> e>uje~ian t`hn AB >ef'esthke\\ gwn'iac poio~usa t`ac 'ara orja~ic >'isai e>is'in.\\ {}>ede'iqjhsan d`e ka`i aorja~ic >'isai;\\ a'ara 'isai e>is'in.\\ koin`h\\ {}>afh|r'hsjw\\ 'ara 'ish >est'in;\\ 'isai e>is'in. } { Çünkü, \gr{AE} doğrusu\\ dikiltilmişti \gr{GD} doğrusuna,\\ oluşturarak \gr{GEA} ve \gr{AED} açılarını,\\ dolayısıyla \gr{GEA} ve \gr{AED} açıları\\ eşittirler iki dik açıya.\\ Dahası,\\ \gr{DE} doğrusu\\ dikiltilmişti \gr{AB} doğrusuna,\\ oluşturarak \gr{AED} ve \gr{DEB} açılarını,\\ dolayısıyla \gr{AED} ve \gr{DEB} açıları\\ eşittirler iki dik açıya.\\ Ve \gr{GEA} ve \gr{AED} açılarının gösterilmişti\\ eşitliği iki dik açıya,\\ dolayısıyla \gr{GEA} ve \gr{AED}\\ eşittirler \gr{AED} ve \gr{DEB} açılarına.\\ Ortak \gr{AED} açısının çıkartılmış olduğu kabul edilsin;\\ dolayısıyla \gr{GEA} kalanı\\ eşittir \gr{BED} kalanına;\\ benzer şekilde gösterilecek ki\\ \gr{GEB} açısı da eşittir \gr{DEA} açısına.} \myfntext{This is a rare moment when two things are said to be equal \emph{simply,} and not equal \emph{to one another.}} \parsen{ If, therefore,\\ two \strgt s cut one another,\\ the vertical angles\\ they make equal to one another;\\ \myqed } { >E`an >'ara\\ d'uo e>uje~iai t'emnwsin >all'hlac,\\ t`ac kat`a koruf`hn gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic poio~usin;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla,\\ iki doğru keserse bir birini,\\ dikey açılar\\ oluşturlar eşit birbirine\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.131875)(4.22875,1.131875) \psline[linewidth=0.04cm](0.09375,-0.071875)(3.87375,-0.071875) \psline[linewidth=0.04cm](0.47375,0.868125)(3.51375,-0.971875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.2403125,0.953125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.6809375,-0.986875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.054844,-0.106875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.11375,-0.266875){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.9357812,-0.306875){\gr E} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.16 \parsen{ One of the sides of any triangle\\ being extended,\\ the exterior angle\\ than either\\ of the interior and opposite angles\\ is greater. } { Pant`oc trig'wnou mi~ac t~wn pleur~wn\\ prosekblhje'ishc\\ ekt`oc gwn'ia\\ ent`oc ka`i >apenant'ion gwni~wn\\ me'izwn >est'in. } { Herhangi bir üçgenin kenarlarından biri\\ uzatılıdığında,\\ dış açı\\ her bir\\ iç ve karşıt açıdan\\ büyüktür. } \parsen{ Let there be\\ a triangle, \gr{ABG},\\ and let there have been extended\\ its side \gr{BG}, to \gr D. } { >'Estw\\ tr'igwnon t`o ABG,\\ ka`i prosekbebl'hsjw\\ a>uto~u m'ia pleur`a ep`i t`o D; } { Verilmiş olsun,\\ bir \gr{ABG} üçgeni\\ ve uzatılmış olsun\\ onun \gr{BG} kenarı \gr D noktasına. } \parsen{ I say that\\ the exterior angle \gr{AGD}\\ is greater\\ than either\\ of the two interior and opposite angles, \gr{GBA} and \gr{BAG}. } { l`egw, <'oti\\ ekt`oc gwn'ia est`in\\ ent`oc ka`i >apenant'ion t~wn epizeuqje~isa ekbebl'hsjw\\ {}>ep> e>uje'iac >ep`i t`o Z,\\ ka`i ke'isjw\\ t~h| BE >'ish epeze'uqjw\\ ep`i t`o H. } { \gr{AG} kenarı, E noktasından ikiye kesilmiş olsun,\\ ve birleştirilen \gr{BE},\\ ---uzatılmış olsun\\ \gr Z noktasına bir doğruda\\ ve yerleştirilmiş olsun,\\ \gr{BE} doğrusuna eşit olan \gr{EZ},\\ ve birleştirilmiş olsun\\ \gr{ZG},\\ ve çizilmiş olsun \\ \gr{AG} doğrusu \gr H noktasına kadar. } \parsen{ Since equal are\\ \gr{AE} to \gr{EG},\\ and \gr{BE} to \gr{EZ},\\ the two, \gr{AE} and \gr{EB}\\ to the two, \gr{GE} and \gr{EZ},\\ are equal,\\ either to either;\\ and angle \gr{AEB}\\ is equal to angle \gr{ZEG};\\ for they are vertical;\\ therefore the base \gr{AB}\\ is equal to the base \gr{ZG},\\ and triangle \gr{ABE}\\ is equal to triangle \gr{ZEG},\\ and the remaining angles\\ are equal to the remaining angles,\\ either to either,\\ which the equal sides subtend.\\ Therefore equal are\\ \gr{EGD} and \gr{EGZ}.\\ but greater is\\ \gr{EGD} than \gr{EGZ};\\ therefore greater\\ {}[is] \gr{AGD} than \gr{BAE}.\\ Similarly\\ \gr{BG} having been cut in two,\\ it will be shown that \gr{BGH},\\ which is \gr{AGD},\\ {}[is] greater than \gr{ABG}. } { >Epe`i o>~un >'ish >est`in\\ 'isai e>is`in\\ 'ish >est'in;\\ kat`a koruf`hn g'ar;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in,\\ ka`i t`o ABE tr'igwnon\\ t~w| ZEG trig'wnw| >est`in >'ison,\\ ka`i a'isai e>is`in\\ <`ac a'isai pleura`i 'ish >'ara >est`in\\ estin\\ 'ara\\ 'ara trig'wnou\\ mi~ac t~wn pleur~wn\\ prosekblhje'ishc\\ ekt`oc gwn'ia \\ ekat'erac\\ t~wn >ent`oc ka`i >apenant'ion gwni~wn\\ me'izwn >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, herhangi bir üçgenin,\\ kenarlarından biri\\ uzatıldığında,\\ dış açı\\ her bir\\ iç ve karşıt açıdan\\ büyüktür;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-2.001875)(4.8603125,2.001875) \psline[linewidth=0.04cm](1.8540626,1.618125)(0.2540625,-0.981875) \psline[linewidth=0.04cm](0.2540625,-0.981875)(4.6740627,-0.981875) \psline[linewidth=0.04cm](1.8540626,1.598125)(3.5340624,-1.861875) \psline[linewidth=0.04cm](0.2540625,-0.981875)(4.4940624,1.618125) \psline[linewidth=0.04cm](4.4740624,1.598125)(3.1340625,-0.981875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.980625,1.823125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.156875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.9551563,-1.196875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.6940627,-1.196875){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.5560937,0.723125){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.6767187,1.663125){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.7571876,-1.856875){\gr H} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.17 \parsen{ Two angles of any triangle\\ are greater than two \rgt s\\ ---taken anyhow. } { Pant`ovc trig'wnou aorj~wn >el'asson'ec e>isi\\ p'ant~h| metalamban'omenai. } { Herhangi bir üçgenin iki açısı\\ küçüktür iki dik açıdan\\ ---nasıl alınırsa alınsın. } \parsen{ Let there be\\ a triangle, \gr{ABG}. } { >'Estw\\ tr'igwnon t`o ABG; } { Verilmiş olsun\\ bir \gr{ABG} üçgeni. } \parsen{ I say that\\ two angles of triangle \gr{ABG}\\ are greater than two \rgt s\\ ---taken anyhow. } { >l'egw, <'oti\\ to~u ABG trig'wnou aorj~wn >el'atton'ec e>isi\\ p'anth| metalamban'omenai. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{ABG} üçgeninin iki açısı\\ küçüktür iki dik açıdan\\ ---nasıl alınırsa alınsın. } \parsen{ For, suppose there has been extended\\ \gr{BG} to \gr D. } { >Ekbebl'hsjw g`ar\\ ep`i t`o D. } { Çünkü, uzatılmış olsun,\\ \gr{BG}, \gr D noktasına. } \parsen{ And since, of triangle \gr{ABG},\\ \gr{AGD} is an exterior angle,\\ it is greater\\ than the interior and opposite \gr{ABG}.\\ Let \gr{AGB} be added in common;\\ therefore \gr{AGD} and \gr{AGB}\\ are greater than \gr{ABG} and \gr{BGA}.\\ But \gr{AGD} and \gr{AGB}\\ are equal to two \rgt s;\\ therefore \gr{ABG} and \gr{BGA}\\ are less than two \rgt s.\\ Similarly we shall show that\\ also \gr{BAG} and \gr{AGB}\\ are less than two \rgt s,\\ and yet [so are] \gr{GAB} and \gr{ABG}. } { Ka`i >epe`i trig'wnou to~u ABG\\ {}>ekt'oc >esti gwn'ia est`i\\ t~hc >ent`oc ka`i >apenant'ion t~hc 'ara isin.\\ {}>all> aorja~ic >'isai e>is'in;\\ a'ara orj~wn >el'asson'ec e>isin.\\ orj~wn >el'asson'ec e>isi\\ ka`i >'eti a'ara trig'wnou aorj~wn >el'ass\-on'ec e>isi\\ p'ant~h| metalamban'omenai;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla herhangi bir üçgenin iki açısı\\ küçüktür iki dik açıdan\\ ---nasıl alınırsa alınsın;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.2645313)(5.0434375,1.2645313) \psline[linewidth=0.04cm](1.0571876,-0.89921874)(4.6771874,-0.89921874) \psline[linewidth=0.04cm](1.0771875,-0.89921874)(0.2771875,0.9007813) \psline[linewidth=0.04cm](0.2771875,0.9007813)(3.0571876,-0.89921874) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,1.0857812){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.924375,-1.1142187){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.0582812,-1.1142187){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.8771877,-0.9142187){\gr D} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.18 \parsen{ Of any triangle,\\ the greater side\\ subtends the greater angle.\footnotemark } { Pant`oc trig'wnou\\ 'Estw g`ar\\ tr'igwnon t`o ABG\\ me'izona >'eqon t`hn AG pleur`an t~hc AB; } { Çünkü, verilmiş olsun\\ bir \gr{ABG} üçgeni,\\ \gr{AG} kenarı daha büyük olan, \gr{AB} kenarından. } \parsen{ I say that\\ also angle \gr{ABG}\\ is greater than \gr{BGA}. } { l'egw, <'oti\\ ka`i gwn'ia est`i t~hc Epe`i g`ar me'izwn >est`in 'ish\\ epeze'uqjw epe`i trig'wnou to~u BGD\\ {}>ekt'oc >esti gwn'ia est`i\\ t~hc >ent`oc ka`i >apenant'ion t~hc 'ish d`e epe`i ka`i pleur`a estin >'ish;\\ me'izwn >'ara\\ ka`i 'ara\\ est`i\\ t~hc 'ara trig'wnou\\ 'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, herhangi bir üçgende\\ daha büyük bir kenar,\\ daha büyük bir açıyı karşılar;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.1345313)(5.5321875,1.1345313) \psline[linewidth=0.04cm](5.2771873,-0.80921876)(1.0571876,-0.80921876) \psline[linewidth=0.04cm](1.0571876,-0.80921876)(0.2771875,0.79078126) \psline[linewidth=0.04cm](0.2971875,0.7707813)(5.2571874,-0.80921876) \psline[linewidth=0.04cm](1.0571876,-0.7892187)(2.0571876,0.19078125) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,0.9557812){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.864375,-0.96421874){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.358281,-0.9842188){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.2171874,0.37578124){\gr D} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.19 \parsen{ Of any triangle,\\ under the greater angle\\ the greater side subtends.\footnotemark } { Pant`oc trig'wnou\\ 'Estw\\ tr'igwnon t`o ABG\\ me'izona >'eqon t`hn est'in. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{AG} kenarı da\\ daha büyüktür \gr{AB} kenarından. } \parsen{ For if not,\\ either \gr{AG} is equal to \gr{AB}\\ or less;\\ {}[but] \gr{AG} is not equal to \gr{AB};\\ for [if it were],\\ also \gr{ABG} would be\footnotemark\ equal to \gr{AGB};\\ but it is not;\\ therefore \gr{AG} is not equal to \gr{AB}.\\ Nor is \gr{AG} less than \gr{AB};\\ for [if it were],\\ also angle \gr{ABG} would be [less]\\ than \gr{AGB};\\ but it is not;\\ therefore \gr{AG} is not less than \gr{AB}.\\ And it was shown that\\ it is not equal.\\ Therefore \gr{AG} is greater than \gr{AB}. } { E>i g`ar m'h,\\ {}>'htoi >'ish >est`in `h >el'asswn;\\ {}>'ish m`en o>~un o>uk >'estin 'ish g`ar >`an\\ {}>~hn ka`i gwn'ia uk >'esti d'e;\\ o>uk >'ara >'ish >est`in ud`e m`hn >el'asswn >est`in el'asswn g`ar\\ {}>`an >~hn ka`i gwn'ia uk >'esti d'e;\\ o>uk >'ara >el'asswn >est`in ede'iqjh d'e, <'oti\\ o>ud`e >'ish >est'in.\\ me'izwn >'ara >est`in 'ara trig'wnou\\ 'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, herhangi bir üçgende,\\ daha büyük bir açı,\\ daha büyük bir kenarca karşılanır;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.8145312)(2.17,1.8145312) \psline[linewidth=0.04cm](1.8140625,1.4907813)(1.8140625,-1.5092187) \psline[linewidth=0.04cm](1.8140625,-1.5092187)(0.2740625,0.45078126) \psline[linewidth=0.04cm](0.2740625,0.45078126)(1.8140625,1.4907813) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.000625,1.6357813){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,0.41578126){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.9751563,-1.6642188){\gr G} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.20 \parsen{ Two sides of any triangle\\ are greater than the remaining one\\ ---taken anyhow. } { Pant`oc trig'wnou aisi\\ p'anth| metalamban'omenai. } { Herhangi bir üçgenin iki kenarı\\ daha büyüktür geriye kalandan\\ ---nasıl seçilirse seçilsin. } \parsen{ For, let there be\\ a triangle, \gr{ABG}. } { >'Estw g`ar\\ tr'igwnon t`o ABG; } { Çünkü verilmiş olsun\\ bir \gr{ABG} üçgeni. } \parsen{ I say that\\ two sides of triangle \gr{ABG}\\ are greater than the remaining one,\\ ---taken anyhow,\\ \gr{BA} and \gr{AG}, than \gr{BG},\\ \gr{AB} and \gr{BG}, than \gr{AG},\\ \gr{BG} and \gr{GA}, than \gr{AB}. } { l'egw, <'oti\\ to~u ABG trig'wnou aisi\\ p'anth| metalamban'omenai,\\ aep`i t`o D shme~ion,\\ ka`i ke'isjw\\ t~h| GA >'ish epeze'uqjw\\ Epe`i o>~un >'ish >est`in 'ish >est`i ka`i\\ gwn'ia 'ara epe`i tr'igwn'on >esti t`o DGB\\ me'izona >'eqon t`hn 'ara t~hc BG >esti me'izwn.\\ {}>'ish d`e 'ara aisin,\\ a'ara trig'wnou aisi\\ p'anth| metalamban'omenai;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, herhangi bir üçgenin iki kenarı\\ daha büyüktür geriye kalandan\\ ---nasıl seçilirse seçilsin;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.711875)(3.3490624,1.711875) \psline[linewidth=0.04cm](0.2340625,-1.3865625)(3.0340624,-1.3865625) \psline[linewidth=0.04cm](3.0140624,-1.3865625)(2.8340626,1.3934375) \psline[linewidth=0.04cm](2.8340626,1.3934375)(0.2340625,-1.3865625) \psline[linewidth=0.04cm](3.0140624,-1.3865625)(0.9940625,-0.5665625) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.800625,-0.4415625){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.5615625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.1751564,-1.5615625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.9740624,1.5384375){\gr D} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.21 \parsen{ If, of a triangle,\\ on one of the sides,\\ from its extremities,\\ two \strgt s\\ be constructed within,\footnotemark\\ the constructed [\strgt s],\\ than the remaining two sides of the triangle\\ will be less,\\ but will contain the a greater angle. } { >E`an trig'wnou\\ {}>ep`i mi~ac t~wn pleur~wn\\ {}>ap`o t~wn per'atwn\\ d'uo e>uje~iai\\ {}>ent`oc sustaj~wsin,\\ ael'attonec m`en >'esontai,\\ me'izona d`e gwn'ian peri'exousin. } { Eğer bir üçgende,\\ kenarlardan birinin\\ uçlarından,\\ iki doğru\\ içeride inşa edilirse,\\ inşa edilen doğrular,\\ üçgenin geriye kalan iki kenarından\\ daha küçük olacak,\\ ama daha büyük bir açıyı içerecekler. } \myfntext{Here the Greek verb, \gr{sun'isthmi}, is the same one used in I.1 for the contruction of a \emph{triangle} on a given straight line. Is it supposed to be obvious to the reader, even \emph{without} a diagram, that now the two constructed straight lines are supposed to meet at a point? See also I.2 and note.} \parsen{ For, of a triangle, \gr{ABG},\\ on one of the sides, \gr{BG},\\ from its extremities, \gr B and \gr G,\\ suppose two \strgt s have been constructed within,\\ \gr{BD} and \gr{DG}. } { Trig'wnou g`ar to~u ABG\\ {}>ep`i mi~ac t~wn pleur~wn t~hc BG\\ {}>ap`o t~wn per'atwn t~wn B, G\\ d'uo e>uje~iai >ent`oc sunest'atwsan\\ ael'assonec m'en e>isin,\\ me'izona d`e gwn'ian peri'eqousi\\ t`hn ep`i t`o E. } { Çünkü, \gr{BD} çizilmiş olsun \gr E noktasına doğru. } \parsen{ And since, of any triangle,\\ two sides than the remaining one\\ are greater,\\ of the triangle \gr{ABE},\\ the two sides \gr{AB} and \gr{AE}\\ are greater than \gr{BE};\\ suppose has been added in common\\ \gr{EG};\\ therefore \gr{BA} and \gr{AG} than \gr{BE} and \gr{EG}\\ are greater.\\ Moreover,\\ since, of the triangle \gr{GED},\\ the two sides \gr{GE} and \gr{ED}\\ are greater than \gr{GD},\\ suppose has been added in common\\ \gr{DB};\\ therefore \gr{GE} and \gr{EB} than \gr{GD} and \gr{DB}\\ are greater.\\ But than \gr{BE} and \gr{EG}\\ \gr{BA} and \gr{AG} were shown greater;\\ therefore by much\\ \gr{BA} and \gr{AG} than \gr{BD} and \gr{DG}\\ are greater. } { ka`i >epe`i pant`oc trig'wnou\\ aisin,\\ to~u ABE >'ara trig'wnou\\ aisin;\\ koin`h proske'isjw\\ 'ara BA, AG t~wn BE, EG\\ me'izon'ec e>isin.\\ p'alin,\\ {}>epe`i to~u GED trig'wnou\\ aisin,\\ koin`h proske'isjw\\ 'ara t~wn GD, DB\\ me'izon'ec e>isin.\\ {}>all`a t~wn BE, EG\\ me'izonec >ede'iqjhsan a'ara\\ aisin. } { Ve herhangi bir üçgenin\\ iki kenarı, geriye kalandan\\ büyük olduğundan,\\ \gr{ABE} üçgeninin,\\ iki kenarı, \gr{AB} ve \gr{AE}\\ büyüktür \gr{BE} kenarından;\\ ortak olarak eklenmiş olsun\\ \gr{EG};\\ dolayısıyla \gr{BA} ve \gr{AG}, \gr{BE} ve \gr{EG} kenarlarından\\ büyüktürler.\\ Dahası,\\ \gr{GED} üçgeninin,\\ iki kenarları, \gr{GE} ve \gr{ED}\\ büyüktür \gr{GD} kenarından,\\ ortak olarak eklenmiş olsun\\ \gr{DB};\\ dolayısıyla \gr{GE} ve \gr{EB}, \gr{GD} ve \gr{DB} kenarlarından\\ büyüktürler.\\ Ama \gr{BE} ve \gr{EG} kenarlarından\\ \gr{BA} ve \gr{AG} kenarlarının gösterilmişti büyüklüğü;\\ dolayısıyla çok daha büyüktür\\ \gr{BA} ve \gr{AG}, \gr{BD} ve \gr{DG} kenarlarından.\\ } \parsen{ Again,\\ since of any triangle\\ the external angle\\ than the interior and opposite angle\\ is greater,\\ therefore, of the triangle \gr{GDE}\\ the exterior angle \gr{BDG}\\ is greater than \gr{GED}.\\ For the same [reason] again,\\ of the triangle \gr{ABE},\\ the exterior angle \gr{GEB}\\ is greater than \gr{BAG}.\\ But than \gr{GEB}\\ \gr{BDG} was shown greater;\\ therefore by much\\ \gr{BDG} is greater than \gr{BAG}.} {P'alin,\\ {}>epe`i pant`oc trig'wnou\\ ekt`oc gwn'ia\\ t~hc >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ me'izwn >est'in,\\ to~u GDE >'ara trig'wnou\\ ekt`oc gwn'ia est`i t~hc ut`a to'inun\\ ka`i to~u ABE trig'wnou\\ ekt`oc gwn'ia est`i t~hc all`a t~hc ede'iqjh 'ara\\ est`i t~hc E`an >'ara trig'wnou\\ {}>ep`i mi~ac t~wn pleur~wn\\ {}>ap`o t~wn per'atwn\\ d'uo e>uje~iai\\ {}>ent`oc sustaj~wsin,\\ ael'attonec m'en e>isin,\\ me'izona d`e gwn'ian peri'eqousin;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, bir üçgenin,\\ kenarlardan birinin\\ uçlarından,\\ iki doğru\\ içeride inşa edilirse,\\ inşa edilen doğrular,\\ üçgenin geriye kalan iki kenarından\\ daha küçük olacak,\\ ama daha büyük bir açıyı içerecekler;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.651875)(4.7290626,1.651875) \psline[linewidth=0.04cm](0.1940625,-1.291875)(4.3940625,-1.271875) \psline[linewidth=0.04cm](4.3940625,-1.271875)(1.0140625,1.308125) \psline[linewidth=0.04cm](1.0140625,1.308125)(0.2140625,-1.271875) \psline[linewidth=0.04cm](0.1940625,-1.291875)(1.8140625,0.708125) \psline[linewidth=0.04cm](4.3740625,-1.251875)(1.3540626,0.148125) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.040625,1.473125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.506875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.555156,-1.386875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.1740625,0.253125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.9760938,0.853125){\gr E} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.22 \parsen{ From three \strgt s,\\ which are equal\\ to three given [\strgt s],\\ a triangle to be constructed;\\ and it is necessary\\ for two than the remaining one\\ to be greater\\ {}[because of any triangle,\\ two sides\\ are\footnotemark\ greater than the remaining one\\ taken anyhow].} { >Ek tri~wn e>ujei~wn,\\ a<'i e>isin >'isai\\ tris`i ta~ic doje'isaic [e>uje'iaic],\\ tr'igwnon sust'hsasjai;\\ de~i d`e\footnotemark\\ t`ac d'uo t~hc loip~hc\\ me'izonac e>~inai\\ p'anth| metalambanom'enac\\ {}[di`a t`o ka`i pant`oc trig'wnou\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ t~hc loip~hc me'izonac e>~inai\\ p'anth| metalambanom'enac]. } { Üç doğrudan,\\ eşit olan\\ verilmiş üç doğruya,\\ bir üçgen oluşturulması;\\ ve gereklidir\\ ikisinin, kalandan\\ daha büyük olması\\ (çünkü herhangi bir üçgenin,\\ iki kenarı\\ büyüktür geriye kalandan\\ nasıl seçilirse seçilsin).} \myfntext{In the Greek this is the infinitive \gr{e>~inai} `to be', as in the previous clause.} \myfntext{According to Heiberg, the manuscripts have \gr{de~i d'h} here, as at the beginnings of specifications (see \S\ref{sect:analysis}); but Proclus and Eutocius have \gr{de~i d'e} in their commentaries.} \parsen{ Let be\\ the given three \strgt s\\ \gr A, \gr B, and \gr G,\\ of which two than the remaining one\\ are greater,\\ taken anyhow,\\ \gr A and \gr B than \gr G,\\ \gr A and \gr G than \gr B,\\ and \gr B and \gr G than \gr A. } { >'Estwsan\\ auje~iai\\ a'estwsan\\ p'anth| metalamban'omenai,\\ a'eti aek t~wn >'iswn ta~ic A, B, G\\ tr'igwnon sust'hsasjai. } { Gereklidir\\ \gr A, \gr B ve \gr G doğrularına eşit olanlardan\\ bir üçgenin inşa edilmesi. } \parsen{ Suppose there is laid out\\ some straight line, \gr{DE},\\ bounded at \gr D,\\ but unbounded at \gr E,\\ and there is laid down\\ \gr{DZ} equal to \gr A,\\ \gr{ZH} equal to \gr B,\\ and \gr{HJ} equal to \gr G;\\ and to center \gr Z\\ at distance \gr{ZD}\\ a circle has been drawn, \gr{DKL};\\ moreover,\\ to center \gr H,\\ at distance \gr{HJ},\\ circle \gr{KLJ} has been drawn,\\ and \gr{KZ} and \gr{KH} have been joined. } { >Ekke'isjw\\ tic e>uje~ia 'apeiroc d`e kat`a t`o E,\\ ka`i ke'isjw\\ t~h| m`en A >'ish 'ish 'ish epeze'uqjwsan aek tri~wn e>ujei~wn\\ t~wn >'iswn ta~ic A, B, G\\ tr'igwnon sun'estatai t`o KZH. } { İddia ediyorum ki\\ üç doğrudan\\ \gr A, \gr B ve \gr G doğrularına eşit olan\\ bir \gr{KZH} üçgeni inşa edilmiştir. } \parsen{ For, since the point \gr Z\\ is the center of circle \gr{DKL},\\ \gr{ZD} is equal to \gr{ZK};\\ but \gr{ZD} is equal to \gr A.\\ And \gr{KZ} is therefore equal to \gr A.\\ Moreover,\\ since the point \gr H\\ is the center of circle \gr{LKJ},\\ \gr{HJ} is equal to \gr{HK};\\ but \gr{HJ} is equal to \gr G;\\ and \gr{KH} is therefore equal to \gr G.\\ and \gr{ZH} is equal to \gr B;\\ therefore the three \strgt s,\\ \gr{KZ}, \gr{ZH}, and \gr{HK}\\ are equal to the three, \gr A, \gr B, and \gr G. } { >Epe`i g`ar t`o Z shme~ion\\ k'entron >est`i to~u DKL k'uklou,\\ {}>'ish >est`in all`a estin >'ish.\\ ka`i 'ara t~h| A >estin >'ish.\\ p'alin,\\ {}>epe`i t`o H shme~ion\\ k'entron >est`i to~u LKJ k'uklou,\\ {}>'ish >est`in all`a estin >'ish;\\ ka`i 'ara t~h| G >estin >'ish.\\ {}>est`i d`e ka`i 'ish;\\ a'ara e>uje~iai\\ a'isai e>is'in. } { Çünkü merkezi olduğundan \gr Z noktası,\\ \gr{DKL} çemberinin,\\ \gr{ZD} eşittir \gr{ZK} doğrusuna;\\ ama \gr{ZD} eşittir \gr A doğrusuna.\\ Ve \gr{KZ} dolayısıyla \gr A doğrusuna eşittir.\\ Dahası,\\ merkezi olduğundan \gr H noktası\\ \gr{LKJ} çemberinin,\\ \gr{HJ} eşittir \gr{HK} doğrusuna;\\ ama \gr{HJ} eşittir \gr G doğrusuna;\\ ve \gr{KH} dolayısıyla \gr G doğrusuna eşittir.\\ ve \gr{ZH} eşittir \gr B doğrusuna;\\ dolayısıyla üç doğru,\\ \gr{KZ}, \gr{ZH} ve \gr{HK}\\ eşittirler \gr A, \gr B ve \gr G üçlüsüne. } \parsen{ Therefore, from the three \strgt s\\ \gr{KZ}, \gr{ZH}, and \gr{HK},\\ which are equal\\ to the three given \strgt s\\ \gr A, \gr B, and \gr G,\\ a triangle has been constructed, \gr{KZH};\\ \myqed } { >Ek tri~wn >'ara e>ujei~wn\\ t~wn KZ, ZH, HK,\\ a<'i e>isin >'isai\\ tris`i ta~ic doje'isaic e>uje'iaic\\ ta~ic A, B, G,\\ tr'igwnon sun'estatai t`o KZH;\\ <'oper >'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla, üç doğrudan;\\ \gr{KZ}, \gr{ZH} ve \gr{HK},\\ eşit olan\\ verilmiş üç doğruya\\ \gr A, \gr B ve \gr G,\\ bir \gr{KZH} üçgeni inşa edilmiştir;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.91)(8.07375,1.91) \pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer](2.16375,0.0){1.91} \psline[linewidth=0.04cm](0.29375,-0.01)(5.67375,-0.01) \psline[linewidth=0.04cm](2.15375,-0.01)(3.67375,1.15) \psline[linewidth=0.04cm](3.65375,1.13)(3.65375,-0.01) \pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer](3.64375,0.08){1.11} \psline[linewidth=0.04cm](6.45375,-0.01)(7.67375,-0.01) \psline[linewidth=0.04cm](6.45375,0.39)(8.05375,0.39) \psline[linewidth=0.04cm](6.45375,-0.41)(7.37375,-0.41) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.3203125,0.375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.3009377,-0.045){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.2948437,-0.425){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.11375,-0.125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.6557813,-0.265){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.1364062,-0.225){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.656875,-0.245){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.7590625,1.375){\gr J} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.0023437,0.215){\gr K} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.89625,-1.225){\gr L} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.23 \parsen{ At the given \strgt,\\ and at the given point on it,\\ equal to the given rectilineal angle,\\ a rectilineal angle to be constructed. } { Pr`oc t~h| doje'ish| e>uje'ia|\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw|\\ t~h| doje'ish| gwn'ia| e>ujugr'ammw| >'ishn\\ gwn'ian e>uj'ugrammon sust'hsasjai. } { Verilmiş bir doğruda,\\ ve üzerinde verilmiş noktada,\\ verilmiş düzkenar açıya eşit olan,\\ bir düzkenar açı inşa edilmesi. } \parsen{ Let be\\ the given \strgt\ \gr{AB},\\ the point on it, \gr A,\\ the given rectilineal angle,\\ \gr{DGE}. } { >'Estw\\ uje~ia ut~h| shme~ion t`o A,\\ uj'ugrammoc\\ uje'ia| t~h| AB\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| A\\ t~h| doje'ish| gwn'ia| e>ujugr'ammw|\\ t~h| 'ishn\\ gwn'ian e>uj'ugrammon\\ sust'hsasjai. } { Gereklidir simdi,\\ verilmiş \gr{AB} doğrusunda,\\ ve üzerindeki \gr A noktasında,\\ verilmiş düzkenar\\ \gr{DGE} açısına\\ eşit,\\ bir düzkenar açının\\ inşa edilmesi. } \parsen{ Suppose there have been chosen\\ on either of \gr{GD} and \gr{GE}\\ random points \gr D and \gr E,\\ and \gr{DE} has been joined,\\ and from three \strgt s,\\ which are equal to the three,\\ \gr{GD}, \gr{DE}, and \gr{GE},\\ triangle \gr{AZH} has been constructed,\\ so that equal are\\ \gr{GD} to \gr{AZ},\\ \gr{GE} to \gr{AH},\\ and \gr{DE} to \gr{ZH}. } { E>il'hfjw\\ {}>ef> epeze'uqjw ek tri~wn e>ujei~wn,\\ a<'i e>isin >'isai tris`i\\ ta~ic GD, DE, GE,\\ tr'igwnon sunest'atw t`o AZH,\\ <'wste >'ishn e>~inai\\ t`hn m`en GD t~h| AZ,\\ t`hn d`e GE t~h| AH,\\ ka`i >'eti t`hn DE t~h| ZH. } { Seçilmiş olsun\\ \gr{GD} ve \gr{GE} doğrularının her birinden\\ rastgele \gr D ve \gr E noktaları,\\ ve \gr{DE} birleştirilmiş olsun,\\ ve üç doğrudan,\\ eşit olan verilmiş üç,\\ \gr{GD}, \gr{DE} ve \gr{GE} doğrularına,\\ bir \gr{AZH} üçgen inşa edilmiş olsun,\\ öyle ki, eşit olsun\\ \gr{GD}, \gr{AZ} doğrusuna,\\ \gr{GE}, \gr{AH} doğrusuna,\ ve \gr{DE}, \gr{ZH} doğrusuna. } \parsen{ Since then the two, \gr{DG} and \gr{GE},\\ are equal to the two, \gr{ZA} and \gr{AH},\\ either to either,\\ and the base \gr{DE} to the base \gr{ZH}\\ is equal,\\ therefore the angle \gr{DGE}\\ is equal to \gr{ZAH}. } { >Epe`i o>~un d'uo a'isai e>is`in\\ 'ish,\\ gwn'ia >'ara estin >'ish. } { O zaman \gr{DG} ve \gr{GE} ikilisi,\\ eşit olduğundan \gr{ZA} ve \gr{AH} ikilisinin,\\ her biri birine,\\ ve \gr{DE} tabanı, \gr{ZH} tabanına\\ eşit,\\ dolayısıyla \gr{DGE} açısı\\ eşittir \gr{ZAH} açısına. } \parsen{ Therefore, on the given \strgt,\\ \gr{AB},\\ and at the point \gr A on it,\\ equal to the given rectilineal angle, \gr{DGE},\\ the rectilineal angle \gr{DGE} has been constructed;\\ \myqef } { Pr`oc >'ara t~h| doje'ish| e>uje'ia|\\ t~h| AB\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| A t~h|\\ doje'ish| gwn'ia| e>ujugr'ammw| t~h| 'ish\\ gwn'ia e>uj'ugrammoc sun'estatai 'edei poi~hsai.\\ } { Dolayısıyla, \\ \gr{AB} doğrusunda,\\ ve üzerindeki \gr A noktasında,\\ verilen düzkenar \gr{DGE} açısına eşit,\\ \gr{DGE} düzkenar açısı inşa edilmiştir;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.4192188)(7.5771875,1.4192188) \psline[linewidth=0.04cm](3.8771875,-1.0792187)(0.2771875,-1.0792187) \psline[linewidth=0.04cm](0.2771875,-1.0792187)(2.0971875,1.1007812) \psline[linewidth=0.04cm](2.0971875,1.1007812)(2.9371874,-1.0792187) \psline[linewidth=0.04cm](7.4571877,1.2207812)(5.0971875,0.04078125) \psline[linewidth=0.04cm](5.0971875,0.04078125)(7.5571876,-1.1392188) \psline[linewidth=0.04cm](6.9971876,1.0007813)(6.5371876,-0.6592187) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,-1.1742188){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.124375,-1.0342188){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.898281,0.06578125){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.8971877,1.1857812){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.459219,-0.87421876){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.2398438,1.2457813){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.8603125,-1.2742188){\gr H} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.24 \parsen{ If two triangles\\ two sides\\ to two sides\\ have equal\\ either to either,\\ but angle\\ than angle\\ have greater,\\ {}[namely] that by the equal sides\\ contained,\\ also base\\ than base\\ they will have greater. } { >E`an d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ {}[ta~ic] d'uo pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'eqh|\\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn,\\ ka`i t`hn b'asin\\ t~hc b'asewc\\ me'izona <'exei. } { Eğer iki üçgenin\\ (birinin ) iki kenarı\\ (diğerinin) iki kenarına\\ eşitse, \\ her biri birine,\\ ama açısı\\ açısından\\ büyükse,\\ {}[yani] eşit kenarlarca\\ içerilen(ler),\\ tabanı da\\ tabanından\\ büyük olacak. } \parsen{ Let there be\\ two triangles, \gr{ABG} and \gr{DEZ},\\ ---two sides, \gr{AB} and \gr{AG},\\ to two sides, \gr{DE} and \gr{DZ},\\ having equal,\\ either to either,\\ \gr{AB} to \gr{DE},\\ and \gr{AG} to \gr{DZ},\\ ---and the angle at \gr A,\\ than the angle at \gr D,\\ let it be greater. } { >'Estw\\ d'uo tr'igwna t`a ABG, DEZ\\ t`ac d'uo pleur`ac t`ac AB, AG\\ ta~ic d'uo pleura~ic ta~ic DE, DZ\\ {}>'isac >'eqonta\\ 'estw; } { Verilmiş olsun\\ iki \gr{ABG} ve \gr{DEZ} üçgeni, \\ --- iki \gr{AB} ve \gr{AG} kenarı,\\ iki \gr{DE} ve \gr{DZ} kenarına,\\ eşit olan,\\ her biri birine,\\ \gr{AB}, \gr{DE} kenarına,\\ ve \gr{AG}, \gr{DZ} kenarına,\\ ---ve \gr A noktasındaki açısı,\\ \gr D doktasındakinden,\\ büyük olsun. } \parsen{ I say that\\ also the base \gr{BG}\\ than the base \gr{EZ}\\ is greater. } { l'egw, <'oti\\ ka`i b'asic est'in. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{BG} tabanı da\\ \gr{EZ} tabanından\\ büyüktür. } \parsen{ For since [it] is greater,\\ {}[namely] angle \gr{BAG}\\ than angle \gr{EDZ},\\ suppose has been constructed\\ on the \strgt, \gr{DE},\\ and at the point \gr D on it,\\ equal to angle \gr{BAG},\\ \gr{EDH},\\ and suppose is laid down,\\ to either of \gr{AG} and \gr{DZ} equal,\\ \gr{DH},\\ and suppose have been joined\\ \gr{EH} and \gr{ZH}. } { >Epe`i g`ar me'izwn\\ uje'ia|\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| D\\ t~h| 'ish\\ 'ish\\ epeze'uqjwsan\\ aEpe`i o>~un >'ish >est`in\\ 'isai e>is`in\\ 'ish;\\ b'asic >'ara estin >'ish.\\ p'alin,\\ {}>epe`i >'ish >est`in\\ 'ish >est`i ka`i\\ 'ara\\ 'ara me'izwn >est`in\\ epe`i tr'igwn'on >esti t`o EZH\\ me'izona >'eqon\\ t`hn 'ara ka`i\\ pleur`a 'ish d`e 'ara ka`i E`an >'ara d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ dus`i pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'eqh|\\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn,\\ ka`i t`hn b'asin\\ t~hc b'asewc\\ me'izona <'exei;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, iki üçgenin\\ (birinin ) iki kenarı\\ (diğerinin) iki kenarına\\ eşitse \\ her biri birine,\\ ama açısı\\ açısından\\ büyükse,\\ {}[yani] eşit kenarlarca\\ içerilen(ler),\\ tabanı da\\ tabanından\\ büyük olacak;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.561875)(5.85875,1.561875) \psline[linewidth=0.04cm](1.4471875,1.198125)(0.2471875,-1.181875) \psline[linewidth=0.04cm](0.2671875,-1.181875)(2.4471874,-0.801875) \psline[linewidth=0.04cm](2.4271874,-0.801875)(1.4471875,1.178125) \psline[linewidth=0.04cm](4.6471877,1.198125)(3.4671874,-0.961875) \psline[linewidth=0.04cm](3.4671874,-0.961875)(5.5671873,-0.721875) \psline[linewidth=0.04cm](5.5671873,-0.721875)(4.6471877,1.198125) \psline[linewidth=0.04cm](3.4871874,-0.961875)(4.1271877,-1.221875) \psline[linewidth=0.04cm](4.1271877,-1.221875)(5.5871873,-0.721875) \psline[linewidth=0.04cm](4.6671877,1.178125)(4.1271877,-1.241875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.59375,1.383125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.594375,-0.896875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10828125,-1.336875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.7471876,1.383125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.709219,-0.756875){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.3298438,-1.036875){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.1303124,-1.416875){\gr H} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.25 \parsen{ If two triangles\\ two sides\\ to two sides\\ have equal,\\ either to either,\\ but base\\ than base\\ have greater,\\ also angle\\ than angle\\ they will have greater\\ ---that by the equal \strgt s\\ contained. } { >E`an d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ dus`i pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'eqh|,\\ ka`i t`hn gwn'ian\\ t~hc gwn'iac\\ me'izona <'exei\\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn. } { Eğer iki üçgenin\\ (birinin ) iki kenarı\\ (diğerinin) iki kenarına\\ eşitse \\ her biri birine,\\ ama tabanı\\ tabanından\\ büyükse,\\ açısı da\\ açısından\\ büyük olacak\\ ---(yani) eşit doğrularca\\ içerilenler. } \parsen{ Let there be\\ two triangles, \gr{ABG} and \gr{DEZ},\\ two sides, \gr{AB} and \gr{AG},\\ to two sides, \gr{DE} and \gr{DZ},\\ having equal,\\ either to either,\\ \gr{AB} to \gr{DE}\\ and \gr{AG} to \gr{DZ};\\ and the base \gr{BG}\\ than the base \gr{EZ}\\ ---let it be greater.\\ I say that\\ also the angle \gr{BAG}\\ than the angle \gr{EDZ}\\ is greater. } { >'Estw\\ d'uo tr'igwna t`a ABG, DEZ\\ t`ac d'uo pleur`ac t`ac AB, AG\\ ta~ic d'uo pleura~ic ta~ic DE, DZ\\ {}>'isac >'eqonta\\ 'estw;\\ l'egw, <'oti\\ ka`i gwn'ia est'in. } { Verilmiş olsun\\ \gr{ABG} ve \gr{DEZ} üçgenleri,\\ iki \gr{AB} ve \gr{AG} kenarı,\\ iki \gr{DE} ve \gr{DZ} kenarına,\\ eşit olan,\\ her biri birine,\\ \gr{AB}, \gr{DE} kenarına\\ ve \gr{AG}, \gr{DZ} kenarına;\\ ve \gr{BG} tabanı\\ \gr{EZ} tabanından\\ ---büyük olsun.\\ İddia ediyorum ki\\ \gr{BAG} açısı da\\ \gr{EDZ} açısından\\ büyüktür. } \parsen{ For if not,\\ {}[it] is either equal to it, or less;\\ but it is not equal\\ ---\gr{BAG} to \gr{EDZ};\\ for if it is equal,\\ also the base \gr{BG} to \gr{EZ};\\ but it is not.\\ Therefore it is not equal,\\ angle \gr{BAG} to \gr{EDZ};\\ neither is it less,\\ \gr{BAG} than \gr{EDZ};\\ for if it is less,\\ also base \gr{BG} than \gr{EZ};\\ but it is not;\\ therefore it is not less,\\ \gr{BAG} than angle \gr{EDZ}.\\ And it was shown that\\ it is not equal;\\ therefore it is greater,\\ \gr{BAG} than \gr{EDZ}. } { E>i g`ar m'h,\\ {}>'htoi >'ish >est`in a>ut~h| >`h >el'asswn;\\ {}>'ish m`en o>~un o>uk >'estin\\ 'ish g`ar >`an >~hn\\ ka`i b'asic uk >'esti d'e.\\ o>uk >'ara >'ish >est`i\\ gwn'ia ud`e m`hn >el'asswn >est`in\\ el'asswn g`ar >`an >~hn\\ ka`i b'asic uk >'esti d'e;\\ o>uk >'ara >el'asswn >est`in\\ ede'iqjh d'e, <'oti\\ o>ud`e >'ish;\\ me'izwn >'ara >est`in\\ E`an >'ara d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo pleur`ac\\ dus`i pleura~ic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'eqh|,\\ ka`i t`hn gwn'ian\\ t~hc gwn'iac\\ me'izona <'exei\\ t`hn 'iswn e>ujei~wn\\ perieqom'enhn;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, iki üçgenin\\ (birinin ) iki kenarı\\ (diğerinin) iki kenarına\\ eşitse \\ her biri birine,\\ ama tabanı\\ tabanından\\ büyükse,\\ açısı da\\ açısından\\ büyük olacak\\ ---(yani) eşit doğrularca\\ içerilenler;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.421875)(7.7440624,1.421875) \psline[linewidth=0.04cm](1.2540625,1.078125)(0.2940625,-1.101875) \psline[linewidth=0.04cm](0.2940625,-1.101875)(3.0540626,-1.101875) \psline[linewidth=0.04cm](3.0540626,-1.101875)(1.2540625,1.078125) \psline[linewidth=0.04cm](5.6540623,1.078125)(4.4940624,-1.121875) \psline[linewidth=0.04cm](4.4940624,-1.121875)(7.3940625,-1.121875) \psline[linewidth=0.04cm](7.3940625,-1.121875)(5.6340623,1.078125) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.360625,1.243125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.256875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.2151563,-1.216875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.8140626,1.223125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.316094,-1.276875){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(7.596719,-1.236875){\gr Z} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.26 \parsen{ If two triangles\\ two angles\\ to two angles\\ have equal,\\ either to either,\\ and one side\\ to one side\\ equal,\\ either that near the equal sides\\ or that subtending\\ one of the equal sides,\\ also the remaining sides\\ to the remaining sides\\ they will have equal,\\ %either to either,\\ also the remaining angle\\ to the remaining angle. } { {}>E`an d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo gwn'iac\\ dus`i gwn'iaic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'ishn\\ {}>'htoi t`hn pr`oc ta~ic >'isaic gwn'iaic\\ {}>`h t`hn 'iswn gwni~wn,\\ ka`i t`ac loip`ac pleur`ac\\ ta~ic loipa~ic pleura~ic\\ {}>'isac <'exei\\ %{}['Estw\\ d'uo tr'igwna t`a ABG, DEZ\\ t`ac d'uo gwn'iac t`ac 'isac >'eqonta\\ eq'etw d`e\\ ka`i m'ian pleur`an\\ mi~a| pleur~a|\\ {}>'ishn,\\ pr'oteron t`hn pr`oc ta~ic >'isaic gwn'iaic\\ t`hn BG t~h| EZ;} { Verilmiş olsun\\ iki \gr{ABG} ve \gr{DEZ} üçgeni\\ iki \gr{ABG} ve \gr{BGA} açıları\\ iki \gr{DEZ} ve \gr{EZD} açılarına\\ eşit olan,\\ her biri birine,\\ \gr{ABG}, \gr{DEZ} açısına\\ ve \gr{BGA}, \gr{EZD} açısına;\\ ayrıca olsun\\ bir kenarı\\ bir kenarına\\ eşit,\\ önce esit açıların yanında olan,\\ \gr{BG}, \gr{EZ} kenarına; } \parsen{ I say that\\ the remaining sides\\ to the remaining sides\\ they will have equal,\\ either to either,\\ \gr{AB} to \gr{DE}\\ and \gr{AG} to \gr{DZ},\\ also the remaining angle\\ to the remaining angle,\\ \gr{BAG} to \gr{EDZ}. } { l'egw, <'oti\\ ka`i t`ac loip`ac pleur`ac\\ ta~ic loipa~ic pleura~ic\\ {}>'isac <'exei\\ i g`ar >'anis'oc >estin\\ ut~wn me'izwn >est'in.\\ {}>'estw me'izwn\\ 'ish\\ epeze'uqjw\\ Epe`i o>~un >'ish >est`in\\ 'isai e>is`in\\ 'ish >est'in;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in,\\ ka`i t`o HBG tr'igwnon\\ t~w| DEZ trig'wnw|\\ {}>'ison >est'in,\\ ka`i a'isai >'esontai,\\ <`ac a'isai pleura`i 'ish >'ara all`a 'ish;\\ ka`i 'ara\\ t~h| 'ish >est'in,\\ el'asswn t~h| me'izoni;\\ <'oper >ad'unaton.\\ o>uk >'ara >'anis'oc >estin\\ 'ish >'ara.\\ {}>'esti d`e ka`i\\ 'ish;\\ d'uo d`h a'isai e>is`in\\ estin >'ish;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in,\\ ka`i loip`h gwn'ia 'ish >est'in. } { Çünkü o zaman eşittit,\\ \gr{BH}, \gr{DE} kenarına\\ ve \gr{BG}, \gr{EZ} kenarına,\\ \gr{BH} ve \gr{BG} ikilisi\\ \gr{DE} ve \gr{EZ} ikilisine\\ eşittirler,\\ her biri birine,\\ ve \gr{HBG} açısı\\ \gr{DEZ} açısına\\ eşittir;\\ dolayısıyla \gr{HG} tabanı\\ \gr{DZ} tabanına\\ eşittir,\\ ve \gr{HBG} üçgeni\\ \gr{DEZ} üçgenine\\ eşittir,\\ ve kalan açılar\\ kalan açılara\\ eşit olacaklar,\\ eşit kenarların karşıladıkları.\\ Eşittir dolayısıyla \gr{BGA} açısı\\ \gr{DZE} açısına.\\ Ama \gr{DZE},\\ \gr{BGA} açısına\\ eşit kabul edilmişti\\ dolayısıyla \gr{BGH} de\\ \gr{BGA} açısına\\ eşittir,\\ daha küçük olan daha büyük olana,\\ ki bu imkansızdır.\\ Dolayısıyla değildir eşit değil,\\ \gr{AB}, \gr{DE} kenarına.\\ Doalyısıyla eşittir.\\ Ayrıca durum şöyledir;\\ \gr{BG}, \gr{EZ} kenarına eşittir;\\ o zaman \gr{AB} ve \gr{BG} ikilisi\\ \gr{DE} ve \gr{EZ} ikilisine\\ eşittirler,\\ her biri birine;\\ \gr{ABG} açısı da\\ \gr{DEZ} açısına\\ eşittir;\\ dolayısıyla \gr{AG} tabanı\\ \gr{DZ} tabanına\\ eşittir,\\ ve kalan \gr{BAG} açısı\\ kalan \gr{EDZ} açısına\\ eşittir. } \myfntext{Fitzpatrick considers this way of denoting the line to be a `mistake'; apparently he thinks Euclid should (and perhaps did originally) write \gr{HB}, for parallelism with \gr{DE}. But \gr{HB} and \gr{BH} are the same line, and for all we know, Euclid preferred to write \gr{BH} because it was in alphabetical order. Netz \cite[Ch.~2]{MR1683176} studies the general Greek mathematical practice of using the letters in different order for the same mathematical object. He concludes that changes in order are made on purpose, though he does not address examples like the present one.} \parsen{ But then again let them be\\ ---[those angles] equal sides\\ subtending---\\ equal,\\ as \gr{AB} to \gr{DE};\\ I say again that\\ also the remaining sides\\ to the remaining sides\\ will be equal,\\ \gr{AG} to \gr{DZ},\\ and \gr{BG} to \gr{EZ},\\ and also the remaining angle \gr{BAG}\\ to the remaining angle \gr{EDZ}\\ is equal. } { >All`a d`h p'alin >'estwsan\\ a'isac gwn'iac pleura`i\\ 'isai,\\ 'isai >'esontai,\\ 'eti 'ish >est'in. } { Ama o zaman, yine olsunlar\\ --- kenarlar eşit [açıları]\\ karşılayan---\\ eşit,\\ \gr{AB}, \gr{DE} kenarına gibi;\\ Yine iddia ediyorum ki\\ kalan kenarlar da\\ kalan kenarlara\\ eşit olacaklar,\\ \gr{AG}, \gr{DZ} kenarına\\ ve \gr{BG}, \gr{EZ} kenarına\\ ve kalan \gr{BAG} açısı da\\ kalan \gr{EDZ} açısına\\ eşittir. } \parsen{ For, if it is unequal,\\ \gr{BG} to \gr{EZ},\\ one of them is greater.\\ Let be greater,\\ if possible,\\ \gr{BG},\\ and let there be cut\\ to \gr{EZ} equal\\ \gr{BJ},\\ and suppose there has been joined\\ \gr{AJ}.\\ Because also it is equal\\ ---\gr{BJ} to \gr{EZ}\\ and \gr{AB} to \gr{DE},\\ then the two \gr{AB} and \gr{BJ}\\ to the two \gr{DE} and \gr{EZ}\\ are equal,\\ either to either;\\ and they contain equal angles;\\ therefore the base \gr{AJ}\\ to the base \gr{DZ}\\ is equal,\\ and the triangle \gr{ABJ}\\ to the triangle \gr{DEZ}\\ is equal,\\ and the remaining angles\\ to the remaining angles\\ are equal,\\ which the equal sides\\ subtend.\\ Therefore equal is\\ angle \gr{BJA}\\ to \gr{EZD}.\\ But \gr{EZD}\\ to \gr{BGA}\\ is equal;\\ then of triangle \gr{AJG}\\ the exterior angle \gr{BJA}\\ is equal\\ to the interior and opposite\\ \gr{BGA};\\ which is impossible.\\ Therefore it is not unequal,\\ \gr{BG} to \gr{EZ};\\ therefore it is equal.\\ And it is also,\\ \gr{AB},\\ to \gr{DE},\\ equal.\\ Then the two \gr{AB} and \gr{BG}\\ to the two \gr{DE} and \gr{EZ}\\ are equal,\\ either to either;\\ and equal angles\\ they contain;\\ therefore the base \gr{AG}\\ to the base \gr{DZ}\\ is equal,\\ and triangle \gr{ABG}\\ to triangle \gr{DEZ}\\ is equal,\\ and the remaining angle \gr{BAG}\\ to the remaining angle \gr{EDZ}\\ is equal. } { E>i g`ar >'anis'oc >estin\\ ut~wn me'izwn >est'in.\\ {}>'estw me'izwn,\\ e>i dunat'on,\\ 'ish\\ epeze'uqjw\\ ep`ei >'ish >est`in\\ 'isai e>is`in\\ 'isac peri'eqousin;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in,\\ ka`i t`o ABJ tr'igwnon\\ t~w| DEZ trig'wnw|\\ {}>'ison >est'in,\\ ka`i a'isai >'esontai,\\ <`ac a'isac pleura`i\\ 'ish >'ara >est`in\\ all`a estin >'ish;\\ trig'wnou d`h to~u AJG\\ ekt`oc gwn'ia 'ish >est`i\\ t~h| >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ t~h| ad'unaton.\\ o>uk >'ara >'anis'oc >estin\\ 'ish >'ara.\\ {}>est`i d`e ka`i\\ 'ish.\\ d'uo d`h a'isai e>is`in\\ 'isac\\ peri'eqousi;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in,\\ ka`i t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| DEZ trig'wnw|\\ {}>'ison\\ ka`i loip`h gwn'ia 'ish. } { Çünkü, eğer eşit değil ise,\\ \gr{BG}, \gr{EZ} kenarına,\\ biri daha büyüktür.\\ Daha büyük olsun,\\ eğer mümkünse,\\ \gr{BG},\\ ve kesilmiş olsun\\ \gr{EZ} kenarına eşit\\ \gr{BJ},\\ ve kabul edilsin birleştirilmiş olduğu\\ \gr{AJ} kenarının.\\ Ayrıca eşit olduğundan\\ ---\gr{BJ}, \gr{EZ} kenarına\\ ve \gr{AB}, \gr{DE} kenarına\\ \gr{AB} ve \gr{BJ} ikilisi\\ \gr{DE} ve \gr{EZ} ikilisine\\ eşittirler,\\ her biri birine;\\ ama içerirler eşit açıları;\\ dolayısıyla \gr{AJ} tabanı\\ \gr{DZ} tabanına\\ eşittir,\\ ve \gr{ABJ} üçgeni\\ \gr{DEZ} üçgenine\\ eşittir,\\ ve kalan açılar\\ kalan açılara\\ eşittirler,\\ eşit kenarların\\ karşıladıkları.\\ Dolayısıyla eşittir\\ \gr{BJA},\\ \gr{EZD} açısına.\\ Ama \gr{EZD},\\ \gr{BGA} açısına\\ eşittir;\\ o zaman \gr{AJG} üçgeninin\\ \gr{BJA} dış açısı\\ eşittir\\ iç ve karşıt\\ \gr{BGA} açısına;\\ ki bu imkansızdır.\\ Dolayısıyla eşit değil değildir,\\ \gr{BG}, \gr{EZ} kenarına;\\ dolayısıyla eşittir.\\ Ve yine\\ \gr{AB},\\ \gr{DE} kenarına,\\ eşittir.\\ O zaman \gr{AB} ve \gr{BG} ikilisi\\ \gr{DE} ve \gr{EZ} ikilisine\\ eşittirler,\\ her biri birine;\\ eşit açılar\\ içerirler;\\ dolayısıyla \gr{AG} tabanı\\ \gr{DZ} tabanına\\ eşittir,\\ ve \gr{ABG} üçgeni\\ \gr{DEZ} üçgenine\\ eşittir,\\ ve kalan \gr{BAG} açısı\\ kalan \gr{EDZ} açısına\\ eşittir. } \parsen{ If therefore two triangles\\ two angles\\ to two angles\\ have equal,\\ either to either,\\ and one side\\ to one side\\ equal,\\ either that near the equal sides\\ or that subtending\\ one of the equal sides,\\ also the remaining sides\\ to the remaining sides\\ they will have equal,\\ %either to either,\\ also the remaining angle\\ to the remaining angle;\\ \myqed } { >E`an >'ara d'uo tr'igwna\\ t`ac d'uo gwn'iac\\ dus`i gwn'iaic\\ {}>'isac >'eqh|\\ 'ishn\\ {}>'htoi t`hn pr`oc ta~ic >'isaic gwn'iaic,\\ {}>`h t`hn 'iswn gwni~wn,\\ ka`i t`ac loip`ac pleur`ac\\ ta~ic loipa~ic pleura~ic\\ {}>'isac <'exei\\ ka`i t`hn loip`hn gwn'ian\\ t~h| loip~h| gwn'ia|;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, iki üçgenin\\ iki açısı\\ iki açısına\\ eşitse,\\ her biri birine,\\ ve bir kenar\\ bir kenara\\ eşitse,\\ ya eşit açıların arasında olan\\ ya da karşılayan\\ eşit açılardan birini;\\ kalan kenarları da\\ kalan kenarlarına\\ eşit olacak,\\ %either to either,\\ kalan açıları da\\ kalan açılarına;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.4426563)(7.7495313,1.4426563) \psline[linewidth=0.04cm](1.266875,1.0989063)(0.306875,-1.0810938) \psline[linewidth=0.04cm](0.306875,-1.0810938)(3.066875,-1.0810938) \psline[linewidth=0.04cm](3.066875,-1.0810938)(1.266875,1.0989063) \psline[linewidth=0.04cm](5.666875,1.0989063)(4.506875,-1.1010938) \psline[linewidth=0.04cm](4.506875,-1.1010938)(7.406875,-1.1010938) \psline[linewidth=0.04cm](7.406875,-1.1010938)(5.646875,1.0989063) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.32,1.2639062){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.2360938){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.2190626,-1.1960938){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.816875,1.2439063){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.3209376,-1.2560937){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(7.6021876,-1.2160938){\gr Z} \psline[linewidth=0.04cm](1.26,1.0826563)(2.38,-1.0773437) \psline[linewidth=0.04cm](3.04,-1.0773437)(1.0,0.46265626) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.783125,0.5676563){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.3453126,-1.2923437){\gr J} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.27 \parsen{ If on two \strgt s\\ a \strgt\ falling\\ the alternate angles\\ equal to one another\\ make,\\ parallel will be to one another\\ the \strgt s. } { >E`an e>ic d'uo e>uje'iac\\ e>uje~ia >emp'iptousa\\ t`ac >enall`ax gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic\\ poi~h|,\\ par'allhloi >'esontai >all'hlaic\\ auje~iai. } { Eğer iki doğru üzerine\\ düşen bir doğrunun\\ yaptığı ters açılar\\ birbirine eşitse\\ birbirine paralel olacak\\ doğrular. } \parsen{ For, on the two \strgt s\\ \gr{AB} and \gr{GD}\\ {}[suppose] the \strgt\ falling,\\ {}[namely] \gr{EZ},\\ the alternate angles\\ \gr{AEZ} and \gr{EZD}\\ equal to one another\\ make. } { E>ic g`ar d'uo e>uje'iac\\ t`ac AB, GD\\ e>uje~ia >emp'iptousa\\ enall`ax gwn'iac\\ t`ac 'isac >all'hlaic\\ poie'itw; } { Çünkü, iki doğru üzerine,\\ \gr{AB} ve \gr{GD},\\ {}[kabul edilsin] düşen,\\ \gr{EZ} doğrusunun,\\ ters \\ \gr{AEZ} ve \gr{EZD} açılarını\\ birbirine eşit\\ oluşturduğunu. } \parsen{ I say that\\ parallel is \gr{AB} to \gr{GD}. } { l'egw, <'oti\\ par'allhl'oc >estin i g`ar m'h,\\ {}>ekball'omenai\\ a'htoi >ep`i t`a B, D m'erh\\ {}>`h >ep`i t`a A, G.\\ {}>ekbebl'hsjwsan\\ ka`i sumpipt'etwsan\\ {}>ep`i t`a B, D m'erh\\ kat`a t`o H.\\ trig'wnou d`h to~u HEZ\\ ekt`oc gwn'ia 'ish >est`i\\ t~h| >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ t~h| est`in >ad'unaton;\\ o>uk >'ara\\ aekball'omenai\\ sumpeso~untai >ep`i t`a B, D m'erh.\\ ud`e >ep`i t`a A, G;\\ aep`i mhd'etera t`a m'erh\\ sump'iptousai\\ par'allhlo'i e>isin;\\ par'allhloc >'ara >est`in E`an >'ara e>ic d'uo e>uje'iac\\ e>uje~ia >emp'iptousa\\ t`ac >enall`ax gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic\\ poi~h|,\\ par'allhloi >'esontai\\ auje~iai;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer, dolayısıyla, iki doğru üzerine\\ düşen bir doğrunun\\ yaptığı ters açılar\\ birbirine eşitse\\ birbirine paralel olacak\\ doğrular;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.23)(5.9296875,1.23) \psline[linewidth=0.04cm](0.3771875,0.77)(3.9771874,0.77) \psline[linewidth=0.04cm](3.9771874,0.77)(5.5771875,0.17) \psline[linewidth=0.04cm](5.5771875,0.17)(3.9771874,-0.43) \psline[linewidth=0.04cm](3.9771874,-0.43)(0.3371875,-0.43) \psline[linewidth=0.04cm](2.9571874,1.21)(0.9971875,-1.21) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,0.815){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.184375,0.935){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.104375,-0.445){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.9971876,-0.645){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.7603126,0.175){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.4192188,0.995){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.7798438,-0.685){\gr Z} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.28 \parsen{ If on two \strgt s\\ a \strgt\ falling\footnotemark\\ the exterior angle\\ to the interior and opposite\\ and in the same parts\\ make equal,\\ or the interior and in the same parts\\ to two \rgt s\\ equal,\\ parallel will be to one another\\ the \strgt s. } { >E`an e>ic d'uo e>uje'iac\\ e>uje~ia >emp'iptousa\\ t`hn >ekt`oc gwn'ian\\ t~h| >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ {}>'ishn poi~h|\\ {}>`h t`ac >ent`oc ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ dus`in >orja~ic\\ {}>'isac,\\ par'allhloi >'esontai >all'hlaic\\ auje~iai. } { Eğer iki doğru üzerine\\ düşen bir doğru,\\ dış açıyı,\\ iç ve karşıt\\ ve aynı tarafta kalan açıya,\\ eşit yaparsa,\\ veya iç ve aynı tarafta kalanları,\\ iki dik açıya\\ eşit,\\ birbirine paralel olacak\\ doğrular. } \myfntext{It is perhaps impossible to maintain the Greek word order comprehensibly in English. The normal English order would be, `If a straight line, falling on two straight lines'. But the proposition is ultimately about the \emph{two} straight lines; perhaps that is why Euclid mentions them before the one straight line that falls on them.} \parsen{ For, on the two \strgt s \gr{AB} and \gr{GD},\\ the \strgt\ falling---\gr{EZ}---\\ the exterior angle \gr{EHB}\\ to the interior and opposite angle\\ \gr{HJD}\\ equal\\ ---suppose it makes,\\ or the interior and in the same parts,\\ \gr{BHJ} and \gr{HJD},\\ to two \rgt s\\ equal. } { E>ic g`ar d'uo e>uje'iac t`ac AB, GD\\ e>uje~ia >emp'iptousa ekt`oc gwn'ian t`hn ent`oc ka`i >apenant'ion gwn'ia|\\ t~h| 'ishn\\ poie'itw\\ {}>`h t`ac >ent`oc ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ t`ac orja~ic\\ {}>'isac; } { Çünkü, \gr{AB} ve \gr{GD} doğruları üzerine\\ düşen \gr{EZ} doğrusu\\ \gr{EHB} dış açısını\\ iç ve karşıt\\ \gr{HJD} açısına\\ eşit\\ ---yaptığı varsayılsın,\\ veya iç ve aynı tarafta kalan,\\ \gr{BHJ} ve \gr{HJD} açılarının,\\ iki dik açıya\\ equal. } \parsen{ I say that\\ parallel is\\ \gr{AB} to \gr{GD}. } { l'egw, <'oti\\ par'allhl'oc >estin\\ Epe`i g`ar >'ish >est`in\\ all`a estin >'ish,\\ ka`i 'ara t~h| estin >'ish;\\ ka'i e>isin >enall'ax;\\ par'allhloc >'ara >est`in epe`i aorja~ic\\ {}>'isai e>is'in,\\ e>is`i d`e ka`i aorja~ic\\ {}>'isai,\\ a'ara 'isai e>is'in;\\ koin`h >afh|r'hsjw\lli\\ 'ara estin >'ish;\\ ka'i e>isin >enall'ax;\\ par'allhloc >'ara >est`in E`an >'ara e>ic d'uo e>uje'iac\\ e>uje~ia >emp'iptousa\\ t`hn >ekt`oc gwn'ian\\ t~h| >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ {}>'ishn poi~h|\\ {}>`h t`ac >ent`oc ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ dus`in >orja~ic\\ {}>'isac,\\ par'allhloi >'esontai\\ auje~iai;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer dolayısıyla iki doğru üzerine\\ düşen bir doğru,\\ dış açıyı,\\ iç ve karşıt\\ ve aynı tarafta kalan açıya,\\ eşit yaparsa,\\ veya iç ve aynı tarafta kalanları,\\ iki dik açıya\\ eşit,\\ birbirine paralel olacak\\ doğrular; \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.2592187)(5.1175,1.2592187) \psline[linewidth=0.04cm](0.3371875,0.6407812)(4.7371874,0.66078126) \psline[linewidth=0.04cm](0.3171875,-0.35921875)(4.7371874,-0.35921875) \psline[linewidth=0.04cm](0.8371875,1.1207813)(4.1571875,-1.0792187) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,0.6457813){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.964375,0.66578126){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.11828125,-0.35421875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.9371877,-0.39421874){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.61921877,1.0857812){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.3398438,-1.1142187){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.7403125,0.8857812){H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.1825,-0.13421875){J} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.29 \parsen{ The \strgt\ falling on parallel \strgt s\\ the alternate angles\\ makes equal to one another,\\ and the exterior\\ to the interior and opposite\\ equal,\\ and the interior and in the same parts\\ to two \rgt s equal. } { ic t`ac parall'hlouc e>uje'iac e>uje~ia >emp'iptousa\\ t'ac te >enall`ax gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic poie~i\\ ka`i t`hn >ekt`oc\\ t~h| >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ {}>'ishn\\ ka`i t`ac >ent`oc ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ dus`in >orja~ic >'isac. } { Paralel doğrular üzerine düşen bir doğru\\ ters açıları\\ birbirine eşit yapar,\\ ve dış açıyı\\ iç ve karşıt açıya\\ eşit,\\ ve iç ve aynı tarafta kalanları\\ iki dik açıya eşit. } \parsen{ For, on the parallel \strgt s\\ \gr{AB} and \gr{GD}\\ let the \strgt\ \gr{EZ} fall. } { E>ic g`ar parall'hlouc e>uje'iac\\ t`ac AB, GD\\ e>uje~ia >empipt'etw enall`ax gwn'iac\\ t`ac 'isac\\ poie~i\\ ka`i t`hn >ekt`oc gwn'ian t`hn ent`oc ka`i >apenant'ion t~h| 'ishn\\ ka`i t`ac >ent`oc ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ t`ac orja~ic >'isac. } { İddia ediyorum ki\\ ters\\ \gr{AHJ} ve \gr{HJD} açılarını\\ eşit\\ yapar,\\ ve \gr{EHG} dış açısını\\ iç ve karşıt \gr{HJD} açısına\\ eşit,\\ ve iç ve aynı taraftaki\\ \gr{BHJ} ile \gr{HJD} açılarını\\ iki dik açıya eşit. } \parsen{ For, if it is unequal,\\ \gr{AHJ} to \gr{HJD},\\ one of them is greater.\\ Let the greater be \gr{AHJ};\\ let be added in common\\ \gr{BHJ};\\ therefore \gr{AHJ} and \gr{BHJ}\\ than \gr{BHJ} and \gr{HJD}\\ are greater.\\ However, \gr{AHJ} and \gr{BHJ}\\ to two \rgt s\\ equal are.\\ Therefore [also] \gr{BHJ} and \gr{HJD}\\ than two \rgt s\\ less are.\\ And [\strgt s] from [angles] that are less\\ than two \rgt s,\\ extended to the infinite,\\ fall together.\\ Therefore \gr{AB} and \gr{GD},\\ extended to the infinite,\\ will fall together.\\ But they do not fall together,\\ by their being assumed parallel.\\ Therefore is not unequal\\ \gr{AHJ} to \gr{HJD}.\\ Therefore it is equal.\\ However, \gr{AHJ} to \gr{EHB}\\ is equal;\\ therefore also \gr{EHB} to \gr{HJD}\\ is equal;\\ let \gr{BHJ} be added in common;\\ therefore \gr{EHB} and \gr{BHJ}\\ to \gr{BHJ} and \gr{HJD}\\ is equal.\\ But \gr{EHB} and \gr{BHJ}\\ to two \rgt s\\ are equal.\\ Therefore also \gr{BHJ} and \gr{HJD}\\ to two \rgt s\\ are equal. } { E>i g`ar >'anis'oc >estin\\ ut~wn me'izwn >est'in.\\ {}>'estw me'izwn 'ara isin.\\ {}>all`a aorja~ic\\ {}>'isai e>is'in.\\ {}[ka`i] a'ara orj~wn\\ {}>el'asson'ec e>isin.\\ aap> >elass'onwn\\ {}>`h d'uo >orj~wn\\ {}>ekball'omenai\\ e>ic >'apeiron\\ sump'iptousin;\\ a'ara AB, GD\\ {}>ekball'omenai e>ic >'apeiron\\ sumpeso~untai;\\ o>u sump'iptousi d`e\\ di`a t`o parall'hlouc a>ut`ac uk >'ara >'anis'oc >estin\\ 'ish >'ara.\\ {}>all`a estin >'ish;\\ ka`i 'ara t~h| estin >'ish;\\ koin`h proske'isjw 'ara 'isai e>is'in.\\ {}>all`a aorja~ic\\ {}>'isai e>is'in;\\ ka`i a'ara\\ d'uo >orja~ic\\ {}>'isai e>is'in. } { Çünkü, eğer eşit değilse\\ \gr{AHJ}, \gr{HJD} açısına,\\ biri büyüktür.\\ Büyük olan \gr{AHJ} olsun;\\ eklenmiş olsun her ikisine de\\ \gr{BHJ};\\ dolayısıyla \gr{AHJ} ve \gr{BHJ},\\ \gr{BHJ} ve \gr{HJD} açılarından\\ büyüktürler.\\ Fakat, \gr{AHJ} ve \gr{BHJ}\\ iki dik açıya\\ eşittirler.\\ Dolayısıyla \gr{BHJ} ve \gr{HJD} [da]\\ iki dik açıdan\\ küçüktürler.\\ Ve küçük olanlardan,\\ iki dik açıdan,\\ sonsuza uzatılanlar [doğrular],\\ birbirinin üzerine düşerler.\\ Dolayısıyla \gr{AB} ve \gr{GD},\\ uzatılınca sonsuza,\\ birbirinin üzerine düşecekler.\\ Ama onlar birbirinin üzerine düşmezler,\\ paralel oldukları kabul edildiğinden.\\ Dolayısıyla eşit değil değildir\\ \gr{AHJ}, \gr{HJD} açısına.\\ Dolayısıyla eşittir.\\ Ancak, \gr{AHJ}, \gr{EHB} açısına\\ eşittir;\\ dolayısıyla \gr{EHB} da \gr{HJD} açısına\\ eşittir;\\ eklenmiş olsun her ikisine de \gr{BHJ};\\ dolayısıyla \gr{EHB} ve \gr{BHJ},\\ \gr{BHJ} ve \gr{HJD} açılarına\\ eşittir.\\ Ama \gr{EHB} ve \gr{BHJ}\\ iki dik açıya\\ eşittirler.\\ Dolayısıyla \gr{BHJ} ve \gr{HJD} da\\ iki dik açıya\\ eşittirler. } \parsen{ Therefore the on-parallel-\strgt s \strgt\\ falling\\ the alternate angles\\ makes equal to one another,\\ and the exterior\\ to the interior and opposite\\ equal,\\ and the interior and in the same parts\\ to two \rgt s equal;\\ \myqed } { 'ara e>ic t`ac parall'hlouc e>uje'iac e>uje~ia\\ {}>emp'iptousa\\ t'ac te >enall`ax gwn'iac\\ {}>'isac >all'hlaic poie~i\\ ka`i t`hn >ekt`oc\\ t~h| >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ >'ishn\\ ka`i t`ac >ent`oc ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ dus`in >orja~ic >'isac;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla paralel doğrular üzerine, doğru\\ düşerken\\ ters açıları\\ eşit yapar birbirine,\\ ve dış açıyı\\ iç ve karşıta\\ eşit,\\ ve iç ve aynı taraftakileri s\\ iki dik açıya eşit;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.2592187)(5.1175,1.2592187) \psline[linewidth=0.04cm](0.3371875,0.6407812)(4.7371874,0.66078126) \psline[linewidth=0.04cm](0.3171875,-0.35921875)(4.7371874,-0.35921875) \psline[linewidth=0.04cm](0.8371875,1.1207813)(4.1571875,-1.0792187) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,0.6457813){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.964375,0.66578126){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.11828125,-0.35421875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.9371877,-0.39421874){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.61921877,1.0857812){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.3398438,-1.1142187){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.7403125,0.8857812){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.1825,-0.13421875){\gr J} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.30 \parsen{ {}[\Strgt s] to the same \strgt\\ parallel\\ also to one another are parallel. } { Aut~h| e>uje'ia| par'allhloi\\ ka`i >all'hlaic e>is`i par'allh\-loi. } { Aynı doğruya\\ paralel doğrular\\ birbirlerine de paraleldir. } \parsen{ Let be\\ either of \gr{AB} and \gr{GD}\\ to \gr{GD} parallel. } { >'Estw\\ esti par'allhloc. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{AB} da \gr{GD} doğrusuna paraleldir. } \parsen{ For let fall on them a \strgt, \gr{HK}. } { >Empipt'etw g`ar e>ic a>ut`ac e>uje~ia epe`i e>ic parall'hlouc e>uje'iac\\ t`ac AB, EZ\\ e>uje~ia >emp'eptwken 'ish >'ara epe`i e>ic parall'hlouc e>uje'iac\\ t`ac EZ, GD\\ e>uje~ia >emp'eptwken 'ish >est`in ede'iqjh d`e ka`i\\ 'ish.\\ ka`i 'ara t~h| estin >'ish;\\ ka'i e>isin >enall'ax.\\ par'allhloc >'ara >est`in 'ara\\ t~h| a>ut~h| e>uje'ia|\\ par'allhloi\\ ka`i >all'hlaic e>is`i par'allhloi;]\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla \\ aynı doğruya\ paraleller\\ birbirlerine de paraleldir;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.5)(5.1971874,1.5) \psline[linewidth=0.04cm](0.4071875,0.88)(4.8071876,0.9) \psline[linewidth=0.04cm](0.3671875,-0.92)(4.7871876,-0.92) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.19375,0.885){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.034375,0.905){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10828125,-0.975){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.0271873,-0.915){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.18921874,-0.155){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.049844,-0.135){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.9103124,1.085){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.4325,0.105){\gr J} \psline[linewidth=0.04cm](0.3871875,-0.12)(4.8071876,-0.12) \psline[linewidth=0.04cm](3.4071875,1.48)(1.8671875,-1.48) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.0157812,-0.735){\gr K} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.31 \parsen{ Through the given point\\ to the given \strgt\ parallel\\ a straight line to draw. } { Di`a to~u doj'entoc shme'iou\\ t~h| doje'ish| e>uje'ia| par'allhlon\\ e>uje~ian gramm`hn >agage~in. } { Verilen bir noktadan\\ verilen bir doğruya paralel\\ bir doğru çizmek. } \parsen{ Let be\\ the given point \gr A,\\ and the given \strgt\ \gr{BG}. } { >'Estw\\ t`o m`en doj`en shme~ion t`o A,\\ uje~ia uje'ia| par'allhlon\\ e>uje~ian gramm`hn >agage~in. } { Şimdi gereklidir\\ \gr A noktasından\\ \gr{BG} doğrusuna paralel\\ bir doğru çizmek. } \parsen{ Suppose there has been chosen\\ on \gr{BG}\\ a random point \gr D,\\ and there has been joined \gr{AD}.\\ and there has been constructed,\\ on the \strgt\ \gr{DA},\\ and at the point \gr A of it,\\ to the angle \gr{ADG} equal,\\ \gr{DAE};\\ and suppose there has been extended,\\ in \strgt s with \gr{EA},\\ the \strgt\ \gr{AZ}. } { E>il'hfjw\\ {}>ep`i t~hc BG\\ tuq`on shme~ion t`o D,\\ ka`i >epeze'uqjw uje'ia|\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| A\\ t~h| 'ish\\ ekbebl'hsjw\\ {}>ep> e>uje'iac t~h| EA\\ e>uje~ia epe`i\\ e>ic d'uo e>uje'iac t`ac BG, EZ\\ e>uje~ia >emp'iptousa enall`ax gwn'iac\\ t`ac 'isac >all'hlaic pepo'ihken,\\ par'allhloc >'ara >est`in 'ara shme'iou to~u A\\ t~h| doje'ish| e>uje'ia| t~h| BG par'allhloc\\ e>uje~ia gramm`h >~hktai 'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla, verilen \gr A noktasından,\\ verilen \gr{BG} doğrusuna paralel,\\ bir doğru \gr{EAZ}, çizilmiş oldu;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-2.401875)(8.692187,2.401875) \psline[linewidth=0.04cm](0.3340625,1.998125)(4.7340627,2.018125) \psline[linewidth=0.04cm](0.2940625,0.498125)(4.7140627,0.498125) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.080625,2.223125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,0.463125){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.8951564,0.483125){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.1540625,0.283125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.13609375,2.003125){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.996719,2.003125){\gr Z} \psline[linewidth=0.04cm](2.9740624,1.998125)(2.2340624,0.498125) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.32 \parsen{ Of any triangle\\ one of the sides being extended,\\ the exterior angle\\ to the two opposite interior angles\\ is equal,\\ and the triangle's three interior angles\\ to two \rgt s equal are. } { Pant`oc trig'wnou\\ mi~ac t~wn pleur~wn prosekblhje'ishc\\ ekt`oc gwn'ia\\ dus`i ta~ic >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ {}>'ish >est'in,\\ ka`i aent`oc to~u trig'wnou tre~ic gwn'iai\\ dus`in >orja~ic >'isai e>is'in. } { Herhangi bir üçgenin\\ kenarlarından biri uzatıldığında,\\ dış açı\\ iki karşıt iç açıya\\ eşittir,\\ ve üçgenin üç iç açısı\\ iki dik açıya eşittir. } \parsen{ Let there be\\ the triangle \gr{ABG},\\ and suppose there has been extended\\ its one side, \gr{BG}, to \gr D;\\ } { >'Estw\\ tr'igwnon t`o ABG,\\ ka`i prosekbebl'hsjw\\ a>uto~u m'ia pleur`a ep`i t`o D; } { Verilmiş olsun\\ \gr{ABG} üçgeni,\\ ve varsayılsın uzatılmış olduğu\\ bir \gr{BG} kenarının \gr D noktasına.\\ } \parsen{ I say that\\ the exterior angle \gr{AG} is equal\\ to the two interior and opposite angles\\ \gr{GAB} and \gr{ABG},\\ and the triangle's three interior angles\\ \gr{ABG}, \gr{BGA}, and \gr{GAB}\\ to two \rgt s equal are. } { l'egw, <'oti\\ ekt`oc gwn'ia 'ish >est`i\\ dus`i ta~ic >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ ta~ic ent`oc to~u trig'wnou tre~ic gwn'iai\\ aorja~ic >'isai e>is'in. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{AGD} dış açısı eşittir\\ iki iç ve karşıt\\ \gr{GAB} ve \gr{ABG} açısına,\\ ve üçgenin üç iç açısı\\ \gr{ABG}, \gr{BGA} ve \gr{GAB},\\ iki dik açıya eşittir. } \parsen{ For, suppose there has been drawn\\ through the point \gr G\\ to the \strgt\ \gr{AB} parallel\\ \gr{GE}. } { >'Hqjw g`ar\\ di`a to~u G shme'iou\\ t~h| AB e>uje'ia| par'allhloc\\ epe`i par'allhl'oc >estin ic a>ut`ac >emp'eptwken enall`ax gwn'iai a'isai >all'hlaic e>is'in.\\ p'alin, >epe`i par'allhl'oc >estin\\ ic a>ut`ac >emp'eptwken\\ e>uje~ia ekt`oc gwn'ia 'ish >est`i\\ t~h| >ent`oc ka`i >apenant'ion t~h| ede'iqjh d`e ka`i 'ish;\\ <'olh >'ara 'ish >est`i\\ dus`i ta~ic >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ ta~ic 'ara 'isai e>is'in.\\ {}>all> aorja~ic {}>'isai e>is'in;\\ ka`i a'ara\\ dus`in >orja~ic >'isai e>is'in. } { Eklenmiş olsun \gr{AGB} ortak olarak;\\ Dolayısıyla \gr{AGD} ve \gr{AGB} açıları\\ \gr{ABG}, \gr{BGA} ve \gr{GAB} üçlüsüne\\ eşittir.\\ Fakat, \gr{AGD} ve \gr{AGB} açıları\\ iki dik açıya eşittir;\\ \gr{AGB}, \gr{GBA} ve \gr{GAB} da dolayısıyla\\ iki dik açıya eşittir. } \parsen{ Therefore, of any triangle\\ one of the sides being extended,\\ the exterior angle\\ to the two opposite interior angles\\ is equal,\\ and the triangle's three interior angles\\ to two \rgt s equal are;\\ \myqed } { Pant`oc >'ara trig'wnou\\ mi~ac t~wn pleur~wn prosekblhje'ishc\\ ekt`oc gwn'ia\\ dus`i ta~ic >ent`oc ka`i >apenant'ion\\ {}>'ish >est'in,\\ ka`i aent`oc to~u trig'wnou tre~ic gwn'iai\\ dus`in >orja~ic >'isai e>is'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, herhangi bir üçgenin\\ kenarlarından biri uzatıldığında,\\ dış açı\\ iki karşıt iç açıya\\ eşittir,\\ ve üçgenin üç iç açısı\\ iki dik açıya eşittir;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.4145312)(6.3403125,1.4145312) \psline[linewidth=0.04cm](1.8940625,1.0107813)(3.4340625,-1.0692188) \psline[linewidth=0.04cm](0.2940625,-1.0692188)(5.8940625,-1.0692188) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.960625,1.2357812){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.1042187){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.3951561,-1.2642188){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.1740627,-1.1042187){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.1560936,1.1357813){\gr E} \psline[linewidth=0.04cm](1.8940625,1.0307813)(0.3140625,-1.0692188) \psline[linewidth=0.04cm](3.4340625,-1.0492188)(4.9940624,0.97078127) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.33 \parsen{ \Strgt s joining equals and parallels to the same parts\\ also themselves equal and parallel are. } { A'isac te ka`i parall'hlouc >ep`i t`a a>ut`a m'erh >epizeugn'uousai e>uje~iai\\ ka`i a>uta`i >'isai te ka`i par'allhlo'i e>isin. } { Eşit ve paralellerin aynı taraflarını birleştiren doğruların\\ kendileri de eşit ve paraleldirler. } \parsen{ Let be\\ equals and parallels\\ \gr{AB} and \gr{GD},\\ and let join these\\ in the same parts\\ \strgt s \gr{AG} and \gr{BD}. } { >'Estwsan\\ {}>'isai te ka`i par'allhloi\\ aepizeugn'utwsan a>ut`ac\\ {}>ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ e>uje~iai a'isai te ka`i par'allhlo'i e>isin. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{AG} ve \gr{BD} da\\ eşit ve paraleldirler. } \parsen{ Suppose there has been joined \gr{BG}.\\ And since parallel is \gr{AB} to \gr{GD},\\ and on these has fallen \gr{BG},\\ the alternate angles \gr{ABG} and \gr{BGD}\\ equal to one another are.\\ And since equal is \gr{AB} to \gr{GD},\\ and common [is] \gr{BG},\\ then the two \gr{AB} and \gr{BG}\\ to the two \gr{BG} and \gr{GD}\\ equal are;\\ also angle \gr{ABG}\\ to angle \gr{BGD}\\ {}[is] equal;\\ therefore the base \gr{AG}\\ to the base \gr{BD}\\ is equal,\\ and the triangle \gr{ABG}\\ to the triangle \gr{BGD}\\ is equal,\\ and the remaining angles\\ to the remaining angles\\ equal will be,\\ either to either,\\ which the equal sides subtend;\\ equal therefore\\ the \gr{AGB} angle to \gr{GBD}.\\ And since on the two \strgt s\\ \gr{AG} and \gr{BD}\\ the \strgt\ falling---\gr{BG}---\\ alternate angles equal to one another\\ has made,\\ parallel therefore is \gr{AG} to \gr{BD}.\\ And it was shown to it also equal. } { >Epeze'uqjw epe`i par'allhl'oc >estin ic a>ut`ac >emp'eptwken enall`ax gwn'iai a'isai >all'hlaic e>is'in.\\ ka`i >epe`i >'ish >est`in 'isai e>is'in;\\ ka`i gwn'ia 'ish;\\ b'asic >'ara estin >'ish,\\ ka`i t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| BGD trig'wnw|\\ {}>'ison >est'in,\\ ka`i a'isai >'esontai\\ <`ac a'isai pleura`i 'ish >'ara\\ epe`i e>ic d'uo e>uje'iac\\ t`ac AG, BD\\ e>uje~ia >emp'iptousa enall`ax gwn'iac >'isac >all'hlaic\\ pepo'ihken,\\ par'allhloc >'ara >est`in ede'iqjh d`e a>ut~h| ka`i >'ish. } { Varsayılsın birleştirilmiş olduğu \gr{BG} doğrusunun.\\ Ve paralel olduğundan \gr{AB}, \gr{GD} doğrusuna,\\ ve bunların üzerine düştüğünden \gr{BG},\\ ters \gr{ABG} ve \gr{BGD} açıları\\ birbirlerine eşittirler.\\ Ve eşit olduğundan \gr{AB}, \gr{GD} doğrusuna,\\ ve \gr{BG} ortak,\\ \gr{AB} ve \gr{BG} ikilisi\\ \gr{BG} ve \gr{GD} ikilisine\\ eşittir;\\ \gr{ABG} açısı da\\ \gr{BGD} açısına\\ eşittir;\\ dolayısıyla \gr{AG} tabanı\\ \gr{BD} tabanına\\ eşittir,\\ ve \gr{ABG} üçgeni\\ \gr{BGD} üçgenine\\ eşittir,\\ ve kalan açılar\\ kalan açılara\\ eşit olacaklar,\\ her biri birine,\\ eşit kenarları görenler;\\ eşittir dolayısıyla\\ \gr{AGB}, \gr{GBD} açısına.\\ Ve üzerine iki\\ \gr{AG} ve \gr{BD} doğrularının,\\ düşen doğru---\gr{BG}---\\ birbirine eşit ters açılar\\ yapmıştır,\\ paraleldir dolayısıyla \gr{AG}, \gr{BD} doğrusuna.\\ Ve eşit olduğu da gösterilmişti. } \parsen{ Therefore \strgt s joining equals and parallels to the same parts\\ also themselves equal and parallel are. \myqed } { A'ara t`ac >'isac te ka`i parall'hlouc >ep`i t`a a>ut`a m'erh >epizeugn'uousai e>uje~iai\\ ka`i a>uta`i >'isai te ka`i par'allhlo'i e>isin;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla eşit ve paralellerin aynı taraflarını birleştiren doğruların\\ kendileri de eşit ve paraleldirler; \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.391875)(4.5696874,1.391875) \psline[linewidth=0.04cm](4.09375,1.2334375)(0.69375,1.2334375) \psline[linewidth=0.04cm](0.69375,1.2334375)(0.29375,-1.1465625) \psline[linewidth=0.04cm](0.29375,-1.1465625)(3.67375,-1.1465625) \psline[linewidth=0.04cm](3.67375,-1.1465625)(4.09375,1.2334375) \psline[linewidth=0.04cm](3.67375,-1.1465625)(0.69375,1.2334375) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.4409375,1.2184376){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.4003124,1.1584375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.11375,-1.1815625){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.8748438,-1.2415625){\gr G} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.34 \parsen{ Of parallelogram areas,\\ opposite sides and angles\\ are equal to one another,\\ and the diameter cuts them in two. } { T~wn parallhlogr'ammwn qwr'iwn\\ aapenant'ion pleura'i te ka`i gwn'iai\\ {}>'isai >all'hlaic e>is'in,\\ ka`i ut`a d'iqa t'emnei. } { Paralelkenar alanların,\\ karşıt kenar ve açıları\\ eşittir birbirine,\\ ve köşegen onları ikiye böler. } \parsen{ Let there be\\ a parallelogram area\\ \gr{AGDB};\\ a diameter of it, \gr{BG}. } { >'Estw\\ parallhl'ogrammon qwr'ion\\ t`o AGDB,\\ di'amet\-roc d`e a>uto~u apenant'ion pleura'i te ka`i gwn'iai\\ {}>'isai >all'hlaic e>is'in,\\ ka`i ut`o d'iqa t'emnei. } { iddia ediyorum ki\\ \gr{AGDB} paralelkenarının\\ karşıt kenar ve açıları\\ eşittir birbirine,\\ ve \gr{BG} köşegeni onu ikiye böler. } \parsen{ For, since parallel is\\ \gr{AB} to \gr{GD},\\ and on these has fallen\\ a \strgt, \gr{BG},\\ the alternate angles \gr{ABG} and \gr{BGD}\\ equal to one another are.\\ Moreover, since parallel is\\ \gr{AG} to \gr{BD},\\ and on these has fallen\\ \gr{BG},\\ the alternate angles \gr{AGB} and \gr{GBD}\\ equal to one another are.\\ Then two triangles there are,\\ \gr{ABG} and \gr{BGA},\\ the two angles \gr{ABG} and \gr{BGA}\\ to the two \gr{BGD} and \gr{GBD}\\ equal having,\\ either to either,\\ and one side to one side equal,\\ that near the equal angles,\\ their common \gr{BG};\\ also then the remaining sides\\ to the remaining sides\\ equal they will have,\\ either to either,\\ and the remaining angle\\ to the remaining angle;\\ equal, therefore,\\ the \gr{AB} side to \gr{GD},\\ and \gr{AG} to \gr{BD},\\ and yet equal is the \gr{BAG} angle\\ to \gr{GDB}.\\ And since equal is the \gr{ABG} angle\\ to \gr{BGD},\\ and \gr{GBD} to \gr{AGB},\\ therefore the whole \gr{ABD}\\ to the whole \gr{AGD}\\ is equal.\\ And was shown also\\ \gr{BAG} to \gr{GDB} equal. } { >Epe`i g`ar par'allhl'oc >estin\\ ic a>ut`ac >emp'eptwken\\ e>uje~ia enall`ax gwn'iai a'isai >all'hlaic e>is'in.\\ p'alin >epe`i par'allhl'oc >estin\\ ic a>ut`ac >emp'eptwken\\ enall`ax gwn'iai a'isai >all'hlaic e>is'in.\\ d'uo d`h tr'igwn'a >esti\\ t`a ABG, BGD\\ t`ac d'uo gwn'iac t`ac 'isac >'eqonta\\ 'ishn\\ t`hn pr`oc ta~ic >'isaic gwn'iaic\\ koin`hn a>ut~wn t`hn BG;\\ ka`i t`ac loip`ac >'ara pleur`ac\\ ta~ic loipa~ic\\ {}>'isac <'exei\\ 'ish >'ara\\ 'eti >'ish >est`in epe`i >'ish >est`in 'ara estin >'ish.\\ {}>ede'iqjh d`e ka`i\\ 'ish. } { Çümkü, paralel olduğundans\\ \gr{AB}, \gr{GD} doğrusuna,\\ bunların üzerine düştüğünden\\ bir \gr{BG} doğrusu,\\ ters \gr{ABG} ve \gr{BGD} açıları\\ eşittir birbirlerine.\\ Dahası, paralel olduğundan\\ \gr{AG}, \gr{BD} doğrusuna,\\ ve bunların üzerine düştüğünden\\ \gr{BG},\\ ters açılar \gr{AGB} ve \gr{GBD}\\ eşittir birbirlerine..\\ Şimdi iki üçgen vardir;\\ \gr{ABG} ve \gr{BGA},\\ iki \gr{ABG} ve \gr{BGA} açıları\\ iki \gr{BGD} ve \gr{GBD} açılarına\\ eşit olan,\\ her biri birine,\\ ve bir kenarı, bir kenarına eşit olan,\\ eşit açıların yanında olan,\\ onların ortak \gr{BG} kenarı;\\ o zaman kalan kenarları da\\ kalan kenarlarına\\ eşit olacaklar ,\\ her biri birine,\\ ve kalan açı\\ kalan açıya;\\ eşit, dolayısıyla,\\ \gr{AB} kenarı \gr{GD} kenarına,\\ ve \gr{AG}, \gr{BD} kenarına,\\ ve eşittir \gr{BAG} açısı\\ \gr{GDB} açısına.\\ Ve eşit olduğundan \gr{ABG},\\ \gr{BGD} açısına,\\ ve \gr{GBD}, \gr{AGB} açısına,\\ dolayısıyla açının tamamı \gr{ABD},\\ açının tamamına, \gr{AGD}\\ eşittir.\\ Ve gösterilmişti ayrıca\\ \gr{BAG} ile \gr{GDB} açısının eşitliği. } \parsen{ Therefore, of parallelogram areas,\\ opposite sides and angles\\ equal to one another are. } { T~wn >'ara parallhlogr'ammwn qwr'iwn\\ aapenant'ion pleura'i te ka`i gwn'iai\\ {}>'isai >all'hlaic e>is'in. } { Dolayısıyla,paralelkenar alanların,\\ karşıt kenar ve açıları\\ eşittir birbirlerine. } \parsen{ I say then that\\ also the diameter them cuts in two. } { L'egw d'h, <'oti\\ ka`i ut`a d'iqa t'emnei. } { Şimdi iddia ediyorum ki\\ köşegen de onları ikiye keser. } \parsen{ For, since equal is \gr{AB} to \gr{GD},\\ and common [is] \gr{BG},\\ the two \gr{AB} and \gr{BG}\\ to the two \gr{GD} and \gr{BG}\\ equal are,\\ either to either;\\ and angle \gr{ABG}\\ to angle \gr{BGD}\\ equal.\\ Therefore also the base \gr{AG}\\ to the base \gr{DB}\\ equal.\\ Therefore also the \gr{ABG} triangle\\ to the \gr{BGD} triangle\\ is equal. } { >epe`i g`ar >'ish >est`in 'isai e>is`in\\ 'ish.\\ ka`i b'asic >'ara 'ish.\\ ka`i t`o ABG [>'ara] tr'igwnon\\ t~w| BGD trig'wnw|\\ {}>'ison >est'in. } { Çünkü, eşit olduğundan \gr{AB}, \gr{GD} kenarına,\\ ve \gr{BG} ortak,\\ \gr{AB} ve \gr{BG} ikilisi\\ - \gr{GD} ve \gr{BG} ikilisine\\ eşittirler,\\ her biri birine;\\ ve \gr{ABG} açısı\\ \gr{BGD} açısına\\ eşittir.\\ Dolayısıyla \gr{AG} tabanı da\\ \gr{DB} tabanına\\ eşittir.\\ Dolayısıyla \gr{ABG} üçgeni de\\ \gr{BGD} üögenine\\ eşittir. } \parsen{ Therefore the \gr{BG} diameter cuts in two\\ the \gr{ABGD} parallelogram;\\ \myqed } { 'ara BG di'ametroc d'iqa t'emnei\\ t`o ABGD parallhl'ogrammon;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla \gr{BG} köşegeni ikiye böler\\ \gr{ABGD} paralelkenarını;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.441875)(4.563125,1.441875) \psline[linewidth=0.04cm](4.1671877,1.198125)(0.7671875,1.198125) \psline[linewidth=0.04cm](0.7671875,1.198125)(0.3671875,-1.181875) \psline[linewidth=0.04cm](0.3671875,-1.181875)(3.7471876,-1.181875) \psline[linewidth=0.04cm](3.7471876,-1.181875)(4.1671877,1.198125) \psline[linewidth=0.04cm](4.1671877,1.198125)(0.3871875,-1.161875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.514375,1.183125){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.39375,1.263125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.9671874,-1.296875){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10828125,-1.236875){\gr G} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.35 \parsen{ Parallelograms\\ on the same base being\\ and in the same parallels\\ equal to one another are. } { T`a parallhl'ogramma\\ t`a >ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>'isa >all'hloic >est'in. } { Paralelkenarlar;\\ aynı tabanda olan\\ ve aynı paralellerde olanlar,\\ birbirlerine eşittir. } \parsen{ Let there be\\ parallelograms\\ \gr{ABGD} and \gr{EBGD}\\ on the same base, \gr{GB},\\ and in the same parallels,\\ \gr{AZ} and \gr{BG}. } { >'Estw\\ parallhl'ogramma\\ t`a ABGD, EBGZ\\ {}>ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc t~hc BG\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic AZ, BG; } { Verilmiş olsun\\ paralelkenarlar,\\ \gr{ABGD} ve \gr{EBGD},\\ aynı \gr{GB} tabanında,\\ ve aynı\\ \gr{AZ} ve \gr{BG} paralellerinde. } \parsen{ I say that\\ equal is\\ \gr{ABGD}\\ to the trapezium \gr{EBGZ}. } { l'egw, <'oti\\ {}>'ison >est`i\\ t`o ABGD\\ t~w| EBGZ parallhlogr'ammw|. } { İddia ediyorum ki\\ eşittir\\ \gr{ABGD}\\ \gr{EBGZ} yamuğuna. } \parsen{ For, since\\ a parallelogram is \gr{ABGD},\\ equal is \gr{AD} to \gr{BG}.\\ Similarly then also,\\ \gr{EZ} to \gr{BG} is equal;\\ so that also \gr{AD} to \gr{EZ} is equal;\\ and common [is] \gr{DE};\\ therefore \gr{AE}, as a whole,\\ to \gr{DZ}, as a whole,\\ is equal.\\ Is also \gr{AB} to \gr{DG} equal.\\ Then the two \gr{EA} and \gr{AB}\\ to the two \gr{ZD} and \gr{DG}\\ equal are\\ either to either;\\ also angle \gr{ZDG}\\ to \gr{EAB}\\ is equal,\\ the exterior to the interior;\\ therefore the base \gr{EB}\\ to the base \gr{ZG}\\ is equal,\\ and triangle \gr{EAB}\\ to triangle \gr{DZG}\\ equal will be;\\ suppose has been removed, commonly,\\ \gr{DHE};\\ therefore the trapezium \gr{ABHD} that remains\\ to the trapezium \gr{EHGZ} that remains\\ is equal;\\ let be added in common\\ the triangle \gr{HBG};\\ therefore the trapezium \gr{ABGD} as a whole\\ to the trapezium \gr{EBGZ} as a whole\\ is equal. } { >Epe`i g`ar\\ parallhl'ogramm'on >esti t`o ABGD,\\ {}>'ish >est`in ut`a d`h ka`i\\ estin >'ish;\\ <'wste ka`i estin >'ish;\\ ka`i koin`h 'ara estin >'ish.\\ {}>'esti d`e ka`i 'ish;\\ d'uo d`h a'isai e>is`in\\ estin >'ish\\ ekt`oc t~h| >ent'oc;\\ b'asic >'ara 'ish >est'in,\\ ka`i t`o EAB tr'igwnon\\ t~w| DZG trig'wnw|\\ {}>'ison >'estai;\\ koin`on >afh|r'hsjw t`o DHE;\\ loip`on >'ara t`o ABHD trap'ezion\\ loip~w| t~w| EHGZ trapez'iw|\\ {}>est`in >'ison;\\ koin`on proske'isjw t`o HBG tr'igwnon;\\ <'olon >'ara t`o ABGD parallhl'ogrammon\\ <'olw| t~w| EBGZ parallhlogr'ammw|\\ {}>'ison >est'in. } { Çünkü\\ bir paralelkenar olduğundan \gr{ABGD},\\ eşittir \gr{AD}, \gr{BG} kenarına.\\ Benzer şekilde o zaman,\\ \gr{EZ}, \gr{BG} kenarına eşittir;\\ böylece \gr{AD} da \gr{EZ} kenarına eşittir;\\ ve ortaktır \gr{DE};\\ dolayısıyla \gr{AE}, bir bütün olarak,\\ \gr{DZ} kenarına\\ eşittir.\\ \gr{AB} da \gr{DG} kenarına eşittir.\\ O zaman \gr{EA} ve \gr{AB} ikilisi\\ \gr{ZD} ve \gr{DG} ikilisine\\ eşittirler\\ her biri birine;\\ ve \gr{ZDG} açısı da\\ \gr{EAB} açısına\\ eşittirl,\\ dış açı, iç açıya;\\ dolayısıyla \gr{EB} tabanı\\ \gr{ZG} tabanına\\ eşittir,\\ ve \gr{EAB} üçgeni\\ \gr{DZG} üçgenine\\ eşit olacak;\\ kaldırılmış olsun, ortak olarak,\\ \gr{DHE};\\ dolayısıyla kalan \gr{ABHD} yamuğu\\ kalan \gr{EHGZ} yamuğuna\\ eşittir;\\ eklenmiş olsun her ikisine birden\\ \gr{HBG} üçgeni;\\ dolayısıyla \gr{ABGD} yamuğunun tamamı\\ \gr{EBGZ} yamuğunun tamamına\\ eşittir. } \parsen{ Therefore parallelograms\\ on the same base being\\ and in the same parallels\\ equal to one another are;\\ \myqed } { T`a >'ara parallhl'ogramma\\ t`a >ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>'isa >all'hloic >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısısyla paralelkenarlar;\\ aynı tabanda olan\\ ve aynı paralellerde olanlar,\\ birbirlerine eşittir;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.051875)(4.8871875,1.051875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.504375,-0.9015625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,0.6784375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.0971875,0.8784375){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.6782813,-0.9015625){\gr G} \psline[linewidth=0.04cm](0.7171875,-0.7265625)(2.5371876,-0.7265625) \psline[linewidth=0.04cm](0.3171875,0.6934375)(2.1371875,0.6934375) \psline[linewidth=0.04cm](0.7171875,-0.7265625)(0.3171875,0.7134375) \psline[linewidth=0.04cm](2.5171876,-0.7265625)(2.1171875,0.7134375) \psline[linewidth=0.04cm](0.7171875,-0.7065625)(2.8371875,0.6934375) \psline[linewidth=0.04cm](2.5171876,-0.7265625)(4.5371876,0.6734375) \psline[linewidth=0.04cm](4.5171876,0.6734375)(2.0971875,0.6934375) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.8792188,0.8584375){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.739844,0.6584375){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.5203125,0.1584375){\gr H} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.36 \parsen{ Parallelograms\\ that are on equal bases\\ and in the same parallels\\ are equal to one another. } { T`a parallhl'ogramma\\ t`a >ep`i >'iswn b'asewn >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>'isa >all'hloic >est'in. } { Paralelkenarlar;\\ eşit tabanlarda olanlar\\ ve aynı paralellerde olanlar\\ eşittirler birbirlerine. } \parsen{ Let there be\\ parallelograms\\ \gr{ABGD} and \gr{EZHJ}\\ on equal bases,\\ \gr{BG} and \gr{ZH},\\ and in the same parallels,\\ \gr{AJ} and \gr{BH}. } { >'Estw\\ parallhl'ogramma\\ t`a ABGD, EZHJ\\ {}>ep`i >'iswn b'asewn >'onta\\ t~wn BG, ZH\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic AJ, BH; } { Verilmiş olsun\\ paralelkenarlar\\ \gr{ABGD} ve\gr{EZHJ}\\ eşit\\ \gr{BG} ve \gr{ZH} tabanlarında,\\ ve aynı\\ \gr{AJ} ve \gr{BH} paralellerinde. } \parsen{ I say that\\ equal is\\ parallelogram \gr{ABGD}\\ to \gr{EZHJ}. } { l'egw, <'oti\\ {}>'ison >est`i\\ t`o ABGD parallhl'ogrammon\\ t~w| EZHJ. } { İddia ediyorum ki\\ eşittir\\ \gr{ABGD},\\ \gr{EZHJ} paralelkenarına. } \parsen{ For, suppose have been joined\\ \gr{BE} and \gr{GJ}. } { >Epeze'uqjwsan g`ar\\ aepe`i >'ish >est`in all`a estin >'ish,\\ ka`i 'ara t~h| EJ >estin >'ish.\\ e>is`i d`e ka`i par'allhloi.\\ ka`i >epizeugn'uousin a>ut`ac a'isac te ka`i parall'hlouc >ep`i t`a a>ut`a m'erh >epizeugn'uousai\\ {}>'isai te ka`i par'allhlo'i e>isi\\ {}[ka`i a'ara\\ {}>'isai t'e e>isi ka`i par'allhloi].\\ parallhl'ogrammon >'ara >est`i t`o EBGJ.\\ ka'i >estin >'ison t~w| ABGD;\\ b'asin te g`ar a>ut~w| t`hn a>ut`hn >'eqei\\ t`hn BG,\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>est`in a>ut~w| ta~ic BG, AJ.\\ d`ia t`a a>ut`a d`h\\ ka`i t`o EZHJ t~w| a>ut~w| t~w| EBGJ\\ {}>estin >'ison;\\ <'wste ka`i t`o ABGD parallhl'ogrammon\\ t~w| EZHJ >estin >'ison. } { Ve eşit olduğundan \gr{BG} ile \gr{ZH},\\ ama \gr{ZH}, \gr{EJ} kenarına eşittir,\\ dolayısıyla \gr{BG} da \gr{EJ} kenarına eşittir.\\ Ve paraleldirler de.\\ Ayrıca \gr{EB} ve \gr{JG} onları birleştirir.\\ Ve eşit ve paralelleri aynı tarafta birleştiren doğrular\\ eşit ve paraleldirler.\\ {}[Yine dolayısıyla \gr{EB} ve \gr{HJ} \\eşit ve paraleldirler.]\\ Dolayısıyla \gr{EBGJ} bir paralelkenardır.\\ Ve eşittir \gr{ABGJ} paralelkenarına.\\ Çünkü onunla aynı,\\ \gr{BG} tabanı vardır,\\ ve onunla aynı paralelleri,\\ \gr{BG} ve \gr{AJ} vardır.\\ Aynı sebeple o şimdi,\\ \gr{EZHJ} da ona, [yani] \gr{EBGJ} paralelkenarına,\\ eşittir;\\ böylece \gr{ABGD},\\ \gr{EZHJ} paralelkenarına eşittir. } \parsen{ Therefore parallelograms\\ that are on equal bases\\ and in the same parallels\\ are equal to one another;\\ \myqed } { T`a >'ara parallhl'ogramma\\ t`a >ep`i >'iswn b'asewn >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>'isa >all'hloic >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla paralelkenarlar;\\ eşit tabanlarda olanlar\\ ve aynı paralellerde olanlar\\ eşittirler birbirlerine;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.981875)(8.106563,1.981875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.7715625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.560625,1.7684375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.7140625,1.7684375){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.2751563,-1.8315625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.296094,1.8084375){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.516719,-1.8115625){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(7.9371877,-1.8115625){\gr H} \psline[linewidth=0.04cm](0.7340625,1.5834374)(6.5540624,1.5834374) \psline[linewidth=0.04cm](0.3340625,-1.6165625)(7.7340627,-1.6165625) \psline[linewidth=0.04cm](0.3340625,-1.6165625)(0.7540625,1.5834374) \psline[linewidth=0.04cm](7.7340627,-1.6165625)(6.5340624,1.6034375) \psline[linewidth=0.04cm](2.7140625,1.5634375)(2.3340626,-1.5965625) \psline[linewidth=0.04cm](2.3340626,-1.5965625)(6.5540624,1.5834374) \psline[linewidth=0.04cm](5.5340624,-1.6165625)(4.3540626,1.5834374) \psline[linewidth=0.04cm](0.3340625,-1.5965625)(4.3540626,1.5634375) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.719375,1.7684375){\gr J} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.37 \parsen{ Triangles\\ that are on the same base\\ and in the same parallels\\ are equal to one another. } { T`a tr'igwna\\ t`a >ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>'isa >all'hloic >est'in. } { Üçgenler;\\ aynı tabanda\\ ve aynı paralellerde olanlar,\\ eşittir birbirlerine. } \parsen{ Let there be\\ triangles \gr{ABG} and \gr{DBG},\\ on the same base \gr{BG}\\ and in the same parallels\\ \gr{AD} and \gr{BG}. } { >'Estw\\ tr'igwna t`a ABG, DBG\\ {}>ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc t~hc BG\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic AD, BG; } { Verilmiş olsun\\ \gr{ABG} ve \gr{DBG} üçgenleri,\\ aynı \gr{BG} tabanında\\ ve aynı\\ \gr{AD} ve \gr{BG} paralellerinde. } \parsen{ I say that\\ equal is\\ triangle \gr{ABG}\\ to triangle \gr{DBG}. } { l'egw, <'oti\\ {}>'ison >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| DBG trig'wnw|. } { İddia ediyorum ki\\ eşittir\\ \gr{ABG} üçgeni\\ \gr{DBG} üçgenine. } \parsen{ Suppose has been extended\\ \gr{AD} on both sides to \gr E and \gr Z,\\ and through \gr B,\\ parallel to \gr{GA}\\ has been drawn \gr{BE},\\ and through \gr G\\ parallel to \gr{BD}\\ has been drawn \gr{GZ}. } { >Ekbebl'hsjw\\ ef> ep`i t`a E, Z,\\ ka`i di`a m`en to~u B\\ t~h| GA par'allhloc\\ {}>'hqjw 'hqjw 'ara\\ {}>est`in isin >'isa;\\ {}>ep'i te g`ar t~hc a>ut~hc b'ase'wc e>isi\\ t~hc BG\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic BG, EZ;\\ ka'i >esti\\ to~u m`en EBGA parallhlogr'ammou\\ <'hmisu\\ t`o ABG tr'igwnon;\\ ut`o d'iqa t'emnei;\\ to~u d`e DBGZ parallhlogr'ammou\\ <'hmisu\\ t`o DBG tr'igwnon;\\ ut`o d'iqa t'emnei.\\ {}[t`a d`e t~wn >'iswn 'isa >all'hloic >est'in].\\ {}>'ison >'ara >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon t~w| DBG trig'wnw|. } { Dolayısıyla birer paralelkenardır\\ \gr{EBGA} ile \gr{DBGZ};\\ ve bunlar eşittir;\\ aynı \\ \gr{BG} tabanında,\\ ve aynı,\\ \gr{BG} ve \gr{EZ} paralellerinde oldukları için;\\ ve\\ \gr{EBGA} paralelkenarının\\ yarısı\\ --- \gr{ABG} üçgenidir;\\ \gr{AB} köşegeni onu ikiye kestiği için;\\ \gr{DBGZ} paralelkenarının\\ yarısı\\ --- \gr{DBG} üçgenidir;\\ \gr{DG} köşegeni onu ikiye kestiği için.\\ {}[Ve eşitlerin yarıları\\ eşittirler birbirlerine.]\\ Dolayısıyla eşittir\\ \gr{ABG} üçgeni \gr{DBG} üçgenine. } \parsen{ Therefore triangles\\ that are on the same base\\ and in the same parallels\\ are equal to one another;\\ \myqed } { T`a >'ara tr'igwna\\ t`a >ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>'isa >all'hloic >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla üçgenler;\\ aynı tabanda\\ ve aynı paralellerde olanlar,\\ eşittir birbirlerine;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.801875)(6.5225,1.801875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.6196876,-1.5915625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.3790624,1.5884376){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.7125,1.6284375){D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.5735936,-1.6515625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.09453125,1.5084375){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.3751564,1.5084375){\gr Z} \psline[linewidth=0.04cm](0.3325,1.4034375)(6.1525,1.4034375) \psline[linewidth=0.04cm](1.7325,-1.3965625)(4.5525,-1.3965625) \psline[linewidth=0.04cm](4.5525,-1.3965625)(6.1525,1.4034375) \psline[linewidth=0.04cm](1.7525,-1.3965625)(0.3525,1.4034375) \psline[linewidth=0.04cm](1.7525,-1.3765625)(2.3325,1.4034375) \psline[linewidth=0.04cm](2.3325,1.4034375)(4.5525,-1.3965625) \psline[linewidth=0.04cm](4.5525,-1.3965625)(3.6725,1.4034375) \psline[linewidth=0.04cm](3.6925,1.4034375)(1.7525,-1.4165626) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.38 \parsen{ Triangles\\ that are on equal bases\\ and in the same parallels\\ are equal to one another. } { T`a tr'igwna\\ t`a >ep`i >'iswn b'asewn >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ >'isa >all'hloic >est'in. } { Üçgenler;\\ eşit tabanlarda\\ ve aynı paralelerde olanlar,\\ eşittir birbirlerine. } \parsen{ Let there be\\ triangles \gr{ABG} and \gr{DEZ}\\ on equal bases \gr{BG} and \gr{EZ}\\ and in the same parallels\\ \gr{BZ} and \gr{AD}. } { >'Estw\\ tr'igwna t`a ABG, DEZ\\ >ep`i >'iswn b'asewn t~wn BG, EZ\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic BZ, AD; } { Verilmiş olsun\\ \gr{ABG} ve \gr{DEZ} üçgenleri\\ eşit \gr{BG} ve \gr{EZ} tabanlarında\\ ve aynı \\ \gr{BZ} ve \gr{AD} paralellerinde. } \parsen{ I say that\\ equal is\\ triangle \gr{ABG}\\ to triangle \gr{DEZ}. } { l'egw, <'oti\\ {}>'ison >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| DEZ trig'wnw|. } { İddia ediyorum ki\\ eşittir\\ \gr{ABG} üçgeni\\ \gr{DEZ} üçgenine. } \parsen{ For, suppose has been extended\\ \gr{AD} on both sides to \gr H and \gr J,\\ and through \gr B,\\ parallel to \gr{GA},\\ has been drawn \gr{BH},\\ and through \gr Z,\\ parallel to \gr{DE},\\ has been drawn \gr{ZJ}. } { >Ekbebl'hsjw g`ar\\ ef> ep`i t`a H, J,\\ ka`i di`a m`en to~u B\\ t~h| GA par'allhloc\\ >'hqjw 'hqjw 'ara\\ {}>est`in 'ison t`o HBGA t~w| DEZJ;\\ {}>ep'i te g`ar >'iswn b'ase'wn e>isi\\ t~wn BG, EZ\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic BZ, HJ;\\ ka'i >esti\\ to~u m`en HBGA parallhlogr'ammou\\ <'hmisu\\ t`o ABG tr'igwnon.\\ ut`o d'iqa t'emnei;\\ to~u d`e DEZJ parallhlogr'ammou\\ <'hmisu\\ t`o ZED tr'igwnon;\\ ut`o d'iqa t'emnei\\ {}[t`a d`e t~wn >'iswn 'isa >all'hloic >est'in].\\ {}>'ison >'ara >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon t~w| DEZ trig'wnw|. } { Dolayısıyla birer paralelkenardır\\ \gr{HBGA} ile \gr{DEZJ};\\ ve \gr{HBGA} eşittir \gr{DEZJ} paralelkenarına;\\ eşit,\\ \gr{BG} ve \gr{EZ} tabanlarında,\\ ve aynı,\\ \gr{BZ} ve \gr{HJ} paralellerinde oldukları için;\\ ve\\ \gr{HBGA} paralelkenarının\\ yarısı\\ ---\gr{ABG} üçgenidir.\\ \gr{AB} köşegeni onu ikiye kestiği için;\\ ve \gr{DEZJ} paralelkenarının\\ yarısı\\ --- \gr{ZED} üçgenidir;\\ \gr{DZ} köşegeni onu ikiye kestiği için.\\ {}[Ve eşitlerin yarıları\\ eşittirler birbirlerine.]\\ Dolayısıyla eşittir\\ \gr{ABG} üçgeni \gr{DEZ} üçgenine. } \parsen{ Therefore triangles\\ that are on equal bases\\ and in the same parallels\\ are equal to one another;\\ \myqed } { T`a >'ara tr'igwna\\ t`a >ep`i >'iswn b'asewn >'onta\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ {}>'isa >all'hloic >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla üçgenler;\\ eşit tabanlarda\\ ve aynı paralelerde olanlar,\\ eşittir birbirlerine;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.7645313)(5.7840624,1.7645313) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.5742188){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.360625,1.5857812){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.9140625,1.5857812){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.8551563,-1.6142187){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.5160937,-1.5942187){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.6367188,-1.5742188){\gr Z} \psline[linewidth=0.04cm](0.6740625,1.4007813)(4.8940625,1.4207813) \psline[linewidth=0.04cm](0.3140625,-1.3992188)(5.4940624,-1.3792187) \psline[linewidth=0.04cm](0.6940625,1.4007813)(0.3340625,-1.3992188) \psline[linewidth=0.04cm](0.3340625,-1.3992188)(2.2740624,1.3807813) \psline[linewidth=0.04cm](2.2740624,1.3807813)(1.8940625,-1.3992188) \psline[linewidth=0.04cm](4.8940625,1.4207813)(5.4740624,-1.3592187) \psline[linewidth=0.04cm](5.4740624,-1.3592187)(2.8740625,1.4207813) \psline[linewidth=0.04cm](3.5140624,-1.3792187)(2.8940625,1.4207813) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.079375,1.5057813){\gr J} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.4971875,1.5257813){\gr H} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.39 \parsen{ Equal triangles\\ that are on the same base\\ and in the same parts\\ are also in the same parallels. } { T`a >'isa tr'igwna\\ t`a >ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc >'onta\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >est'in. } { Eşit üçgenler;\\ aynı tabanda \\ ve onun aynı tarafında olan,\\ aynı paralellerdedirler de. } \parsen{ Let there be\\ equal triangles \gr{ABG} and \gr{DBG},\\ being on the same base\\ and on the same side of \gr{BG}. } { >'Estw\\ {}>'isa tr'igwna t`a ABG, DBG\\ {}>ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc >'onta\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh t~hc BG; } { Verilmiş olsun\\ \gr{ABG} ve \gr{DBG} eşit üçgenleri,\\ aynı \gr{BG} tabanında\\ ve onun aynı tarafında olan . } \parsen{ I say that\\ they are also in the same parallels. } { l'egw, <'oti\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >est'in. } { İddia ediyorum ki\\ aynı paralellerdedirler de. } \parsen{ For suppose has been joined \gr{AD}. } { >Epeze'uqjw g`ar estin i g`ar m'h,\\ {}>'hqjw\\ di`a to~u A shme'iou\\ t~h| BG e>uje'ia| par'allhloc\\ epeze'uqjw 'ison >'ara >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| EBG trig'wnw|;\\ {}>ep'i te g`ar t~hc a>ut~hc b'ase'wc\\ {}>estin a>ut~w| t~hc BG\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic.\\ {}>all`a t`o ABG t~w| DBG >estin >'ison;\\ ka`i t`o DBG >'ara t~w| EBG >'ison >est`i\\ t`o me~izon t~w| >el'assoni;\\ <'oper >est`in >ad'unaton;\\ o>uk >'ara par'allhl'oc >estin ud> >'allh tic pl`hn t~hc AD;\\ 'ara t~h| BG >esti par'allhloc. } { Çünkü eğer değil ise,\\ çizilmiş olduğu varsayılsın\\ \gr A noktasından\\ \gr{BG} doğrusuna paralel\\ \gr{AE} doğrusunun,\\ ve birleştirildiği \gr{EG} doğrusunun.\\ Eşittir dolayısıyla\\ \gr{ABG} üçgeni\\ \gr{EBG} üçgenine;\\ onunla aynı\\ \gr{BG} tabanında,\\ ve aynı paralellerde olduğu için.\\ Ama \gr{ABG} eşittir \gr{DBG} üçgenine.\\ Ve dolayısıyla \gr{DBG}, \gr{EBG} üçgenine eşittir,\\ büyük küçüğe;\\ ki bu imkansızdır.\\ Dolayısıyla paralel değildir \gr{AE}, \gr{BG} doğrusuna.\\ Benzer şekilde o zaman göstereceğiz ki\\ \gr{AD} dışındakiler de paralel değildid ;\\ dolayısıyla \gr{AD}, \gr{BG} doğrusuna paaraleldir. } \parsen{ Therefore equal triangles\\ that are on the same base\\ and in the same parts\\ are also in the same parallels;\\ \myqed } { T`a >'ara >'isa tr'igwna\\ t`a >ep`i t~hc a>ut~hc b'asewc >'onta\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla eşit üçgenler;\\ aynı tabanda \\ ve onun aynı tarafında olan,\\ aynı paralellerdedirler de;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.721875)(5.7890625,1.721875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.576875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.440625,1.543125){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.0940623,1.543125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.615156,-1.536875){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.8560936,0.483125){\gr E} \psline[linewidth=0.04cm](0.6740625,1.398125)(4.8940625,1.418125) \psline[linewidth=0.04cm](0.3140625,-1.401875)(5.4940624,-1.381875) \psline[linewidth=0.04cm](0.6940625,1.398125)(0.3340625,-1.401875) \psline[linewidth=0.04cm](4.8940625,1.418125)(5.4740624,-1.361875) \psline[linewidth=0.04cm](0.3340625,-1.381875)(4.9140625,1.418125) \psline[linewidth=0.04cm](5.4740624,-1.361875)(0.6940625,1.398125) \psline[linewidth=0.04cm](0.7140625,1.398125)(3.9140625,0.798125) \psline[linewidth=0.04cm](3.9140625,0.798125)(5.4740624,-1.381875) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.40 \parsen{ Equal triangles\\ that are on equal bases\\ and in the same parts\\ are also in the same parallels. } { T`a >'isa tr'igwna\\ t`a >ep`i >'iswn b'asewn >'onta\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >est'in. } { Eşit üçgenler,\\ eşit tabanlarda\\ ve aynı tarafta olan,\\ aynı paralelerdedirler de. } \parsen{ Let there be\\ equal triangles \gr{ABG} and \gr{GDE},\\ on equal bases \gr{BG} and \gr{GE},\\ and in the same parts. } { >'Estw\\ {}>'isa tr'igwna t`a ABG, GDE\\ {}>ep`i >'iswn b'asewn t~wn BG, GE\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh. } { Verilmiş olsun\\ eşit \gr{ABG} ve \gr{GDE} üçgenleri,\\ eşit \gr{BG} ve \gr{GE} tabanlarında,\\ ve aynı tarafta olan. } \parsen{ I say that\\ they are also in the same parallels. } { l'egw, <'oti\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >est'in. } { İddia ediyorum ki\\ aynı paralellerdedirler de. } \parsen{ For suppose \gr{AD} has been joined. } { >Epeze'uqjw g`ar estin i g`ar m'h,\\ {}>'hqjw\\ di`a to~u A\\ t~h| BE par'allhloc\\ epeze'uqjw 'ison >'ara >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| ZGE trig'wnw|;\\ {}>ep'i te g`ar >'iswn b'ase'wn e>isi\\ t~wn BG, GE\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic BE, AZ.\\ {}>all`a t`o ABG tr'igwnon\\ {}>'ison >est`i t~w| DGE [tr'igwnw|];\\ ka`i t`o DGE >'ara [tr'igwnon]\\ {}>'ison >est`i t~w| ZGE trig'wnw|\\ t`o me~izon t~w| >el'assoni;\\ <'oper >est`in >ad'unaton;\\ o>uk >'ara par'allhloc ud> >'allh tic pl`hn t~hc AD;\\ 'ara t~h| BE >esti par'allhloc. } { Çünkü eğer değil ise,\\ varsayılsın birleştirildiği\\ \gr A noktasından,\\ \gr{BE} doğrusuna paralel,\\ \gr{AZ} doğrusunun,\\ ve birleştirildiği \gr{ZE} doğrusunun.\\ Dolayısıyla eşittir\\ \gr{ABG} üçgeni\\ \gr{ZGE} üçgenine;\\ eşit,\\ \gr{BG} ve \gr{GE} tabanlarında,\\ ve aynı,\\ \gr{BE} ve \gr{AZ} paralellerinde oldukları için.\\ Fakat \gr{ABG} üçgeni\\ eşittir \gr{DGE} üçgenine;\\ ve dolayısıyla \gr{DGE} üçgenini\\ eşittir \gr{ZGE} üçgenine,\\ büyük küçüğe;\\ ki bu imkansızdır.\\ Dolayısıyla paralel değildir \gr{AZ}, \gr{BE} doğrusuna.\\ Benzer şekilde o zaman göstereceğiz ki\\ \gr{AD} dışındakiler de paralel değildid ;\\ dolayısıyla \gr{AD}, \gr{BE} doğrusuna paaraleldir. } \parsen{ Therefore equal triangles\\ that are on equal bases\\ and in the same parts\\ are also in the same parallels;\\ \myqed } { T`a >'ara >'isa tr'igwna\\ t`a >ep`i >'iswn b'asewn >'onta\\ ka`i >ep`i t`a a>ut`a m'erh\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla eşit üçgenler,\\ eşit tabanlarda\\ ve aynı tarafta olan,\\ aynı paralelerdedirler de;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.7245313)(5.845625,1.7245313) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.5742188){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.440625,1.5457813){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.0940623,1.5457813){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.8751562,-1.5742188){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.6960936,-1.5142188){\gr E} \psline[linewidth=0.04cm](0.6740625,1.4007813)(4.8940625,1.4207813) \psline[linewidth=0.04cm](0.3140625,-1.3992188)(5.4940624,-1.3792187) \psline[linewidth=0.04cm](0.6940625,1.4007813)(0.3340625,-1.3992188) \psline[linewidth=0.04cm](4.8940625,1.4207813)(5.4740624,-1.3592187) \psline[linewidth=0.04cm](2.9140625,-1.3992188)(4.9140625,1.4207813) \psline[linewidth=0.04cm](2.8940625,-1.3792187)(0.6940625,1.4007813) \psline[linewidth=0.04cm](0.7140625,1.4007813)(4.4740624,0.82078123) \psline[linewidth=0.04cm](4.4740624,0.82078123)(5.4740624,-1.3592187) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.036719,0.6457813){\gr Z} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.41 \parsen{ If a parallelogram\\ have the same base as a triangle,\\ and be in the same parallels,\\ double is\\ the parallelogram of the triangle. } { >E`an parallhl'ogrammon\\ trig'wnw| b'asin te >'eqh| t`hn a>ut`hn\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >~h|,\\ dipl'asi'on >est'i\\ t`o parallhl'ogrammon to~u trig'wnou. } { Eğer bir paralelkenar\\ bir üçgenle aynı tabana sahipse,\\ ve aynı paralelerdeyse,\\ iki katıdır\\ paralelkenar, üçgenin. } \parsen{ For, the parallelogram \gr{ABGD}\\ as the triangle \gr{EBG},\\ ---suppose it has the same base, \gr{BG},\\ and is in the same parallels,\\ \gr{BG} and \gr{AE}. } { Parallhl'ogrammon g`ar t`o ABGD\\ trig'wnw| t~w| EBG\\ b'asin te >eq'etw t`hn a>ut`hn t`hn BG\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >'estw\\ ta~ic BG, AE; } { Çünkü \gr{ABGD} paralelkenarının\\ \gr{EBG} üçgeniyle,\\ ---saynı \gr{BG} tabanı olduğu varsayılsın,\\ ve aynı\\ \gr{BG} ve \gr{AE} paralelerinde oldukları. } \parsen{ I say that\\ double is\\ the parallelogram \gr{ABGD}\\ of the triangle \gr{BEG}. } { l'egw, <'oti\\ dipl'asi'on >esti\\ t`o ABGD parallhl'ogrammon\\ to~u BEG trig'wnou. } { İddia ediyorum ki\\ iki katıdır\\ \gr{ABGD} paralelkenarı\\ \gr{BEG} üçgeninin. } \parsen{ For, suppose \gr{AG} has been joined. } { >Epeze'uqjw g`ar 'ison d'h >esti t`o ABG tr'igwnon\\ t~w| >EBG trig'wnw|;\\ {}>ep'i te g`ar t~hc a>ut~hc b'ase'wc >estin a>ut~w|\\ t~hc BG\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic BG, AE.\\ {}>all`a t`o >ABGD parallhl'ogrammon\\ dipl'asi'on >esti to~u ABG trig'wnou;\\ AG di'ametroc a>ut`o d'iqa t'emnei;\\ <'wste t`o ABGD parallhl'ogrammon\\ {}>ka`i to~u EBG trig'wnou >est`i dipl'asion. } { Eşittir \gr{ABG} üçgeni\\ \gr{EBG} üçgenine;\\ onunla aynı,\\ \gr{BG} tabanına sahip,\\ ve aynı\\ \gr{BG} ve \gr{AE} paralelerinde olduğu için.\\ Fakat \gr{ABGD} paralelkenarı\\ iki katıdır \gr{ABG} üçgeninin;\\ \gr{AG} köşegeni onu ikiye kestiğinden;\\ böylece \gr{ABGD} paralelkenarı da\\ gr{EBG} üçgeninin iki katıdır. } \parsen{ Therefore, if a parallelogram\\ have the same base as a triangle,\\ and be in the same parallels,\\ double is\\ the parallelogram of the triangle;\\ \myqed } { >E`an >'ara parallhl'ogrammon\\ trig'wnw| b'asin te >'eqh| t`hn a>ut`hn\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic >~h|,\\ dipl'asi'on >est'i\\ t`o parallhl'ogrammon to~u trig'wnou;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, eğer bir paralelkenar\\ bir üçgenle aynı tabana sahipse,\\ ve aynı paralelerdeyse,\\ iki katıdır\\ paralelkenar, üçgenin;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.521875)(5.44875,1.521875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.924375,-1.3515625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,1.3084375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.1171875,1.3484375){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.278281,-1.3715625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.2992187,1.2884375){\gr E} \psline[linewidth=0.04cm](1.0971875,-1.2165625)(4.0971875,-1.1965625) \psline[linewidth=0.04cm](4.0971875,-1.1965625)(3.0971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](3.0971875,1.1834375)(0.2971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](0.2971875,1.1834375)(1.0971875,-1.2165625) \psline[linewidth=0.04cm](1.0971875,-1.2165625)(5.0971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](5.0971875,1.1834375)(3.0571876,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](4.0771875,-1.1965625)(5.0971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](4.0971875,-1.1765625)(0.2971875,1.1834375) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.42 \parsen{ To the given triangle equal,\\ a parallelogram to construct\\ in the given rectilineal angle. } { T~w| doj'enti trig'wnw| >'ison\\ parallhl'ogrammon sust'hsasjai\\ {}>en t~h| doje'ish| gwn'ia| e>ujugr'ammw|. } { Verilen bir üçgene eşit,\\ bir paralelkenarı\\ verilen bir düzkenar açıda inşa etmek. } \parsen{ Let be\\ the given triangle \gr{ABG},\\ and the given rectilineal angle, \gr D. } { >'Estw\\ t`o m`en doj`en tr'igwnon t`o ABG,\\ uj'ugrammoc 'ison\\ parallhl'ogrammon sust'hsasjai\\ {}>en t~h| D gwn'ia| e>ujugr'ammw|. } { Şimdi gerklidir\\ \gr{ABG} üçgenine eşit\\ bir paralelkenarın\\ \gr D düzkenar açısına inşa edilmesi. } \parsen{ Suppose \gr{BG} has been cut in two at \gr E,\\ and there has been joined \gr{AE},\\ and there has been constructed\\ on the \strgt\ \gr{EG},\\ and at the point \gr E on it,\\ to angle \gr D equal,\\ \gr{GEZ},\\ also, through \gr A, parallel to \gr{EG},\\ suppose \gr{AH} has been drawn,\\ and through \gr G, parallel to \gr{EZ},\\ suppose \gr{GH} has been drawn;\\ therefore a parallelogram is \gr{ZEGH}. } { Tetm'hsjw epeze'uqjw uje'ia|\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| E\\ t~h| D gwn'ia| >'ish\\ 'hqjw 'hqjw 'ara >est`i t`o ZEGH. } { Varsayılsın \gr{BG} kenarının \gr E noktasında ikiye kesildiği\\ ve \gr{AE} doğrusunun birleştirildiği,\\ ve inşa edildiği\\ \gr{EG} doğrusunda,\\ ve üzerindeki\gr E noktasında,\\ \gr D açısına eşit,\\ \gr{GEZ} açısının,\\ ayrıca, \gr A noktasından, \gr{EG} doğrusuna paralel,\\ \gr{AH} doğrusunun çizilmiş olduğu varsayılsın,\\ ve \gr G noktasından, \gr{EZ} doğrusuna paralel,\\ \gr{GH} doğrusunun çizilmiş olduğu varsayılsın;\\ dolayısıyla \gr{ZEGH} bir paralelkenardır. } \parsen{ And since equal is \gr{BE} to \gr{EG},\\ equal is also\\ triangle \gr{ABE} to triangle \gr{AEG};\\ for they are on equal bases,\\ \gr{BE} and \gr{EG},\\ and in the same parallels,\\ \gr{BG} and \gr{AH};\\ double therefore is\\ triangle \gr{ABG} of triangle \gr{AEG}.\\ also is\\ parallelogram \gr{ZEGH}\\ double of triangle \gr{AEG};\\ for it has the same base as it,\\ and\\ is in the same parallels as it;\\ therefore is equal\\ the parallelogram \gr{ZEGH}\\ to the triangle \gr{ABG}.\\ And it has angle \gr{GEZ}\\ equal to the given \gr D. } { ka`i >epe`i >'ish >est`in 'ison >est`i ka`i\\ t`o ABE tr'igwnon t~w| AEG trig'wnw|;\\ {}>ep'i te g`ar >'iswn b'ase'wn e>isi\\ t~wn BE, EG\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic parall'hloic\\ ta~ic BG, AH;\\ dipl'asion >'ara >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon to~u AEG trig'wnou.\\ {}>'esti d`e ka`i\\ t`o ZEGH parallhl'ogrammon\\ dipl'asion to~u AEG trig'wnou;\\ b'asin te g`ar a>ut~w| t`hn a>ut`hn >'eqei\\ ka`i\\ {}>en ta~ic a>uta~ic >estin a>ut~w| parall'hloic;\\ {}>'ison >'ara >est`i\\ t`o ZEGH parallhl'ogrammon\\ t~w| ABG trig'wnw|.\\ ka`i >'eqei t`hn 'ishn t~h| doje'ish| t~h| D. } { Ve eşit olduğundan \gr{BE}, \gr{EG} doğrusuna,\\ eşittir\\ \gr{ABE} üçgeni de \gr{AEG} üçgenine;\\ tabanları\\ \gr{BE} ve \gr{EG} eşit,\\ ve aynı \\ \gr{BG} ve \gr{AH} paralelerinde oldukları için;\\ iki katıdır dolayısıyla\\ \gr{ABG} üçgeni \gr{AEG} üçgeninin,\\ ayrıca\\ \gr{ZEGH} paralelkenarı\\ iki katıdır \gr{AEG} üçgeninin;\\ onunla aynı tabanı olduğu,\\ ve\\ onunla aynı paralellerde olduğu için;\\ dolayısıyla eşittir\\ \gr{ZEGH} paralelkenarı\\ \gr{ABG} üçgenine.\\ Ve onun \gr{GEZ} açısı\\ eşittir verilen \gr D açısına. } \parsen{ Therefore, to the given triangle \gr{ABG}\\ equal,\\ a parallelogram has been constructed,\\ \gr{ZEGH},\\ in the angle \gr{GEZ},\\ which is equal to \gr D;\\ \myqef } { T~w| >'ara doj'enti trig'wnw| t~w| ABG\\ {}>'ison\\ parallhl'o\-gram\-mon sun'estatai\\ t`o ZEGH\\ {}>en gwn'ia| t~h| est`in >'ish t~h| D;\\ <'oper >'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla, verilen \gr{ABG} üçgenine\\ eşit,\\ bir paralelkenar,\\ \gr{ZEGH}, inşa edilmiş oldu\\ \gr{GEZ} aşısında,\\ \gr D aşısına eşit olan;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.521875)(5.44875,1.521875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.924375,-1.3515625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,1.3084375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.1171875,1.3484375){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.278281,-1.3715625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.2992187,1.2884375){\gr E} \psline[linewidth=0.04cm](1.0971875,-1.2165625)(4.0971875,-1.1965625) \psline[linewidth=0.04cm](4.0971875,-1.1965625)(3.0971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](3.0971875,1.1834375)(0.2971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](0.2971875,1.1834375)(1.0971875,-1.2165625) \psline[linewidth=0.04cm](1.0971875,-1.2165625)(5.0971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](5.0971875,1.1834375)(3.0571876,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](4.0771875,-1.1965625)(5.0971875,1.1834375) \psline[linewidth=0.04cm](4.0971875,-1.1765625)(0.2971875,1.1834375) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.43 \parsen{ Of any parallelogram,\\ of the parallelograms about the diameter,\\ the complements\\ are equal to one another. } { Pant`oc parallhlogr'ammou\\ t~wn per`i t`hn di'ametron parallhlogr'ammwn\\ t`a paraplhr'wmata\\ {}>'isa >all'hloic >est'in. } { Herhangi bir paralelkenarın,\\ köşegeni etrafındaki paralelkenarların,\\ tümleyenleri\\ eşittir birbirlerine. } \parsen{ Let there be\\ a parallelogram \gr{ABGD},\\ and its diameter, \gr{AG},\\ and about \gr{AG}\\ let be parallelograms,\\ \gr{EJ} and \gr{ZH},\footnotemark\\ and the so-called\footnotemark\ complements,\\ \gr{BK} and \gr{KD}. } { >'Estw\\ parallhl'ogrammon t`o ABGD,\\ di'ametroc d`e a>uto~u 'estw\\ t`a EJ, ZH,\\ t`a d`e leg'omena paraplhr'wmata\\ t`a BK, KD; } { Verilmiş olsun\\ bir \gr{ABGD} paralelkenarı,\\ ve onun \gr{AG} köşegeni,\\ ve \gr{AG} etrafında\\ paralelkenarlar,\\ \gr{EJ} ve \gr{ZH},\\ ve bunların tümleyenleri,\\ \gr{BK} ile \gr{KD}. } \myfntext{Here Euclid can use two letters without qualification for a parallelogram, because they are not unqualified in the Greek: they take the neuter article, while a line takes the feminine article.} \myfntext{This is Heath's translation. The Greek does not require anything corresponding to `so-'. The LSJ lexicon \cite{LSJ} gives the present proposition as the original geometrical use of \gr{parapl'hrwma}---other meanings are `expletive' and a certain flowering herb.} \parsen{ I say that\\ equal is the complement \gr{BK}\\ to the complement \gr{KD}. } { l'egw, <'oti\\ {}>'ison >est`i t`o BK parapl'hrwma\\ t~w| KD paraplhr'wmati. } { İddia ediyorum\\ eşittir \gr{BK} tümleyeni\\ \gr{KD} tümleyenine. } \parsen{ For, since a parallelogram is\\ \gr{ABGD},\\ and its diameter, \gr{AG},\\ equal is\\ triangle \gr{ABG} to triangle \gr{AGD}.\\ Moreover, since a parallelogram is\\ \gr{EJ},\\ and its diameter, \gr{AK},\\ equal is\\ triangle \gr{AEK} to triangle \gr{AJK}.\\ Then for the same [reasons] also\\ triangle \gr{KZG} to \gr{KHG} is equal.\\ Since then triangle \gr{AEK}\\ is equal to triangle \gr{AJK},\\ and \gr{KZG} to \gr{KHG},\\ triangle \gr{AEK} with \gr{KHG}\\ is equal\\ to triangle \gr{AJK} with \gr{KZG};\\ also is triangle \gr{ABG}, as a whole,\\ equal to \gr{ADG}, as a whole;\\ therefore the complement \gr{BK} remaining\\ to the complement \gr{KD} remaining\\ is equal. } { >Epe`i g`ar parallhl'ogramm'on >esti\\ t`o ABGD,\\ di'ametroc d`e a>uto~u 'ison >est`i\\ t`o ABG tr'igwnon t~w| AGD trig'wnw|.\\ p'alin, >epe`i parallhl'ogramm'on >esti\\ t`o EJ,\\ di'ametroc d`e a>uto~u >estin 'ison >est`i\\ t`o AEK tr'igwnon t~w| AJK trig'wnw|.\\ di`a t`a a>ut`a d`h ka`i\\ t`o KZG tr'igwnon t~w| KHG >estin >'ison.\\ {}>epe`i o>~un t`o m`en AEK tr'igwnon\\ t~w| AJK trig'wnw| >est`in >'ison,\\ t`o d`e KZG t~w| KHG,\\ t`o AEK tr'igwnon met`a to~u KHG\\ {}>'ison >est`i\\ t~w| AJK trig'wnw| met`a to~u KZG;\\ {}>'esti d`e ka`i <'olon t`o ABG tr'igwnon\\ <'olw| t~w| ADG >'ison;\\ loip`on >'ara t`o BK parapl'hrwma\\ loip~w| t~w| KD paraplhr'wmat'i\\ {}>estin >'ison. } { Çünkü, bir paralelkenar olduğundan\\ \gr{ABGD},\\ ve gr{AG}, onun köşegeni,\\ eşittir\\ \gr{ABG} üçgeni \gr{AGD} üçgenine.\\ Dahası, bir paralelkenar olduğundan\\ \gr{EJ},\\ \gr{AK},onun köşegeni,\\ eşittir\\ \gr{AEK} üçgeni \gr{AJK}üçgenine.\\ Şimdifor aynı nedenle\\ \gr{KZG} eşittir \gr{KHG} üçgenine.\\ O zaman \gr{AEK}\\ eşit olduğundan \gr{AJK} üçgenine,\\ ve \gr{KZG}, \gr{KHG} üçgenine,\\ \gr{AEK} ile \gr{KHG} üçgenleri\\ eşittirl\\ \gr{AJK} ile \gr{KZG} üçgenlerine;\\ ayrıca \gr{ABG} üçgeninin tümü\\ eşittir \gr{ADG} üçgeninin tümüne;\\ dolayısıyla geriye kalan \gr{BK} tümleyeni,\\ geriye kalan \gr{KD} tümleyenine\\ eşittir. } \parsen{ Therefore, of any parallelogram area,\\ of the about-the-diameter\\ parallelograms,\\ the complements\\ are equal to one another;\\ \myqed } { Pant`oc >'ara parallhlogr'ammou qwr'iou\\ t~wn per`i t`hn di'ametron\\ parallhlogr'ammwn\\ t`a paraplhr'wmata\\ {}>'isa >all'h\-loic >est'in;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla, herhangi bir paralelkenarın,\\ köşegeni etrafındaki paralelkenarların,\\ tümleyenleri\\ eşittir birbirlerine;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.591875)(5.3603125,1.591875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.10125,-1.3215625){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.840625,1.3784375){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.1940627,1.3584375){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.3151565,-1.3615625){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.5960938,0.7184375){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.036719,0.5984375){Z} \psline[linewidth=0.04cm](1.0140625,1.2334375)(5.0140624,1.2334375) \psline[linewidth=0.04cm](5.0140624,1.2334375)(4.2140627,-1.1665626) \psline[linewidth=0.04cm](4.1940627,-1.1665626)(0.2140625,-1.1465625) \psline[linewidth=0.04cm](0.2140625,-1.1465625)(1.0340625,1.2534375) \psline[linewidth=0.04cm](1.0340625,1.2134376)(4.2140627,-1.1665626) \psline[linewidth=0.04cm](0.8340625,0.6334375)(4.8140626,0.6534375) \psline[linewidth=0.04cm](2.0140624,1.2134376)(1.1740625,-1.1465625) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.0771875,1.4184375){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.059375,-1.4415625){\gr J} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.0826561,0.7984375){\gr K} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.44 \parsen{ Along the given \strgt,\\ equal to the given triangle,\\ to apply a parallelogram\\ in the given rectilineal angle. } { Par`a t`hn doje~isan e>uje~ian\\ t~w| doj'enti trig'wnw| >'ison\\ parallhl'ogrammon parabale~in\\ {}>en t~h| doje'ish| gwn'ia| e>ujugr'am\-mw|. } { Verilen bir doğru boyunca\\ verilen bir üçgene eşit,\\ bir paralel kenarı yerleştirmek\\ verilen bir düz kenar açıda. } \parsen{ Let be\\ the given \strgt\ \gr{AB},\\ and the given triangle, \gr G,\\ and the given rectilineal angle, \gr D. } { >'Estw\\ uje~ia uj'ugrammoc uje~ian t`hn AB\\ t~w| doj'enti trig'wnw| t~w| G >'ison\\ parallhl'ogrammon parabale~in\\ {}>en >'ish| t~h| D gwn'ia|. } { Şimdi gereklidir\\ verilen \gr{AB} doğrusu boyunca\\ \gr G üçgenine eşit\\ bir paralelkenarı\\ \gr D açısında yerleştirmek. } \parsen{ Suppose has been constructed\\ equal to triangle \gr G,\\ a parallelogram \gr{BEZH}\\ in angle \gr{EBH},\\ which is equal to \gr D;\\ and let it be laid down\\ so that on a \strgt\ is \gr{BE}\\ with \gr{AB},\\ and suppose has been drawn through\\ \gr{ZH} to \gr J,\\ and through \gr A,\\ parallel to either of \gr{BH} and \gr{EZ},\\ suppose there has been drawn\\ \gr{AJ},\\ and suppose there has been joined\\ \gr{JB}. } { Sunest'atw\\ t~w| G trig'wnw| >'ison\\ parallhl'ogrammon t`o BEZH\\ {}>en gwn'ia| t~h| estin >'ish t~h| D;\\ ka`i ke'isjw\\ <'wste >ep> e>uje'iac e>~inai t`hn BE\\ t~h| AB,\\ ka`i di'hqjw\\ ep`i t`o J,\\ ka`i di`a to~u A\\ 'hqjw epeze'uqjw epe`i e>ic parall'hlouc t`ac AJ, EZ\\ e>uje~ia >en'epesen 'ara orja~ic e>isin >'isai.\\ a'ara orj~wn >el'asson'ec e>isin;\\ aap`o >elass'onwn >`h d'uo >orj~wn e>ic >'apeiron >ekball'omenai\\ sump'iptousin;\\ a'ara >ekball'omenai\\ sumpeso~untai. } { Ve \gr{AJ} ile \gr{EZ} paralellerinin üzerine\\ düştüğünden \gr{JZ} doğrusu,\\ \gr{AJZ} ve \gr{JZE} açıları\\ eşittir iki dik açıya.\\ Dolayısıyla \gr{BJH} ve\gr{HZE}\\ küçüktür iki dik açıdan.\\ Ve küçük olanlardan\\ iki dik açıdan,\\ uzatıldıklarında sonsuza,\\ birbirlerine düşerler doğrular.\\ Dolayısıyla \gr{JB} ve \gr{ZE}, uzatılırsa,\\ birbirlerine düşerler. } \parsen{ Suppose they have been extended,\\ and they have fallen together at \gr K,\\ and through the point \gr K,\\ parallel to either of \gr{EA} and \gr{ZJ},\\ suppose has been drawn \gr{KL},\\ and suppose have been extended \gr{JA} and \gr{HB}\\ to the points \gr L and \gr M. } { >ekbebl'hsjwsan\\ ka`i sumpipt'etwsan kat`a t`o K,\\ ka`i di`a to~u K shme'iou\\ 'hqjw ekbebl'hsjwsan aep`i t`a L, M shme~ia. } { Varsayılsın uzatıldıkları,\\ ve \gr K noktasında kesiştikleri,\\ ve \gr K noktasından,\\ paralel olan \gr{EA} veya \gr{ZJ} doğrusuna,\\ çizilmiş olsun \gr{KL},\\ ve uzatılmış olsunlar \gr{JA} ve \gr{HB} doğruları\\ \gr L ve \gr M noktalarından. } \parsen{ A parallelogram therefore is \gr{JLKZ},\\ a diameter of it is \gr{JK},\\ and about \gr{JK} [are]\\ the parallelograms \gr{AH} and \gr{ME},\\ and the so-called complements,\\ \gr{LB} and \gr{BZ};\\ equal therefore is \gr{LB} to \gr{BZ}.\\ But \gr{BZ} to triangle \gr G is equal.\\ Also therefore \gr{LB} to \gr G is equal.\\ And since equal is\\ angle \gr{HBE} to \gr{ABM},\\ but \gr{HBE} to \gr D is equal,\\ also therefore \gr{ABM} to \gr D\\ is equal. } { parallhl'ogrammon >'ara >est`i t`o JLKZ,\\ di'ametroc d`e a>uto~u 'ison >'ara >est`i t`o LB t~w| BZ.\\ {}>all`a t`o BZ t~w| G trig'wnw| >est`in >'ison;\\ ka`i t`o LB >'ara t~w| G >estin >'ison.\\ ka`i >epe`i >'ish >est`in\\ all`a estin >'ish,\\ ka`i 'ara t~h| D gwn'ia|\\ {}>est`in >'ish. } { Bir paralelkenardır dolayısıyla \gr{JLKZ},\\ ve onun kçşegeni \gr{JK},\\ ve \gr{JK} etrafındadır \\ \gr{AH} ve \gr{ME} paralelkenarları,\\ ve bunların tümleyenleris,\\ \gr{LB} ile\gr{BZ};\\ eşittirler dolayısıyla \gr{LB} ile \gr{BZ} tümleyenlerine.\\ Ama \gr{BZ}, \gr G üçgenine eşittir.\\ Dolaysısıyla \gr{LB} da \gr G üçgenine eşittir.\\ Ve eşit olduğundan\\ \gr{HBE}, \gr{ABM} açısına,\\ fakat \gr{HBE}, \gr D açısına eşit,\\ dolayısıyla \gr{ABM} de \gr D açısına\\ eşittir. } \parsen{ Therefore, along the given \strgt,\\ \gr{AB},\\ equal to the given triangle, \gr G,\\ a parallelogram has been applied,\\ \gr{LB},\\ in the angle \gr{ABM},\\ which is equal to \gr D;\\ \myqef } { Par`a t`hn doje~isan >'ara e>uje~ian\\ t`hn AB\\ t~w| doj'enti trig'wnw| t~w| G >'ison\\ parallhl'ogrammon parab'eblhtai\\ t`o LB\\ {}>en gwn'ia| t~h| estin >'ish t~h| D;\\ <'oper >'edei poi~hsai. } { Dolaysısyla, verilen bir,\\ \gr{AB} doğrusu boyunca,\\ verilen bir \gr G üçgenine eşit,\\ bir,\\ \gr{LB} paralelkenarı yerleştirilmiş oldu,\\ \gr{ABM} aşısında,\\ eşit olan \gr D açısına;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.5592188)(8.543125,1.5592188) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.3471875,-0.41421875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.3465624,-1.4142188){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.222031,1.3857813){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.0226564,1.3457812){\gr Z} \psline[linewidth=0.04cm](4.16,1.2007812)(8.16,1.2007812) \psline[linewidth=0.04cm](8.16,1.2007812)(7.36,-1.1992188) \psline[linewidth=0.04cm](7.34,-1.1992188)(3.36,-1.1792188) \psline[linewidth=0.04cm](3.36,-1.1792188)(4.18,1.2207812) \psline[linewidth=0.04cm](3.36,-1.1792188)(8.18,1.2007812) \psline[linewidth=0.04cm](3.56,-0.5992187)(7.54,-0.57921875) \psline[linewidth=0.04cm](5.16,1.1807812)(4.32,-1.1792188) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.183125,-1.3942188){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.3453126,-0.6142188){\gr J} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.228594,0.7657812){\gr K} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(8.368594,1.2857813){\gr K} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(7.5625,-1.2942188){\gr L} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(7.833281,-0.65421873){\gr M} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.64,0.36578125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.62109375,0.36578125){\gr G} \psline[linewidth=0.04cm](2.72,1.2007812)(3.0,0.22078125) \psline[linewidth=0.04cm](3.0,0.22078125)(2.22,-0.35921875) \psline[linewidth=0.04cm](0.66,1.2207812)(1.48,0.0) \psline[linewidth=0.04cm](1.48,0.0)(0.0,0.0) \psline[linewidth=0.04cm](0.02,0.0)(0.68,1.2207812) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.45 \parsen{ To the given rectilineal [figure] equal\\ a parallelogram to construct\\ in the given rectilineal angle. } { T~w| doj'enti e>ujugr'ammw| >'ison\\ parallhl'ogrammon sust'hsasjai\\ {}>en t~h| doje'ish| gwn'ia| e>ujugr'ammw|. } { Verilen bir düzkenar [figüre] eşitl\\ bir paralelkenar inşa etmek,\\ verilen düzkenar açıda. } \parsen{ Let be\\ the given rectilineal [figure] \gr{ABGD},\\ and the given rectilineal angle, \gr E. } { >'Estw\\ t`o m`en doj`en e>uj'ugrammon t`o ABGD,\\ uj'ugrammoc uju\-gr'ammw| >'ison\\ parallhl'ogrammon sust'hsasjai\\ {}>en t~h| doje'ish| gwn'ia| t~h| E. } { Gereklidir şimdi\\ \gr{ABGD} düzkenarına eşit\\ bir paralelkenar inşa etmek,\\ verilen \gr E açısında. } \parsen{ Suppose has been joined \gr{DB},\\ and suppose has been constructed,\\ equal to the triangle \gr{ABD},\\ a parallelogram, \gr{ZJ},\\ in the angle \gr{JKZ},\\ which is equal to \gr E;\\ and suppose there has been applied\\ along the \strgt\ \gr{HJ},\\ equal to triangle \gr{DBG},\\ a parallelogram, \gr{HM},\\ in the angle \gr{HJM},\\ which is equal to \gr E. } { >Epeze'uqjw 'ison\\ parallhl'ogrammon t`o ZJ\\ {}>en t~h| estin >'ish t~h| E;\\ ka`i parabebl'hsjw\\ par`a t`hn HJ e>uje~ian\\ t~w| DBG trig'wnw| >'ison\\ parallhl'ogrammon t`o HM\\ {}>en t~h| estin >'ish t~h| E. } { Birleştirilmiş olduğu \gr{DB} doğrusunun,\\ ve inşa edilmiş olsun,\\ \gr{ABD} üçgenine eşit,\\ bir \gr{ZJ} paralelkenarı,\\ \gr{JKZ} açısında,\\ eşit olan \gr E açısına;\\ ve yerleştirilmiş olsun\\ \gr{HJ} doğrusu boyunca ,\\ \gr{DBG} üçgenine eşit,\\ bir \gr{HM} paralelkenarı,\\ \gr{HJM} açısında,\\ eşit olan \gr E açısına. } \parsen{ And since angle \gr E\\ to either of \gr{JKZ} and \gr{HJM}\\ is equal,\\ therefore also \gr{JKZ} to \gr{HJM}\\ is equal.\\ Let \gr{KJH} be added in common;\\ therefore \gr{ZKJ} and \gr{KJH}\\ to \gr{KJH} and \gr{HJM}\\ are equal.\\ But \gr{ZKJ} and \gr{KJH}\\ are equal to two \rgt s;\\ therefore also \gr{KJH} and \gr{HJM}\\ are equal to two \rgt s.\\ Then to some \strgt, \gr{HJ},\\ and at the same point, \gr J,\\ two \strgt s, \gr{KJ} and \gr{JM},\\ not lying in the same parts,\\ the adjacent angles\\ make equal to two \rgt s.\\ In a \strgt\ then are \gr{KJ} and \gr{JM};\\ and since on the parallels \gr{KM} and \gr{ZH}\\ fell the \strgt\ \gr{JH},\\ the alternate angles \gr{MJH} and \gr{JHZ}\\ are equal to one another.\\ Let \gr{JHL} be added in common;\\ therefore \gr{MJH} and \gr{JHL}\\ to \gr{JHZ} and \gr{JHL}\\ are equal.\\ But \gr{MJH} and \gr{JHL}\\ are equal to two \rgt s;\\ therefore also \gr{JHZ} and \gr{JHL}\\ are equal to two \rgt s;\\ therefore on a \strgt\ are \gr{ZH} and \gr{HL}.\\ And since \gr{ZK} to \gr{JH}\\ is equal and parallel,\\ but also \gr{JH} to \gr{ML},\\ therefore also \gr{KZ} to \gr{ML}\\ is equal and parallel;\\ and join them\\ \gr{KM} and \gr{ZL}, which are \strgt s;\\ therefore also \gr{KM} and \gr{ZL}\\ are equal and parallel;\\ a parallelogram therefore is \gr{KZLM}.\\ And since equal is\\ triangle \gr{ABD}\\ to the parallelogram \gr{ZJ},\\ and \gr{DBG} to \gr{HM},\\ therefore, as a whole,\\ the rectilineal \gr{ABGD}\\ to parallelogram \gr{KZLM} as a whole\\ is equal. } { ka`i >epe`i estin >'ish,\\ ka`i 'ara t~h| estin >'ish.\\ koin`h proske'isjw 'ara 'isai e>is'in.\\ {}>all> aorja~ic >'isai e>is'in;\\ ka`i a'ara\\ d'uo >orja~ic >'isai e>is'in.\\ pr`oc d'h tini e>uje~ia| t~h| HJ\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| J\\ d'uo e>uje~iai aep`i t`a a>ut`a m'erh ke'imenai\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ d'uo >orja~ic >'isac poio~usin;\\ {}>ep> e>uje'iac >'ara >est`in epe`i e>ic parall'hlouc t`ac KM, ZH\\ e>uje~ia >en'epesen enall`ax gwn'iai a'isai\\ {}>all'hlaic e>is'in.\\ koin`h proske'isjw 'ara 'isai e>isin.\\ >all> aorja~ic >'isai e>is'in;\\ ka`i a'ara\\ d'uo >orja~ic >'isai e>is'in;\\ {}>ep> e>uje'iac >'ara >est`in epe`i 'ish te ka`i par'allhl'oc >estin,\\ {}>all`a ka`i 'ara t~h| ML\\ {}>'ish te ka`i par'allhl'oc >estin;\\ ka`i >epizeugn'uousin a>ut`ac e>uje~iai a'ara\\ {}>'isai te ka`i par'allhlo'i e>isin;\\ parallhl'ogrammon >'ara >est`i t`o KZLM.\\ ka`i >epe`i >'ison >est`i\\ t`o m`en ABD tr'igwnon t~w| ZJ parallhlogr'ammw|,\\ t`o d`e DBG t~w| HM,\\ <'olon >'ara t`o ABGD e>uj'ugrammon\\ <'olw| t~w| KZLM parallhlogr'ammw|\\ {}>est`in >'ison. } { Ve \gr E açısı\\ \gr{JKZ} ve \gr{HJM} açılarının her birine\\ eşit olduğundan,\\ \gr{JKZ} da \gr{HJM} açısına\\ eşittir.\\ Eklenmiş olsun \gr{KJH} ortak olarak;\\ dolayısıyla \gr{ZKJ} ve \gr{KJH},\\ \gr{KJH} ve \gr{HJM} açılarına\\ eşittirler.\\ Fakat \gr{ZKJ} ve \gr{KJH}\\ eşittirler iki dik açıya;\\ dolayısıyla \gr{KJH} ve \gr{HJM} açılarıda\\ eşittirler iki dik açıya.\\ Şimdi bir \gr{HJ} doğrusuna,\\ ve aynı \gr J noktasında,\\ iki \gr{KJ} ve \gr{JM} doğruları,\\ aynı tarafta kalmayan,\\ komşu açıları\\ iki dik açıya eşit yapar.\\ O zaman bir doğrudadır \gr{KJ} ve \gr{JM};\\ ve \gr{KM} ve \gr{ZH} paralelleri üzerine\\ düştüğünden \gr{JH} doğrusu,\\ ters \gr{MJH} ve \gr{JHZ} açıları\\ eşittir birbirine.\\ eklenmiş olsun \gr{JHL} ortak olarak;\\ dolayısıyla \gr{MJH} ve \gr{JHL},\\ \gr{JHZ} ve \gr{JHL} açılarına\\ eşittirler.\\ Fakat \gr{MJH} ve \gr{JHL}\\ eşittirler iki dik açıya;\\ dolayısıyla \gr{JHZ} ve \gr{JHL} da\\ eşittirler iki dik açıya;\\ dolaysısyla bir doğru üzerindedir \gr{ZH} ve \gr{HL}.\\ Ve olduğundan \gr{ZK}, \gr{JH} doğrusuna\\ eşit ve paralel,\\ ve de \gr{JH}, \gr{ML} doğrusuna,\\ dolayısıyla \gr{KZ} da \gr{ML} doğrusuna\\ eşit ve paraleldir;\\ ve birleştirir onları\ \gr{KM} ile \gr{ZL}, ki bunlarda doğrulardır;\\ dolayısıyla \gr{KM} ve \gr{ZL} da\\ eşit ve paraleldirler;\\ dolayısıyla \gr{KZLM} bir paralelkenardır.\\ Ve eşit olduğundan\\ \gr{ABD} üçgeni\\ \gr{ZJ} paralelkenarına,\\ ve \gr{DBG}, \gr{HM} paralelkenarına,\\ dolayısısyla, bir bütün olarak,\\ \gr{ABGD} düzkenarı\\ bir bütün olarak \gr{KZLM} paralelkenarına\\ eşittir. } \parsen{ Therefore, to the given rectilineal [figure], \gr{ABGD}, equal,\\ a parallelogram has been constructed,\\ \gr{KZLM},\\ in the angle \gr{ZKM},\\ which is equal to the given \gr E;\\ \myqef } { T~w| >'ara doj'enti e>ujugr'ammw| t~w| ABGD >'ison\\ parallhl'ogrammon sun'estatai\\ t`o KZLM\\ {}>en gwn'ia| t~h| estin >'ish t~h| doje'ish| t~h| E;\\ <'oper >'edei poi~hsai. } { Dolayısıyla, verilen düzkenar \gr{ABGD} figürüne eşit,\\ bir \gr{KZLM} paralelkenarı inşa edilmiş oldu,\\ \gr{ZKM} açısında,\\ eşit olan verilmiş \gr E açısına;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.5392188)(9.369375,1.5392188) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.224375,-0.7342188){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,1.0257813){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.1192188,0.00578125){\gr E} \psline[linewidth=0.04cm](3.2371874,0.62078124)(2.6371875,-0.15921874) \psline[linewidth=0.04cm](2.6371875,-0.15921874)(3.4971876,-0.29921874) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.8998437,1.3057812){\gr Z} \psline[linewidth=0.04cm](5.0571876,1.2007812)(9.057187,1.2007812) \psline[linewidth=0.04cm](9.057187,1.2007812)(8.257188,-1.1992188) \psline[linewidth=0.04cm](8.237187,-1.1992188)(4.2571874,-1.1792188) \psline[linewidth=0.04cm](4.2571874,-1.1792188)(5.0771875,1.2207812) \psline[linewidth=0.04cm](7.8571873,1.1807812)(6.9971876,-1.1792188) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(6.9403124,-1.3942188){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(7.8825,1.3657813){\gr J} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(4.105781,-1.3142188){\gr K} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(9.219687,1.3057812){\gr L} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(8.490469,-1.3542187){\gr M} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.6771874,1.3257812){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.2982812,0.54578125){\gr G} \psline[linewidth=0.04cm](1.4771875,1.2007812)(2.1771874,0.38078126) \psline[linewidth=0.04cm](2.1771874,0.38078126)(1.3571875,-0.55921876) \psline[linewidth=0.04cm](1.3571875,-0.55921876)(0.0771875,0.8407813) \psline[linewidth=0.04cm](0.0971875,0.82078123)(1.4971875,1.1807812) \psline[linewidth=0.04cm](1.4971875,1.1807812)(1.3571875,-0.5392187) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \newpage \begin{proposition}%Proposition I.46 \parsen{ On the given \strgt\\ to set up a square. } { >Ap`o t~hc doje'ishc e>uje'iac\\ tetr'agwnon >anagr'ayai. } { Verilen bir doğruda\\ bir kare kurmak. } \parsen{ Let be\\ the given \strgt\ \gr{AB}. } { >'Estw\\ uje~ia ap`o t~hc AB e>uje'iac\\ tetr'agwnon >anagr'ayai. } { Şimdi gereklidir\\ \gr{AB} doğrusunda\\ bir kare kurmak. } \parsen{ Suppose there has been drawn\\ to the \strgt\ \gr{AB},\\ at the point \gr A of it,\\ at a \rgt,\\ \gr{AG},\\ and suppose there has been laid down,\\ equal to \gr{AB},\\ \gr{AD};\\ and through the point \gr D,\\ parallel to \gr{AB},\\ suppose there has been drawn \gr{DE};\\ and through the point \gr B,\\ parallel to \gr{AD},\\ suppose there has been drawn \gr{BE}.\\ } { >'Hqjw\\ t~h| AB e>uje'ia|\\ {}>ap`o to~u pr`oc a>ut~h| shme'iou to~u A\\ pr`oc >orj`ac\\ 'ish\\ 'hqjw 'hqjw 'ara >est`i t`o ADEB;\\ {}>'ish >'ara >est`in all`a estin >'ish;\\ a'ara\\ a'isai >all'hlaic e>is'in;\\ {}>is'opleuron >'ara\\ {}>est`i t`o ADEB parallhl'ogrammon. } { Bir paralelkenardır dolayısıyla \gr{ADEB};\\ eşittir dolayısıyla \gr{AB}, \gr{DE} doğrusuna,\\ ve \gr{AD}, \gr{BE} doğrusuna.\\ Ama \gr{AB}, \gr{AD} doğrusuna eşittir.\\ Dolaysısyla şu dördü\\ \gr{BA}, \gr{AD}, \gr{DE} ve \gr{EB}\\ birbirlerine eşittirler;\\ eşkenardır dolayısıyla\\ \gr{ADEB} paralelkenarı. } \parsen{ I say then that\\ it is also right-angled.\\ } { l'egw d'h, <'oti\\ ka`i >orjog'wnion. } { Şimdi iddia ediyorum ki\\ aynı zamanda dik açılıdır.\\ } \parsen{ For, since on the parallels \gr{AB} and \gr{DE}\\ fell the \strgt\ \gr{AD},\\ therefore the angles \gr{BAD} and \gr{ADE}\\ are equal to two \rgt s.\\ And \gr{BAD} is right;\\ right therefore is \gr{ADE}.\\ And of parallelogram areas\\ the opposite sides and angles\\ are equal to one another.\\ Right therefore is either\\ of the opposite angles \gr{ABE} and \gr{BED};\\ right-angled therefore is \gr{ADEB}.\\ And it was shown also equilateral. } { >epe`i g`ar e>ic parall'hlouc t`ac AB, DE\\ e>uje~ia >en'epesen 'ara orja~ic >'isai e>is'in.\\ {}>orj`h d`e orj`h >'ara ka`i apenant'ion pleura'i te ka`i gwn'iai\\ {}>'isai >all'hlaic e>is'in;\\ {}>orj`h >'ara ka`i apenant'ion t~wn orjog'wnion >'ara >est`i t`o ADEB.\\ {}>ede'iqjh d`e ka`i >is'opleuron. } { Çünkü, \gr{AB} ve \gr{DE} paralellerinin üzerine\\ düştüğünden \gr{AD} doğrusu,\\ eşittir dolaysıyla \gr{BAD} ve \gr{ADE}\\ iki dik açıya.\\ Ve \gr{BAD} diktir;\\ diktir dolayısıyla \gr{ADE}.\\ Ve paralelkenar alanların\\ karşıt kenar ve açıları\\ eşittir birbirlerine.\\ Diktir dolayısıyla her bir\\ karşıt açı \gr{ABE} ve \gr{BED};\\ dik açılıdır dolayısıyla \gr{ADEB}.\\ Ve gösterilmişti ki eşkenardır da. } \parsen{ A square therefore it is;\\ and it is on the \strgt\ \gr{AB}\\ set up;\\ \myqef } { Tetr'agwnon >'ara >est'in;\\ ka'i >estin >ap`o t~hc AB e>uje'iac\\ {}>anagegramm'enon;\\ <'oper >'edei poi~hsai. } { Bir karedir dolayısıyla o;\\ ve o \gr{AB} doğrusu üzerine\\ kurulmuştur;\\ \ozqef } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.871875)(2.88875,1.871875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.724375,-1.726875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.12375,-1.706875){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.7392187,0.493125){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.1571875,0.413125){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.17828125,1.693125){\gr G} \psline[linewidth=0.04cm](0.3771875,1.628125)(0.3771875,-1.571875) \psline[linewidth=0.04cm](0.3771875,-1.571875)(2.5771875,-1.571875) \psline[linewidth=0.04cm](2.5771875,-1.571875)(2.5771875,0.428125) \psline[linewidth=0.04cm](2.5771875,0.428125)(0.3771875,0.428125) \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.47 \parsen{ In right-angled triangles,\\ the square on the side that subtends the right angle\\ is equal\\ to the squares on the sides that contain the right angle. } { >En to~ic >orjogwn'ioic trig'wnoic\\ t`o >ap`o t~hc t`hn >orj`hn gwn'ian 'ison >est`i\\ to~ic >ap`o t~wn t`hn >orj`hn gwn'ian perieqous~wn pleur~wn tetrag'wnoic. } { Dik açılı üçgenlerde,\\ dik açının gördüğü kenar üzerindeki kare\\ eşittir\\ dik açıyı içeren kenarların üzerindekilere. } \parsen{ Let be\\ a right-angled triangle, \gr{ABG},\\ having the angle \gr{BAG} right. } { >'Estw\\ tr'igwnon >orjog'wnion t`o ABG\\ {}>orj`hn >'eqon t`hn ap`o t~hc BG tetr'agwnon\\ {}>'ison >est`i\\ to~ic >ap`o t~wn BA, AG tetrag'wnoic. } { İddia ediyorum ki\\ \gr{GB} üzerindeki kare\\ eşittir\\ \gr{BA} ve \gr{AG} üzerlerindeki karelere. } \parsen{ For, suppose there has been set up\\ on \gr{BG}\\ a square, \gr{BDEG},\\ and on \gr{BA} and \gr{AG},\\ \gr{HB} and \gr{JG},\\ and through \gr A,\\ parallel to either of \gr{BD} and \gr{GE},\\ suppose \gr{AL} has been drawn;\\ and suppose have been joined\\ \gr{AD} and \gr{ZG}. } { >Anagegr'afjw g`ar\\ {}>ap`o m`en t~hc BG\\ tetr'agwnon t`o BDEG,\\ {}>ap`o d`e t~wn BA, AG\\ t`a HB, JG,\\ ka`i di`a to~u A\\ 'hqjw epeze'uqjwsan\\ aepe`i >orj'h >estin\\ uje'ia| t~h| BA\\ ka`i t~w| pr`oc a>ut~h| shme'iw| t~w| A\\ d'uo e>uje~iai aep`i t`a a>ut`a m'erh ke'imenai\\ t`ac >efex~hc gwn'iac\\ dus`in >orja~ic >'isac poio~usin;\\ {}>ep> e>uje'iac >'ara >est`in ut`a d`h\\ ka`i estin >ep> e>uje'iac.\\ ka`i >epe`i >'ish >est`in\\ orj`h g`ar 'ara estin >'ish.\\ ka`i >epe`i >'ish >est`in\\ 'isai e>is`in\\ 'ish;\\ b'asic >'ara estin] >'ish,\\ ka`i t`o ABD tr'igwnon\\ t~w| ZBG trig'wnw|\\ {}>est`in >'ison;\\ ka'i [>esti] to~u m`en ABD trig'wnou\\ dipl'asion t`o BL parallhl'ogrammon;\\ b'asin te g`ar t`hn a>ut`hn >'eqousi t`hn BD\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic e>isi parall'hloic\\ ta~ic BD, AL;\\ to~u d`e ZBG trig'wnou\\ dipl'asion t`o HB tetr'agwnon;\\ b'asin te g`ar p'alin t`hn a>ut`hn >'eqousi\\ t`hn ZB\\ ka`i >en ta~ic a>uta~ic e>isi parall'hloic\\ ta~ic ZB, HG.\\ {}[t`a d`e t~wn >'iswn\\ dipl'asia >'isa >all'hloic >est'in;]\\ {}>'ison >'ara >est`i\\ ka`i t`o BL parallhl'ogrammon\\ t~w| HB tetrag'wnw|.\\ epizeugnum'enwn t~wn AE, BK\\ deiqj'hsetai\\ ka`i t`o GL parallhl'ogrammon\\ {}>'ison t~w| JG tetrag'wnw|;\\ <'olon >'ara t`o BDEG tetr'agwnon\\ dus`i to~ic HB, JG tetrag'wnoic\\ {}>'ison >est'in.\\ ka'i >esti\\ t`o m`en BDEG tetr'agwnon >ap`o t~hc BG >anagraf'en,\\ t`a d`e HB, JG >ap`o t~wn BA, AG.\\ t`o >'ara >ap`o t~hc BG pleur~ac tetr'agwnon\\ {}>'ison >est`i\\ to~ic >ap`o t~wn BA, AG pleur~wn tetrag'wnoic. } { Ve dik olduğundan\\ \gr{BAG} ve \gr{BAH} açılarının her biri,\\ bir \gr{BA} doğrusunda,\\ üzerindeki \gr A noktasına,\\ \gr{AG} ve \gr{AH} doğruları,\\ aynı tarafta kalmayan,\\ bitişik açılar\\ oluştururlar eşit iki dik açıya;\\ bir doğrudadır dolayısısyla \gr{GA} ile \gr{AH}.\\ Sonra aynı nedenle\\ \gr{BA} ile \gr{AJ} da bir doğrudadır.\\ Ve eşit olduğundan\\ \gr{DBG}, \gr{ZBA} açısına;\\ her ikiside diktir;\\ eklenmiş olsun \gr{ABG} her ikisine de;\\ dolayısıyla \gr{DBA} açısının tamamı\\ \gr{ZBG} açısının tamamına \\ eşittir.\\ Ve eşit olduğundan\\ \gr{DB}, \gr{BG} doğrusuna,\\ ve \gr{ZB}, \gr{BA} doğrusuna\\ \gr{DB} ve \gr{BA} ikilisi\\ \gr{ZB} ve \gr{BG} ikilisine\footnotemark\\ eşittirler,\\ her biri birine;\\ ve \gr{DBA} açısı\\ \gr{ZBG} açısına\\ eşittir;\\ dolayısıyla \gr{AL} tabanı\\ \gr{ZG} tabanına\\ eşittir,\\ ve \gr{ABL} üçgeni\\ \gr{ZBG} üçgenine\\ eşittir;\\ ve \gr{ABD} üçgeninin\\ \gr{BL} paralelkenarı iki katıdır;\\ aynı \gr{BL} tabanları olduğu,\\ ve aynı\\ \gr{BD} ve \gr{AL} parallerinde oldukları için;\\ ve \gr{ZBG} üçgeninin\\ \gr{HB} karesi iki katıdır;\\ yine aynı\\ \gr{ZB} tabanları olduğu\\ ve aynı\\ \gr{ZB} ve \gr{HG} parallerinde oldukları için.\\ {}[Ve eşitlerin,\\ iki katları birbirlerine eşittirler.]\\ Eşittir dolaysıyla\\ \gr{BL} paralelkenarı da\\ \gr{HB} karesine.\\ Şimdi benzer şekilde,\\ birleştirildiğinde \gr{AE} ve \gr{BK},\\ gösterilecek ki\\ \gr{GL} paralelkenarı da\\ eşittir \gr{JG} karesine.\\ Dolayısıyla \gr{DBEG} bir bütün olarak\\ \gr{HB} ve \gr{JG} iki karesine\\ eşittir.\\ Ayrıca\\ \gr{BDEG} karesi \gr{BG} üzerine kurulmuştur,\\ ve \gr{HB} ve \gr{JG}, \gr{BA} ve \gr{AG} üzerine.\\ Dolayısıyla \gr{BG} kenarındaki kare\\ eşittir\\ \gr{BA} ve \gr{AG} kenarlarındaki karelere. } \myfntext{Fitzpatrick considers this ordering of the two straight lines to be `obviously a mistake'. But if it is a mistake, how could it have been made?} \parsen{ Therefore in right-angled triangles\\ the square on the side subtending the right angle\\ is equal\\ to the squares on the sides subtending the right [angle];\\ \myqed } { >En >'ara to~ic >orjogwn'ioic trig'wnoic\\ t`o >ap`o t~hc t`hn >orj`hn gwn'ian 'ison >est`i\\ to~ic >ap`o t~wn t`hn >orj`hn [gwn'ian] perieqous~wn pleur~wn tetrag'wnoic;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Dolayısıyla dik açılı üçgenlerde,\\ dik açının gördüğü kenar üzerindeki kare\\ eşittir\\ dik açıyı içeren kenarların üzerindekilere;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-2.6892188)(5.2784376,2.6892188) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.0425,-0.36421874){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.041875,1.0757812){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.8373437,-2.5442188){\gr E} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.1153125,-2.5042188){\gr D} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.8764062,-0.34421876){\gr G} \psline[linewidth=0.04cm](2.0753126,0.79078126)(1.2753125,-0.20921876) \psline[linewidth=0.04cm](1.2753125,-0.20921876)(3.6753125,-0.20921876) \psline[linewidth=0.04cm](3.6753125,-0.20921876)(1.0353125,1.4707812) \psline[linewidth=0.04cm](1.0353125,1.4707812)(0.2753125,0.43078125) \psline[linewidth=0.04cm](0.2753125,0.43078125)(1.2753125,-0.22921875) \psline[linewidth=0.04cm](1.2753125,-0.22921875)(1.2753125,-2.3892188) \psline[linewidth=0.04cm](1.2753125,-2.3692188)(3.6753125,-2.3892188) \psline[linewidth=0.04cm](3.6553125,-2.3892188)(3.6753125,-0.20921876) \psline[linewidth=0.04cm](3.6753125,-0.20921876)(4.8953123,1.2707813) \psline[linewidth=0.04cm](4.8953123,1.2707813)(3.2353125,2.3707812) \psline[linewidth=0.04cm](3.2353125,2.3707812)(2.0553124,0.7707813) \psline[linewidth=0.04cm](3.6953125,-0.20921876)(0.2753125,0.43078125) \psline[linewidth=0.04cm](1.2753125,-0.22921875)(4.9153123,1.2707813) \psline[linewidth=0.04cm](2.0753126,0.79078126)(1.2953125,-2.3492188) \psline[linewidth=0.04cm](2.0953126,0.7707813)(3.6353126,-2.3892188) \psline[linewidth=0.04cm](2.0753126,0.81078124)(2.0553124,-2.3692188) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.09796875,0.39578125){\gr Z} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.0584375,1.6157813){\gr H} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(3.260625,2.5157812){\gr J} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(5.103906,1.3157812){\gr K} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} \begin{proposition}%Proposition I.48 \parsen{ If of a triangle\\ the square on one of the sides\\ be equal\\ to the squares on the remaining sides of the triangle,\\ the angle contained\\ by the two remaining sides of the triangle\\ is right. } { >E`an trig'wnou\\ t`o >ap`o mi~ac t~wn pleur~wn tetr'agwnon\\ {}>'ison >~h|\\ to~ic >ap`o t~wn loip~wn to~u trig'wnou d'uo pleur~wn tetrag'wnoic,\\ orj'h >estin. } { Eğer bir üçgende\\ bir kenarın üzerindeki kare\\ eşitse\\ üçgenin geriye kalan kenarlarındaki karelere,\\ üçgenin geriye kalan kenarlarınca içerilen\\ açı\\ diktir. } \parsen{ For, of the triangle \gr{ABG}\\ the square on the one side \gr{BG}\\ ---suppose it is equal\\ to the squares on the sides \gr{BA} and \gr{AG}. } { Trig'wnou g`ar to~u ABG\\ t`o >ap`o mi~ac t~hc BG pleur~ac tetr'agwnon\\ {}>'ison >'estw\\ to~ic >ap`o t~wn BA, AG pleur~wn tetrag'wnoic; } { Çünkü, \gr{ABG} üçgeninin\\ bir \gr{BG} kenarındaki karesi\\ ---varsayılsın eşit\\ \gr{BA} ve \gr{AG} kenarlarındaki karelere. } \parsen{ I say that\\ right is the angle \gr{BAG}. } { l'egw, <'oti\\ {}>orj'h >estin 'Hqjw g`ar\\ {}>ap`o to~u A shme'iou\\ t~h| AG e>uje'ia|\\ pr`oc >orj`ac\\ 'ish\\ epeze'uqjw epe`i >'ish >est`in 'ison >est`i\\ ka`i t`o >ap`o t~hc DA tetr'agwnon\\ t~w| >ap`o t~hc AB tetrag'wnw|.\\ koin`on proske'isjw\\ t`o >ap`o t~hc AG tetr'agwnon;\\ t`a >'ara >ap`o t~wn DA, AG tetr'agwna\\ {}>'isa >est`i\\ to~ic >ap`o t~wn BA, AG tetrag'wnoic.\\ {}>all`a to~ic m`en >ap`o t~wn DA, AG\\ {}>'ison >est`i\\ t`o >ap`o t~hc DG;\\ {}>orj`h g'ar >estin ap`o t~wn BA, AG\\ {}>'ison >est`i\\ t`o >ap`o t~hc BG;\\ 'ara >ap`o t~hc DG tetr'agwnon\\ {}>'ison >est`i\\ t~w| >ap`o t~hc BG tetrag'wnw|;\\ <'wste ka`i pleur`a\\ estin >'ish;\\ ka`i >epe`i >'ish >est`in 'isai e>is'in;\\ ka`i b'asic 'ish;\\ gwn'ia >'ara estin] >'ish.\\ {}>orj`h d`e orj`h >'ara ka`i E`an >ar`a trig'wnou\\ t`o >ap`o mi~ac t~wn pleur~wn tetr'agwnon\\ {}>'ison >~h|\\ to~ic >ap`o t~wn loip~wn to~u trig'wnou d'uo pleur~wn tetrag'wnoic,\\ orj'h >estin;\\ <'oper >'edei de~ixai. } { Eğer dolayısıyla bir üçgende\\ bir kenarın üzerindeki kare\\ eşitse\\ üçgenin geriye kalan kenarlarındaki karelere,\\ üçgenin geriye kalan kenarlarınca içerilen\\ açı\\ diktir;\\ \ozqed } \begin{center} \scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing. { \begin{pspicture}(0,-1.521875)(2.6940625,1.521875) \psline[linewidth=0.04cm](1.35375,1.218125)(0.35375,-1.161875) \psline[linewidth=0.04cm](0.37375,-1.161875)(2.35375,-1.181875) \psline[linewidth=0.04cm](2.35375,-1.181875)(1.35375,1.218125) \psline[linewidth=0.04cm](1.35375,1.218125)(1.33375,-1.161875) \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.3003125,-1.376875){\gr A} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(2.5409374,-1.276875){\gr B} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(1.4748437,1.343125){\gr G} \usefont{T1}{ptm}{m}{n} \rput(0.11375,-1.236875){\gr D} \end{pspicture} } \end{center} \end{proposition} %\loadgeometry{ancillary} %\begin{multicols}2 %\bibliographystyle{amsplain} %\bibliography{../Public/references} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace} \providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR } % \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR. \providecommand{\MRhref}[2]{% \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2} } \providecommand{\href}[2]{#2} \begin{thebibliography}{10} \bibitem{Euclid-Heiberg} Euclid, \emph{Euclidis {E}lementa}, Euclidis Opera Omnia, Teubner, 1883, Edited, and with Latin translation, by I. L. Heiberg. \bibitem{MR17:814b} \bysame, \emph{The thirteen books of {E}uclid's {E}lements translated from the text of {H}eiberg. {V}ol. {I}: {I}ntroduction and {B}ooks {I}, {I}{I}. {V}ol. {I}{I}: {B}ooks {I}{I}{I}--{I}{X}. {V}ol. {I}{I}{I}: {B}ooks {X}--{X}{I}{I}{I} and {A}ppendix}, Dover Publications Inc., New York, 1956, Translated with introduction and commentary by Thomas L. Heath, 2nd ed. \MR{17,814b} \bibitem{MR1932864} \bysame, \emph{Euclid's {E}lements}, Green Lion Press, Santa Fe, NM, 2002, All thirteen books complete in one volume, the Thomas L. Heath translation, edited by Dana Densmore. \MR{MR1932864 (2003j:01044)} \bibitem{MEU2} H.~W. Fowler, \emph{A dictionary of modern {E}nglish usage}, second ed., Oxford University Press, 1982, revised and edited by Ernest Gowers. \bibitem{MEU} \bysame, \emph{A dictionary of modern {E}nglish usage}, Wordsworth Editions, Ware, Hertfordshire, UK, 1994, reprint of the original 1926 edition. \bibitem{Harman} Homer~C House and Susan~Emolyn Harman, \emph{Descriptive english grammar}, second ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., USA, 1950, Revised by Susan Emolyn Harman. Twelfth printing, 1962. \bibitem{CGEL} Rodney Huddleston and Geoffrey~K. Pullum, \emph{The {C}ambridge grammar of the {E}nglish language}, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2002, reprinted 2003. \bibitem{MR1384401} Wilbur~R. Knorr, \emph{The wrong text of {E}uclid: on {H}eiberg's text and its alternatives}, Centaurus \textbf{38} (1996), no.~2-3, 208--276. \MR{1384401 (97c:01007)} \bibitem{MR1892196} \bysame, \emph{On {H}eiberg's {E}uclid}, Sci. Context \textbf{14} (2001), no.~1-2, 133--143, Intercultural transmission of scientific knowledge in the middle ages: Graeco-Arabic-Latin (Berlin, 1996). \MR{1892196 (2003b:01009)} \bibitem{LSJ} Henry~George Liddell and Robert Scott, \emph{A {G}reek-{E}nglish lexicon}, Clarendon Press, Oxford, 1996, revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones, with the assistance of Roderick McKenzie and with the cooperation of many scholars. With a revised supplement. \bibitem{OCG} James Morwood and John Taylor (eds.), \emph{The pocket {O}xford classical {G}reek dictionary}, Oxford University Press, Oxford, 2002. \bibitem{MR1683176} Reviel Netz, \emph{The shaping of deduction in {G}reek mathematics}, Ideas in Context, vol.~51, Cambridge University Press, Cambridge, 1999, A study in cognitive history. \MR{MR1683176 (2000f:01003)} \bibitem{Chapman-Iliad} Allardyce Nicoll (ed.), \emph{{C}hapman's {H}omer: The {I}liad}, paperback ed., Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1998, With a new preface by Garry Wills. Original publication, 1956. \bibitem{MR1200456} Proclus, \emph{A commentary on the first book of {E}uclid's \emph{{E}lements}}, Princeton Paperbacks, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992, Translated from the Greek and with an introduction and notes by Glenn R. Morrow, Reprint of the 1970 edition, With a foreword by Ian Mueller. \MR{MR1200456 (93k:01008)} \bibitem{Ozkirimli} Atilla~\"Ozk\i r\i ml\i, \emph{T\"urk dili, dil ve anlat\i m [the turkish language, language, and expression]}, \.Istanbul Bilgi \"Universitesi Yay\i nlar\i, 2001, Ya\c sayan {T}\"urk\c ce \"Uzerine Bir Deneme [An Essay on Living Turkish]. \bibitem{Smyth} Herbert~Weir Smyth, \emph{Greek grammar}, Harvard University Press, Cambridge, Massachussets, 1980, Revised by Gordon M. Messing, 1956. Eleventh Printing. Original edition, 1920. \bibitem{MR13:419b} Ivor Thomas (ed.), \emph{Selections illustrating the history of {G}reek mathematics. {V}ol. {II}. {F}rom {A}ristarchus to {P}appus}, Harvard University Press, Cambridge, Mass, 1951, With an English translation by the editor. \MR{13,419b} \bibitem{Thoreau} Henry~David Thoreau, \emph{Walden [1854] and other writings}, Bantam Books, New York, 1962, Edited and with an introduction by Joseph Wood Krutch. \end{thebibliography} %\end{multicols} \end{document}